Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
|
|
- Sylwester Sadowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016
2 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane sa w dynamice gazów i cieczy, nadprzewodnictwie, technologii chemicznej i w wielu innych dziedzinach. Przykładowo rozchodzenie się fal elektromagnetycznych wzdłuż dwużyłowego przewodu opisywanie jest za pomoca równania telegrafistów D tt u = D x (F(u)D x u) + G (u)d x u.
3 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane sa w dynamice gazów i cieczy, nadprzewodnictwie, technologii chemicznej i w wielu innych dziedzinach. Przykładowo rozchodzenie się fal elektromagnetycznych wzdłuż dwużyłowego przewodu opisywanie jest za pomoca równania telegrafistów D tt u = D x (F(u)D x u) + G (u)d x u.
4 Application of Hyperbolic PDE s Kolejnym przykładem jest równanie opisujace jednowymiarowe rozchodzenie się ciepła w bryle sztywnej. ( ) τ0 D xx θ = D t χ C(θ)D tθ + 1 [ ] χ D θ C(θ)dθ D t θ.
5 Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiazania dla zagadnienia Cauchy ego dla hiperbolicznych równań różniczkowych czastkowych drugiego rzędu można opisać w języku półgrup. Równanie różniczkowe drugiego rzędu D tt u Lu = f (t, x, u) (tutaj L jest operatorem różniczkowym drugiego rzędu) jest przekształcane do układu równań pierwszego rzędu [ d 0 1 dt u(t) = [ L ] 0 u 0 u(0) =, u 1 ] u(t) + f(t, x, u), a następnie teoria półgrup jest używana.
6 Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiazania dla zagadnienia Cauchy ego dla hiperbolicznych równań różniczkowych czastkowych drugiego rzędu można opisać w języku półgrup. Równanie różniczkowe drugiego rzędu D tt u Lu = f (t, x, u) (tutaj L jest operatorem różniczkowym drugiego rzędu) jest przekształcane do układu równań pierwszego rzędu [ d 0 1 dt u(t) = [ L ] 0 u 0 u(0) =, u 1 ] u(t) + f(t, x, u), a następnie teoria półgrup jest używana.
7 Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiazania dla zagadnienia Cauchy ego dla hiperbolicznych równań różniczkowych czastkowych drugiego rzędu można opisać w języku półgrup. Równanie różniczkowe drugiego rzędu D tt u Lu = f (t, x, u) (tutaj L jest operatorem różniczkowym drugiego rzędu) jest przekształcane do układu równań pierwszego rzędu [ d 0 1 dt u(t) = [ L ] 0 u 0 u(0) =, u 1 ] u(t) + f(t, x, u), a następnie teoria półgrup jest używana.
8 Kolejna metoda jest użycie teori rodziń sinusowych i cosinusowych. Jeśli a > 0 jest stała oraz f (t, x, ) jest odpowiednim operatorem wówczas zagadnienie Cauchy ego dla równania falowego D tt u a 2 D xx u = f (t, x, u) może być zapisane w postaci zagadnienia abstrakcyjnego { d 2 u(t) = Au(t) + f (t, u dt 2 t ), u(0) = u 0 d, dt u(0) = (1) u1, gdzie u t jest operatorem Hale a u t (s) = u(t + s) oraz operator różniczkowy A generuje rodzine cosinusowa C(t). Rozwiazanie zagadnienia (1) spełnia równanie całkowe u(t) = C(t)u 0 + S(t)u 1 + t 0 S(t s)f (s, u s )ds, gdzie S(t) = t 0 C(s)ds jest rodzin a sinusowa odpowiadajac a Adrian C(t). Karpowicz
