MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

Transkrypt

1 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób w chwili urodzin otrzymała losowy czas życia T o ustalonym, ale jednakowym rozkładzie opisanym funkcja przeżycia Jeżeli spełniony jest warunek st = PT > t PT x > t = PT > x + t T > x dla wszystkich x, t, to mówimy, że populacja ta spełnia hipotezę jednorodnej populacji HJP Warunek ten oznacza, że przyszły czas życia T x osoby, która dożyła wieku x jest taki sam jak rozkład T x przy warunku T > x Zauważmy jeszcze, że PT > x + t T > x = PT > x + t PT > x HJP jest równoważna warunkowi = x+t p, tp x = x+t p dla wszystkich x, t Inaczej mówiąc, przy założeniu HJP, rozkład T x dla x, wyraża się przez rozkład T wzorem tp x = sx + t sx Niech µ t = s t, t, st będzie natężeniem zgonów związanym ze zmienną T Wiemy już, że t st = exp µ u du Twierdzenie 1 Hipoteza HJP jest równoważna następującym warunkom: tp [x]+u = t p x+u * lub µ [x]+t = µ x+t ** 1

2 2 WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA Dowód Jeśli zachodzi HJP, to W drugą stronę jeśli t p [x]+u = t p x+u, to tp x+u = x+u+t p = x+u+tp / x p x+up x+up / x p tp [x]+u = t+u p x up x, = t+up x up x = t p [x]+u tp x+u = t+u p x up x Kładąc x = otrzymujemy HJP Zatem warunek jest równoważny HJP Dalej mamy jeżeli zachodzi HJP, to µ [x]+t = x p d x+tp dt Z drugiej strony, jeżeli µ [x]+t = µ x+t, to tp x = exp µ [x]+t = 1 d t p x tp x dt x+tp = 1 d x+tp x+tp dt = exp = exp t t x+t Zatem jest również równoważny HJP x µ [x]+u du µ x+u du µ u du = x+t p = µ []+x+t = µ x+t Wniosek 1 Jeżeli zachodzi HJP, to oraz tp x = exp x+t µ u du x e x = 1 sydy sx x Dowód Pierwszą równość wykazaliśmy w dowodzie Tw 1 Druga równość wynika z następujących przekształceń e x = tp x dt = sx + t dt = 1 sx + tdt sx sx Hipoteza HJP nie zawsze musi być spełniona Jeśli bowiem zachodzi np HA, to na mocy powyższego twierdzenia mamy na przykład p [5]+1 = p 51, PT 5 > 2 T 5 > 1 = PT 51 > 1

3 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 3 Na pierwszy rzut oka wydaje się, że równość taka powinna zachodzić w każdej populacji, gdyż w obydwu przypadkach chodzi o przeżycie od 51 do 52 roku życia Ale pierwsze z tych prawdopodobieństwo dotyczy populacji 5-latków, a drugie populacji 51-latków Mogło się tak zdarzyć, że strsze pokolenie 51-latków przeżyło w pierwszym roku życia jakiś kataklizm, który ominął 5-latków, ale zdarzenie to może mieć wpływ na rozkład przyszłego czasu życia 2 Przykłady teoretycznych rozkładów T Rozkład de Moivre a 1729, który postulował istnienie maksymalnego wieku jednostki ω = 1 lat Rozkład T miał być jednostajny na przedziale [, ω], oraz st = 1 t, t ω, ω µ t = 1, t ω ω t Przy dodatkowym założeniu HJP rozkład T x jest rozkładem jednostajnym na [, ω x], tp x = 1 t ω x Rozkład Gompertza 1824, który postulował, że natężenie zgonów jest wykładnicze postaci gdzie B > i c > 1 µ t = Bc t, t >, Rozkład Makehama 186, który zaproponował, że µ t = A + Bc t, t >, gdzie B i c > 1 oraz A B W szczególności dla B = otrzymujemy rozkład o stałym natężeniu śmiertelności, czyli rozkład wykładniczy ćw Rozkład Weibulla 1939, który zakładał, że gdzie k >, n > µ t = kt n, t, 3 Tablice trwania życia Niech K x = T x oznacza obcięty przyszły czas trwania życia Tablicą trwania życia dla zmiennej K x nazywamy zbiór par liczb k, l k, k =, 1, 2,, gdzie l k = l PK x k, k =, 1, 2,,

4 4 WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA oraz l oznacza początkową liczebność populacji x-latków Zatem z TTŻ dla K x można odczytać prawdopodobieństwa kp x = PK x k = l k l, x, k =, 1, 2, Oczywiście w powyższej równości l i l k zależą od x W praktyce podaje się tylko TTŻ dla K, a tablice dla pozostałych wartości x wyznacza się korzystając z hipotezy HJP Mamy wtedy kp x = PK x k = PK x + k K x = PK x + k PK x = +k/l /l kp x = +k = +k, Liczby l k interpretujemy wtedy jako oczekiwaną liczbę członków danej populacji noworodków, którzy dożyją do wieku k lat W praktyce w TTŻ dla K oprócz liczb l k, k =, 1, 2,, ω 1, gdzie ω jest wiekeim granicznym w populacji, wypisuje się inne wielkości które można wyrazić za pomocą l k, np p k, q k, e k oraz d k = l k l k+1, czyli oczekiwaną liczbę osób z początkowej populacji, które umarły w wieku k lat Twierdzenie 2 Niech k, l k, k =, 1, 2,, będzie TTŻ dla zmiennej losowej K przy założeniu HJP Wtedy q x = d x = +1 ; p x = +1 ; e x = = Dowód Wzór na p x wynika z poprzedniego twierdzenia z k = 1 Dalej Ponadto e x = 1 q x = 1 p x = 1 +1 = +1 k=x+1 kp = l k=x+1 = d x l k l =

5 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 5 W Polsce tablice trwania życia publikuje corocznie Główny Urząd Statystyczny Z uwagi na znaczne różnice trwania życia mężczyzn i kobiet, podaje się TTŻ osobno dla każdej płci W tablicach tych ω = 1 oraz l = 1 i podane w nich są kolejno: x,, q x, d x, L x, T x oraz e x Wielkości, q x i d x oznaczają to samo co powyżej Wielkość L x zwana ludnością stacjonarną w wieku x obliczona jest ze wzoru Zauważmy, że L x = L x = p x + p x+1 l 2 L x jest oczekiwaną liczbą członków populacji, którzy dożyli do chwili x + 5, przy założeniu HU Wielkość T x zwana skumulowaną ludnością stacjonarną w wieku x obliczona jest ze wzoru T x = y x L y = L x + L x+1 + L x+2 + Wielkość e x zwana przeciętnym dalszym trwaniem życia obliczona jest ze wzoru e x = T x Oznaczmy chwilowo przez ē x obcięty przyszły czas życia Wiemy, że jak łatwo pokazać ē x = 1 k=x+1 l k, e x = ē x = e x Zatem przy założeniu HU wielkość e x występująca w TTŻ GUS jest równa e x, czyli przyszłemu oczekiwanemu czasowi życia 4 Hipoteza jednostajności Załóżmy, że dany jest rozkład zmiennej losowej K x dla każdego x =, 1, 2,, a w szczególności dane są prawdopodobieństwa n p x dla n, x =, 1, 2, Hipoteza jednostajności HU umożliwiają wyznaczenie wartości funkcji t p x dla t [n, n + 1, n =, 1, 2, Oznaczmy przez S x ułamkowy czas życia, tzn S x = T x K x Zauważmy, że jeśli n =, 1, 2, oraz u [, 1, to PT x n + u = PK x + S x n + u = PS x u K x = npk x = n

6 6 WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA n+up x = PS x u K x = n n p x n+1 p x Zatem przyjęcie pewnej hipotezy interpolacyjnej jest równoważne określeniu warunkowego rozkładu S x przy warunku K x = n Definicja 1 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę jednostajności HU, jeżeli funkcja t p x zmiennej t jest ciągła i liniowa na przedziałach [n, n + 1 Zatem n+up x = 1 u n p x + u n+1 p x, u < 1, n =, 1, 2, Zauważmy, że interpolacja jest dokonywana zawsze między kolejnymi latami Zatem znajomość 3 p 3 i 5 p 3 nie wystarczy do wyznaczenia 45 p 3 Ale prawdopodobieństwo to można wyznaczyć znając 4 p 3 i 5 p 3, ze wzoru 45 p 3 = 5 4 p p 3 Podstawiając w powyższej definicji n = dostajemy up x = 1 u + u p x przy założeniu HU dla u, 1 mamy up x = 1 uq x, uq x = uq x Twierdzenie 3 Niech będzie dany rozkład K x Wtedy HU jest równoważna warunkowi PS x u K x = n = u, dla u < 1 i n =, 1, 2, Dowód Jeżeli zachodzi HU, to PK x = n, S x u = Pn T x n + u = n p x n+u p x = n p x 1 u n p x u n+1 p x = u n p x n+1 p x = upk x = n Zatem co należało pokazać PS x u K x = n = PK x = n, S x u PK x = n = u, Powyższe twierdzenie mówi, że przy założeniu HU zmienne losowe K x i S x są niezależne i S x ma rozkład jednostajny na przedziale [, 1] stąd nazwa hipotezy W szczególności e x = e x oraz Var T x = Var K x

7 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 7 Przykład 1 Zakładając, że zachodzi HJP oraz mając dane p 7 = oraz p 71 = 9812, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba 7-letnia przeżyje jeszcze 1 rok i 3 miesiące przy założeniu HU Rozwiązanie Mamy PT 7 > 125 = 125 p 7 = p 7 25 p 71 Przy założeniu HU mamy u p x = 1 uq x, 25p 71 = 1 25 q 71 = p 71 = Zatem PT 7 > 125 = 97822