MECHANIKA BUDOWLI. Architektura sem. II letni Wykład VII. dr inż. Marek BARTOSZEK. KTKB p.126 WB

Transkrypt

1 MECHANIKA BUDOWLI Arcitektura sem. II letni Wkład VII dr inż. Marek BARTOSZEK KTKB p.16 WB ttp://kateko.rb.polsl.pl/ Za wsstkie uwagi odnośnie poniżsc wkładów gór diękuję. Jeśli ktoś cciałb wkorstać te materiał to prosę o kontakt.

2 Podstawowe prpadki wtrmałościowe Prpadki wtrm. roważam tlko w układie OXY osi głównc bewładności! Nawa prpadku Osiowe rociąganie / ściskanie Zginanie M 0 proste (jednokierunkowe) ukośne (dwukierunkowe) Mimośrodowe roc. / ścisk.-nie (lub ginanie e ścisk. / roc.) Ścinanie Skręcanie Wbocenie pr ściskaniu 0 sił wewnętrne Naprężenia N (N) OXY to jest układ osi głównc bewładności M albo M (M) lub (M) M ( M, M ) (M, M) (P, p, p) lub (M, N) (P, p, p), (M, N) (T lub T) τ(t) lub τ(t) Ms τs(ms) N<0 kr(pkr)

3 Podstawowe prpadki wtrmałościowe Rociąganie (lub ściskanie) osiowe N 0 gd M=0 N>0 to rociąganie N<0 to ściskanie dr inż. Marek Bartosek 3

4 Rociąganie / ścisk. osiowe N 0 M=0 T=0 Poprednio pokaano jak obciążenie P, prłożone w osi pręta N=±P, rokłada się na całą powiercnię prekroju poprecnego, w postaci naprężenia normalnego: =N/A. Jest to podstawow prpadek obciążenia nawan w ależności od naku sił osiowej N: - rociąganiem osiowm N>0 - ściskaniem osiowm N<0. 4

5 Rociąganie / ścisk. osiowe N 0 M=0 T=0 R=P α P α Ν P Nα I α α A L L + N>0 rociąganie ściskanie gd N<0 P II b N, = f d A Naprężenia normalne w całm prekroju są tu stałe: α α > to warunek wtrmałościow, = I = II = Warunek wtrmałościow apewnia, że prekrój A będie wstarcająco duż w stosunku do obciążeń N=±P, ab naprężenia (,,) w dowolnm miejscu rociąganego pręta nie prekrocł wtrmałości materiału fd. Jeśli materiał ma różną wtrmałość na ściskanie fc i rociąganie fr, to należ wbrać właściwą w ależności od naku naprężeń, cli sił osiowej. 5

6 Rociąganie / ścisk. osiowe N 0 M=0 T=0 R=P α α P α u 0 u(α) L L + L u(α) to poiome premiescenie punktów wdłuż osi pręta na skutek rociągania. α NL L= ma EA Im dalej od podpor, tm więkse premiescenie punktów wdłuż osi pręta. Najwiękse premiescenie końca pręta odpowiada jego wdłużeniu L. Maksmalne premiescenia mogą bć ogranicone, np. do wartości podanc w normie, lub e wględów konstrukcjnc. Ogranicenie premiesceń realiuje się a pomocą powżsego warunku stwności. 6

7 Rociąganie / ścisk. Osiowe N 0 Wpłw termicne równomierne ogranie Ts>0 α Wdłużenie Lt pręta spowodowane Τ >0 R=0 α Lt L ograniem o T wględem pierwotnej temperatur, dla której mierono długość L: L t = L T t Jeżeli statcnie wnacaln pręt ogrejem równomiernie e wsstkic stron, to wdłuż się proporcjonalnie do temperatur o jaką ostał ogran T, pocątkowej długości L ora współcnnika roseralności liniowej αt. Współcnnik roseralności liniowej αt jest carakterstcn dla danego materiału (1.e-5 dla stali i 1.0e-5 dla betonu) określa wdłużenie pręta o jednostkowej długości, ogranego o jeden Kelwin (lub stopień Celsjusa): t [ 1 K lub 1 o C ] 7

