Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Transkrypt

1 Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012

2 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku

3 Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem jest wyznaczyć takie u(t), by układ znalazł się w pożądanym stanie x r. Układ regulacji nadążnej - x r (t) jest nieznaną z góry funkcją czasu.

4 Wyzwania:

5 Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji)

6 Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) szum w pomiarach - filtracja (np. filtr Kalmana)

7 Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) szum w pomiarach - filtracja (np. filtr Kalmana) niepełna informacja o stanie - obserwatory (np. obserwator Luenbergera)

8 Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) szum w pomiarach - filtracja (np. filtr Kalmana) niepełna informacja o stanie - obserwatory (np. obserwator Luenbergera) optymalizacja sprzężenia zwrotnego -

9 Sprzężenie zwrotne Sprzężeniem od stanu nazywamy realizację sygnału sterującego według następującej formuły: u = w(x) (3) Sprzężeniem od wyjścia nazywamy realizację sygnału sterującego według następującej formuły: u = v(y) (4)

10

11 Dany jest liniowy system ciągły opisywany równaniem: ẋ = Ax + Bu (5) Optymalizujemy całkowy, kwadratowy wskaźnik jakości: J = dt (x T Qx + u T Ru) (6) 0 Q jest dodatnio półokreślona, R dodatnio określona.

12 Rozwiązanie: u = Kx (7) K = R 1 B T P (8) Macierz P należy wyznaczyć z algebraicznego równania Riccatiego: A T P + PA PBR 1 B T P + Q = 0; (9)

13 Metody wyprowadzenia: Mnożniki Lagrange a + rachunek wariacyjny Programowanie dynamiczne

14 Równania ruchu i linearyzacja Klasyczny przykład zastosowania - wahadło odwrócone

15 Równania ruchu i linearyzacja Lagranżian L = M + m ẋ 2 + ml α2 + ml αẋ cos α + mgl cos α (10) Stąd otrzymujemy równania: { (M + m)ẍ + ml α cos α = ml α 2 sin α + u cos αẍ + l α = g sin α (11)

16 Równania ruchu i linearyzacja Kładziemy dla prostoty M = m = g = l = 1 i rozwiązujemy liniowy układ równań algebraicznych względem drugich pochodnych: { ẍ = 1 2 cos 2 α (u + α2 sin α + sin α cos α) α = 1 (12) (u cos α + α sin α cos α + 2 sin α) 2 cos 2 α

17 Równania ruchu i linearyzacja Kładziemy dla prostoty M = m = g = l = 1 i rozwiązujemy liniowy układ równań algebraicznych względem drugich pochodnych: { ẍ = 1 2 cos 2 α (u + α2 sin α + sin α cos α) α = 1 (12) (u cos α + α sin α cos α + 2 sin α) 2 cos 2 α System dynamiczny nieliniowy!

18 Równania ruchu i linearyzacja Zapisujemy w postaci czterowymiarowej i linearyzujemy w górnym punkcie równowagi: ẋ v φ ω = x v φ ω +u (13) Na podstawie tak wyznaczonych macierzy A i B obliczamy macierz (w naszym wypadku wektor) regulatora proporcjonalnego K

19 Równania ruchu i linearyzacja Parametry regulatora wyznaczone ręcznie :

20 Równania ruchu i linearyzacja Parametry regulatora wyznaczone ręcznie :

21 Równania ruchu i linearyzacja Parametry regulatora wyznaczone ręcznie :

22 Równania ruchu i linearyzacja :

23 Równania ruchu i linearyzacja :

24 Równania ruchu i linearyzacja :

25 Równania ruchu i linearyzacja Baseny atrakcji:

26 Równania ruchu i linearyzacja Baseny atrakcji:

27 Równania ruchu i linearyzacja Baseny atrakcji:

28 Literatura: [1] H. Górecki; Optymalizacja i sterowanie systemów dynamicznych (2006, ISBN ) [2] Stephen Boyd, lecture slides (