Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Podobne dokumenty
RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m

Plan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Kinematyka: opis ruchu

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

Ruch drgający i falowy

Człowiek najlepsza inwestycja FENIKS

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

Opis ruchu obrotowego

Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 20, 21 i 22 Przygotowanie: Grzegorz Brona,

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Siła sprężystości - przypomnienie

Wykład 3 Ruch drgający Ruch falowy

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

Podstawy fizyki wykład 4

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Drgania. O. Harmoniczny

Podstawy fizyki wykład 4

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Podstawy fizyki wykład 7

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2.6.3 Interferencja fal.

ver b drgania harmoniczne

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,

DRGANIA MECHANICZNE. Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Siła elektromotoryczna

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

drgania h armoniczne harmoniczne

Kinematyka: opis ruchu

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

VII. Drgania układów nieliniowych

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Rodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Rys Punkt P obracającego się ciała zatacza łuk o długości s

, to: Energia całkowita w ruchu harmonicznym prostym jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Laboratorium Mechaniki Technicznej

1. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie. drgań. kilkukrotnie sprawdzając z jaką niepewnością statystyczną możemy mieć do czynienia. pomiarze.

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Kinematyka: opis ruchu

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki

Zjawisko interferencji fal

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Prawa ruchu: dynamika

Ψ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t)

Prawa ruchu: dynamika

Zasady dynamiki Newtona

α - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego

Zadanie domowe z drgań harmonicznych - rozwiązanie trzech wybranych zadań

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Fizyka 2 Wróbel Wojciech

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron. Wykład dla Matematyki Stosowanej

FIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONY

ĆWICZENIE 5. Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego i fizycznego. Kraków,

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Fizyka 5. Janusz Andrzejewski

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Fale mechaniczne i akustyka

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Transkrypt:

Fizyka 11

Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna zamienia się w ciepło.

Ruch drgający -przykłady 3

Ruch harmoniczny Przemieszczenie w chwili t faza x(t) = Acos(ωt + φ) Amplituda ω częstość kołowa (kątowa) φ fazowa początkowa, zależy od położenia w chwili t=0 4

Ruch harmoniczny przykłady Czasami funkcje typu sinus lub cosinus nazywa się funkcjami harmonicznymi 5

Ruch harmoniczny Częstość lub częstotliwość liczba pełnych drgań (cykli) wykonanych w ciągu jednej sekundy. f= ν ilość drgań w ciągu jednej sekundy [1Hz=1s -1 ] Okres ruchu T czas w jakim wykonane jest jedno pełne drganie. 1 T = ν Częstość kołowa: x( t) = x( t + T ) => Acos( ω t + φ) = Acos( ω( t + T ) + φ) ωt + φ + π = ωt + ωt + φ => ωt = π ω = π T W układzie SI częstość kołową mierzymy w radianach na sekundę 6

Przemieszczenie: x(t) = Acos(ωt + φ) Prędkość: Ruch harmoniczny dx( t) v( t) = = ω Asin( ωt + ϕ) dt Przyśpieszenie: dv( t) a( t) = = ω Acos( ωt + ϕ) dt Prędkość maksymalna: v Przyśpieszenie maksymalne: m = ωa a m = ω A 7

Własności ruchu harmonicznego x( t) = Acos( ω t + ϕ) a( t) = ω Acos( ωt + ϕ) a( t) = ω x( t) W ruchu harmonicznym przyśpieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia, ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik proporcjonalności równy jest kwadratowi częstości kołowej. W ruchu harmonicznym położenie, prędkość i przyśpieszenie opisane są zależnością typu sinusoidalnego W ruchu harmonicznym okres drgań oraz amplituda nie zależy od czasu W ruchu harmonicznym okres drgań nie zależy od amplitudy 8

Prawo Hooke a Prawo Hooke a: r F r = kx Siła sprężystości jest przeciwnie skierowana w w stosunku do przemieszczenia Przemieszczenie liczymy od położenia równowagi Stała sprężystości k jest wielkością dodatnią 9

Sprężystość ciał 10

Równanie ruchu II zasada dynamiki Newtona ma = kx k a = x m Jeśli wprowadzimy: a = ω x ω = k m Na masę m działa tylko siła sprężystości -kx A to jest związek pomiędzy przyśpieszeniem i położeniem dla ruchu harmonicznego. 11

Ruch harmoniczny Ruch harmoniczny jest to ruch który odbywa się pod wpływem siły która jest proporcjonalna do przesunięcia i przeciwnie skierowana do przesunięcia. ω = k m => ω = k m = π T T = π m k Okres drgań harmonicznych nie zależy od amplitudy Siła która powoduje drgania harmoniczne nazywa się siłą harmoniczną. 1

Wahadło matematyczne Wychylenie mierzone wzdłuż łuku: s = lθ Siła przywracająca do położenia równowagi: F = -mgsinθ II zas. dynamiki: F = ma l θ T mgsinθ mg θ mgcosθ mg d s sinθ = m = dt ml d θ dt l d θ = dt g sinθ 13

Wahadło matematyczne l d θ = dt g sinθ - trudne do rozwiązania Ale: sinθ θ -dla małych kątów θ d θ = dt g θ l - ruch harmoniczny! Częstość kołowa: ω = g l ω = g l 14

Wahadło fizyczne Wahadłem fizycznymnazywamy ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało. Ciało jest zawieszone w punkcie P, a punkt S, znajdujący się w odległości d od punkt P, jest środkiem masy ciała Moment siły działający na ciało: M = mgd sinθ mgdθ II zasada dynamiki dla bryły sztywnej: Czyli: Iε = mgdθ d θ mgd = ε = θ dt I mgd ω = T = π I I mgd 15

Energia potencjalna i kinetyczna F 0 Energia potencjalna sprężyny ściśniętej lub rozciągniętej o x wynosi: U = 1 1 kx W ruchu harmonicznym: x t) = Acos( t ) U ( ω + φ 1 = kx = ka cos ( ω t + 1 ϕ Energia kinetyczna: dx( t) v( t) = = ω Asin( ωt + ϕ) dt K 1 = mv = mω A sin ( ωt + 1 ϕ ) ) x 16

Energia mechaniczna w ruchu Energia mechaniczna: harmonicznym E 1 = U + K = ka cos ( ω t + ϕ) + mω A sin ( ωt + 1 ϕ ) Ale k = mω E 1 = U + K = 1 ka cos ( ω t + ϕ) + ka sin ( ωt + ϕ ) Dla dowolnego kąta: cos Dostajemy: E = α + sin α = 1 1 ka 17

Energia mechaniczna Energia mechaniczna w ruchu harmonicznym jest stała tzn. nie zmienia się w czasie. 18

Ruch po okręgu a ruch harmoniczny Punkt P porusza się po okręgu z prędkością kołową ω. Rzut tego punktu na oś X wynosi: x ( t ) = xm cos( ω t + φ ) m W ruchu obrotowym: Rzut wektora prędkości na os X wynosi: v = ω v( t) = ω x sin( ωt + φ) m r 19

Ruch po okręgu a ruch harmoniczny W ruchu obrotowym: a r = ω r Rzut przyśpieszenia na os X wynosi: a( t) = ω x cos( ωt + φ) m Ruch harmoniczny jest ruchem rzutu punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na średnicę okręgu, po którym ten ruch się odbywa. 0

Składanie drgań harmonicznych Zasada superpozycji:jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu. Złożenia drgań harmonicznych o jednakowych częstotliwościach x1 = A1 cos( ω 0 t + φ1 ) x = A cos( ω0 t + φ ) Równanie drgania wypadkowego ma postać x = x 1 + x = Acos( ω 0 t + φ) 1

Drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości Tw. cosinusów A = A + A A 1 cos[180 ( φ φ )] A1 1 A = A + A + A 1 A1 1 cos( φ φ ) Wektorowa metoda składania drgań mechanicznych tgφ = A A 1 1 sinφ1 + cosφ + 1 A A sinφ cosφ Amplituda drgania wypadkowego: gdy ϕ ϕ 1 = ±π m(m= 0,1,...), wówczas A = A 1 + A gdy ϕ ϕ 1 = ±π (m+1) (m = 0,1,...), wówczas A = A 1 -A

Drgania koherentne Amplituda drgania wypadkowego zależy od różnicy początkowych faz drgań składowych. Jeśli ta różnica nie zmienia się z upływem czasu, to takie drgania synchroniczne nazywamy koherentnymi. 3

Dudnienia Rozważymy dwa dodawane drgania równoległe nieznacznie różniące się częstotliwościami drgań. Niech amplitudy składanych drgań będą równe A, aich częstości kołowe ω i ω + Δωprzy czym Δω<< ω. Przyjmijmy, że fazy początkowe drgań są zerowe, wówczas x 1 = A cos ω t x = A cos( ω + ω ) t α + b α β cosα + cos β = cos cos Ale ω + 1 ( ω + 1 ω) 1 t t x1 + x = Acos cos ω ω ( 1 Acos ωt) cos t x1 + x = ω ω 4

Dudnienia Modulowana amplituda: Okres dudnień: T 0 π = ω ~ ω A = Acos t 5

Drgania modulowane ( ω ( )) x( t) = A( t)cos t φ t Typy modulacji: 1) modulowana faza(częstość) FM: ) modulowana amplituda AM: A( t) = const φ( t) zmienne da φ ( t) = const << ωa dt max 6

Krzywe Lissajous x=asin(ω 1 t) y=asin(ω t+φ) φ=π/ 7

Wesołych Świąt! 8