Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki. Gracze wykładają kolejo po jedej karcie z wierzchu swojej kupki i sprawdzają wysokość obu kart. Jeśli obie wyłożoe karty są rówej wysokości (dwa asy lub dwa króle itd.) to ówiy, że astępuje woja. Po sprawdzeiu, obie karty odkładay a bok i ie biorą już oe udziału w dalszej grze. Powtarzay tę procedurę 6 razy; gra kończy się, gdy obaj gracze wyłożą wszystkie karty. Oblicz wartość oczekiwaą liczby woje. 6 7 5 7 (C) 4 (D) 5 5 50 49 4 4 3 0 3 5 + + 5 50 +... + 4 + 40
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Niech W, W, W3 będą iezależyi zieyi losowyi o jedakowy rozkładzie wykładiczy o gęstości λ e f ( w) = 0 λ w dla w 0; dla w < 0. Oblicz ediaę zieej losowej W W + W 3. λ ed = λ + ed = (C) ed = (D) ed = 3 ed =
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 3 Załóży, że K ozacza liczbę sukcesów w próbach Beroulliego z iezay prawdopodobieństwe sukcesu θ, czyli Pr( K = k) = ( ) k k k θ θ. Rozważy estyator paraetru θ postaci a + K θˆ =. b + Niech = 6. Przypuśćy, że dodatie liczby a i b dobrae zostały tak, że fukcja ryzyka estyatora, R ( θ ) = E [( ˆ θ θ θ ) ] jest fukcją stałą, czyli R (θ ) = R dla każdej wartości paraetru θ. Jeśli stwierdzisz, że a i b oża tak dobrać, podaj liczbę R. (C) R = R = R = 64 6 00 (D) ie istieją takie liczby a i b dla których ryzyko jest stałe R = 4 3
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 4 Wiey, że ziee losowe X, X,..., X,..., X są iezależe i ają jedakowy rozkład prawdopodobieństwa. Zakładay, że < < i zay Var ( ) = σ. Niech S + = X + X +... X i. S = X + X +... + X +... + X. Oblicz E Var S S ). ( X i E E Var( S S ) = σ Var( S S ) = σ + (C) podae iforacje ie wystarczają do obliczeia E Var S S ) ( (D) E E Var( S S ) = σ Var( S S ) = σ 4
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 5 Załóży, że X, Y są zieyi losowyi o łączy rozkładzie oraly, E ( X ) = E( Y ) = 0, Var ( X ) = Var( Y ) = i Cov ( X, Y ) = ρ. Oblicz Var (XY ). (C) Var ( XY ) = + ρ Var ( XY ) = + ρ Var ( XY ) = ρ (D) Var ( XY ) = Var ( XY ) = ( + ρ ) 5
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 6 Załóży, że X,..., X 4 jest próbką z rozkładu oralego N (µ, ), zaś Y,...,Y9 jest próbką z rozkładu oralego N ( µ, ). Niech 4 X = X i będzie średią z pierwszej próbki; 4 i= Y = będzie średią z drugiej próbki. 9 9 Y i i= (Wariacja jest dla obu próbek zaa, zaś µ jest iezae). Zajdź takie liczby r i d, żeby przedział [ r X + ( r) Y d, rx + ( r) Y + d] był przedziałe ufości dla µ a pozioie ufości α = 0. 95 i przy ty długość tego przedziału ( d ) była ajiejsza. r = 0.47, d = 0.980 r = 0.69, d =.0 (C) r = 0.50, d = 0.888 (D) r = 0.53, d =.960 r = 0. 64, d = 0. 784 6
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 7 Niech X, X,..., X będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa Pareto o dystrybuacie θ F ( ) = x θ x 0 dla x ; dla x <. Przyjując bayesowski pukt widzeia, przyjujey, że iezay paraetr θ jest zieą losową o rozkładzie a priori wykładiczy, z gęstością λ e π ( θ ) = 0 λθ dla θ 0; dla θ < 0. Oblicz bayesowski estyator paraetru θ, czyli wartość oczekiwaą a posteriori: ˆ θ = E( θ X,..., X ). ˆ θ = ˆ θ = (C) ˆ θ = + l X i + λ l X i + λ + X i + λ (D) ˆ + λ θ = + l X i ˆ θ = + λ X i + λ 7
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 8 Niech χ 0.( ) ozacza kwatyl rzędu 0. rozkładu chi-kwadrat z stopiai swobody (liczbę, od której ziea losowa o rozkładzie chi-kwadrat jest iejsza z prawdopodobieństwe 0.). Oblicz (z dokładością do 0.0). g = li χ 0. ( ). g =. 8 g =. 8 (C) g =. 8 (D) g =. 56 graica ie istieje 8
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 9 Niech X,..., X0 będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa o gęstości f θ θ θ x dla 0 < x < ; ( x) = 0 w przeciwy przypadku. Rozważy test jedostajie ajociejszy hipotezy H : θ przeciwko alteratywie 0 = H : θ > a pozioie istotości α = 0. 0. Dla jakich wartości paraetru θ te test a oc ie iejszą, iż 0. 99? (Podaj wyik z dokładością do 0.0). oc 0. 99 wtedy i tylko wtedy, gdy θ 4. 55 oc 0. 99 wtedy i tylko wtedy, gdy θ 9. 07 (C) ie istieje takie θ >, dla którego test a oc 0. 99 (D) oc 0. 99 wtedy i tylko wtedy, gdy θ 4. 6 oc 0. 99 wtedy i tylko wtedy, gdy θ 8. 09 9
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie 0 Rozważy astępujący scheat urowy: W każdej z 0 ur zajdują się kule, ozaczoe liczbai: W urie zajdują się kule ozaczoe liczbą, w urie zajdują się kule ozaczoe liczbą,... w urie 0 zajdują się kule ozaczoe liczbą 0. Losujey kulę z ury i przekładay ją do ury. Następie (po wyieszaiu kul) losujey kulę z ury i przekładay do ury 3, itd., kulę wylosowaą z ury 9 przekładay do ury 0, wreszcie losujey kulę z ury 0. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta ostatia wylosowaa kula a uer większy, iż 6? (C) (D) 7 0 80 8 7 4 43 77 8 0
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Egzai dla Aktuariuszy z paździerika 00 r. Prawdopodobieństwo i Statystyka Arkusz odpowiedzi * Iię i azwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja A C 3 C 4 E 5 A 6 E 7 A 8 C 9 A 0 B * Oceiae są wyłączie odpowiedzi uieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Koisja Egzaiacyja.