ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 4 Seria: TRANSPORT. 83 Nr ko. 94 Marek FLIGIEL KRYTERIA KSZTAŁTOWANIA NAJWYGODNIEJSZEJ KONSTRUKCJI NOŚNEJ W PODSTAWOWYM STANIE OBCIĄŻENIA ROZCIĄGANIA I ZGINANIA Strescenie. W artkue ropatruje się krteria optmanego kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej da prpadku prostego rociągania i ginania. Jako wiekości krteriane prjmuje się minimaną wartość potencjanej energii deformacji i możiwie równą wgędną objętościową wartość potencjanej energii deformacji w całej objętości eementu konstrukcjnego ora długość diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej. Jako krterium iościowe długości diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej prjęto całkę funkcji bewgędnch naprężeń okreśoną da stałej objętości konstrukcji. Słowa kucowe: wiekości krteriane, najwgodniejsa konstrukcja nośna, długość diałania sił CRITERIA OF THE FORMATION OF THE MOST CONENIENT LOAD-BEARING STRUCTURE IN THE BASIC LOAD STATE: TENSION AND BENDING Summar. In this stud, the criteria of an optima formation of the most convenient oadbearing structure for the case of simpe tension and bending are considered. As the criteria quantities, the foowing are accepted: the minimum vaue of the potentia energ of deformation and a possib equa reative voumetric vaue of the potentia energ of deformation in the entire voume of a structura eement and the activit duration of the interna forces of the oad-bearing structure. The integra of the function of absoute stresses, which is determined for the constant voume of the structure, was accepted as a quantitative criterion of the activit duration of the interna forces of the oad-bearing structure. Kewords: criteria quantities, the most convenient oad-bearing structure, duration of the activit of forces. WPROWADZENIE Jednm krteriów okreśającch jakość konstrukcji jest jej materiałochłonność i stwność. Ma to scegóne nacenie w konstrukcjach, w którch reacja masa stwność ma asadnic wpłw na wtrmałość i dnamikę konstrukcji, np. w robototechnice, Department of Mechanica Engineering Kosain Universit of Technoog, Kosain, Poand, e-mai: marek.figie@tu.kosain.p
74 M. Figie w konstrukcjach atającch, w układach drgającch itp. Najwgodniejsą konstrukcją nośną jest najbardiej stwna konstrukcja wkonana adanej iości materiału o okreśonch własnościach funkcjonanch ora prekaująca obciążenia ewnętrne cnne i bierne po możiwie krótkich wewnętrnch drogach ich płnięcia [-3]. Pojęcie najwgodniejsej konstrukcji nośnej odnosi się arówno do pojedncego eementu konstrukcjnego, jak i do całej łożonej konstrukcji nośnej. W prac ropatruje się krteria optmanego kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej da prpadków obciążeń statcnch w akresie stosowaności prawa Hooke a da rociągania i ginania. Jako krterium najwięksej stwności prjęto minimaną wartość potencjanej energii deformacji i możiwie równą wgędną objętościową wartość potencjanej energii deformacji w całej objętości eementu konstrukcjnego [4]. Następnm krterium jest długość diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej. Długość diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej Q jest roumiana jako płnięcie sił wewnętrnch po możiwie krótkich wewnętrnch drogach. Jako krterium iościowe długości diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej prjmiem całkę funkcji bewgędnch naprężeń p, okreśoną da objętości =const całej konstrukcji []: Q = p d = min () Jeżei stan naprężeń wewnętrnch jest stanem łożonm, to całka () prjmie postać: Q = σ red d = min () gdie: red jest naprężeniem redukowanm wnaconm na podstawie jednej hipote wtężeniowch.. NAJWYGODNIEJSZA KONSTRUKCJA PRZY ROZCIĄGANIU LUB ŚCISKANIU.. Pręt o stałm prekroju poprecnm Ropatrm jednowmiarow eement konstrukcjn pokaan na rsunku, jakim jest pręt o długości ==const, pou prekroju A =A =const, objętości =A =const, rociągan statcną siłą F=const. F A d = Rs.. Długość diałania sił wewnętrnch Q, całkowita energia odkstałcenia sprężstego U, energia wgędna w jednostce objętości u Fig.. Duration of the activit of interna forces Q, tota energ of eastic deformation U, reative energ in voume unit u F Q =F=const F U = E A F u = E A
Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 75 Długość diałania sił wewnętrnch Q da sił N =F jest okreśona na podstawie całki (): skąd po scałkowaniu otrmam: = N σ d = A d A (3) Q Q == F (4) Całkowita energia odkstałcenia sprężstego U i wgędna u w jednostce objętości pręta odpowiednio wnosi: F F U =, E A E A u =. (5) Załóżm, że pręt jest wkonan materiału o modue Younga E i jest rociągan siłą F= [kn] ora ma prekrój prostokątn o wmiarach: serokość b =, [m], wsokość h =, [m], długość =, [m]. Da powżsch danch mam: - objętość: =8,4-3 [m 3 ], - długość diałania sił: Q = [Nm], - całkowitą energię odkstałcenia sprężstego: U =8,3 3 /E [MJ], - energię wgędną w jednostce objętości: u =94,5 3 /E [MJ/m 3 ], - wdłużenie sprężste: =,() /E [m], - naprężenia normane: =,39 [MPa]. Z aeżności (4) i (5) wnika, że wgędna energia u w całej objętości jest równomiernie rołożona ora długość diałania sił wewnętrnch Q jest funkcją iocnu sił rociągającej (ściskającej) i długości pręta. Pręt rociągan (ściskan) o stałm prekroju poprecnm jest eementem konstrukcjnm najbardiej stwnm o równomiernie rołożonej wgędnej objętościowo potencjanej energii deformacji... Pręt o miennm iniowo prekroju Ropatrm długość diałania sił i energię sprężstą w pręcie o miennm iniowm prekroju, pokaanm na rsunku. Pręt o długości ==const ma kstałt stożka ściętego o prekroju prostokątnm wbraniem w środku. Prostokąt w dowonm prekroju ma następujące wmiar: ewnętrną serokość b =const i wewnętrną b w =const, ewnętrną wsokość H (), a wewnętrną (). Posukiwana jest funkcja mian wsokości =(), pr której pręt będie najwgodniejsą konstrukcją, tj. spełniającą krterium najmniejsej długości diałania sił wewnętrnch i najwięksej stwności. Wmiar ewej podstaw są następujące: ewnętrne b H =const i wewnętrne b w (); prawej: ewnętrne b H =const i wewnętrne b w ( ).
7 M. Figie H A F H H F H b w b = d Rs.. Pręt rociągan o iniowo miennej wsokości prekroju poprecnego Fig.. Bar being stretched with a inear changeabe height of the cross section Infinitemana objętość pręta jest równa d=a d. Z geometrii prekroju pręta o współrędnej wnika, że poe prekroju poprecnego jest okreśone aeżnością: skąd: [( H - H ) + H ]b -(b - bw ) A = () [(H - H ) + H ]b -(b - bw ) d = d (7) Naprężenia normane w prekroju o współrędnej wnosą: a długość diałania sił wewnętrnch jest równa: Q σ F = (8) {[(H - H ) + H ]b -(b - b ) } F {[(H - H ) + H ]b -(b - bw ) } = σ d = d = F {[(H - H ) + H ]b -(b - b ) } (9) Da danej sił rociągającej (ściskającej) F długość diałania sił wewnętrnch Q nie aeż od poa prekroju poprecnego A i funkcji wsokości (), tj. od wsokości prostokątnego prekroju poprecnego pręta, aeż natomiast od długości pręta. W ceu uproscenia prekstałceń do dasej anai ałóżm, że pręt jest rociągan taką samą siłą F= [kn], ma taką samą długość ==, [m] i objętość = = =8,4-3 [m 3 ] ora jest wkonan tego samego materiału co w poprednim prkładie. Poostałe wmiar są następujące: serokość b =,8 [m], b w =,4 [m] wsokość H =,8 [m] i H =, [m]. Podstawiając powżse dane, dostaniem: w w σ =,53 + [Pa] (),8 -,9,53+,8-,9 d = d= (,8+,( )-,8)d (), Potencjana energia deformacji U i wgędna u w jednostce objętości awarta w pręcie jest odpowiednio równa: U, 44 = σ d d E = E [J] () (,53+,8 -,9)
Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 77 u σ 44 = = E [J/m 3 ] (3) E (,53+,8 -,9) Z aeżności () wnika, że rokład potencjanej energii deformacji w objętości jest funkcją wsokości (). Ponieważ długość diałania sił wewnętrnch Q nie aeż od =(), więc do naeienia funkcji =() dającej ekstremum energii odkstałcenia sprężstego ograniceniem równościowm na objętość pręta = = =8,4-3 [m 3 ] wkorstam funkcjonał Lagrange a. Ogranicenie apisem w postaci równościowej, skąd otrmam funkcję:, Φ () = (,8+,( ) -,8) d- = (4) Zakładając funkcjonał Lagrange a da wnacenia ekstremum warunkowego potencjanej energii deformacji ograniceniem (4), dostaniem:,, L = d λ [,8,( ) -,8]d- E + (,53,8 -,9) + (5) + Z