Obliczanie indukcyjności cewek
|
|
- Justyna Krajewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I 2, wynosi W = 1 2 L 1 I L 2 I M 12 I 1 I 2 (1) gdzie L 1 i L 2 są wpółczynnikami samoindukcji cewek, a M 12 jest współczynnikiem ich indukcyjności wzajemnej. Jeśli uzwojenia cewek są nawinięte dostatecznie gęsto, to możemy uznać, że po powierzchni cewek płynie prąd o gęstości powierzchniowej j = ni, gdzie n jest gęstością uzwojenia o wymiarze liczba zwojów na metr. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki najłatwiej liczyć stosując wzór całkowy dla potencjału wektorowego W = 1 j 2 A ds (2) S gdzie S jest powierzchnią cewki, j gęstością powierzchniową prądu płynącego w uzwojeniu cewki, a A potencjałem wektorowym wytwarzanym przez ten prąd. 1) Energia związana z samoindukcją Potencjał wektorowy cewki obliczamy stosując ogólne rozwiązanie równania Poissona A = µ 0 j w postaci całki: A( r ) = µ 0 j( r ) 4π r r ds (3) S gdzie S jest powierzchnią cewki, wektor r wskazuje na punkt obserwacji, w którym obliczamy potencjał wektorowy, a wektor r wskazuje na źródło pola czyli element prądu j ds. Wstawiając powyższe wyrażenie na potencjał wektorowy do wzoru (2) otrzymujemy wyrażenie na energię pola magnetycznego cewki w postaci podwójnej całki powierzchniowej: W = µ 0 j( r) j( r ) ds ds = 1 8π r r 2 LI2 (4) S S gdzie S i S oznaczają tą samą powierzchnię cewki, a wektory r i r przy całkowaniu obiegają niezależnie powierzchnię cewki. 1
2 2) Energia związana z indukcją wzajemną Energię związaną z indukcją wzajemną obliczamy całkując potencjał wektorowy A 1 wytwarzany przez cewkę nr 1 po powierzchni cewki nr 2 i na odwrót: W 12 = 1 A1 j 2 ds A2 j 1 ds 1 (5) 2 2 S 2 S 1 Potencjał wektorowy wytwarzany przez cewkę nr 1 na powierzchni cewki nr 2 dany jest wzorem (3): A 1 ( r 2 ) = µ 0 j 1 ( r 1 ) 4π r 2 r 1 ds 1 (6) S 1 gdzie wektor r 2 wskazuje na punkt na powierzchni cewki nr 2 (punkt obserwacji), a wektor r 1 wskazuje na punkt na powierzchni cewki nr 1 (źródło pola). Potencjał wektorowy wytwarzany przez cewkę nr 2 na powierzchni cewki nr 1 dany jest wzorem analogicznym wzorem: A 2 ( r 1 ) = µ 0 j 2 ( r 2 ) 4π r 1 r 2 ds 2 (7) S 2 Powyższe wzory różnią się od siebie tylko zamianą indeksów 1 na 2. Oba składniki we wzorze na energię W 12 są więc sobie równe. Energię związaną z indukcyjnością wzajemną dwóch cewek obliczamy więc za pomocą następującej podwójnej całki powierzchniowej: W 12 = µ 0 j 1 j 2 4π r 1 r 2 ds 1 ds 2 = M 12 I 1 I 2 (8) S 2 Współczynnik samoindukcji solenoidu S 1 Cewkę walcową o promieniu R i nieskończonej długości nazywamy solenoidem. Niech n = N/l, będzie gęstością uzwojenia takiej cewki, gdzie N jest liczbą zwojów na długości l. Całkowa postać prawa Ampera zastosowana do zamkniętego konturu o długości l przecinającego solenoid wynosi: C B = B l = µ 0 I n l (9) Indukcja pola magnetycznego B wewnątrz solenoidu jest stała, skierowana wzdłuż 2
