Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Transkrypt

1 Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze 4. Równanie Master 5. Samodzielne studia: Równania Master dla procesów Markova jednorodnych w czasie i przestrzeni w granicy małych czasów. Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 1

2 Demonstracje: dyfuzja gazu po usunięciu ścianek Dyfuzja Rozkład ρ(x) N(x)/N Jednowymiarowa analiza 2

3 (kropla atramentu wstrzyknięta do płaskiego naczynia z wodą) 3

4 Twierdzenie Zastosowanie Bayesa twierdzenia Bayesa B A 1 A 6 A 5 A 4 A 2 A 3 Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych; Równanie Master o którym dzisiaj powiemy jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 4

5 Wzór Bayesa dla ciągów zmiennych losowych: gęstości i prawdopodobieństwa warunkowe dla wielowymiarowych zmiennych losowych P x 1,x 2,.,x k /x k 1,, x n ) P x 1, x 2,.,x k,x k 1,, x n ) P x k 1,, x n ) (obszerna dyskusja znajduje się w: A. Papoulis Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne Str

6 Zastosowanie teorii prawdopodobieństwa: Procesy stochastyczne (proces stochastyczny: zastąpienie skomplikowanej dynamiki układu makroskopowego (o liczbie stopni swobody rzędu liczby Avogadro) poprzez opis probabilistyczny dynamiki jedynie kilku interesujących nas stopni swobody; wpływ nieuwzględnionych stopni swobody redukujemy do praw statystycznych). Okazuje się, że w wielu interesujących przypadkach jest to możliwe. Poznamy ważną klasę takich procesów, które w literaturze nazywają się procesami Markova. x(0) Przestrzeń zdarzeń Z każdym zdarzeniem ( zmienną stochastyczną x) zwiążemy inne zdarzenie x(t), gdzie t (tutaj czas) będzie dodatkową zmienną opisującą (indeksującą) ten związek. x(t) - zmienna losowa, bądź - w naszym przypadku proces stochastyczny x(t) x(t) Ω Ω Ω Ω Ω x(t) Równania Langevina (cząstka Browna, 1907): t 0 t 1 t n-1 t n m d dt x t γ v t F t k=1 n 6

7 Procesy stochastyczne Dwa stany do obsadzenia w dowolnej chwili: dyskretny czas t 1 < t 2 < t k < t k+1 < t k+m? 7

8 pamięć Terminologia: P m/k ( / ) - prawdopodobieństwo warunkowe znalezienia układu w stanach x k+1 w chwili t k+1,.. w stanie x k+m w chwili t k+m pod warunkiem, że wcześniej był w stanach x 1 w chwili t 1.., x k w chwili t k ; symbol m/k w P m/k informuje, że mamy prawdopodobieństwo warunkowe z k stanami przed t k i m stanami po t k (zakładamy chronologię czasów jak na rysunku) 8

9 k 9

10 (proces zależy od jednej chwili czasowej wstecz) k 10

11 Proces Markova (z krótką pamięcią) krótka pamięć prawdopodobieństwo przejścia Wszystkie funkcje rozkładu można odtworzyć ze znajomości dwóch funkcji P1 /1 oraz P1 11

12 ( t t t 12

13 13

14 Proces Markova (podsumowanie) Indeksy można zmieniać t 1 t 2 Przykład równania Master 14

15 Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego (ćwiczenia): +1 (losowy telegrafista) -1 t (dwustanowy proces Markova: losowy ciąg impulsów) 15

16 Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego: Jest to matematyczny model ruchów Browna w jednym wymiarze przestrzennym (późniejszy przykład dyfuzji w kapilarze). Funkcja rozkładu P 1 jest gęstością położenia (y) cząstki podlegającej jednowymiarowej dyfuzji. (później przykład z dyfuzją w kapilarze) Przy założeniu P 1 (y 1,0) = δ(y 1 ) otrzymujemy Gaussowski rozkład położeń w chwilach późniejszych. 16

