Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Transkrypt

1 Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 1 / 12

2 Transformacje kanoniczne Rozwiązywanie problemów za pomocą transformacji kanonicznych: transformacja do zmiennych kanonicznych, które wszystkie są cykliczne (możliwe jeśli Hamiltonian jest zachowany), transformacja od zmiennych (q, p) w chwili t do nowych zmiennych które są wielkościami stałymi (np. 2n wartości początkowych (q 0, p 0 ) w t 0 ): Rozwiązaniem problemu są wówczas równania transformacji: q = q(q 0, p 0, t), p = p(q 0, p 0, t) Dalsza dyskusja dotyczy drugiej metody (Hamitonian może zależeć od czasu). Aby nowe zmienne były niezależne o czasu wystarczy aby nowy hamiltonian H był tożsamościowo równy zero, wtedy: H P i = Q i = 0, H Q i = P i = 0 co zachodzi gdy: H( Q, P, t) = H( q, p, t) + F t = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 2 / 12

3 Równanie Hamiltona-Jacobiego Wybierając funkcję generującą F 2 ( q, P, t) oraz korzystając z równań transformacji p i = F 2 otrzymujemy równanie Hamiltona-Jacobiego: q i ( H q 1,..., q n ; F 2,..., F ) 2 ; t + F 2 = 0 q 1 q n t Rozwiązanie ma postać F 2 S = S(q 1,..., q n ; α 1,..., α n ; t), przy czym stałe całkowania wybieramy jako nowe pędy α i = P i. Równania transformacji przyjmują postać: p i = S(q, α, t) S(q, α, t) Q i β i = q i α i Równania te pozwalają wyznaczyć 2n stałych całkowania, na podstawie znajomości (q, p) w chwili początkowej t 0. Odwracając drugie z powyższych równań, a następnie korzystając z pierwszego, otrzymujemy rozwiązanie problemu w postaci: q j = q j (α, β, t) p i = p i (α, β, t) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 3 / 12

4 Zastosowanie metody Hamiltona-Jacobiego Przykład: Prosty oscylator harmoniczny. 1 ( Hamiltonian: p 2 + m 2 ω 2 q 2) k E, gdzie ω = 2m m Równanie Hamilton-Jacobiego przyjmuje postać: [ ( S ) ] m 2 ω 2 q 2 + S 2m q t = 0 Kiedy Hamiltonian nie zależy od czasu funkcje S można wybrać w postaci S(q, α, t) = W (q, α) αt co prowadzi do równania: [ ( W ) ] m 2 ω 2 q 2 = α 2m q Całkując równanie Hamiltona-Jacobiego otrzymujemy: W = 2mα dq 1 mω2 q 2 a więc S = 2mα dq 1 mω2 q 2 αt M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 4 / 12

5 Prosty oscylator harmoniczny Znajdujemy rozwiązanie dla q(t): β = S α = m dq t 1 mω2 q 2 Całkujemy: t + β = 1 mω ω arc sin q 2 Odwracamy: q = sin (ωt + β) mω2 Zależność pędu od czasu otrzymujemy z równania transformacji: p = S q = W q = 2mα m 2 ω 2 q 2 a następnie podstawieniu wcześniej wyznaczonego q: p = 2mα cos (ωt + β) Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: 2mα = p m 2 ω 2 q 2 0, tg β = mω q 0 p 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 5 / 12

6 Zastosowanie metody Hamiltona-Jacobiego Nowe zmienne kanoniczne α oraz β to odpowiednio całkowita energia i faza. Wstawiając q(t) do funkcji S otrzymujemy: ( S = cos 2 (ωt + β)dt αt = cos 2 (ωt + β) 1 ) dt 2 Lagranżjan przyjmuje postać: L = 1 ( 2m (p2 m 2 ω 2 q 2 ) = cos 2 (ωt + β) 1 ) 2 Uwaga: Ogólnie prawdziwa jest relacja S = Ldt Przykład: Dwuwymiarowy (anizotropowy) oscylator harmoniczny. Hamiltonian (równy całkowitej energii): H E = 1 ( p 2 2m x + p 2 y + m 2 ωxx m 2 ωyy 2 2) kx, gdzie ω x = m, ω ky y = m Ponieważ współrzędne i pędy separują się, więc funkcja S może być zapisana jako suma dwóch funkcji charakterystycznych: S(x, y, α, α y, t) = W x (x, α x ) + W y (y, α y ) αt M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 6 / 12

7 Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny Równanie Hamiltona-Jacobiego przyjmuje postać: [ ( W ) 2 ( ) ] 2 1 W + m 2 ω 2 2m x xx m 2 ω 2 y yy 2 = α Ponieważ zmienne separują się, więc każda z częsci musi być równa stałej: ( ) 2 1 W + 1 2m y 2 mω2 yy 2 = α y ( ) 2 1 W + 1 2m x 2 mω2 xx 2 = α x gdzie α x + α y = α. Rozwiązania przyjmują postać: x x = sin (ω x t + β x ), p x = 2mα x cos (ω x t + β x ) (1) mω 2 x y y = sin (ω y t + β y ), p y = 2mα y cos (ω y t + β y ) (2) mω 2 y M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 7 / 12