3 osi solenoindu 1 i ma wartość B = µ 0 I n. Energia pola magnetycznego zgromadzonego w odcinku solenoidu o długości l wynosi W = B2 2µ 0 V = µ 0 2 I2 n 2 πr 2 l = 1 2 LI2 (10) gdzie V jest objętością walca o długości l i promieniu podstawy R. Stąd współczynnik samoindukcji L odcinka solenoidu o długości l wynosi: L = µ 0 n 2 πr 2 l = µ 0 N 2 πr2 (11) l Można go stosować jako przybliżony wzór dla cewki walcowej o liczbie zwojów N, promieniu R i skończonej długości l. Współczynnik samoindukcji cewki walcowej Współczynnik samoindukcji dla cewki w kształcie walca o promieniu R, długości l i liczbie zwojów N obliczamy za pomocą wzoru całkowego (4) W = 1 2 S j A ds = µ 0 8π S S j( r) j( r ) r r ds ds = 1 2 LI2 (12) Przyjmując oś z układu cylindrycznego wzdłuż osi cewki możemy napisać r = [R cos φ, R sin φ, z], r = [R cos φ, R sin φ, z ] (13) gdzie 0 φ, φ 2π oraz 0 z, z l. Prąd w uzwojeniu płynie dookoła walca, kierunek wektora gęstości powierzchniowej prądu cewki j wyrażamy więc przez wersor e φ układu cylindrycznego: j( r) = n I [ sin φ, cos φ, 0], j( r ) = n I [ sin φ, cos φ, 0] (14) gdzie n = N/l jest gęstością uzwojenia. Obliczając iloczyny skalarne w równaniu (12) możemy napisać wyrażenie na energię pola magnetycznego cewki w postaci całki poczwórnej: W = µ 0 8π n2 I 2 l l z=0 z =0 φ=0 φ =0 cos(φ φ ) dz dz dφ dφ 2R 2 [1 cos(φ φ )] + (z z ) 2 (15) 1 Stosując prawo Ampera i prawo Gaussa w układzie cylindrycznym i powołując się na symetrię cylindryczną takiego solenoidu można pokazać, że jedyną nieznikającą składową indukcji jest składowa B z wzdłuż osi solenoidu. 3
4 Wprowadzając bezwymiarowe zmienne całkowania ξ = z/l, ξ = z/l oraz bezwymiarowy współczynnik η = R/l, możemy wyrażenie na indukcyjność cewki L zapisać jako L = 2W I 2 = L S 4π 2 ξ=0 ξ =0 φ=0 φ =0 cos(φ φ ) dξ dξ dφ dφ 2η 2 [1 cos(φ φ )] + (ξ ξ ) 2 (16) gdzie L S jest wartością indukcyjności (11) odcinka solenoidu o tych samych parametrach co rozpatrywana cewka walcowa. Przystąpimy teraz do obliczania bezwymiarowej całki poczwórnej w powyższym wzorze. Wprowadzając zmienną całkowania: u = φ φ, du = dφ, podwójną całke po kątach z wyrażenia zależnego od cos(φ φ ) można zapisać jako φ+2π φ=0 u= φ f(cos u) dφ du = 4π u=0 Stąd równanie (16) redukuje się do całki potrójnej f(cos u) du (17) L = L s π π u=0 ξ=0 ξ =0 cos u du dξ dξ 2η 2 (1 cos u) + (ξ ξ ) 2 (18) Do całki podwójnej po zmiennych ξ i ξ można zastosować podstawienie: v = ξ ξ, dv = dξ. Całkę podwójną z wyrażenia zależnego od v 2 można zapisać jako ξ+1 ξ=0 v= ξ f(v 2 ) dv dξ = 2 1 v v=0 ξ=0 f(v 2 ) dv dξ = 2 v=0 (1 v)f(v 2 ) dv (19) gdzie zamieniliśmy kolejność całkowania po zmiennych ξ i v dla obszaru przedstawionego na rysunku. 4
5 Wzór (18) redukuje się więc do całki podwójnej L = 2L s π v=0 u=0 Oznaczając u = 2ϕ oraz ζ = 2R/l możemy napisać L = 4L s π v=0 ϕ=0 (1 v) cos u du dv 2η 2 (1 cos u) + v 2 (20) (1 v) cos 2ϕ du dϕ ζ 2 sin 2 ϕ + v 2 (21) Całkę po v możemy wykonać korzystając z następującej elementarnej całki 0 1 v a2 + v 2 dv = a a ln(1 + a 2 + 1) ln a (22) gdzie a = ζ sin ϕ. Wzór (21) przyjmuje postać: L = 4L S π ϕ=0 + ln(1 + cos 2ϕ dϕ ( ζ sin ϕ ζ 2 sin 2 ϕ + 1+ ) ζ 2 sin 2 ϕ + 1) ln ζ ln sin ϕ (23) Indukcyjność L można więc zapisać jako sumę czterech całek pojedynczych gdzie L = 4L S π (I 1 I 2 + I 3 I 4 ) (24) I 1 = ϕ=0 ζ sin ϕ cos 2ϕ dϕ = ζ 3 (25) I 3 = I 2 = ϕ=0 ϕ=0 cos 2ϕ ζ 2 sin 2 ϕ + 1 dϕ = 2 ζ (K E) 3ζk 3k E (26) cos 2ϕ ln(1 + ζ 2 sin 2 ϕ + 1) dϕ = π (K E) (27) ζk I 4 = ϕ=0 cos 2ϕ (ln ζ + ln sin ϕ) dϕ = π 4 (28) 5