8 Rociąganie / ścisk. Osiowe N 0 Wpłw termicne równomierne ogranie Ts>0 α Wdłużenie Lt pręta spowodowane ograniem : Τ >0 R=0 α α Lt L Τ >0 Rt=-Nt α Lt = L T t Rt ora : skąd : NL L= EA L= Lt Jeżeli równomiernie ogrejem pręt statcnie niewnacaln, to podpor uniemożliwią jego wdłużenie. Wówcas w pręcie pojawia się siła osiowa Nt a w podporac pojawiają się reakcje Rt o wartości równej sile osiowej. Wartość sił osiowej Nt odpowiada sile Rt, którą należ prłożć do pręta statcnie wnacalnego ab ścisnąć go do pierwotnej długości L, cli 8 o wartość L równą wdłużeniu termicnemu Lt, lec o preciwnm naku.

9 Prkład osiowego rociągania lub osiowego ściskania Litewka str.15 rs.3.5 ściskane, smetrcnie obciążone, słup kolumnad rociągan tron śrub Na podstawie: Misiak str.167 rs.9.15 ściskana kolumna rociągan tron śrub rociągane cięgna podtrmujące adasenie Prak str.143 rs.6-5 dr inż. Marek Bartosek Autor str.??? rs.?.? 9 Autor str.??? rs?.?

10 Prkład elementów pracującc jako osiowo rociągane Prkład konstrukcji, w którc wstępuje scególn rodaj elementów, prenosącc włącnie sił rociągające: lin i kable - ogólnie cięgna. Są to element cienkie i wiotkie, coć podobną funkcję mogą spełniać pręt o dużc wmiarac poprecnc (np. wiesak dr inż. Marek Bartosek w konstrukcjac drewnianc). 10

11 Prkład elementów pracującc jako osiowo rociągane Pomost mostu wisącego podwieson jest na linac do grubej lin lub kabla. Każda lina jest równomiernie obciążona po długości ciężarem własnm, diałającm awse w dół. Główna lina jest dodatkowo obciążona w równc odstępac siłami skupionmi prekaującmi się lin podtrmującc pomost dr inż. Marek Bartosek 11

12 Prkład prętów kratownic jako elementów osiowo obciążonc Kratownica jest scególnc rodajem konstrukcji, w której akłada się, że: - jej pręt są połącone pregubowo, - obciążenia prłożone w węłac. Takie uproscenia powodują, że w prostc prętac kratownic wstępują tlko sił osiowe rociągające lub ściskające. dr inż. Marek Bartosek 1

13 Uproscenie scematu kratownic ułatwiające oblicenia W recwistości węł kratownic są dalekie od idealnc pregubów ale doświadcenie pokaało, że pr spełnieniu ałożeń co do prostoliniowego kstałtu i obciążenia tlko w węłac można traktować wsstkie połącenia kratownic jako pregub Łatwo wnaca się sił osiowe w prętac kratownic a casami można prewidieć, w którc13 dr inż. Marek Bartosek prętac sił będą erowe.

14 Podstawowe prpadki wtrmałościowe Zginanie M 0 gd N=0 M to ginanie wględem osi OX M to ginanie wględem osi OY M(M, M) to ginanie ukośne dr inż. Marek Bartosek 14

15 Zginanie Wektor podwójnm grotem jako moment Onacenie momentu M wektorem godnie regułą śrub prawoskrętnej 15

16 Zginanie konstrukcji prętowc Zjawiskami acodącmi w elementac ginanc ajmował się już Galileus, jednak ogranicała go nienajomość rokładu naprężeń. 16

17 Zginanie proste (jednokierunkowe) M 0 albo M 0 UWAGA! Układ OXY to układ osi głównc bewładności: Imin i Ima! ginanie wględem osi OX X M M α ginanie wględem osi OY X M M M M 17

18 Podstawowe prpadki wtrmałościowe Zginanie proste (jednokierunkowe) wględem osi OX (oś OX jest osią układu głównego centralnego) M 0 gd N= dr inż. Marek Bartosek 18

19 Zginanie proste M 0 (jednokierunkowe) wględem osi OX M M α Moment M na rsunku obok: rociąga dół ściska górę. kręci wględem jednej osi głównc tutaj jest to oś OX Jest to ginanie proste wględem OX: M=M i M=0 α L M M Zwrot momentu M (podwójn wektor) godnie asadą śrub prawoskrętnej. M A α M M L M b M α α 19

20 Zginanie proste M 0 (jednokierunkowe) wględem osi OX O Załóżm, że ginana belka wgina się w łuk kołow o promieniu krwin ρ. Belka stanowi wcinek koła więc włókna skrajne (górne i dolne) ora oś tworą okręgi o różnej średnic a więc i różnej długości. Po wewnętrnej stronie, wgiętego w łuk pręta, włókna musą się skrócić są więc ściskane; po ewnętrnej wdłużć są więc rociągane. ρ 0 Podielim tera belkę prekrojami i preanaliujem odkstałcenia

21 Zginanie proste M 0 Deformacje pręta ginanego wgl. osi OX Założenie Bernoulliego o płaskości prekroju deformowanego pręta <0 włókna ściskane da d d+δl linia obojętna =0 Na podstawie Niegodinski str. 10 rs 8.9 włókna rociągane >0 δρ= warstwa obojętna =0 l = = = E d = E1 =

22 Zginanie proste: M 0 ε εmin M + α E = min εma g d 3 M=P P Z smetrii 3 1 ma g = d A M P wnika b da 1 3 () + 3 linia obojętna =0 min = ma Jeśli w prekroju brak sił osiowej N=0, to suma rutów sił na oś OZ musi bć =0 : E P =0 : da=0 da=0 A A da=0 A S =0 Moment statcn pola S=0 gdż linia obojętna =0 precodi pre śr. ciężkości prekroju

23 Zginanie proste: M 0 ε εmin min M + g d εma α E = M=P P + A M P g = d 3 1 b da 1 3 () ma smetrii 3 3 linia obojętna =0 wnika min = ma Suma momentów wględem osi OY to M, któr jest tu =0, stąd : E M =0 : da=0 da=0 A A da=0 D =0 A Dewiacja D=0 więc układ OXY jest układem osi głównc bewładności 3

24 Zginanie proste: M 0 ε εmin M + α min εma g d 3 M=P P () + ma P b da A M 3 linia obojętna =0 Z sum momentów wgl. osi OX => wór na naprężania normalne () pr ginaniu M: E E M = M : da= M da= M I =M A A M E E 4 I =M I =M = = I

25 Zginanie proste: M 0 Na podstawie Misiaki str. 0 rs 1.15 min =0 + α M m in M ma Naprężenia w dowolnm punkcie prekroju nie mogą bć więkse niż wtrmałość materiału. Warunek wtrmałościow : = g d M = fd I 5

26 Zginanie proste: M 0 b ma >0 + =0 - α min g d M A =0 <0 M Naprężenia normalne pr ginaniu M wględem osi OX w ogólności oblica się wg woru: M = fd I linia obojętna Ekstremalne naprężenia wstępują w skrajnc włóknac tu górnc lub dolnc: M g M / ma= g = = 0 I I M d M / 6 min= d = = 0 I I

27 Zginanie proste: M 0 ma >0 + =0 - α min Naprężenia normalne pr ginaniu M wględem osi OX : b g d M A =0 M <0 M = fd I linia obojętna Dla włókien skrajnc definiuje się wskaźniki ginania tu górn i doln : I W = g g ora minimaln : min I W = d d ora d d W =min W,W 7

28 Zginanie proste: M 0 ma >0 + =0 - α min Naprężenia normalne pr ginaniu M wględem osi OX : b g d M A =0 M = fd I M <0 linia obojętna Dla smetrcnego prekroju prostokąta : g = d = = etr W 3 I b /1 b = = = etr / 6 min 8

29 Zginanie proste: M 0 ma >0 + =0 - α min Naprężenia normalne pr ginaniu M wględem osi OX : b g d M A =0 M <0 M = fd I linia obojętna Wskaźnik ginania prekroju wiąże wsstkie element opisujące geometrię prekroju w mianowniku warunku wtrmałościowego : M M etr= f d lub etr= fd W W Podobnie pole prekroju pręta osiowo obciążonego (gd tlko N 0 a M=0): N 9 = f d A

30 Prkład ginanc konstrukcji prętowc ora płt Zginanie jest podstawowm (obok ścinania skutek sił poprecnc) prpadkiem wtrmałościowm w konstrukcjac belkowc, ramowc, rustac i płtac. prosta rama konstrukcje belkowe płta rust 30

31 Podstawowe prpadki wtrmałościowe Zginanie ukośne (dwukierunkowe) (wględem obu osi układu głównego centralnego) M 0 ora M 0 gd N= Cli moment mamarek dwiebartosek składowe: M=M+M dr inż. 31

32 Zginanie ukośne (dwukierunkowe) M 0 i M 0 UWAGA! Układ OXY to układ osi głównc bewładności: Ima, Imin M M ϕ ϕ π α X α M M =0 M π π Wektor momentu M w ginaniu dwukierunkowm jest położon ukośnie w stosunku do osi głównc pod kątem ϕ w stosunku do OX. Wektor momentu M można rołożć na kierunki osi głównc : M =M cos M =M sin 3

33 Zginanie ukośne (dwukierunkowe) M 0 i M 0 M α Naprężenie normalne (M) : M = M, M, Położenie linii obojętnej =0: M I, =0 = M I M ϕ ϕ π X π lin ia =0 ob oję tna M α M M π M M, = fd I I I =tg =tg 33 I

34 Zginanie ukośne (dwukierunkowe) M 0 i M 0 { } a I = I ma I =I min m b: = I(I,I) 0,Imin M Kład pł. napr. ϕ,ima M II(II,II) in M <0 mi n - tna oję = 0 b >0 + l. o ma m I =tg I M M, = I I ma= I = I, I Rr 34 min= II = II, II R c

35 Prkład ukośnie ginanej łat dacowej q ŁATA iew k kro poiome ŁATY na którc opiera się pokrcie dacowe ŁATA krokiew krokiew q krokiew q 35 ŁATA jako belka ciągła oparta na krokwiac

36 Prkład ukośnie ginanej łat dacowej Widok fragmentu ŁATY opartej na krokwiac krokiew krokiew krokiew Scemat statcn fragmentu ŁATY jako belki ciągłej q q Wkres momentów ginającc ŁATĘ ekstrema podporowe Mg M ekstrema pręsłowe Md Mg Mg Md 36

37 Prkład ukośnie ginanej łat dacowej M Md kro w ki e d M M + ma m in lin. =0 obo j. M M d = I I M g Mg ma lin. =0 obo j. q Naprężenia w prekroju prpodporowm + Naprężenia w prekroju pręsłowm m in M M g = I I ekstrema podporowe Mg M ekstrema pręsłowe Md Mg Mg Md 37

38 Prkład ukośnie ginanego wspornika η ξ Mξ Imin m in Ima Mη Ima Imin + M q M=0.5qL ma M M, = I I Moment M, ginając wspornik wględem poiomej osi centralnej OX, jest położon ukośnie wględem układu głównego Oξη, do którego należ oś smetrii kątownika Oξ. Preciwn do osi Oη wrot składowej Mη spowodował mianę nak tego składnika. 38

39 DZIEKUJĘ ZA UWAGĘ KONIEC wkładu KONIEC wkładu 6 pt KONIEC wkładu 8 pt KONIEC wkładu 10 pt KONIEC wkładu 1 pt KONIEC wkładu 14 pt KONIEC wkładu 16 pt KONIEC wkładu 18 pt KONIEC wkładu 0 pt KONIEC wkładu pt KONIEC wkładu 4 pt KONIEC wkładu 6 pt KONIEC wkładu 8 pt dr inż. Marek Bartosek KONIEC wkładu 3 pt 39

40 Zginanie proste: M (proste wprowadenie) =E min M ε εmin + α εma g d P =0 + ma P Smetria : g = d min = ma 3 1 b b P =0: P=b min= min M =0 : M =P = min min / M M = = 3 = 3 40 b /1 b /1

41 Zginanie proste: M (roboce wor) / = etr ; P=b 0 d; etr= d = g = / =De e ij= Dijkl kl b P=b 0 d=b 0 etr d= etr / 4 er etr P =0 : A da= A etr da= da= S =0 A / S =0 =0 =0 b b b M = etr= etr W = M =W etr etr I etr b M = A da= A etr da= dam = etr = A / / 1 I b 41 M= etr=w etr W = 6 / / /