STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 35, T. 2 Rober Kruszewski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY STRESZCZENIE W arykule skonsruowano model konkurencji doskonałej z nieliniową funkcją popyu i nieliniową funkcją podaży, uwzględniający heerogeniczne oczekiwania uczesników rynku co do poziomu ceny. Opisano możliwe ypy ścieżek czasowych. Zbadano akże wpływ paramerów na dynamikę modelu. Słowa kluczowe: konkurencja doskonała, równowaga, chaos deerminisyczny, bifurkacja Wprowadzenie Układy dynamiczne, w kórych opisywane zmienne przyjmują warości w dyskrenych chwilach czasu, zwane akże modelami dyskrenymi, zawsze sanowiły jedno z głównych narzędzi służących analizie i zrozumieniu zjawisk oaczającej nas rzeczywisości ekonomicznej. Szczególnym zaineresowaniem cieszą się modele nieliniowe ze względu na różnorodność dynamiki, jaka może je charakeryzować. Jes o związane z pojawieniem się nowych meod badawczych nieliniowych układów dynamicznych, będących maemayczną reprezenacją eorii ekonomicznych. Adres e-mail: rkrusz@sgh.waw.pl
26 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Narzędzia e o eoria bifurkacji i wprowadzone w połowie la 70. XX wieku, przez Li oraz Yorke a, pojęcie chaosu deerminisycznego. Odkrycie zjawiska chaosu deerminisycznego posawiło w innym świele zagadnienie wyjaśniania zjawisk ekonomicznych i przygoowywania prognoz zmiennych ekonomicznych. Zjawisko chaosu deerminisycznego, kóre może pojawić się już w bardzo prosych modelach mikroekonomicznych, rzuca nowe świało na eorię funkcjonowania rynków. Z meodologicznego punku widzenia bardzo ważny jes fak, że oo isnieje nowy yp zachowania się szerokiej klasy nieliniowych deerminisycznych układów dynamicznych, w kórych wysępuje ruch chaoyczny. Ruch en manifesuje się wysoką komplikacją rajekorii i lokalizuje się na pewnych podzbiorach przesrzeni fazowej zwanych arakorami. Badanie chaoycznej dynamiki modeli ekonomicznych, w ym modeli mikroekonomicznych, od połowy la 80. XX wieku sanowi jeden z głównych nurów badań ekonomii maemaycznej. W arykule zaproponowano nieliniowy model konkurencji doskonałej uwzględniający heerogeniczne oczekiwania co do poziomu ceny zarówno po sronie podażowej, jak i popyowej. Problemami konkurencji doskonałej zajmowali się Robins, Sigler 2 oraz Nicols 3. Analizą oczekiwań konsumenów zajmował się Kysar 4. Nieliniowe modele konkurencji doskonałej rozważali m.in. Arsein 5, Jensen i Urban 6, Hommes 7, Brock i Hommes 8, Kruszewski 9. Do zbudowania i analizy nieliniowego modelu konkurencji doskonałej użyo narzędzi ekonomii maemaycznej, w ym eorii nieliniowych układów dynamicznych z czasem dyskrenym i eorii bifurkacji. J. Robins, Wha is Perfec Compeiion?, The Quarerly Journal of Economics 934,. 49. 2 G.J. Sigler, Perfec Compeiion, Hisorically Conemplaed, Journal of Poliical Economy 957,. 65. 3 A. Nicols, The Rehabiliaion of Pure Compeiion, The Quarerly Journal of Economics 947,. 63. 4 D.A. Kysar, The Expecaions of Consumers, Columbia Law Review 2003,. 03, nr 7. 5 Z.Arsein, Irregular cobweb dynamics, Economic Leers 983,.. 6 R.V. Jensen., R. Urban, Chaoic price behaviour in a nonlinear cobweb model, Economic Leers 984,. 5. 7 C.H. Hommes, Adapive learning and roads o chaos, Economic Leers 99,. 36. 8 W.A. Brock, C.H. Hommes, A Raional Roue o Randomness, Economerica 997,. 65, nr 5. 9 R. Kruszewski, Dynamika nieliniowego modelu konkurencji doskonałej z heerogenicznymi oczekiwaniami po sronie podażowej, Przegląd Zachodniopomorski 203,., nr 3.