6 gdzie K(k) = jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju, E(k) = 0 /2 0 1 dθ (29) 1 k2 sin 2 θ 1 k 2 sin 2 θ dθ (30) jest zupełną całką eliptyczną drugiego rodzaju, natomiast liczba k 2 = ζ2 1 + ζ 2 (31) jest modułem całki eliptycznej. Indukcyjność cewki walcowej wynosi więc L = 4L S π Co można ostatecznie zapisać jako gdzie czynnik [ 1 ζ (K E) + 3ζk 3k E ζ ] 3 (32) L = L S f(ζ) (33) f(ζ) = 4 [ 1 3π ζk (K E) + ζ ] k E ζ jest bezwymiarową poprawką zależną od stosunku ζ = d/l średnicy cewki do jej długości. Poprawka ta opisuje efekty brzegowe wynikające z obcięcia nieskończonego solenoidu do długości l. Dla dostatecznie długiej i cienkiej cewki, dla której ζ 1, poprawkę można obliczać za pomocą rozwinięcia równania (34) w szereg względem ζ: f(ζ) 1 4ζ 3π + ζ2 8 + O(ζ4 ) (35) Wartość ζ = 0 odpowiada nieskończenie długiej cewce, dla której L = L S. * * * W podręcznikach z elektrotechniki można znaleźć przybliżony wzór Wheelera na indukcyjność cewki o liczbie zwojów N, oraz promieniu R i długości l wyrażonych w calach: (34) 6
7 L W [µh] = R2 N 2 9R + 10l (36) Jeśli R i L wyrazimy w metrach to L W = 39,37 µh R 2 N 2 9R + 10l Obliczony przez nas wzór (33) można zapisać jako (37) L = µ 0 N 2 πr2 f(2r/l) (38) l Przenikalność magnetyczna próżni wynosi 4π 10 7 H/m. Stąd L = 3,948 µh R2 N 2 f(2r/l) (39) l Stosunek wyznaczonej przez nas indukcyjności cewki walcowej do obliczonej ze wzoru Wheelera jest więc z dobrym przybliżeniem równy L L W = 0,1 f(2r/l) (9R/l + 10) = f(ζ) (0,45 ζ + 1) (40) Jak widać z poniższego rysunku oba wzory zgadzają się w szerokim zakresie d/l. Co znaczy, że poprawkę (34) można w dobrym przybliżeniu obliczać jako f(ζ) 1 0, 45 ζ + 1 (41) 7
8 Indukcyjność płaskiej cewki Zamiast nawijać cewkę na powierzchni walcowej, można przewód zwinąć na powierzchni płakiej w postaci spirali. Taką cewkę daje się na przykład wykonać przez wytrawienie odpowiedniej ścieżki na płytce drukowanej. Można także przeplatać zwykły przewód przez radialnie nacięty wzornik w kształcie koła. Jeśli założymy, że kolejne zwoje cewki są nawinięte dostatecznie blisko siebie, to prąd płynący przez cewkę możemy opisywać gęstością powierzchniową prądu j = ni, gdzie n jest gęstością uzwojenia. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym takiej cewki obliczamy stosując wzór całkowy (4). W = µ 0 j( r) j( r ) ds ds (42) 8π r r S S Załóżmy, że uzwojenie cewki zawiera się w płaskim pierścieniu o promieniach a < b. Na płaszczyźnie zawierającej cewkę zastosujmy biegunowy układ współrzędnych. Wektory wodzące r i r obiegające niezależnie powierzchnię cewki mają wówczas postać: r = r[cos φ, sin φ] r = r [cos φ, sin φ ] (43) gdzie a r, r b oraz 0 φ, φ 2π. Kierunek wektora gęstości powierzchniowej prądu jest zgodny z kierunkiem wersora e φ układu biegunowego: j( r) = In [ sin φ, cos φ] j( r ) = In [ sin φ, cos φ ] (44) Obliczając iloczyny skalarne w równaniu (42) otrzymujemy wyrażenie na energię pola magnetycznego w postaci całki poczwórnej: W = LI2 2 = µ 0 8π I2 n 2 b b r=a r =a φ=0 φ =0 cos(φ φ ) rdr r dr dφ dφ r 2 + r 2 2rr cos(φ φ ) (45) 8