9 Kolejna metoda jest użycie teori rodziń sinusowych i cosinusowych. Jeśli a > 0 jest stała oraz f (t, x, ) jest odpowiednim operatorem wówczas zagadnienie Cauchy ego dla równania falowego D tt u a 2 D xx u = f (t, x, u) może być zapisane w postaci zagadnienia abstrakcyjnego { d 2 u(t) = Au(t) + f (t, u dt 2 t ), u(0) = u 0 d, dt u(0) = (1) u1, gdzie u t jest operatorem Hale a u t (s) = u(t + s) oraz operator różniczkowy A generuje rodzine cosinusowa C(t). Rozwiazanie zagadnienia (1) spełnia równanie całkowe u(t) = C(t)u 0 + S(t)u 1 + t 0 S(t s)f (s, u s )ds, gdzie S(t) = t 0 C(s)ds jest rodzin a sinusowa odpowiadajac a Adrian C(t). Karpowicz
10 Kolejna metoda jest użycie teori rodziń sinusowych i cosinusowych. Jeśli a > 0 jest stała oraz f (t, x, ) jest odpowiednim operatorem wówczas zagadnienie Cauchy ego dla równania falowego D tt u a 2 D xx u = f (t, x, u) może być zapisane w postaci zagadnienia abstrakcyjnego { d 2 u(t) = Au(t) + f (t, u dt 2 t ), u(0) = u 0 d, dt u(0) = (1) u1, gdzie u t jest operatorem Hale a u t (s) = u(t + s) oraz operator różniczkowy A generuje rodzine cosinusowa C(t). Rozwiazanie zagadnienia (1) spełnia równanie całkowe u(t) = C(t)u 0 + S(t)u 1 + t 0 S(t s)f (s, u s )ds, gdzie S(t) = t 0 C(s)ds jest rodzin a sinusowa odpowiadajac a Adrian C(t). Karpowicz
11 Kolejna metoda jest użycie teori rodziń sinusowych i cosinusowych. Jeśli a > 0 jest stała oraz f (t, x, ) jest odpowiednim operatorem wówczas zagadnienie Cauchy ego dla równania falowego D tt u a 2 D xx u = f (t, x, u) może być zapisane w postaci zagadnienia abstrakcyjnego { d 2 u(t) = Au(t) + f (t, u dt 2 t ), u(0) = u 0 d, dt u(0) = (1) u1, gdzie u t jest operatorem Hale a u t (s) = u(t + s) oraz operator różniczkowy A generuje rodzine cosinusowa C(t). Rozwiazanie zagadnienia (1) spełnia równanie całkowe u(t) = C(t)u 0 + S(t)u 1 + t 0 S(t s)f (s, u s )ds, gdzie S(t) = t 0 C(s)ds jest rodzin a sinusowa odpowiadajac a Adrian C(t). Karpowicz
12 Jeśli chcemy przekształcić równanie czastkowe do postaci (1) wtedy model funkcyjny staje się trudny i nienaturalny. Kolejna metoda dowodzenia twierdzeń o istnieniu rozwiazań dla równań hiperbolicznych jest metoda punktu stałego. W przypadku teori półgrup i teorii punktu stałego nie możemy zaobserwować zjawiska rozchodzenia się fali ze skończona predkości, czy zasady Huygens.
13 Jeśli chcemy przekształcić równanie czastkowe do postaci (1) wtedy model funkcyjny staje się trudny i nienaturalny. Kolejna metoda dowodzenia twierdzeń o istnieniu rozwiazań dla równań hiperbolicznych jest metoda punktu stałego. W przypadku teori półgrup i teorii punktu stałego nie możemy zaobserwować zjawiska rozchodzenia się fali ze skończona predkości, czy zasady Huygens.
14 Jeśli chcemy przekształcić równanie czastkowe do postaci (1) wtedy model funkcyjny staje się trudny i nienaturalny. Kolejna metoda dowodzenia twierdzeń o istnieniu rozwiazań dla równań hiperbolicznych jest metoda punktu stałego. W przypadku teori półgrup i teorii punktu stałego nie możemy zaobserwować zjawiska rozchodzenia się fali ze skończona predkości, czy zasady Huygens.
15 Wprowadzenie Będziemy rozważać zagadnienie Cauchy ego dla nielokalnego jednowymiarowego równania falowego. Model funkcyjny będzie zależał od zbioru generowanego przez bicharakterystyki. Istnienie i jednoznaczność otrzymamy w W 1, loc topologii.
16 Wprowadzenie Będziemy rozważać zagadnienie Cauchy ego dla nielokalnego jednowymiarowego równania falowego. Model funkcyjny będzie zależał od zbioru generowanego przez bicharakterystyki. Istnienie i jednoznaczność otrzymamy w W 1, loc topologii.
17 Wprowadzenie Będziemy rozważać zagadnienie Cauchy ego dla nielokalnego jednowymiarowego równania falowego. Model funkcyjny będzie zależał od zbioru generowanego przez bicharakterystyki. Istnienie i jednoznaczność otrzymamy w W 1, loc topologii.
18 Klasyczne równanie falowe Rozważmy zagadnienie Cauchy ego dla klasycznego równania falowego { Dtt u a 2 D xx u = g w E, (2) u(0, x) = φ(x), D t u(0, x) = ψ(x) dla x R, gdzie E = [0, T ] R, a C 1 (E), a > 0 na E oraz g C(E).
19 Definicja bicharakterystyk Rozważmy bicharakterystyki η, θ dla równania hiperbolicznego (2) przechodzace przez (t, x) E. η (s) = a(s, η(s)), η(t) = x, θ (s) = a(s, θ(s)), θ(t) = x. Będziemy je oznaczali η = η(s) = η t,x (s), θ = θ(s) = θ t,x (s), odpowiednio.
20 Definicja bicharakterystyk Rozważmy bicharakterystyki η, θ dla równania hiperbolicznego (2) przechodzace przez (t, x) E. η (s) = a(s, η(s)), η(t) = x, θ (s) = a(s, θ(s)), θ(t) = x. Będziemy je oznaczali η = η(s) = η t,x (s), θ = θ(s) = θ t,x (s), odpowiednio.
21 Można pokazać, że zagadnienie (2) jest równoważne równaniu punktu stałego u(t, x) = 1 2 t θ t,x (s) η t,x (s) θ t,x (0) η t,x (0) g(s, y) A(s, y)d x u(s, y) dyds (3) B(s, y, t, x) ψ(y) a(0, y)φ (y) dy + φ(θ t,x (0)), C(y, t, x) gdzie A(t, x) = D t a(t, x) + a(t, x)d x a(t, x) oraz ( s ) B(s, y, t, x) = a(τ, θ t,x (τ)) exp a(z, η τ,θt,x (τ) (z))dz, τ ( s ) C(y, t, x) = a(s, θ t,x (s)) exp D x a(z, η s,θt,x (s) (z))dz. Tutaj [s, t] τ y = η τ,θt,x (τ) (s) oraz odwzorowanie odwrotne y τ = T (y; s, t, x). 0
22 Można pokazać, że zagadnienie (2) jest równoważne równaniu punktu stałego u(t, x) = 1 2 t θ t,x (s) η t,x (s) θ t,x (0) η t,x (0) g(s, y) A(s, y)d x u(s, y) dyds (3) B(s, y, t, x) ψ(y) a(0, y)φ (y) dy + φ(θ t,x (0)), C(y, t, x) gdzie A(t, x) = D t a(t, x) + a(t, x)d x a(t, x) oraz ( s ) B(s, y, t, x) = a(τ, θ t,x (τ)) exp a(z, η τ,θt,x (τ) (z))dz, τ ( s ) C(y, t, x) = a(s, θ t,x (s)) exp D x a(z, η s,θt,x (s) (z))dz. Tutaj [s, t] τ y = η τ,θt,x (τ) (s) oraz odwzorowanie odwrotne y τ = T (y; s, t, x). 0
23 Można pokazać, że zagadnienie (2) jest równoważne równaniu punktu stałego u(t, x) = 1 2 t θ t,x (s) η t,x (s) θ t,x (0) η t,x (0) g(s, y) A(s, y)d x u(s, y) dyds (3) B(s, y, t, x) ψ(y) a(0, y)φ (y) dy + φ(θ t,x (0)), C(y, t, x) gdzie A(t, x) = D t a(t, x) + a(t, x)d x a(t, x) oraz ( s ) B(s, y, t, x) = a(τ, θ t,x (τ)) exp a(z, η τ,θt,x (τ) (z))dz, τ ( s ) C(y, t, x) = a(s, θ t,x (s)) exp D x a(z, η s,θt,x (s) (z))dz. Tutaj [s, t] τ y = η τ,θt,x (τ) (s) oraz odwzorowanie odwrotne y τ = T (y; s, t, x). 0
24 Zależność funkcyjna Użyjemy reprezentacji całkowej (2) zagadnienia różniczkowo-funkcyjnego. Zależność funkcyjna będzie zwiazania z obszarem zależności falowej. Niech (t, x) E oraz u C(E, R). Wtedy u Et,x : E t,x R jest obcięciem u do zbioru E t,x, gdzie E t,x = { (s, y) [0, t] R: η t,x (s) y θ t,x (s) }.
25 Zależność funkcyjna Użyjemy reprezentacji całkowej (2) zagadnienia różniczkowo-funkcyjnego. Zależność funkcyjna będzie zwiazania z obszarem zależności falowej. Niech (t, x) E oraz u C(E, R). Wtedy u Et,x : E t,x R jest obcięciem u do zbioru E t,x, gdzie E t,x = { (s, y) [0, t] R: η t,x (s) y θ t,x (s) }.
26 Zależność funkcyjna Użyjemy reprezentacji całkowej (2) zagadnienia różniczkowo-funkcyjnego. Zależność funkcyjna będzie zwiazania z obszarem zależności falowej. Niech (t, x) E oraz u C(E, R). Wtedy u Et,x : E t,x R jest obcięciem u do zbioru E t,x, gdzie E t,x = { (s, y) [0, t] R: η t,x (s) y θ t,x (s) }.
27 Zależność funkcyjna Ze wzoru (3) na rozwiazanie zagadnienia Cauchy ego (2), widzimy, że wartości u w każdym punkcie (t, x) E zależa tylko od wartości danych w ograniczonym obszarze E t,x.
28 Zależność funkcyjna Widzimy, ze warunek poczatkowy w punkcie (0, x) oddziałuje jedynie na część rozwiazania w ograniczonym obszarze { (s, y) [0, t] R: θ t,x (s) + x θ t,x (0) y η t,x (s) + x η t,x (0) }. Co ilustruje skończona prędkość rozchodzenia się fali.
29 Równanie różniczkowo-funkcyjne Zajmiemy się następujacym zagadnieniem { Dtt u(t, x) a 2 (t, x)d xx u(t, x) = f (t, x, u Et,x ) dla (t, x) E, u(0, x) = 0, D t u(0, x) = 0 dla x R, (4) gdzie a : E R oraz f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R dla wszystkich (t, x) E.
30 Równanie różniczkowo-funkcyjne Zagadnienie Cauchy ego (4) jest równoważne równaniu punktu stałego u(t, x) = (Su)(t, x) (Su)(t, x) = 1 2 t θ t,x (s) 0 η t,x (s) f (s, y, u Es,y ) A(s, y)d x u(s, y) dyds. B(s, y, t, x) (5)
31 Równanie różniczkowo-funkcyjne Twierdzenie Załóżmy, że a) a C 1 (E) oraz a(t, x) > 0 dla (t, x) E. b) f (,, 0) : E R jest ciagł a i f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R. c) Istnieje nieujemna funkcja L C(E) taka, że L(s, y) L(t, x) dla E s,y E t,x oraz f (t, x, w) f (t, x, v) L(t, x) w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (4) w klasie W 1, loc (E).
32 Równanie różniczkowo-funkcyjne Twierdzenie Załóżmy, że a) a C 1 (E) oraz a(t, x) > 0 dla (t, x) E. b) f (,, 0) : E R jest ciagł a i f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R. c) Istnieje nieujemna funkcja L C(E) taka, że L(s, y) L(t, x) dla E s,y E t,x oraz f (t, x, w) f (t, x, v) L(t, x) w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (4) w klasie W 1, loc (E).
33 Równanie różniczkowo-funkcyjne Twierdzenie Załóżmy, że a) a C 1 (E) oraz a(t, x) > 0 dla (t, x) E. b) f (,, 0) : E R jest ciagł a i f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R. c) Istnieje nieujemna funkcja L C(E) taka, że L(s, y) L(t, x) dla E s,y E t,x oraz f (t, x, w) f (t, x, v) L(t, x) w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (4) w klasie W 1, loc (E).
34 Równanie różniczkowo-funkcyjne Twierdzenie Załóżmy, że a) a C 1 (E) oraz a(t, x) > 0 dla (t, x) E. b) f (,, 0) : E R jest ciagł a i f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R. c) Istnieje nieujemna funkcja L C(E) taka, że L(s, y) L(t, x) dla E s,y E t,x oraz f (t, x, w) f (t, x, v) L(t, x) w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (4) w klasie W 1, loc (E).
35 Idea dowodu Rozważmy ciagi u n, D t u n i D x u n zdefiniowane wzorami u 0 (t, x) = 0, D x u 0 (t, x) = 0, D t u 0 (t, x) = 0 oraz u n+1 (t, x) = (Su n )(t, x), D t u n+1 (t, x) = D t (Su n )(t, x), D x u n+1 (t, x) = D x (Su n )(t, x). Dla dowolnego punktu (t 0, x 0 ) E definiujemy seminormę 0 t wzorem (6) v 0 t = sup (s, y) E t0,x 0 s t v W 1, (E s,y ).
36 Idea dowodu Rozważmy ciagi u n, D t u n i D x u n zdefiniowane wzorami u 0 (t, x) = 0, D x u 0 (t, x) = 0, D t u 0 (t, x) = 0 oraz u n+1 (t, x) = (Su n )(t, x), D t u n+1 (t, x) = D t (Su n )(t, x), D x u n+1 (t, x) = D x (Su n )(t, x). Dla dowolnego punktu (t 0, x 0 ) E definiujemy seminormę 0 t wzorem (6) v 0 t = sup (s, y) E t0,x 0 s t v W 1, (E s,y ).
37 Można pokazać gdzie u k+1 (t, x) u k (t, x) K 1 = K 1 (t 0, x 0 ) = C 0 t 0 sup E s,y E t,x E t0,x 0 K 1 u k u k 1 0 sds, L(s, y) + A(s, y). 2 B(s, y, t, x) gdzie D t u k+1 (t, x) D t u k (t, x) K 2 =K 2 (t 0, x 0 ) = sup E s,y E t,x E t0,x 0 t 0 L(s, y) + A(s, y) 2 B(s, y, t, x) K 2 u k u k 1 0 sds, ( C 0 B t (s, y, t, x) + D t θ(s; t, x) + D t η(s; t, x) ).
38 Można pokazać gdzie u k+1 (t, x) u k (t, x) K 1 = K 1 (t 0, x 0 ) = C 0 t 0 sup E s,y E t,x E t0,x 0 K 1 u k u k 1 0 sds, L(s, y) + A(s, y). 2 B(s, y, t, x) gdzie D t u k+1 (t, x) D t u k (t, x) K 2 =K 2 (t 0, x 0 ) = sup E s,y E t,x E t0,x 0 t 0 L(s, y) + A(s, y) 2 B(s, y, t, x) K 2 u k u k 1 0 sds, ( C 0 B t (s, y, t, x) + D t θ(s; t, x) + D t η(s; t, x) ).
39 gdzie t D x u k+1 (t, x) D x u k (t, x) K 3 u k u k 1 0 sds, 0 K 3 =K 3 (t 0, x 0 ) = sup E s,y E t,x E t0,x 0 L(s, y) + A(s, y) 2 B(s, y, t, x) ( C 0 B x (s, y, t, x) ) + D x θ(s; t, x) + D x η(s; t, x). Let K = K 1 + K 2 + K 3. Z powyższych nierówności dostajemy u k+1 u k 0 t t 0 K u k u k 1 0 sds. (7)
40 gdzie t D x u k+1 (t, x) D x u k (t, x) K 3 u k u k 1 0 sds, 0 K 3 =K 3 (t 0, x 0 ) = sup E s,y E t,x E t0,x 0 L(s, y) + A(s, y) 2 B(s, y, t, x) ( C 0 B x (s, y, t, x) ) + D x θ(s; t, x) + D x η(s; t, x). Let K = K 1 + K 2 + K 3. Z powyższych nierówności dostajemy u k+1 u k 0 t t 0 K u k u k 1 0 sds. (7)
41 Idea dowodu Jeśli zastosujemy indukcje do (7) otrzymamy u k+1 u k 0 t C k! (tk )k, gdzie C = u 1 u 0 W 1, (E t0,x 0 ). Stad u k+1 u k W 1, (E t0,x 0 ) C(t 0 K ) k. k! Ostatecznie otrzymujemy, że u n, D t u n i D x u n sa zbieżne jednostajnie na E t0,x 0. Biorac n w (6) dostajemy u n u, D t u n D t u oraz D x u n D x u na E t0,x 0, gdzie u jest rozwiazaniem (4).
42 Idea dowodu Jeśli zastosujemy indukcje do (7) otrzymamy u k+1 u k 0 t C k! (tk )k, gdzie C = u 1 u 0 W 1, (E t0,x 0 ). Stad u k+1 u k W 1, (E t0,x 0 ) C(t 0 K ) k. k! Ostatecznie otrzymujemy, że u n, D t u n i D x u n sa zbieżne jednostajnie na E t0,x 0. Biorac n w (6) dostajemy u n u, D t u n D t u oraz D x u n D x u na E t0,x 0, gdzie u jest rozwiazaniem (4).
43 Idea dowodu Jeśli zastosujemy indukcje do (7) otrzymamy u k+1 u k 0 t C k! (tk )k, gdzie C = u 1 u 0 W 1, (E t0,x 0 ). Stad u k+1 u k W 1, (E t0,x 0 ) C(t 0 K ) k. k! Ostatecznie otrzymujemy, że u n, D t u n i D x u n sa zbieżne jednostajnie na E t0,x 0. Biorac n w (6) dostajemy u n u, D t u n D t u oraz D x u n D x u na E t0,x 0, gdzie u jest rozwiazaniem (4).
44 Idea dowodu Twierdzimy, że rozwiazanie istnieje na E. Rozwiazanie istnieje na E T,x dla każdego x R. Funkcja η jest rosnaca θ jest malejaca, więc zbiór E T,x1 E T,x2 jest niepusty o ile odległość pomiędzy x 1 i x 2 jest wystarczajaco mała. Z jednoznaczności istnieje tylko jedno rozwiazanie na E T,x1 E T,x2. Stad dostajemy globalne rozwiazanie na E.
45 Idea dowodu Twierdzimy, że rozwiazanie istnieje na E. Rozwiazanie istnieje na E T,x dla każdego x R. Funkcja η jest rosnaca θ jest malejaca, więc zbiór E T,x1 E T,x2 jest niepusty o ile odległość pomiędzy x 1 i x 2 jest wystarczajaco mała. Z jednoznaczności istnieje tylko jedno rozwiazanie na E T,x1 E T,x2. Stad dostajemy globalne rozwiazanie na E.
46 Idea dowodu Twierdzimy, że rozwiazanie istnieje na E. Rozwiazanie istnieje na E T,x dla każdego x R. Funkcja η jest rosnaca θ jest malejaca, więc zbiór E T,x1 E T,x2 jest niepusty o ile odległość pomiędzy x 1 i x 2 jest wystarczajaco mała. Z jednoznaczności istnieje tylko jedno rozwiazanie na E T,x1 E T,x2. Stad dostajemy globalne rozwiazanie na E.
47 Zastosowania W oparciu o twierdzenie 1, badamy lokalnie istnienie rozwiazania zagadnienia Cauchy ego { Dtt u(t, x) (u(t, x) + 1) 2 D xx u(t, x) = f (t, x, u Et,x ) na E, u(0, x) = 0, D t u(0, x) = 0 dla x R, (8) Współczynnik (u + 1) 2 może być zastapiony przez dowolna funkcję regularna g : E R R taka, że g(t, x, 0) > 0 dla (t, x) E.
48 Zastosowania W oparciu o twierdzenie 1, badamy lokalnie istnienie rozwiazania zagadnienia Cauchy ego { Dtt u(t, x) (u(t, x) + 1) 2 D xx u(t, x) = f (t, x, u Et,x ) na E, u(0, x) = 0, D t u(0, x) = 0 dla x R, (8) Współczynnik (u + 1) 2 może być zastapiony przez dowolna funkcję regularna g : E R R taka, że g(t, x, 0) > 0 dla (t, x) E.
49 Zastosowania Zagadnienie (8) jest równoważne równaniu punktu stałego u(t, x) = 1 2 t θ t,x (s) 0 η t,x (s) f (s, y, u Es,y ) [D t u + (u + 1)D x u]d x u dyds, B(s, y, t, x) gdzie η, θ zależyod u i spełnia równania różniczkowe zwyczajne η (s) = u(s, η(s)) + 1, η(t) = x, θ (s) = u(s, θ(s)) 1, θ(t) = x, oraz ( s B(s, y, t, x) = (u(τ, θ t,x (τ)) + 1) exp τ ) D x u(z, η τ,θt,x (τ) (z))dz.
50 Zastosowania Zagadnienie (8) jest równoważne równaniu punktu stałego u(t, x) = 1 2 t θ t,x (s) 0 η t,x (s) f (s, y, u Es,y ) [D t u + (u + 1)D x u]d x u dyds, B(s, y, t, x) gdzie η, θ zależyod u i spełnia równania różniczkowe zwyczajne η (s) = u(s, η(s)) + 1, η(t) = x, θ (s) = u(s, θ(s)) 1, θ(t) = x, oraz ( s B(s, y, t, x) = (u(τ, θ t,x (τ)) + 1) exp τ ) D x u(z, η τ,θt,x (τ) (z))dz.
51 Zastosowania Twierdzenie Załóżmy, że a) f (,, 0) : E R jest ciagła, ograniczona oraz f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R dla (t, x) E. b) Istniej stała L taka, że f (t, x, w) f (t, x, v) L w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (8) w klasie W 1, ([0, t 0 ] R) dla pewnego t 0 [0, T ].
52 Zastosowania Twierdzenie Załóżmy, że a) f (,, 0) : E R jest ciagła, ograniczona oraz f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R dla (t, x) E. b) Istniej stała L taka, że f (t, x, w) f (t, x, v) L w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (8) w klasie W 1, ([0, t 0 ] R) dla pewnego t 0 [0, T ].
53 Zastosowania Twierdzenie Załóżmy, że a) f (,, 0) : E R jest ciagła, ograniczona oraz f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R dla (t, x) E. b) Istniej stała L taka, że f (t, x, w) f (t, x, v) L w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (8) w klasie W 1, ([0, t 0 ] R) dla pewnego t 0 [0, T ].
54 Zastosowania Twierdzenie Załóżmy, że a) f (,, 0) : E R jest ciagła, ograniczona oraz f (t, x, ) : W 1, (E t,x ) R dla (t, x) E. b) Istniej stała L taka, że f (t, x, w) f (t, x, v) L w v W 1, (E t,x ) dla (t, x) E. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (8) w klasie W 1, ([0, t 0 ] R) dla pewnego t 0 [0, T ].
55 Idea dowodu Rozważmy ciag iteracji prostych u n zdefiniowany przez u 0 (t, x) = 0 oraz { D tt u n+1 (t, x) (u n (t, x) + 1) 2 D xx u n+1 (t, x) = f (t, x, u n+1 E t,x ), u n+1 (0, x) = 0, D t u n+1 (0, x) = 0 dla x R. (9) Definiujemy bicharakterystyki η n, θ n dla równania (9) η n(s) = u n (s, η n (s)) + 1, η n (t) = x, θ n(s) = u n (s, θ n (s)) 1, θ n (t) = x. Istnienie jednoznacznego rozwiazania zagadnienia (9) wynika z Twierdzenia 1, gdzie a(t, x) = u n (t, x) + 1.
56 Idea dowodu Rozważmy ciag iteracji prostych u n zdefiniowany przez u 0 (t, x) = 0 oraz { D tt u n+1 (t, x) (u n (t, x) + 1) 2 D xx u n+1 (t, x) = f (t, x, u n+1 E t,x ), u n+1 (0, x) = 0, D t u n+1 (0, x) = 0 dla x R. (9) Definiujemy bicharakterystyki η n, θ n dla równania (9) η n(s) = u n (s, η n (s)) + 1, η n (t) = x, θ n(s) = u n (s, θ n (s)) 1, θ n (t) = x. Istnienie jednoznacznego rozwiazania zagadnienia (9) wynika z Twierdzenia 1, gdzie a(t, x) = u n (t, x) + 1.
57 Idea dowodu Rozważmy ciag iteracji prostych u n zdefiniowany przez u 0 (t, x) = 0 oraz { D tt u n+1 (t, x) (u n (t, x) + 1) 2 D xx u n+1 (t, x) = f (t, x, u n+1 E t,x ), u n+1 (0, x) = 0, D t u n+1 (0, x) = 0 dla x R. (9) Definiujemy bicharakterystyki η n, θ n dla równania (9) η n(s) = u n (s, η n (s)) + 1, η n (t) = x, θ n(s) = u n (s, θ n (s)) 1, θ n (t) = x. Istnienie jednoznacznego rozwiazania zagadnienia (9) wynika z Twierdzenia 1, gdzie a(t, x) = u n (t, x) + 1.
58 Idea dowodu Lemat Niech f spełnia założenia Twierdzenia 2 oraz u W 1, ([0, t 0 ] R) jest takie, że u + 1 K 1 oraz u W 1, ([0,t 0 ] R) K 2 dla pewnych K 1 (0, 1) i K 2 > 0 wtedy rozwiazanie zagadnienia { Dtt v(t, x) (u(t, x) + 1) 2 D xx v(t, x) = f (t, x, v Et,x ) na [0, t 0 ] R v(0, x) = 0, D t v(0, x) = 0 dla x R, jest takie, że v + 1 K 1 oraz v W 1, ([0,t 0 ] R) K 2.
59 Idea dowodu Lemat Niech f spełnia założenia Twierdzenia 2 oraz u W 1, ([0, t 0 ] R) jest takie, że u + 1 K 1 oraz u W 1, ([0,t 0 ] R) K 2 dla pewnych K 1 (0, 1) i K 2 > 0 wtedy rozwiazanie zagadnienia { Dtt v(t, x) (u(t, x) + 1) 2 D xx v(t, x) = f (t, x, v Et,x ) na [0, t 0 ] R v(0, x) = 0, D t v(0, x) = 0 dla x R, jest takie, że v + 1 K 1 oraz v W 1, ([0,t 0 ] R) K 2.
60 Idea dowodu Lemat Niech f spełnia założenia Twierdzenia 2 oraz u W 1, ([0, t 0 ] R) jest takie, że u + 1 K 1 oraz u W 1, ([0,t 0 ] R) K 2 dla pewnych K 1 (0, 1) i K 2 > 0 wtedy rozwiazanie zagadnienia { Dtt v(t, x) (u(t, x) + 1) 2 D xx v(t, x) = f (t, x, v Et,x ) na [0, t 0 ] R v(0, x) = 0, D t v(0, x) = 0 dla x R, jest takie, że v + 1 K 1 oraz v W 1, ([0,t 0 ] R) K 2.
61 Bibliografia A. Karpowicz and H. Leszczyński, On the Cauchy problem for hyperbolic functional-differential equations., Annales Polonici Mathematici, 2015, Vol. 115, no. 1, s
62 Dziękuję DZIEKUJ E
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoZastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowo6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.
Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania
Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów
Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoMODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoSuperdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu
Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)
Bardziej szczegółowoteoria i przykłady zastosowań
: teoria i przykłady zastosowań Katedra Sterowania i Pomiarów Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie e-mail: emirsaj@zut.edu.pl Zielona Góra, 22 listopada 21 Spis treści 1 O jakie równanie
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoSolitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych
Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie niekomercyjne dozwolone
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoPEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.
Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim WSTĘP DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie
13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 1 / 45
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe
Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoO pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego
O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowo