Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym na rys... 8kN 3 q = 6 kn/m 2,3. 4. 3.. [m] Rys... Rama płaska statycznie niewyznaczalna Zanim przyjmiemy układ podstawowy metody przemieszczeń, zauważmy, że pręt -3 jest elementem statycznie wyznaczalnym. Możemy zatem wyciąć ten pręt myślowo, a następnie obciążyć pozostałą część ramy siłami, które powstaną w utwierdzeniu tego pręta. 8kN. R = 8 + 6 = 4 [kn] q = 6 kn/m [m] M = 8 + 6 2 = [knm] Teraz przyjmujemy układ podstawowy Rys..2. Statycznie wyznaczalna część ramy q = 6 kn/m 4 kn knm φ Δ,3 Rys..3. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 2 oraz związany z nim układ równań kanonicznych: { r r 2 r P = r 2 r 22 r 2 P = (.) Konstrukcja wykonana jest z profili dwuteowych o następujących wielkościach charakterystycznych przekrojów: I4HEB h=,4 m J x = cm 4,3 IHEB h=, m J x =43 cm 4 Wartości momentów w poszczególnych stanach, od jednostkowych przemieszczeń obliczamy ze wzorów transformacyjnych. Stan φ = : 4,3 φ= r r 2 3 2,3 M Rys..4. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od obrotu φ = (stan I) W stanie D = trzeba najpierw znaleźć kąty obrotu cięciw prętów ψ. W tym celu tworzymy łańcuch kinematyczny 2 Ψ 2 Δ= 4. Ψ 3.. [m] Rys... Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D = Z równań łańcucha wyznaczamy kąty obrotu cięciw prętów:
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 3 2 3 2 = 2 4 2 = = 4 2 = 3 = 3 2 a następnie rysujemy wykresy momentów: Stan Δ = : 3 3 r Δ= 2 r 22 6,3 2 6,3 2 M 2 Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od przesuwu D = (stan II) Na podstawie powyższych wielkości możemy wyznaczyć reakcje po kierunkach wprowadzonych zmiennych: z równowagi węzłów: r 2 = z równania pracy wirtualnej: r = 3 4,3 =,84 6,3 2 3 3 =,9,9 = r 22 2 6,3 4 3 3 4 2 2 3 = r 22 =,4,3 =,8 Na tym etapie obliczeń warto skontrolować wartości obliczonych współczynników r ik. Jeżeli zyskamy pewność, że są one prawidłowe, unikniemy powtórnego rozwiązywania układu równań kanonicznych. Sprawdzenia współczynników rik dokonamy, korzystając z równania pracy wirtualnej (.2). W tym celu wykorzystamy narysowane wcześniej wykresy momentów w stanach jednostkowych. L Z = L W P i i L Z = i L W = s M M ds (.2) Obliczamy pracę sił układu I (stan φ = ) na przemieszczeniach układu II (stan Δ = )
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 4 L Z =r 2 r L W = M M 2 ds (.3) L W = 2,6 2 3,9 2,24 2 3,9 3,9,3 2,2 2 3,9 3,9,8 =,9,9 =,3,3,3 Po porównaniu pracy sił zewnętrznych do pracy sił wewnętrznych otrzymujemy: r 2 = Traktując stan φ jako rzeczywisty, a zarazem wirtualny układ otrzymujemy: L Z =r r 2 L W = M M ds (.4) L W = 2,6 2 3,6,3 [ 2,24 2 3,24 3,2 2,2 2 3,2 3,24 ] =,6,24 =,84 Po wyeliminowaniu i podstawieniu obliczonych wartości do równania (.2): r =,84 Na koniec stan Δ = przyjmujemy raz jako układ I (siły) a raz jako układ II (przemieszczenia): L Z =r 22 r 2 L W = M 2 M 2 ds (.) L W = 2,9 2 3,9,3 [ 2,9 2 3,9 3,9 2,9 2 3,9 3,9 ] =,3,22,22 =,8 Po wyeliminowaniu i podstawieniu obliczonych wartości do równania (.2): r 22 =,8 Wartości współczynników macierzy sztywności pokrywają się z wyznaczonymi wcześniej, możemy przejść zatem do dalszych obliczeń. Kolejnym etapem w rozwiązywaniu zadania jest wyznaczenie reakcji od obciążeń zewnętrznych (stan P). W tym celu rysujemy wykres momentów od obciążenia zewnętrznego w układzie kinematycznie wyznaczalnym.