9 Wprowadzając bezwymiarowe zmienne całkowania: ξ = r/b, ξ = r /b, kąt u = φ φ oraz bezwymiarowy parametr η = a/b < 1 możemy napisać wyrażenie na indukcyjność cewki spiralnej w postaci całki potrójnej L = µ 0 n 2 b 3 ξ=η ξ =η θ=0 cos u du ξξ dξ dξ ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u gdzie zredukowaliśmy dwie całki po φ i φ do jednej całki po u, korzystając z tożsamości (17). Współczynnik stojący przed całką można wyrazić przez liczbę zwojów cewki N n 2 b 3 = N 2 b 3 (b a) 2 = N 2 b (1 η 2 ) Całkę podwójną względem ξ i ξ po powierzchni kwadratu η ξ 1 i η ξ 1 można rozłożyć na dwie całki dzieląc kwadrat jego przekątną ξ = ξ : Dla ξ < ξ, oznaczając x = ξ /ξ < 1, dξ = ξ dx (46) (47) L = µ 0N 2 b (1 η) 2 (I 1 + I 2 ) (48) I 1 = ξ u=0 ξ=η ξ =η ξξ dξ dξ cos u du ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u = u=0 ξ=η x=η/ξ ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u (49) Dla ξ < ξ, oznaczając x = ξ/ξ < 1, dξ = ξ dx I 2 = ξ u=0 ξ =η ξ=η ξξ dξ dξ cos u du ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u = u=0 ξ =η x=η/ξ ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u (50) Jak widać I 1 = I 2, stąd L = µ 0N 2 b (1 η) 2 2I 1(η) (51) W całce potrójnej I 1 można zamienić kolejność całkowania zmiennych ξ i x, w dziedzinie całkowania przedstawionej na rysunku. 9
10 i wykonać całkowanie po ξ. I 1 = π u=0 x=η ξ=η/x ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u = 1 3 π u=0 x=η ( ) x η3 x 2 cos u du dx 1 + x2 2x cos u (52) Całki po x i po u można wykonać w programie Mathematica. Pierwsza z nich prowadzi do dość skomplikowanej całki elementarnej, a druga do zupełnych całek eliptycznych K i E pierwszego i drugiego rodzaju: I 1 (η) = 1 + η [ (1 η) 2 K(k) (1 + η 2 ) E(k) + 2(1 η + η 2 ) ] (53) 3 Moduł k całek eliptycznych jest równy k 2 = 4η (1 + η) = 4ab 2 (a + b) = ab (54) 2 r 2 gdzie r = (a + b)/2 jest średnim promieniem cewki. Dla η 1 obowiązuje rozwinięcie w szereg I 1 (η) 2 3 πη2 2 * * * (55) W literaturze z elektrotechniki można znaleźć następujący przybliżony wzór na indukcyjność cewki spiralnej: L S [µh] = r2 N 2 (56) 8r + 11w gdzie N jest liczbą zwojów cewki, r = (a + b)/2 jest średnim promieniem cewki, a w = (b a)/n jest grubością przewodnika. Wielkości r i w należy wyrazić w calach. Jeśli r i w wyrazimy w metrach to 10
11 r 2 N 2 L S = 39,37 µh 8r + 11w Wprowadzając parametr η = a/b < 1 i zakładając dużą liczbę zwojów N 1, możemy napisać (57) L S 2,5 µh bn 2 (1 + η) (58) Obliczony przez nas wzór (51) dla cewki spiralnej wynosi: L = 0,5133 µh bn 2 Jak widać z rysunku zgodność obu wzorów jest dość słaba. I 1 (η) (1 η) 2 (59) 11
Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowocz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 14: Pole magnetyczne cz.. dr inż. Zbigniew zklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoZastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji
napisał Michał Wierzbicki Zastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji Dla pól elektromagnetycznych harmonicznie zależnych od czasu z czynnikiem e iωt można zdefiniować zespolony
Bardziej szczegółowoWyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych
napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne
Pole elektromagnetyczne Pole magnetyczne Strumień pola magnetycznego Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest 1 weber (1 Wb) = 1 N m A -1. Zatem, pole magnetyczne B jest czasem nazywane gęstością
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja cz.2.
Wykład 14: Indukcja cz.. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 10.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Przykład
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoIndukcyjność. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2019 Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Powszechnie stosowanym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą
Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Pole magnetyczne przewodników z prądem
Rozdział 4. Pole magnetyczne przewodników z prądem 2018 Spis treści Prawo Ampere'a Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik Zastosowanie prawa Ampere'a - cewka Oddziaływanie równoległych
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 14: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w poprzednim odcinku 1 Pole magnetyczne Linie pola magnetycznego analogiczne do linii pola elektrycznego Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym (nie istnieje monopol magnetyczny!) Prawo Gaussa dla pola
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoFizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego
Zmienne pole magnetyczne a prąd Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Wnioski (które wyciągnęlibyśmy, wykonując doświadczenia
Bardziej szczegółowoWykład 15: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 15: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ 1 Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoFIZYKA 2. Janusz Andrzejewski
FIZYKA 2 wykład 5 Janusz Andrzejewski Janusz Andrzejewski 2 Janusz Andrzejewski 3 Pole wytworzone przepływem prądu Wektor d indukcji magnetycznej pola wywołanego przepływem prądu wynosi: r r r µ 0 Ids
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoPrądy wirowe (ang. eddy currents)
Prądy wirowe (ang. eddy currents) Prądy można indukować elektromagnetycznie nie tylko w przewodnikach liniowych, ale również w materiałach przewodzących o dowolnym kształcie i powierzchni, jeżeli tylko
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego
POLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego Pole magnetyczne magnesu trwałego Pole magnetyczne Ziemi Jeśli przez przewód płynie prąd to wokół przewodu jest pole magnetyczne.
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna
Podstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Dotychczas
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 6 Pola magnetyczne w materii 3 6.1 Magnetyzacja.....................
