Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 1 / 16

Sprzężone oscylatory harmoniczne Rozważmy jednowymiarowy układ drgający: Mẍ 1 + (κ + κ 12 ) x 1 κ 12 x 2 = 0 Mẍ 2 + (κ + κ 12 ) x 2 κ 12 x 1 = 0 Odejmujemy równania stronami: m 1 = M m 2 = M κ1 = κ κ 12 κ2 = κ x 1 x 2 M(ẍ 1 ẍ 2 )+(κ+2κ 12 )(x 1 x 2 ) = 0 η 1 + κ + 2κ 12 M η 1 = 0 gdzie η 1 = x 1 x 2 κ + 2κ12 Rozwiązanie: η 1 (t) = 2A f cos (ω f t + φ f ) gdzie ω f = M Dodajemy równania stronami: M(ẍ 1 + ẍ 2 ) + κ(x 1 + x 2 ) = 0 η 2 + κ M η 2 = 0 gdzie η 2 = x 1 + x 2 κ Rozwiązanie: η 2 (t) = 2A s cos (ω s t + φ s ) gdzie ω s = M W zmiennych x 1 i x 2 rozwiązanie przyjmuje postać: x 1 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) + A f cos (ω f t + φ f ) x 2 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) A f cos (ω f t + φ f ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 2 / 16

Sprzeżone oscylatory harmoniczne Ogólna metoda: szukamy rozwiązań w postaci (A 1, A 2 mogą być zespolone): x 1 (t) = A 1 e iωt oraz x 2 (t) = A 2 e iωt Wstawiając te rozwiązania do układu równań ruchu otrzymujemy: { (κ + κ 12 Mω 2 )A 1 κ 12 A 2 = 0 κ 12 A 1 + (κ + κ 12 Mω 2 )A 2 = 0 Nietrywialne rozwiązanie istnieje kiedy wyznacznik układu jest równy zero: κ + (κ + κ 12 Mω 2 ) 2 κ 2 2κ12 κ 12 = 0 ω f = ± M, ω s = ± M ( ) ( ) ( ) 1 1 Dla ω 2 = ωs 2 A1 0 mamy: κ = A 1 1 A 2 0 1 = A 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 Dla ω 2 = ωf 2 mamy: κ A1 0 = A 1 1 A 2 0 1 = A 2 Ogólne rozwiązanie ma postać: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x1 (t) 1 = C x 2 (t) 1 e iωst 1 +C 1 2 e iωst 1 +C 1 3 e iω f t 1 +C 1 4 e iω f t 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 3 / 16

Mody normalne Żądamy aby położenia x 1 (t) oraz x 2 (t) były rzeczywiste dla wszystkich t: C 1 = C2 1 2 A se iφs oraz C 3 = C4 1 2 A f e iφ f W rezultacie otrzymujemy rozwiązania identyczne jak z pierwszej metody: x 1 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) + A f cos (ω f t + φ f ) x 2 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) A f cos (ω f t + φ f ) Mody normalne: Dla A f = 0 mamy: x 1 (t) = x 2 (t) = A s cos (ω s t + φ s ) Dla A s = 0 mamy: x 1 (t) = x 2 (t) = A f cos (ω f t + φ f ) ω = ω 1 ω = ω 2 Antisymmetrical mode (out of phase) Symmetrical mode (in phase) Dowolny ruch układu jest kombinacją liniową modów normalnych. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 4 / 16

Współrzędne normalne Współrzędnymi normalnymi w powyższym problemie są: η 1 (t) = x 1 (t) x 2 (t) drgania z częstością ω f η 2 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) drgania z częstością ω s W zmiennej η 1 układ wykonuje drgania z częstością ω f, natomiast w zmiennej η 2 z częstością ω s. Przykład: W pewnym problemie rozwiązanie ma postać: ( ) ( ) ( ) x1 (t) 3 1 = B x 2 (t) 1 cos (ω 2 1 t + φ 1 + B 2 cos (ω 5 2 t + φ 2 Współrzędnymi normalnymi są: η 1 = 5x 1 + x 2 odpowiadająca modowi normalnemu (3,2) dragnia z częstością ω 1 η 2 = 2x 1 3x 2 odpowiadająca modowi normalnemu (1,-5) dragnia z częstością ω 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 5 / 16

Słabe sprzężenie Niech warunki początkowe w naszym problemie mają postać: ẋ 1 (0) = ẋ 2 (0) = 0 oraz x 1 (0) = 0 i x 2 (0) = A. Korzystając z rozwiązania w postaci: x 1 (t) = a cos ω s t + b sin ω s t + c cos ω f t + d sin ω f t x 2 (t) = a cos ω s t + b sin ω s t c cos ω f t d sin ω f t otrzymujemy b = d = 0 oraz a = c = A/2, czyli x 1 (t) = A 2 (cos ω st cos ω f t) x 2 (t) = A 2 (cos ω st + cos ω f t) W przypadku gdy κ 12 κ, wartość ω f jest tylko niewiele większa od ω s. Wprowadzamy oznaczenia: ω s = ω f + ω s 2 ω f = ω f + ω s 2 ω f ω s 2 + ω f ω s 2 Ω ɛ Ω + ɛ M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 6 / 16