ROBERT KRUSZEWSKI HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY 27. Model liniowy Liniowy model opisujący dynamikę ceny na rynku doskonale konkurencyjnym jes jednym z najprosszych modeli mikroekonomicznych. Model en opisuje ewolucję w czasie ceny na pojedynczym rynku. Będzie sanowić odniesienie do modelu nieliniowego, kóry zosanie przedsawiony w dalszej części arykułu. Ze względu na specyfikę modelu nieliniowego, a dokładniej sposobu modelowania oczekiwań cenowych, w modelu liniowym założono, że srona popyowa i podażowa charakeryzują się naiwnymi oczekiwaniami. d Niech p oznacza cenę dobra w chwili, Q oznacza wielkość popyu w chwili, a Q s wielkość podaży dobra w chwili. Sandardowe założenie o równoważeniu się popyu i podaży w każdej chwili czasu zosanie zasąpione mechanizmem rynkowym, kóry kszałuje cenę, uwzględniając relaywną moc oddziaływania sił popyu i podaży na rynku. Założono, że zmiana ceny w czasie p jes wpros proporcjonalna do nadwyżkowego popyu wysępującego w chwili. Przyjmując liniowe funkcje popyu i podaży, funkcjonowanie akiego rynku jednego dobra można opisać równaniami: Q Q d s p,, 0 () p,, 0 (2) d s p p p Q Q, 0 (3) Maemaycznym modelem opisującym dynamikę rynku doskonale konkurencyjnego opisanego równaniami ()-(3) jes równanie różnicowe liniowe pierwszego rzędu: p p,,,,, 0. (4) Powyższe równanie różnicowe ma jedną równowagę sacjonarną, kóra jes punkem sałym równania (4) i spełnia warunek p p pe, gdzie pe d s jes ceną, przy kórej popy jes równy podaży ( p 0Q Q 0). Isoną kwesią jes określenie warunków, jakie muszą być spełnione, by cena równowagi była sabilna. W przypadku równania liniowego wysarczy wyznaczyć e warości paramerów badanego modelu, dla kórych rozwiązanie ogólne równania jednorodnego związanego z równaniem (4) zbiegało w długim okresie do zera lub równoważnie, by warość bezwzględna pochodnej prawej srony równania (4)
28 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII policzona ze względu na p była mniejsza od jedności. Warunek en jes spełniony gdy: 0 2. (5) Możliwe ypy ścieżek czasowych w przedsawionym modelu liniowym, w kórym funkcje popyu i podaży są liniowe, o zbieżność do równowagi (monooniczna lub z gasnącymi oscylacjami), cykliczne wahania (o okresie dwa) wokół równowagi i oscylacje o rosnącej ampliudzie. W odpowiedzi na powyższe ograniczenia modelu liniowego (uboga dynamika, rywialne arakory) nieliniowa wersja modelu konkurencji doskonałej będzie przedsawiona w dalszej części arykułu. Zmianie ulegnie sposób modelowania zarówno popyowej, jak i podażowej srony rynku. W miejsce liniowej zależności od ceny z poprzedniego okresu będzie zasosowana zależność nieliniowa uwzględniająca oczekiwania cenowe producenów i konsumenów, kórych mechanizm kszałowania będzie przedsawiony w nasępnym punkcie. 2. Oczekiwania Uczesnicy rynku są częściowo racjonalni, zn. ze względu na niewysarczającą informację i możliwości analiyczne nie są w sanie podejmować opymalnych decyzji. W zasępswie sosują prose heurysyki, kóre sprawdziły się w przeszłości. Założono, że oczekiwania po sronie podażowej i popyowej są średnią ważoną dwóch ypów oczekiwań. Pierwszy yp o oczekiwanie konynuacji obecnego rendu, a drugi o oczekiwanie odwrócenia się obecnego rendu. Zagregowane oczekiwania poziomu cen w okresie powsają na koniec okresu poprzedniego, j. okresu -, i są średnią ważoną oczekiwań konynuacji rendu ( [ ] 2 E p ) i oczekiwań odwrócenia rendu( E [ ] p ). Oczekiwania powsają w odniesieniu do długookresowej równowagi w modelu liniowym pe, kóra jes punkem sałym równania (4). Oczekiwania pierwszego ypu wyrażają się równością: e E [ p ] p p p, 0. (6) Oczekiwania drugiego ypu są opisane nasępującą regułą: 2 2 e 2 E [ p ] p p p, 0. (7)
ROBERT KRUSZEWSKI HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY 29 Założono, że większe odchylenia ceny od poziomu p e powodują zmniejszenie wagi związanej z oczekiwaniem konynuacji rendu. Konsumenci i producenci odbierają syuacje skrajne (duże odchylenia od równowagi p e ) jako niesabilne. Formalnie reguła opisująca zmienność wagi dla oczekiwań konynuacji rendu przyjmuje posać: w 2 pe p p p 2 2 e e 2, 0. (8) Osaecznie równanie opisujące zagregowane oczekiwania co do ceny przyjmuje posać: E [ p ] we [ p ] ( w ) E [ p ], 0w. (9) 2 3. Model nieliniowy Zaproponowany model konkurencji doskonałej uwzględnia dwa nowe założenia po sronie podażowej i jedno po sronie popyowej. Popy i podaż są uzależnione od oczekiwanego poziomu cen E [ ] p w okresie bieżącym, w odróżnieniu od oczekiwań naiwnych założonych w modelu liniowym. Drugim założeniem poczynionym po sronie podażowej w proponowanym modelu jes wprowadzenie górnego ograniczenia na wielkość podaży, kóre jes związane z maksymalnym poziomem produkcji, jaki może być zrealizowany przez przedsiębiorców. Możliwości produkcyjne w krókim okresie mogą okazać się niewysarczające do zaspokojenia zgłoszonego popyu. Sandardowe założenie o równoważeniu się popyu i podaży w każdej chwili czasu zosanie zasąpione mechanizmem rynkowym, kóry kszałuje cenę, uwzględniając relaywną moc oddziaływania sił popyu i podaży na rynku. Zmiana ceny w czasie p będzie wpros proporcjonalna do nadwyżkowego popyu wysępującego w chwili. Równania opisujące funkcjonowanie rynku doskonale konkurencyjnego uwzględniające przyjęe założenia przyjmują nasępującą posać: d Q E [ ],, 0 p, (0) s Q min E [ p ],,,, 0, () d s p p p Q Q, 0. (2)
30 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Maemaycznym modelem opisującym dynamikę zmian ceny na rynku funkcjonującym według zasad opisanych równaniami (0)-(2) jes nieliniowe równanie różnicowe pierwszego rzędu: p p E [ p] min E [ p],,,,,,, 0,02. (3) Powyższe równanie jes nieliniowe i dodakowo nie isnieje jego analiyczne rozwiązanie opisujące zachowanie się ceny p w każdej chwili czasu. Do analizy równania (3) zosaną użye narzędzia jakościowej eorii nieliniowych równań różnicowych Niech F: R R oznacza prawą sronę równania (3): F( p ) p E [ p] min E [ p],. (4) Odwzorowanie F zadane jes przez dwie funkcje F i ( i, 2 ), kóre są określone na podzbiorach R przesrzeni fazowej: i ( ) [ ] F p p E p R p : E [ p] [ ] F p p E p R2 p : E [ p] 2 Pierwszym elemenem jakościowej analizy równania (3) jes wyznaczenie położenia równowagi (rozwiązania sacjonarnego). Równowaga równania (3) jes punkem sałym funkcji F. By wyznaczyć wszyskie położenia równowagi modelu (3), należy wyznaczyć punky sałe funkcji F i. Punky sałe spełniają równanie: p p p cons. (5) Dla funkcji F równanie (5) jes równoważne równaniu: E [ ] p, kóre przy założeniu, że prowadzi do rów- 2 2 2 2 ( p p) w 0 w p p p p, ma- nania: e 2 2, gdzie e e e jącego dokładnie jedno rozwiązanie p =p e, gdyż równanie w sprzeczne (lewa srona jes dodania, a prawa ujemna). jes 2 2
ROBERT KRUSZEWSKI HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY 3 Dla funkcji F 2 równanie (5) jes równoważne równaniu: E [ ] p, kóre przy założeniu, że prowadzi do równania: w 22 p, mającego jeden pierwiasek p aki, że pe p e p p. Wniosek. Równanie różnicowe (3) ma jedną równowagę sacjonarną p, gdy, oraz jedną równowagę p, gdy. Kolejnym eapem analizy jakościowej badanego modelu jes usalenie warunków, jakie muszą spełniać zmienne egzogeniczne, by sany sacjonarne były lokalnie asympoycznie sabilne. Sabilność sanu sacjonarnego równania (3) zależy od warości pochodnej funkcji F, kóra wyraża się wzorem: gdzie de de [ p] dla E [ p] df( p ) dp, (6) dp de [ p] dla E [ p] dp 2. p e p e 2 p p e 2 [ ] p p 2 e 2 2 dp p p e p p e Równowaga równania (3) jes lokalnie asympoycznie sabilna, gdy warość pochodnej zadanej równaniem (6) obliczona w ejże równowadze jes, co do modułu, mniejsza od jedności. W równowadze p p e waga w i wówczas df( p ). dp
32 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Wniosek. Równowaga asympoycznie sabilna, gdy p p e równania (3) jes lokalnie 2. 4. Dynamika globalna i bifurkacje Jedną z fundamenalnych cech nieliniowych równań różnicowych jes duża różnorodność możliwych scenariuszy opisujących dynamiczne własności rozwiązań. Rozwiązania mogą zbiegać do równowagi sacjonarnej, rozwiązania okresowego lub zachowywać się chaoycznie. Rozwiązania chaoyczne są wrażliwe na małe zmiany warunku począkowego. Własność a isonie ogranicza zakres prognozy badanej zmiennej ekonomicznej i uwypukla isoność badania dynamiki nieliniowych modeli ekonomicznych pod kąem wysępowania zjawiska chaosu deerminisycznego. W dalszej części arykułu zosaną omówione wybrane elemeny dynamiki globalnej badanego modelu. Symulacje numeryczne długookresowego zachowania hipoeycznego rynku będą przedsawione na odpowiednich diagramach bifurkacyjnych, przedsawiających isniejące arakory, jako mulifunkcje wybranego parameru modelu, dla zadanego warunku począkowego (począkowej ceny). Przekraczanie obszaru lokalnej asympoycznej sabilności równowagi p wiąże się z wysępowaniem zjawiska bifurkacji lokalnych. Dla jednoparamerowej rodziny dyskrenych, jednowymiarowych układów dynamicznych sabilne położenie równowagi raci sabilność w wyniku bifurkacji podwajania okresu, gdy przy zmianie parameru bifurkacyjnego jedyna rzeczywisa warość własna macierzy linearyzacji df( p ) dp, zmniejszając swoją wielkość, przekracza -. Skukiem ej bifurkacji jes powsanie orbiy okresowej o okresie 2. W wyniku nasępujących po sobie bifurkacji podwajania okresu (kaskada podwajania okresu) mogą powsawać orbiy o okresie 4,8,6,..., a akże może wysąpić zjawisko chaosu deerminisycznego. W badanym modelu uraa sabilności nasępuje w wyniku bifurkacji podwajania okresu, gdyż dla 2 warość pochodnej df( p ) dp w położeniu równowagi jes równa minus jeden, co sanowi warunek konieczny zaisnienia ego ypu bifurkacji. Na rysunku przedsawiono diagramy bifurkacyjne analizowanego modelu ze względu na paramery charakeryzujące sronę popyową. Długookresowe zachowanie się ceny w zależności od parameru, kóry zarówno w rozważanym, jak i li-
ROBERT KRUSZEWSKI HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY 33 Rysunek. Diagramy bifurkacyjne dla paramerów i Źródło: obliczenia własne. niowym modelu odpowiada za pionowe przesunięcie krzywej popyu, widoczne jes u góry. Dla przyjęych paramerów symulacji numerycznej począkowo cena oscyluje pomiędzy dwoma warościami (sabilny cykl o okresie dwa). Przesuwanie krzywej popyu do góry powoduje, w wyniku bifurkacji podwajania okresu, pojawienie się sabilnego cykl u o okresie czery. Dalszy wzros parameru prowadzi, poprzez kaskadę podwajania okresu, do arakorów chaoycznych. Nasępnie chaoyczna dynamika zanika i obserwujemy wysępowanie arakorów cyklicznych o niskim okresie. W kolejnej fazie wzrasająca warość parameru prowadzi do obszaru chaoycznej dynamiki i w wyniku odwronej bifurkacji podwajania okresu do arakorów cyklicznych o malejącym okresie i zmniejszającej się ampliudzie. Finalnie rynek osiąga
34 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII równowagę. Dalszy wzros parameru bifurkacyjnego, zgodnie ze sayką porównawczą dp d 0, prowadzi jedynie do wzrosu ceny. Długookresowa dynamika ba- danego modelu ze względu na paramer, kóry opisuje reakcję popyu na zmiany poziomu oczekiwanej ceny (dolny diagram rysunku ), może zosać podzielona na rzy główne ypy: zbieżność do równowagi sacjonarnej, zbieżność do arakora okresowego i zbieżność do arakora chaoycznego. Scenariusz zmian w zależności od parameru przebiega jednak w odwronym kierunku niż dla parameru. Wzrasająca warość parameru wpływa desabilizująco na rynek, zn. prowadzi do cykli i arakorów chaoycznych oraz zwiększa ampliudę wahań. Rysunek 2. Diagramy bifurkacyjne dla paramerów Źródło: obliczenia własne.
ROBERT KRUSZEWSKI HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY 35 Na rysunku 2 przedsawiono diagramy bifurkacyjne analizowanego modelu ze względu na paramery charakeryzujące sronę podażową. Długookresowe zachowanie się ceny w zależności od parameru, kóry w badanym modelu odpowiada za pionowe przesunięcie krzywej podaży, jes widoczne u góry. Dla przyjęych paramerów symulacji numerycznej począkowo rynek jes w równowadze. Przesuwanie krzywej podaży do góry prowadzi do pojawienia się oscylacji oraz chaoycznej dynamiki. Ampliuda wahań jes rosnącą funkcją parameru. Długookresowa dynamika badanego modelu ze względu na paramer, kóry opisuje reakcję podaży na zmiany poziomu oczekiwanej ceny (dolny diagram rysunku 2), może zosać podzielona na rzy główne ypy: zbieżność do równowagi sacjonarnej, zbieżność do arakora okresowego i zbieżność do arakora chaoycznego. Scenariusz zmian w zależności od parameru przebiega jednak w odwronym kierunku. Wzrasająca warość parameru wpływa sabilizująco na rynek, wahania ceny (okresowe lub chaoyczne) charakeryzują się malejącą ampliudą i osaecznie wygasają, worząc przesrzeń dla równowagi sacjonarnej. Rysunek 3. Diagram bifurkacyjny dla parameru Źródło: obliczenia własne. Paramer charakeryzujący mechanizm rynkowy ma znaczący wpływ na dynamikę zmian ceny. Umiarkowana reakcja rynku na nadwyżkowy popy (τ < 0.45) działa sabilizująco i w ym obszarze zmienności ego parameru rynek, w długim okresie, zawsze będzie się oczyszczał. Nasępnie w wyniku bifurkacji podwajania
36 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII okresu pojawiają się arakory cykliczne, chaoyczne i ponownie cykliczne. Rosnąca szybkość reakcji mechanizmu rynkowego na nadwyżkowy popy rozregulowuje rynek oraz zwiększa ampliudę zmian ceny. Podsumowanie W arykule zaproponowano model konkurencji doskonałej, w kórym uwzględniono oczekiwania heerogeniczne po sronie popyowej i podażowej, będące mieszanką oczekiwań konynuacji rendu i oczekiwań odwrócenia rendu. Uwzględniono akże wpływ ograniczonych mocy produkcyjnych po sronie podażowej rynku. Dynamika skonsruowanego nieliniowego modelu jes złożona, wysępują arakory okresowe oraz wysępuje zjawisko chaosu deerminisycznego. Równowaga wysępująca w modelu liniowym jes akże sanem sacjonarnym zbadanego modelu nieliniowego. Wyznaczono warości paramerów, dla kórych równowaga sacjonarna jes lokalnie asympoycznie sabilna. Zbadano dynamikę globalną modelu za pomocą diagramów bifurkacyjnych. Wykazano, że w pewnych warunkach mechanizm rynkowy nie jes w sanie zapewnić równowagi sacjonarnej na rynku. Przyczyn akiej nieefekywności mechanizmu rynkowego należy uparywać z jednej srony w paramerach naury behawioralnej związanych z formowaniem oczekiwań, a z drugiej z paramerem charakeryzującym sam mechanizm rynkowy. Zby gwałowna reakcja mechanizmu rynkowego na nadwyżkowy popy skukuje pojawieniem się sabilnych arakorów cyklicznych i chaoycznych. Lieraura Arsein Z., Irregular cobweb dynamics, Economic Leers 983,., s. 5 7. Brock W.A., Hommes C.H., A Raional Roue o Randomness, Economerica 997,. 65, nr 5, s. 059 095. Hommes C.H., Adapive learning and roads o chaos, Economic Leers 99,. 36, s. 27 32. Jensen R.V., Urban R., Chaoic price behaviour in a nonlinear cobweb model, Economic Leers 984,. 5, s. 235 240.
ROBERT KRUSZEWSKI HETEROGENICZNE OCZEKIWANIA A KONKURENCJA DOSKONAŁA. MODEL MATEMATYCZNY 37 Kruszewski R., Dynamika nieliniowego modelu konkurencji doskonałej z heerogenicznymi oczekiwaniami po sronie podażowej, Przegląd Zachodniopomorski 203,., nr 3, s. 69 82. Kysar D.A., The Expecaions of Consumers, Columbia Law Review 2003,. 03, nr 7, s. 700 790. Nicols A., The Rehabiliaion of Pure Compeiion, The Quarerly Journal of Economics 947,. 63, nr, s. 3 63. Robins J., Wha is Perfec Compeiion?, The Quarerly Journal of Economics 934,. 49, nr, s. 04 20. Sigler G.J., Perfec Compeiion, Hisorically Conemplaed, Journal of Poliical Economy 957,. 65, nr, s. 7. HETEROGENEOUS EXPECTATIONS AND PERFECT COMPETITION. MATHEMATICAL MODEL Absrac We invesigae he dynamics of he proposed demand-supply model wih heerogeneous expecaions, and nonlinear demand and supply curves. The possible price behaviour has been described. W invesigae, how he dynamics of he model depends on parameers. Keywords: marke, expecaions, bifurcaion, chaos JEL Code: D4 Translaed by Rober Kruszewski