ekstremum warunkowego funkcjonału (5) mam: =,53+,8 -,9-8,4 λ L - 3 skąd po prekstałceniach otrmam funkcję: = () = ( ) =, 7+, 3(3) (7) Da powżsch danch i funkcji (7) mam: - objętość: =8,4-3 [m 3 ], - długość diałania sił: Q = [Nm], - całkowitą energię odkstałcenia sprężstego: U =8,3 3 /E [MJ], - energię wgędną w jednostce objętości: u =94,5 3 [MJ/m 3 ], - wdłużenie sprężste: =,() /E [m], - naprężenia normane: =,39 [MPa]. Z powżsch obiceń wnika, że wartości krteriane najwgodniejsej konstrukcji da prekroju prostokątnego iniowo miennego są takie same jak da pręta o stałm prekroju..3. Pręt o nieiniowości geometrcnej prekroju Jako następn prkład prjmiem pręt jak na rsunku, o miennej paraboicnie wsokości =,7+a. Da objętości pręta 3 = =8,4-3 [m 3 ] współcnnik kierunkow a=,(), skąd funkcja =,7+,(). Da danch i funkcji =,7+,() mam: - objętość: =8,4-3 [m 3 ], - długość diałania sił: Q 3 = [Nm].
78 M. Figie a) b) Rs. 3. Pręt o nieiniowości geometrcnej: a) miana naprężeń wdłuż pręta, b) miana wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji wdłuż pręta Fig. 3. Bar with geometrica non-inearit: a) change of stresses aong the bar, b) change of reative voumetric potentia energ of deformation aong the bar Całkowitą energię odkstałcenia sprężstego wnacam aeżności: U 3, = σ d ( ) d E = E -3 [J] (8) 8,4 +,8 -, Po podstawieniu danch do (8) i scałkowaniu całkowita energia odkstałcenia sprężstego wnosi U 3 =,7 /E [MJ] i jest więksa od energii prętów ropatrwanch w rodiałach. i.. Naprężenia i jednostkowa potencjana energia deformacji u są okreśone aeżnościami: σ = -3 [Pa] (9) 8,4 +,8 -, u σ 44 = = -3 [J/m 3 ] () E E (8,4 +,8 -, ) Na wkresach rsunku 3a i 3b pokaano mianę naprężeń () wdłuż pręta i wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji u (). Rokład wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji w pręcie o nieiniowm prekroju poprecnm nie jest stał, mienia się wdłuż długości pręta. Pręt nie spełnia krterium równej wgędnej potencjanej energii deformacji w objętości, a więc nie spełnia jednego krteriów najwgodniejsej konstrukcji nośnej. Wdłużenie bewgędne wnosi:, Δ3 = d E -3 [Pa] () 8,4 +,8 -, Po podstawieniu danch i scałkowaniu otrmam 3 =4,7 /E [m]. Wdłużenie całkowite również jest więkse od wdłużenia prętów ropatrwanch w rodiałach. i..
d Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 79 3. NAJWYGODNIEJSZA KONSTRUKCJA PRZY ZGINANIU 3.. Beka o niemiennm prekroju prostokątnm ginana stałm momentem Ropatrm eement konstrukcjn pokaan na rsunku 4, jakim jest beka o prekroju prostokątnm, długości ==const, pou prekroju A =A =b h, objętości = =A = b h =const, ginana stałm momentem M=const. M M da =b 4 d d d = b h Rs. 4. Beka o niemiennm prostokątnm prekroju ginana stałm momentem Fig. 4. Beam with an invariabe rectanguar cross section of bending with constant moment Da prekroju prostokątnego i momentu gnącego M g =M pokaanego na rsunku 4 długość diałania sił wewnętrnch Q jest okreśona na podstawie całki (): M g Q = σ d = d J. () Dwójka pred nakiem całki wnika e naków naprężeń, górne inie sił są ściskane, done rociągane. Całka () da takiego rokładu naprężeń i smetrii prekroju wgędem głównch centranch osi bewładności jest równa eru, stąd obicenia po wartości bewgędnej da jednej stron ściskanego ub rociąganego prekroju. Da górnej i donej warstw inii sił infinitemana objętość pręta jest równa d=da d=b d d, a moment bewładności prekroju J =b h 3 /, stąd: h 4 M Q = 3 d d (3) h 3M 3M b Q = = (4) h Na podstawie (4) możem stwierdić, że długość diałania sił wewnętrnch Q da momentu gnącego M g =M=const aeż od wsokości h prekroju prostokątnego i długości beki ub, pr spełnieniu warunku = =b h =const, od serokości b i długości beki. Wgędna objętościowa energia odkstałcenia sprężstego jest równa: h 4 h σ 77M 77M u = = = (5) E Eb E Na wartość energii u w najwięksm stopniu wpłwa wsokość prekroju. Akumuacja jednostkowej objętościowej energii wdłuż wsokości jest funkcją hiperboicną. Również da stałej objętości i da =const akumuacja jednostkowej energii najbardiej się mienia wra e mianą wsokości prekroju.
8 M. Figie Całkowitą energię odkstałcenia sprężstego wnacam aeżności: 3 M M U = Mgd E J = = () Eb h E h Wartość energii U mienia się hiperboicnie wra e wrostem wsokość prekroju. Średnia wartość wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji jest równa: h M U sr = (7) E i mienia się również według hiperboi drugiego stopnia. Zaeżność, da =const, międ całkowitą potencjaną energią deformacji U i długością diałania sił Q jest następującą: a pomięd Q i U : M Q U = (8) Eh Eh M Q = U. (9) Z aeżności (9) wnika, że wra e więksaniem się długości pręta długość diałania sił Q maeje pr poostałch niemiennch wiekościach, natomiast mniejsając wsokość h, również możem osiągnąć mniejsenie wartości Q. Da energii odkstałcenia sprężstego U, opisanej aeżnością (8), powżse mian powodują wrost wartości energii. Pr konstruowaniu beki o stałej objętości bardiej ceowe jest jej wdłużenie niż mniejsanie wsokości, ponieważ prrost całkowitej energii odkstałcenia sprężstego U i długość diałania sił Q będą sbciej się mieniać, a tm samm taka beka kasfikowana według krteriów podanch w rodiae będie awse wgodniejsą konstrukcją. Zmiana wsokości beki ma odwrotn wpłw na energię U. Powżse mian h i prowadą do preciwstawnch mian krteriów najwgodniejsej konstrukcji. W ceu uproscenia prekstałceń prjmiem następujące dane: b =,8 [m], h =,9 [m], =, [m], =8,4-3 [m 3 ]. Da powżsch danch mam: - aeżności (4), długość diałania sił wewnętrnch: Q =4 M [Nm], - aeżności (), potencjaną energia deformacji: U =3,457 M /E [kj], - aeżności (5), wgędną objętościową energią deformacji: u =,4 M /E [MJ/m 3 ]. 3.. Beka o miennm prekroju prostokątnm ginana stałm momentem W procesie konstruowania w więksości prpadków długość beki wnika własności funkcjonanch konstrukcji, datego jako mienną można prjąć wsokość beki ub jej serokość. Jako mienną prjmiem wsokość beki. Ropatrm bekę pokaaną na rsunku 5. Beka ma prekrój prostokątn o miennej wsokości h, długości ==const, infinitemanm pou prekroju da =b d i objętości d=a d = b d d ora całkowitej objętości =const, jest ginana stałm momentem M=const.
Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 8 h h H H() d d da =b d b M = d M Rs. 5. Beka o miennm prekroju prostokątnm ginana stałm momentem Fig. 5. Beam with a variabe rectanguar cross section of bending with constant moment Da prekroju prostokątnego o miennej wsokości h i momentu gnącego M g =M=const pokaanego na rsunku 5 długość diałania sił wewnętrnch Q wnacm aeżności: Q Mg 4M = σ d = d = d J b 3 (3) (h ) skąd po wstawieniu infinitemanch wiekości otrmam: Q = 3M d 3d h Da danego prekroju o współrędnej wsokość h jest stała i równa h =H +a. Współcnnik kierunkow a funkcji połow wsokości całkowitego prekroju jest współcnnikiem posukiwanm, pr którm wartość długości diałania sił wewnętrnch Q i potencjana energia deformacji U pr stałej objętości będą ekstremane. Wstawiając h =H +a do całki (3), otrmam: h H + d Q = 3M 3d h Po scałkowaniu i prekstałceniach otrmam aeżność na okreśenie długości diałania sił wewnętrnch: Potencjaną energię deformacji wnacm całki: a (3) (3) 3M H + a Q = n (33) a H = M = M U d 3 d (34) E J ( ) E b (h ) Po podstawieniu h i scałkowaniu wrażenia (34) dostaniem aeżność: U 3M a = [ - ] (35) 8Eb H ( H + a) Wgędna objętościowa potencjana energia deformacji jest okreśona aeżnością: σ 9M u = = E (3) 8Eb ( H + a)
8 M. Figie 3M gdie naprężenia w dowonm prekroju są równe σ = 3. b( H + a) Objętość jest równa: a = b d + d = b ( H + ) (37) H a W ceu okreśenia wartości współcnnika a i uproscenia prekstałceń do dasej anai ałóżm następujące dane: objętość = =8,4-3 [m 3 ]=const, serokość b =,8 [m], wsokość H =,8 [m] i =, [m]. Podstawiając powżse dane na podstawie (33-37), dostaniem: 3M Q = n(+,5a ) (38) a U M = 75, 78 (4) (,8+ a) E u =, 53+, 7a. (4) Funkcja równościowa ogranicenia na objętość =const jest równa: -3 Φ( ) = - =, 7, 7a (4) + Zestawiając funkcjonał Lagrange a, otrmam: M a = 4,875 [5,5- ] (39) E (,8+,a ) 3M M a -3 L = n(+,5a ) + 4,875 [5,5- ] λ(, 7, 7a ) a E + + (43) (,8+,a ) i okreśając ekstremum warunkowe, aeżności L - =, 7 3 +, 7a = wnacm λ posukiwan współcnnik kierunkow a, któr jest równ a=-,5833. Ujemn współcnnik a onaca, że beka węża się w kierunku dodatniej osi. Na podstawie współcnnika a=-,5833 odpowiednio wnacam: - aeżności (38), długość diałania sił wewnętrnch: Q =53,47 M [Nm], - aeżności (39), potencjaną energię deformacji: U =9,5 M /E [J], - aeżności (4), wgędną objętościową energię deformacji u da: =, u ()=7,5 M /E [MJ/m 3 ], =,, u (,)=75,3 M /E [MJ/m 3 ]; - aeżności (4), długość diałania sił wewnętrnch:q =4 M [Nm], - aeżności (), potencjaną energię deformacji: U =3,457 M /E [kj], - aeżności (5), wgędną objętościową energię deformacji: u =,4 M /E [MJ/m 3 ]. Z powżsch danch wnika, że pr stałej objętości beek wartości krteriane, długość diałania sił wewnętrnch Q i potencjana energia odkstałcenia U da prekroju iniowo miennego są więkse niż da beki o stałm prekroju. Beki o stałm prekroju ginane stałm momentem są najwgodniejsmi eementami konstrukcjnmi.
Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 83 4. WNIOSKI Na podstawie preprowadonch anai prostego rociągania i ginania prętów prostch można stwierdić, że:. da rociąganego (ściskanego) pręta o dowonm prekroju prostokątnm wartość krteriana najmniejsej długości diałania sił jest stała,. eement rociągan (ściskan) o stałm prekroju spełnia dwa krteria najwgodniejsej konstrukcji, 3. pręt rociągan o nieiniowości geometrcnej spełnia krterium najmniejsej długości diałania sił, ae nie spełnia krterium najwięksej stwności i nie jest eementem e wgędów konstrukcjnch najwgodniejsm, 4. da ginania prostego beki o stałm prekroju wartości krteriane są minimane, a więc taki eement e wgędów konstrukcjnch jest najwgodniejs, 5. ginane beki o miennm iniowo prekroju nie spełniają krteriów najwgodniejsej konstrukcji nośnej. Bibiografia. Figie M.: Optmane kstałtowanie struktur eementów konstrukcjnch tpu tarca. Acta Mechanica et Automatica, vo. 3, No., 9, s. -4.. Figie M.: Formation of the most optima supporting construction in a two-dimensiona state of oad. Internationa Journa of Appied Mechanics and Engineering, vo. 7, No. 3,, Universit Press, Zieona Góra, Poand, p. 799-8. 3. Bendsøe M.P.: Optima Materia Distribution Optima shape design as a materia distribution probem Struct. Optimiation, 989, p. 93-. 4. Zaewski W., Kuś S.: Wtrmałościowe kstałtowanie konstrukcji na minimum ciężaru. Inżnieria i Budownictwo, nr 9, 995, s. 479-483.