Słabe sprzężenie Otrzymujemy: x 1 (t) = A 2 x 2 (t) = A 2 (cos (Ω ɛ)t cos (Ω + ɛ)t) = A sin Ωt sin ɛt (cos (Ω ɛ)t + cos (Ω + ɛ)t) = A cos Ωt cos ɛt Ω=10, ε=1 Obserwacje: wielkości A sin ɛt i A cos ɛt zmieniają się wolno, x 1 (t) i x 2 (t) wykonują drgania sinusoidalne z wolno zmieniającą się amplitudą, energia jest przekazywana od jednego oscylatora do drugiego i z powrotem (ɛt = π/2) A -A A x 1 =A sinωt sinεt 1 2 3 4 5 6 -A sinεt x 2 =A cosωt cosεt t 1 2 3 4 5 6 t M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 7 / 16 -A

Układ trzech mas Równania ruchu dla układu trzech mas (rysunek): mẍ 1 = kx 1 k(x 1 x 2 ) mẍ 2 = k(x 2 x 1 ) k(x 2 x 3 ) k k k k m m m mẍ 3 = k(x 3 x 2 ) kx 3 Szukamy rozwiązań w postaci x i (t) = A i e iωt. Wstawiając do układu mamy: ω 2 + 2ω0 2 ω0 2 0 A 1 0 ω0 2 ω 2 + 2ω0 2 ω0 2 A 2 = 0 0 ω0 2 ω 2 + 2ω0 2 A 3 0 gdzie ω 2 0 = k/m. Nietrywialne rozwiązania istnieją dla zerowego wyznacznika: ( ω 2 + 2ω 2 0)(ω4 4ω 2 0ω 2 + 2ω 2 0) = 0 ω 2 = 2ω 2 0 i ω 2 = (2 ± 2)ω 2 0 Mody normalne: ω = ± 2ω 0 A 1 A 2 1 0 A 3 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 8 / 16

Układ trzech mas ( ) ( ) Mody normalne: ω = ± 2 + A1 1 2ω 0 A 2 2 A 3 1 ( ) ( ) ω = ± 2 A1 1 2ω 0 A 2 2 A 3 1 Ogólne rozwiązanie otrzymujemy jako kombinację liniową sześciu rozwiązań odpowiadających sześciu wartościom ω: ( ) ) ) x1 x 2 x 3 = C 1 ( 1 0 1 e i 2ω 0 t + C 2 ( 1 0 1 e i 2ω 0 t +... Ponieważ położenia muszą być rzeczywiste, więc: ) ) ( x1 x 2 x 3 = A m ( 1 0 1 ( 1 +A f 2 1 ( ) 1 2 +A s 1 cos ( 2ω 0 t + φ m) ) cos ( 2 + 2ω 0 t + φ f ) cos ( 2 2ω 0 t + φ s) medium: (-1,0,1) fast: (1,- 2,1) slow: (1, 2,1) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 9 / 16

Ogólna teoria małych drgań Niech S będzie układem zachowawczym o n stopniach swobody i współrzędnych uogólnionych q = (q 1, q 2,..., q n ). Punkt q = q 0 = const jest położeniem równowagi układu S jeśli spełnia równania Lagrange a: ( ) d T T = V j = 1,..., n dt q j q j q j gdzie T ( q, q) = n j,k=1 t jk ( q) q j q k oraz V ( q). Ponieważ lewa strona j-tego równania Lagrange a jest równa zero dla q = q 0, więc q = q 0 spełnia równania Lagrange a wtedy i tylko wtedy gdy: V q j = 0 j = 1,..., n Wniosek: Położeniami równowagi układu zachowawczego są punkty stacjonarne energii potencjalnej tego układu. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 10 / 16

Stabilne położenie równowagi Punkt q 0 w przestrzeni konfiguracyjnej odpowiada punktowi ( q 0, 0) w przestrzeni fazowej. Definicja: Położenie równowagi ( q 0, 0) nazywamy stabilnym jeśli promień dąży do zera gdy δ dąży do zera. C δ p C q Twierdzenie: Minima energii potencjalnej V ( q) są stabilnymi położeniami równowagi układu S. Przykład: Stabilność położenia równowagi podwójnego wahadła Energia potencjalna: O V = (M + m)gb(1 cos θ) + mgc(1 cos φ) θ b V θ = (M + m)gb sin θ = 0 dla θ = 0, φ = 0 V φ = mgc sin θ = 0 dla θ = 0, φ = 0 M φ c m A więc punkt (0,0) jest stabilnym punktem równowagi. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 11 / 16

Przybliżone formuły dla V oraz T Niech energia potencjalna układu S ma minimum dla q = 0 takie że V ( 0) = 0. Rozwijając w szereg wokół minimum dostajemy (dla dwóch stopni swobody): ( V V (q 1, q 2 ) = V (0, 0) + q 1 + V ) ( ) 2 V q 2 + q 1 q 2 q1 2 q1 2 + 2 2 V q 1 q 2 + 2 V q 1 q 2 q2 2 q2 2 +... Ponieważ V (0, 0) = 0 oraz w minimum V/ q 1 = V/ q 2 = 0, więc V app (q 1, q 2 ) = 2 V q1 2 q1 2 + 2 2 V (0,0) q 1 q 2 q 1 q 2 + 2 V (0,0) q2 2 q2 2 (0,0) Dla n stopni swobody: n V app ( q) = v jk q j q k = q T V q gdzie v jk = v kj = 2 V q 1 q 2 j,k=1 Przybliżona postać energii kinetycznej: T ( q, q) = n j,k=1 t jk ( 0) q j q k +... T app = n j,k=1 q= 0 t jk ( 0) q j q k = q T T q M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 12 / 16

Ogólna teoria modów normalnych Zlinearyzowane równania dla małych drgań wokół położenia równowagi T app n T app V app n Ponieważ: = 2 t jk q k, = 0, = 2 v jk q k więc q j q j q j Mody normalne k=1 k=1 n (t jk q k + v jk q k ) = 0 T q + V q = 0 k=1 Modami normalnymi nazywamy rozwiązania równań drgań w postaci: q j = a j cos (ωt γ), j = 1,..., n q = a cos (ωt γ) W modzie normalnym wszystkie współrzędne zmieniają się harmonicznie w czasie z ta samą częstością ω i tą samą fazą γ, ale z różnymi amplitudami. Wstawiając mody normalne do równań ruchu otrzymujemy równania dla amplitud: n ( vjk ω 2 ) t jk ak = 0, j = 1,..., n ( V ω 2 T ) a = 0 k=1 Częstości ω modów normalnych nazywamy częstościami normalnymi. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 13 / 16

Podwójne wahadło matematyczne Energia potencjalna: V = (M + m)gb(1 cos θ) + mgc(1 cos φ) V app = 1 2 (M + m)gbθ2 + 1 2 mgcφ2 ( 1 ) ( ) = (θ, φ) 2 (M + m)gb 0 θ 1 0 2 mgc φ Energia kinetyczna: T = 1 2 M(b θ) 2 + 1 ((b 2 m θ 2 + (c φ) 2 + 2(b θ)(c φ) ) cos (θ φ) θ b φ c b θ c φ b θ (φ θ) T app = 1 2 (M + m)b2 θ2 + mbc θ φ + 1 2 mc2 φ2 ( = θ, φ) ( 1 2 (M + m)b2 1 2 mbc ) ( ) θ 1 2 mbc 1 2 mc2 φ M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 14 / 16

Podwójne wahadło matematyczne Przykład: Znajdź częstości normalne podwójnego wahadła matematycznego dla: M = 3m oraz c = b. Rozwiązujemy układ równań na mody normalne: det(v ω 2 T) = 0 4n2 4ω 2 ω 2 ω 2 n 2 ω 2 = 0 gdzie n 2 = g/b. Z wyznacznika otrzymujemy częstości normalne: ω 2 1 = 2n2 3, ω2 2 = 2n 2 Znajdujemy amplitudy dla każdego z modów normalnych: Dla ω1 2 = 2n 2 /3 mamy: ( ) ( ) 4 2 a1 = 0 2 1 2a 1 = a 2 ɛ A więc: θ = ɛ cos ( 2/3 nt γ) a 2 φ = 2ɛ cos ( 2/3 nt γ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 15 / 16

Podwójne wahadło matematyczne Przykład: ciąg dalszy. Podobnie dla ω 2 2 = 2n 2 otrzymujemy: θ = ɛ cos ( 2 nt γ) φ = 2ɛ cos ( 2 nt γ) gdzie w obu przypadkach stałe ɛ i γ wyznaczamy z warunków początkowych. Zachowanie układu dla obu modów normalnych przedstawia rysunek: O ǫ ǫ O ǫ ǫ 3m 3m 2ǫ 2ǫ 2ǫ 2ǫ m m Ogólne rozwiązanie problemu małych drgań podwójnego wahadła ma postać: θ = ɛ 1 cos ( 2/3 nt γ 1 ) + ɛ 2 cos ( 2 nt γ 2 ) φ = 2ɛ 1 cos ( 2/3 nt γ 1 ) 2ɛ 2 cos ( 2 nt γ 2 ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 8 16 / 16