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 6 4 2 2 4kN 24kN knm r P r 2P 6 4 2 2 M p o Rys..7. Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego i korzystając z równania równowagi w węźle, oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy brakujące reakcje: r P = 6 42 2 = 3[kNm] W równaniu pracy wirtualnej oprócz momentów pracujących na kątach ψ trzeba uwzględnić obciążenie pracujące na przemieszczeniach: r 2 P 24 2 4 = r 2 P = 26 [kn ] Mając wszystkie współczynniki możemy wyznaczyć szukane przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych: {,84 =3,8 =26 3,74286 { = = 444,4444444 Korzystając ze wzoru superpozycyjnego M P n =M P M M 2 (.6) możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach analizowanej ramy. M = 6 42 2 2,3 3,743 6,3 2 444,44444 = 8,4287 4= 47,743 [knm] M =8 2,4287 4= 3,4286 [knm] M 2 = 3 3,743 3 3 2 444,44444 =42,4286 [ knm] W wykresie ostatecznym (rys..8) nie wolno zapomnieć o statycznie wyznaczalnej części ramy.
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 6 3 2 42,43 3,43 47,7 M p (n) [knm] Rys..8. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Obciążając poszczególne pręty wyznaczonymi momentami określamy wartości sił tnących. 42,429 knm 2 R 2 Rys..9. Przęsło -2 Najpierw poddamy analizie przęsło -2. Z sumy momentów względem punktu 2 (rys..9) możemy wyznaczyć reakcje R 2. M 2 = R 2 = 42,429 =8,4287 [kn ], Wynik ten pozwala nam na bezpośrednie wyznaczenie siły tnącej na przęśle -2, gdyż jest ona na tym odcinku stała (brak obciążenia ciągłego). Teraz zajmijmy się przęsłem -. Aby uzyskać wynik w postaci sił tnących należy wyliczyć obie reakcje R i R. q = 6 kn/m 3,429 knm R 4, α, 47,74 knm R 3, [m] Rys... Przęsło -
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 7 M : M : 47,74 3,429 R 6 4 2= R = 6,4286 [kn ] 47,74 3,429 R 6 4 2= R =2,34289 [kn ] Odcinek -3 ramy jak zauważyliśmy wcześniej jest statycznie wyznaczalny. q = 6 kn/m α -α 8 kn 3 α y Rys... Przęsło -3 Do wyznaczenia sił wewnętrznych potrzebne na będą funkcje sinus i cosinus kąta nachylenia wspornika względem poziomu. Z rysunku. odczytujemy: sin = 4 cos = 3 Zapiszmy równanie tnącej rzutując wszystkie siły wewnętrzne na kierunek prostopadły do osi belki. T =8 sin 6 y sin Z tego równania, podstawiając odpowiednio za y najpierw, a potem uzyskujemy wartości siły tnącej na końcach przęsła. T 3 =8 4 =6,4 [kn ] T 3 =8 4 6 4 =,2[kN ] Z uzyskanych wyników możemy narysować wykres sił tnących dla całej ramy.,2 6,43 + 6,4-8,4286 2,343 + T p (n) [kn] Rys..2. Wykres sił tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 8 Na koniec wyznaczamy rozkład sił normalnych: dla pręta -3 suma rzutów wszystkich sił wewnętrznych na kierunek osi pręta (rys..) prowadzi do równania: N =8 cos 6 y cos po podstawieniu za zmienną y punktów końcowych: N 3 y= =4,8 [kn ] N 3 y= =8,4 [kn ] z równowagi węzła 2 na podstawie rys..3 wyznaczamy N2: N 2 = N 2 2 8,4286 Rys..3. Siły działające na węzeł 2 z równowagi węzła (suma rzutów sił na kierunek --3): 6,429,4 8,4 8,4286 N Rys..4. Siły działające na węzeł z warunku równowagi pręta -: N =8,4 8,4287 sin =,4286 [kn ] q = 6 kn/m,429 N Rys... Rozkład sił normalnych na pręcie - N =,429 6 4 cos =29,43[kN ]
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 9 Na podstawie tych wyników narysujmy wykres sił normalnych. 8,4,43 + 4,8 + 29,43 N p (n) [kn] Rys..6. Wykres sił normalnych w układzie statycznie niewyznaczalnym W celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego. q = 6 kn/m,2 8,4 8,4286 29,429 2,3429 47,74 Rys..7. Sprawdzenie statyczne Zapisujemy trzy równania równowagi dla części konstrukcji (rys..7) obciążonej siłami zewnętrznymi i siłami wewnętrznymi: M = 8,4287 47,743 2,34286 6 4 2=,8 6 [knm] X = 6 4 8,4 cos,2 sin 29,4286 cos 2,34286 sin =,36 6 [kn ] Y = 8,4 sin,2 cos 8,4287 2,34286 cos 29,4286 sin =,72 6 [kn ] Ponieważ równania są spełnione, możemy stwierdzić, że statyczna niezmienność jest zapewniona.
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.2. Wpływ osiadań podpór Przeanalizujmy tę samą ramę w przypadku kiedy podpory doznają przemieszczeń. 3 2,3,3 m 4.,6 rad 3.. [m] Rys..8. Rama płaska statycznie niewyznaczalna doznająca przemieszczeń w podporach Ponieważ pręt -3 jest elementem statycznie wyznaczalnym, osiadania podpór nie wywołają w nim sił wewnętrznych. Dlatego pominiemy go w dalszych obliczeniach i wykorzystamy wcześniejszy układ podstawowy φ Δ,3,3 m,6 rad Rys..9. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą oraz wyznaczoną dla niego macierz sztywności. W układzie równań kanonicznych trzeba jedynie uwzględnić inne wyrazy wolne: {,84 r =,8 r 2 = W celu ich wyznaczenia obliczamy kąty obrotów cięciw prętów powstałe na skutek osiadania podpór:
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 2 ψ 2 (Δ) (Δ) ψ 4.,3 m,6 rad 3.. [m] Rys..2. Kąty obrotu cięciw prętów od osiadania podpór 2 4 2 = = 2 3 2 =,3 2 =,6 [rad ] oraz =,6 [rad ] Obliczone wartości podstawiamy do wzorów transformacyjnych i rysujemy wykres momentów od osiadań podpór, r Δ 3,6 r 2Δ 2,3,6 4,3,6 M Δ Rys..2. Wykres momentów w układzie podstawowym od osiadania podpór a następnie, korzystając z równowagi sił w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej określamy szukane reakcje: r = 3,6 2,3,6=,432 6,3 r 2,6 4 3,6 3 2 = r 2 = Znając wartości reakcji r iδ możemy wyznaczyć przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych: {,84,432 =,8 =
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 2 Wynoszą one: { =,428 3 = Korzystając ze wzoru superpozycyjnego możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach ramy. Ponieważ jedno z przemieszczeń jest równe zero wzór superpozycyjny upraszcza się: M n =M M (.7),429 M Δ (n) 8,2286-4 Rys..22. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór Wartości sił tnących wyznaczamy, podobnie jak poprzednio, analizując oddzielnie każdy pręt obciążony wyznaczonymi momentami.,287 + +,674 T Δ (n) -4 Rys..23. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór Siłę normalną N wyliczymy na podstawie warunku równowagi sił w węźle (rys..24).,6743,2874 N Rys..24. Siły działające w węźle
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 3 Po zrzutowaniu wszystkich sił na kierunek pręta - otrzymujemy: N =,287 sin =,82286 [kn ] a normalna w przęśle -2 jest, tak jak poprzednio, równa zeru. -,82287 N Δ (n) -4 Rys..2. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór Ponownie jak w poprzednim przypadku w celu sprawdzenia poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego:,2874,6743,82287 8,2287 Rys..26. Sprawdzenie statyczne w ramie obciążonej osiadaniami podpór Trzy równania ułożone dla części ramy obciążonej tylko siłami wewnętrznymi: M = 8,2287 8,287=,2 6 [knm] X =,82287 cos,67426 sin =,2 7 [kn ] Y =,82287 sin,67426 cos,2874= 2,4 7 [kn ] są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń.
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 4.3. Wpływ temperatury Ponownie poddajmy analizie tę samą ramę, tym razem obciążając ją termicznie. -2 C,3 4 C 3 2 C 2 Rys..27. Rama płaska statycznie niewyznaczalna obciążona temperaturą Podobnie jak w przypadku osiadań, temperatura nie wywoła sił przekrojowych w statycznie wyznaczalnym pręcie -3. Dlatego, aby wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych, powstałych na skutek działania temperatury, ponownie wykorzystamy wcześniej przyjęty układ podstawowy i związaną z nim macierz sztywności. φ 4 C Δ -2 C,3 2 C Rys..28. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą Działanie temperatury należy rozdzielić na dwa przypadki: nierównomiernego i równomiernego ogrzania. Aby wyznaczyć reakcje od nierównomiernego ogrzania trzeba znaleźć zależności temperaturowe na poszczególnych prętach układu: t= t g t d t =4 o C t 2 =2 o C (.8) Dalej tworzymy wykres momentów odkładając po stronie zimniejszej na poszczególnych prętach momenty o t wartości t dla pręta obustronnie utwierdzonego i 3 h 2 t t dla pręta z przegubem (tabela 4.). h Zakładamy, że konstrukcja wykonana jest ze stali, dla której współczynnik rozszerzalności termicznej wynosi: [ t =,2 o C ]
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY r Δt 2 r 2Δt,3 4 α t, -,3 4 α t,, 2 α t,4 M Δt Rys..29. Wykres momentów w układzie podstawowym od różnicy temperatur Dt Korzystając z równowagi w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy reakcje: r t =,3 4, t 3 2 2,4 t =334,2874 t r 2 t 4 3 2 2,4 t 3 2 = r 2 t =32,4287 t Drugim przypadkiem obciążenia jest równomierne działanie temperatury. Temperaturę w prętach układu obliczamy jako różnicę pomiędzy temperaturą średnią i temperaturą montażu: t= t t g d t 2 m (.9) Przyjmując t m = o C otrzymujemy: φ t 2 =2 C 2 Δ t =- C,3 Rys..3. Układ podstawowy obciążony temperaturą t W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów tworzymy łańcuch kinematyczny uwzględniający wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji:
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 6 2 ψ 2 (t) ψ (t) 4. 3.. [m] Rys..3. Kąty obrotu cięciw prętów od równomiernego ogrzania t 2 4 t o t C 3 2 t 2 o t C = = 7, t t 2 3 t o t C 4 t 2 = 2 =2, t t Dysponując kątami ik możemy narysować wykres momentów (rys..32) 6,3 7, α t r t 3 2, α t 2 r 2t 6,3 7, α t M t Rys..32. Wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury t o a następnie wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu: r t = 6,3 7, t 3 2, = 6,3, =4,8 t t t r 2 t 2 6,3 t 4, t 2 3 = r 2 t = 3,37 t Po zsumowaniu otrzymanych reakcji od t i Δt tworzymy układu równań kanonicznych: {,84 334,2874 4,8 = t,8 32,4287 3,37 t = i wyznaczamy wartości przemieszczeń w ramie obciążonej temperaturą:
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 7 { = 4,8448633 3 =,9989 3 Korzystając z wzoru superpozycyjnego (.) wyliczamy wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach ramy. M T n =M t M t M M 2 (.) M = 4,3 6,3,3 4 4, 6,3 t 7, t M = 3,9876,64466 4,472,23498=2,736793 [knm] M = 2,3 6,3,3 4 4, 6,3 t 7, t M =,7993826,64466 4,472,23498= 4,378866 [knm] M 2 = 3 3 3 2 3 2 2,4 t 3 2, t M 2 = 8,996928,64466 7,9987,79= 2,736793 [knm] 2,737-2,737-4,379 M T (n) [knm] Rys..33. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od temperatury Podobnie jak poprzednio tworzymy wykres sił tnących,4739 +,3284 + T T (n) [kn] oraz sił normalnych (równoważąc węzeł ): Rys..34. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY 8,3284496,47383 N Rys..3. Siły działające w węźle N =,47383 sin =,43789 [kn ],479867 - N t (n) [kn] Rys..36. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym I w tym przypadku w celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.,4739,437887 4,37887,3294 Rys..37. Sprawdzenie statyczne Zapisujemy trzy równania, które powinny zapewnić statyczną niezmienność: M = 4,378866 8,473826=3 8 [knm] X =,4378866 cos,328449 sin =6 9 [kn ] Y =,4378866 sin,328449 cos,473826 = 2 9 [kn ] Jak widać wszystkie sprawdzenia są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń w przyjętym algorytmie rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń.