Model pajęczyny: Równania modelu: Q d (t)=α-βp(t) Q s (t)=-γ+δp(t-1) Q d (t)= Q s (t) t=0,1,2. α,β,γ,δ>0

Transkrypt

1 Model pajęczyny: Dorota Pawlicka Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t=0,1,2 Rozważmy rynek pewnego pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ścieżki cenowej {} na dobro aby dla każdego okresu popyt był zrównoważony przez podaż. Popyt ilość dobra jaką nabywcy są skłonni kupić w danym czasie po określonej cenie Podaż ilość dobra jaką sprzedawcy są gotowi zaoferować przy różnym poziomie cen Oznaczenia: t=0,1,2.. kolejny numer okresu Q s (t) -podaż na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra dostarczona przez producenta na rynek w okresie t) Q d (t) popyt na dobro w okresie t (liczna jednostek dobra poszukiwana na rynku w okresie t) P(t) cena za jednostkę dobra Założenia: 1. wielkość popytu Q d (t) zależy liniowo od ceny P(t) dla tego samego okresu. Zależność ta jest funkcją malejącą. Zakładamy, że Q d (t) 0 2. wielkość podaży Q s (t) zależy liniowo od ceny P(t-1) dla okresu poprzedniego. Zakładamy, że zależność jest funkcją rosnącą Q s (t) 0 3. Liniowy charakter popytu i podaży jest identyczny dla każdego okresu 4. w każdym okresie popyt równoważy podaż Równania modelu: t=0,1,2. α,β,γ,δ>0 Q d (t)=α-βp(t) Q s (t)=-γ+δp(t-1) Q d (t)= Q s (t) Uwagi: Aby równania przedstawiały ekonomiczny sens muszą być spełnione warunki nieujemności popytu i podaży. Warunki te prowadzą do zastrzeżenia, że ścieżka cenowa {} musi spełniać warunek P(t) dla t=0,1,2. w szczególności lub równoważnie βγ-αδ 0 Interpretacja parametrów: α maksymalna wielkość popytu(przy zerowej cenie) -β krańcowa wartość popytu (wrażliwość konsumentów na zmianę ceny)

2 -γ współczynnik zawierający dodatniość podaży począwszy od pewnej ceny minimalnej P(t) 0 δ końcowa wartość podaży, wrażliwość producentów na zmianę ceny Przykłady Dla podanych modeli pajęczyny funkcji popytu i podaży wyznaczyć ścieżkę cenową, zbadać jej charakter i narysować diagram pajęczyny Niech a)q d (t)=18-3p(t), Q s (t)=-3+4p(t-1), P(0)=4 b) Q d (t)=22-3p(t), Q s (t)=-2+p(t-1), P(0)=2 c) Q d (t)=19-6p(t), Q s (t)=-5+6p(t-1), P(0)=3 a) Q d (P)=18-3P Q s (P)=-3+4P(P) 18-3P=-3+4P P=3 Q d (t)=18-3p(t) Q s (t)=-3+4p(t-1) Q d (t)=q s (t) 18-3P(t)=-3+4P(t-1) P(t)= 1+7 = 4 3 Wszystkie rozwiązania równania: P(t)= 1+7 są postaci: P(t)= t=0,1,2.. aєr Szczególnego rozwiązania równania P(t)= 1+7 poszukujemy wśród funkcji stałych P(t)=c, tєr +7= =7 =3 Wszystkie rozwiązania równania są postaci: P(t)= +3 P(0)=4 +3=4 a=1 Zatem ścieżka cenowa jest postaci P(t)= +3 Jest to ścieżka rozbieżna oscylująca wokół wartości 3.

3 b) Q d (P)=22-3P Q s (P)=-2+P 22-3P=-2+P P=6 Q d (t)=22-3p(t) Q s (t)=-2+p(t-1) Q d (t)=q s (t) 22-3P(t)=-2+P(t-1) P(t)= 1+8 = 1 3 Wszystkie rozwiązania równania: P(t)= 1+8 są postaci: P(t)= t=0,1,2.. aєr Szczególnego rozwiązania równania P(t)= 1+8 poszukujemy wśród funkcji stałych P(t)=c, tєr +8= = 8 =6 Wszystkie rozwiązania równania są postaci: P(t)= +6

4 P(0)=7 +6=7 a=1 Zatem ścieżka cenowa jest postaci P(t)= +6 Jest to ścieżka rozbieżna oscylująca wokół wartości 6. c) Q d (P)=19-6P Q s (P)=-5+6P(P) 19-6P=-5+6P P=2 Q d (t)=19-6p(t) Q s (t)=-5+6p(t-1) Q d (t)=q s (t) 19-6P(t)=-5+6P(t-1) P(t)= 1+4 Szczególnego rozwiązania równania P(t)= 1+4 poszukujemy wśród funkcji stałych P(t)=c, tєr 1+4 = 2 = 4 =2 Wszystkie rozwiązania równania są postaci: P(t)= 1 +2 P(0)=3 +2=3

5 a=1 Zatem ścieżka cenowa jest postaci P(t)= 1 +3 Rozwiązanie modelu: Poszukujmy, ścieżki cenowej {} czyli ciągu spełniającego układ Q d (t)=α-βp(t) Q s (t)=-γ+δp(t-1) Q d (t)= Q s (t) i mamy: α-βp(t)=-γ+δp(t-1), stąd wobec faktu, że β>0 P(t)= 1+ X n+1 =Ax n +B Jest to równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu. Aby znaleźć wszystkie rozwiązania równanie P(t)= 1+ należy znaleźć ogół rozwiązań równania jednorodnego P(t)=- P(t-1) oraz szczególne (dowolnie wybrane) rozwiązania równania P(t)= 1+. Ogół rozwiązań równania jednorodnego jest postaci P 0 (t)=c(- )t, t=0,1,2, cϵr Szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego poszukujemy wśród ciągów stałych. Załóżmy zatem że P S (t)=k, t=0,1,2 k=- + k(1+ )= k=, stąd P S (t)= /*

6 Ostatecznie ogół rozwiązań P(t)= 1+ P(t)= P 0 (t)+ P S (t)= c(- )t +, t=0,1,2, cϵr Jeśli znamy P(0)=P 0 to P 0 =c+ => c=p 0- ostatecznie ścieżka cenowa będąca rozwiązaniem modelu Q d (t)=α-βp(t) Q s (t)=-γ+δp(t-1) Q d (t)= Q s (t) spełniająca warunek początkowy P(0)=P 0 ma postać P(t)=(P 0 - ) (- )t + jest postaci Uwaga Aby rozwiązanie miało sens ekonomiczny należy założyć że spełnia warunek P(t) w szczególności że P 0 Dalsza analiza modelu własności ścieżki cenowej Jeśli P 0 = to ścieżka cenowa jest ciągiem skończonym postaci P(t)= t=0,1,2, Zauważmy że z warunku (βγ-δα 0) wynika że P(t) t=0,1,2, Załóżmy że P 0 a). Rozważmy przypadki > 1 wtedy ścieżka cenowa jest ciągiem rozbieżnym i nieograniczonym, model począwszy od pewnego t traci sens (oscylacje dynamiczne) b) =1 wówczas ścieżka cenowa oscyluje wokół wartości P 0 ma bowiem postać $ 2 %&'()* +,*%&'()* - c) ).0,1 wtedy ścieżka cenowa jest ciągiem zbieżnym do wartości