8 Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny Przykład: Dwuwymiarowy (izotropowy) oscylator harmoniczny. Hamiltonian (równy całkowitej energii) w zmiennych polarnych ma postać: E = 1 ( ) p 2 r + p2 θ 2m r 2 + m2 ω 2 r 2 i nie zależy od ziennej θ. Funkcję S zapisujemy w postaci: S(r, θ, α, α θ ) = W r (r, α) + W θ (θ, α θ ) αt = W r (r, α) + θα θ αt Uwaga: Dla współrzędnych cyklicznych funkcja charakterystyczna ma zawsze postać: W qi = q i α i. Pęd sprzężony ze współrzędną cykliczną ma stałą wartość: Równanie H-J przyjmuje więc postać: ( ) 2 1 Wr + α2 θ 2m r 2mr mω2 r 2 = α Rozwiązania: p θ = W θ θ r = mω sin 2 ωt + sin 2 (ωt + β), p 2 r = mṙ [ ] θ = arc tg, p θ = mr 2 θ sin ωt sin (ωt+β) = α θ M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 8 / 12

9 Równania H-J dla funkcji charakterystycznych W przypadku gdy Hamiltonian nie zależy od czasu zawsze istnieje możliwość separacji funkcji S (q, α, t) = H (q, α) at Prowadzi to do równania Hamiltona-Jacobiego, które nie zawiera zmiennej t: ( H q i, W ) = α 1 q i Uwaga: Zwykle H jest energią całkowitą, ale nie zawsze tak musi być. Funkcja charakterystyczna W generuje transformacje kanoniczne różne od tych generowanych przez S: p i = W q i, Q i = W P i = W α i W szczególności ponieważ W nie zależy od czasu, więc: H(q i, P i ) = H(q i, p i ) + W t = H(q i, p i ) α 1 Wniosek: Funkcja charakterystyczna W generuje transformację kanoniczną w której wszystkie nowe współrzędne są cykliczne. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 10 9 / 12

10 Równania H-J dla funkcji charakterystycznych W szczególności mamy: P i = H = 0 P i = α i Q i Q i = H α i = 1, i = 1 Q 1 = t + β 1 W α 1 Q i = H α i = 1, i 1 Q i = β i W α i Równania te wraz równaniami transformacji pozwalają na wyznaczenie pozostałych (n 1) stałych α i, i = 2,.., n oraz stałych β i i powiązaniu ich z wartościami początkowymi zmiennych q i, p i w chwili t 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład / 12

11 Równanie Hamiltona-Jacobiego - podsumowanie metody Dwie metody rozwiązania w zależności od postaci Hamiltonianu: Postać Hamiltonianu: dowolna funkcja H(q, p, t) zachowany H(q, p) = const Szukamy transformacji kanonicznych takich, że: wszystkie Q i i P i są stałymi ruchu tylko pędy P i są stałe W tym celu żądamy aby: H = 0 h = H(Pi ) = α 1 Równania ruchu przyjmują postać: Q i = H P i = 0 P i = H = 0 Q i Rozwiązania równań ruchu: Q i = β i P i = γ i Q i = H P i = 0 P i = H = 0 Q i Q i = v i t + β i P i = γ i Funkcja generująca transfromację: S(q, P, t) W (q, P ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład / 12

12 Równania Hamilton-Jacobiego - podsumowanie metody Postać ( równania Hamilton-Jacobiego: H q, S ) q, t + S ( t = 0 H q, W ) α 1 = 0 q Pełne rozwiązanie równania Hamilton-Jacobiego zawiera: n stałych całkownia α i α 1 oraz (n 1) stałych α i Nowe stałe pędy P i mozna wybrać jako n niezależnych funkcji stałych α i : P i = γ i (α 1,..., α n ) P i = γ i (α 1,..., α n ) W szczególności funkcje γ i mogą być równe stałym α i, wówaczas: p i = S q i p i = W q i są spełnione automatycznie ponieważ były wykorzystane przy konstrukcji równań Hamitona-Jacobiego. Natomiast z równań: Q i = S γ i = β i Q i = W γ i = v i (γ i )t + β i mozna wyznaczyć q i (t, β i, γ i ), gdzie stałe β i oraz γ i wyznaczamy z warunków początkowych (q i0, p i0 ) w chwili t 0. Uwaga: Jesli Hamiltonian nie zależy od czasu, to wtedy mozn skorzystać z każdej z powyższych metod, a funkcje generujące są związane zależnością: S(q, P, t) = W (q, P ) α 1 t M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład / 12