17 Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego: Tutaj zmienna `y` pełni rolę prędkości cząstki ( w jednym wymiarze) 17

18 Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego: Proces Poissona zlicza zdarzenia jakie zaszły do danej chwili; 1/λ jest średnim czasem oczekiwania na kolejne zdarzenie. Z warunku początkowego: P 1 (n 1,0) = δ, możemy wyznaczyć P 1 w dowolnej innej chwili czasowej: (funkcje P 1/1 oraz P 1 definiują proces Markova) 18

19 P 1 P 0 Stany stacjonarne: P * =W P * 19

20 Przykład 1 Pijak błądzi po nieskończonej prostej od latarni do latarni (pełne rozwiązanie-ćwiczenia): (P 1 =P) numery kolejnych latarni n+1 n n-1 0 t-1 t (czas) 20

21 Przykład 2 : dyfuzja Brownowska w kapilarze 21 Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 0 t 3 - t 1 = t t 2 - t 1 = t - t 0 t 3 - t 2 = t 0

22 Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 22 0

23 Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 23

24 24

25 Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 25 D>0 (a więc otrzymaliśmy Proces Wieniera-Levy) t 0 P x, t P / x y,t P y,0 t 0

26 26 Można sprawdzić, że P 1/1 spełnia najprostsze równanie dyfuzji (równanie Fokkera-Plancka): UWAGA: jest to szczególny przypadek ogólnego równania dyfuzji (z dryftem)

27 Dyfuzja Browna: film 27

28 Stacjonarne procesy Markova: (opisują np. fluktuacje wokół stanu równowagi) dx δ x y : delta Diraca lub Kronneckera (w przypadku dyskretnym) Równanie Master (granica małych τ) Prawdopodobieństwo pozostania w y 1 w jednostce czasu W: prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu od y 1 do y 2 28

29 Równanie Master (granica małych τ) (Prawdopodobieństwo przejścia z y 1 do y 2 w czasie τ) 29

30 prawdopodobieństwo pozostania w y 1 w jedn. czasu prawdopodobieństwo przejścia z y 1 do y 2 w jednostce czasu Wstawiamy do równania C-K-S 30

31 (Wstawiamy rozwinięcie) (pozostawiamy bez zmian) Zostawiam wyrazy liniowe w τ i τ ; dzielę przez τ i przechodzę z τ do zera Upraszczam notację: y y 31

32 Równania Master (a) dzielę przez τ i przechodzę z τ do zera Dowolny rozkład; np. jakiś początkowy rozkład prawdopodobieństwa (b) Mnożę stronami przez P 1 (y 1 ), całkuję po y 1 dzielę przez τ i przechodzę z τ do zera 32

33 Równania Master y (n) ( z rachunku perturbacyjnego ) Równanie Master: równanie zysków i strat dla prawdopodobieństw 33

34 Warunki: równowagi oraz równowagi szczegółowej (równanie Master jest równaniem na bilans prawdopodobieństw. Dla procesów jednorodnych w czasie jest to różniczkowa postać r. CKS) Warunek równowagi: w każdym stanie prawdopodobieństwa wypływające oraz wpływające `kasują się` = 0 n Warunek równowagi szczegółowej: = 0 n, n (można pokazać, że mikroskopowa odwracalność równań ruchu w czasie dla układów izolowanych implikuje spełnienie warunku równowagi szczegółowej) 34

35 Podsumowanie Równanie C-K-S jest nieliniowym równaniem wyrażającym markowowskość procesu, jednak nie zawiera informacji o żadnym konkretnym procesie Markova; W równaniu Master rozważamy prawdopodobieństwa przejść dla konkretnego systemu; znając je rozwiązujemy liniowe równania na prawdopodobieństwa (określające mezoskopowy stan układu) 35

36 (Materiał do samodzielnych studiów) 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 Dziękuję 42