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa,
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 5 Magnetostatyka 3 5.1 Siła Lorentza........................ 3 5.2 Prawo
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 5. Pole magnetyczne II
Podstawy fizyki sezon 2 5. Pole magnetyczne II Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Indukcja magnetyczna
Bardziej szczegółowoMagnetyzm cz.i. Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera
Magnetyzm cz.i Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera 1 Magnesy Zjawiska magnetyczne (naturalne magnesy) były obserwowane i badane już w starożytnej Grecji 500 lat
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna................ 3 7.2
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoTeoria Pola Elektromagnetycznego
Teoria Pola Elektromagnetycznego Wykład 3 Pole elektryczne w środowisku przewodzącym 19.05.2006 Stefan Filipowicz 3.1. Prąd i gęstość prądu przewodzenia Jeżeli w przewodniku istnieje pole elektryczne,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE Magnetyzm. Pole magnetyczne. Indukcja magnetyczna. Siła Lorentza. Prawo Biota-Savarta. Prawo Ampère a. Prawo Gaussa dla pola
POLE MAGNETYCZNE Magnetyzm. Pole magnetyczne. Indukcja magnetyczna. Siła Lorentza. Prawo iota-savarta. Prawo Ampère a. Prawo Gaussa a pola magnetycznego. Prawo indukcji Faradaya. Reguła Lenza. Równania
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a
POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoIndukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem. dr inż. Romuald Kędzierski
Indukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem dr inż. Romuald Kędzierski Pole magnetyczne wokół pojedynczego przewodnika prostoliniowego Założenia wyjściowe: przez nieskończenie długi prostoliniowy
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoMagnetyzm cz.ii. Indukcja elektromagnetyczna Równania Maxwella Obwody RL,RC
Magnetyzm cz.ii Indukcja elektromagnetyczna Równania Mawella Obwody RL,RC 1 Indukcja elektromagnetyczna Prawo indukcji Faraday a Co się stanie gdy przewodnik elektryczny umieścimy w zmiennym polu magnetycznym?
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna.................. 3
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoRozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowoZagadnienie dwóch ciał
Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI
POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI Oprócz omówionych już oddziaływań grawitacyjnych (prawo powszechnego ciążenia) i elektrostatycznych (prawo Couloma) dostrzega się inny rodzaj oddziaływań, które nazywa się magnetycznymi.
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowo30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY
30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod
Bardziej szczegółowoMagnetyzm cz.i. Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera
Magnetyzm cz.i Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera 1 Magnesy Zjawiska magnetyczne (naturalne magnesy) były obserwowane i badane już w starożytnej Grecji 2500 lat
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne. Magnes wytwarza wektorowe pole magnetyczne we wszystkich punktach otaczającego go przestrzeni.
Pole magnetyczne Magnes wytwarza wektorowe pole magnetyczne we wszystkich punktach otaczającego go przestrzeni. naładowane elektrycznie cząstki, poruszające się w przewodniku w postaci prądu elektrycznego,
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY
Włodzimierz Wolczyński 47 POWTÓRKA 9 MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Zadanie 1 W dwóch przewodnikach prostoliniowych nieskończenie długich umieszczonych w próżni, oddalonych od siebie o r = cm, płynie prąd.
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoPotencjał pola elektrycznego
Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 4. Indukcja elektromagnetyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II 4. Indukcja elektromagnetyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ PRAWO INDUKCJI FARADAYA SYMETRIA W FIZYCE
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy
Ćwiczenie 13 Wyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy 13.1. Zasada ćwiczenia W uzwojeniu, umieszczonym na żelaznym lub stalowym rdzeniu, wywołuje się przepływ prądu o stopniowo zmienianej
Bardziej szczegółowoBadanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem
Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze
Bardziej szczegółowoEUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015
EROELEKTR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 014/015 Zadania z elektrotechniki na zawody II stopnia (grupa elektryczna) Zadanie 1 W układzie jak na rysunku 1 dane są:,
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoObwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika. r opór wewnętrzny baterii R- opór opornika
Obwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika r opór wewnętrzny baterii - opór opornika V b V a V I V Ir Ir I 2 POŁĄCZENIE SZEEGOWE Taki sam prąd płynący przez oba oporniki
Bardziej szczegółowoZad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.
Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowo