Dodawanie fal: Dla fal zapisanych jako fale o zespolonych amplitudach i takich samych wykładnikach jest to łatwe: Dodawanie fal:

Transkrypt

1 7. Inerferenca: fale soące, dudnienia i prędkość rupowa Fale soące: suma fal o przeciwnych kierunkach Dudnienia: suma fal o róŝnych częsoliwościach Prędkość fazowa (eszcze raz) Zarzymać świało Ruch z prędkością większą niŝ świało Dodawanie fal: Dla fal zapisanych ako fale o zespolonych ampliudach i akich samych wykładnikach es o ławe: ( x, ) E exp i( kx ) + E exp i( kx ) + E3 exp i( kx ) % % % % ( E + E + E3)exp i( kx ) % % % dzie zespolone fazy począkowe zaware są w E. ~, E ~ i E ~ 3 Ale zespolone eksponensy moą być róŝne! Na przykłąd: Zwróć uwaę na znak! ( x, ) E exp i( kx ) + E exp i( kx ) + E3 exp i( k3x + 3) % % % %? Zasada superpozyci: (układy liniowe) Zasadzie superpozyci podleaą fale (rozwiązania równania faloweo), w ym harmoniczna fala elekromaneyczna. Dwie fale kołowe zmarszczek na powierzchni wody przechodzą edna przez druą. W przeciwieńswie do przedmioów maerialnych, fale moą się przenikać. Moą nakładać się na siebie w przesrzeni i dy o zachodzi, wychylenia dodaą się. Pole elekromaneyczne pochodzące od kilku źródeł es sumą pól, akie wywarza kaŝde z ych źródeł. Ale uŝ naęŝenie świała pochodząceo od kilku źródeł nie spełnia zasady superpozyci, poniewaŝ es proporconalne do kwadrau sumy pól elekrycznych: Konsekwencą zasady superpozyci fal es inerferenca fal. Dodawanie fal: 4

2 Dodawanie fal o róŝnych ampliudach: Fala soąca - Wynik dodawania fal o e same dłuości fali, ale róŝnych kierunkach: Dla fal zapisanych ako fale o zespolonych ampliudach i akich samych wykładnikach es o ławe: ( x, ) E exp i( kx ) + E exp i( kx ) + E3 exp i( kx ) % % % % ( E + E + E3)exp i( kx ) % % % dzie zespolone fazy począkowe zaware są w E. ~, E ~ i E ~ 3 Ale zespolone eksponensy moą być róŝne! Na przykłąd: Zwróć uwaę na znak! ( x, ) E exp i( kx ) + E exp i( kx ) + E3 exp i( k3x + 3) % % % %? ( x, ) E exp i( kx ) + E exp i( kx + ) % % % E exp( ikx)[exp( i) + exp( i)] % E exp( ikx)cos( ) % PoniewaŜ musimy wziąć część rzeczywisą pól, orzymuemy: E ( x, ) E cos( kx)cos( ) o (E es rzeczywisa) Fale soące powsaą na przykład we wnękach laserowych, dzie odbiane są one am i z powroem między zwierciadłami. Fala soąca Fala soąca - Wynik dodawania fal o e same dłuości fali, ale róŝnych kierunkach: ( x, ) E exp i( kx ) + E exp i( kx + ) % % % E exp( ikx)[exp( i) + exp( i)] % E exp( ikx)cos( ) % E ( x, ) E cos( kx)cos( ) o Miesca, dzie ampliuda es zawsze równa zero o węzły fali. Miesca, dzie oscylace ampliudy są maksymalne o srzałki Węzły srzałki 3 4

3 Fala soąca Dudnienia świała: prędkość rupowa Mamy więc: E ( x, ) E cos( kx)cos( ) o E o (x,) E cos(k x ) cos( kx ) To es szybko oscyluąca fala: [cos(k x )] z wolnozmienną ampliudą: [E cos( kx )] fala nośna obwiednia Miesca, dzie ampliuda es zawsze równa zero o węzły fali. Miesca, dzie oscylace ampliudy są maksymalne o srzałki węzeł srzałka Prędkość fazowa wynika z części szybkozmienne: p / k A co z druą prędkością - prędkością ampliudy? Zdefiniumy prędkość rupową : / k W oólności prędkość rupowa o: d /dk Dudnienia świała: prędkość rupowa wynik dodawania fal elekromaneycznych o róŝnych częsoliwościach E ( x, ) Re{ E exp i ( k x ) + E exp i ( k x )} o o Niech E będzie rzeczywise k + k k k Wprowadźmy: Le k and i k Podobnie: Similiarly, + and i So: Tak więc: k k E ( x, ) Re{ E exp i ( k x + kx ) + E exp i ( k x kx + )} [ ] Re{ E exp i ( k x ) exp i ( kx ) + exp[ i ( kx )] } Re{ E exp i ( k x )cos( kx )} Prędkość rupowa i prędkość fazowa róŝnią się w ośrodkach z dyspersą (n()). Jeśli: Dla dwóch fal o róŝnych częsościach: k nck nck ck ck n n k k n n, nn( k k) n n c nck nck n n ( k k ) p (prędkość fazowa) E cos( k x )cos( kx ) Jeśli: n n, p szybko-zmienny wolno-zmienny 5 6

4 Prędkość rupowa es prędkością impulsu świelneo PoniewaŜ wyprowadziliśmy prędkość rupową uŝywaąc dwóch częsości, myślmy o nie ako o prędkości doyczące pewne (dane) częsości (częsość nośna) z obwiednią, kóre cenrum przesuwa się z prędkością fazową (prędkością impulsu) Kiedy φ, impuls przemieszcza się z ą samą prędkością co fala nośna (czyli ak, ak frony falowe): Dudnienia świała: prędkość rupowa d /dk E( ) E ( )exp[ ( )] ~ x ik x p ~ Obwiednia rozchodzi się z prędkością rupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową p / k z I < S r > cε [W/m ] Zdarza się o rzadko. Dudnienia świała: prędkość rupowa d /dk E( ) E ( )exp[ ( )] ~ x ik x p ~ Obwiednia rozchodzi się z prędkością rupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową p / k Inacze: E( ) I( z ) exp[ ik( z )] φ Dudnienia świała: prędkość rupowa Dla dwóch fal o róŝnych częsościach: E o (x,) E cos(k x ) cos( kx ) d /dk υ υ p Zazwycza, eneria propaue się z prędkością rupową A co z prędkością rozchodzenia się enerii? 7 8

5 Dudnienia świała: prędkość rupowa Poszczeólne fale: Suma: W ośrodku dyspersynym: fale harmoniczne o róŝnych częsościach rozchodzą się z róŝnymi prędkościami. Fala będąca paczką fal zawieraących częsości z pewneo przedziału będzie więc zmieniać swó kszał. KaŜda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową): p / k, Obwiednia: NaęŜenie (irradianca): 7 naomias paczka fal ako całość przesuwa się z prędkością p. Falę aką opisać moŝemy ako falę harmoniczną o zmieniaące się (modulowane) ampliudzie; prędkość rozchodzenia się rzbieów modulaci o prędkość rupowa: d/dk. 9 Podsumowanie (przypomnienie) Prędkość rupowa a dyspersa ośrodka: n() d /dk Częsość fali harmoniczne es aka sama w rozwaŝanym ośrodku, ak i poza nim, ale k k n, Tak więc wyodnie es pomyśleć o ako o zmienne niezaleŝne: PoniewaŜ: k n() / c, [ dk d] / pochodna k: dk /d ( n + dn/d ) / c c / ( n + dn/d) (c /n) / ( + /n dn/d ) φ / k c /n, dn Osaecznie: φ / + c / (n + dn/d) n d Tak więc prędkość rupowa równa es prędkości fazowe, ylko wedy, dy dn/d, (brak dyspersi, ak ak np. w próŝni). 9

6 Dyspersa prędkości rupowe a impulsy świała Impuls świała zawiera wiele częsości. Prędkość rupowa będzie róŝna dla róŝnych dłuości świała. czasowy począek impulsu r (Ŝóła) < r (czerwona) czasowy koniec impulsu Dyspersa powodue zmianę kszału impulsu! Dielekryki liniowe: funkca dielekryczna w modelu Lorenza Gdy ośrodek posiada wiele częsości rezonansowych : Prawie wszędzie: dn/d >, Ne f ε r ( ) + ε m ( iγ ) κ n e Rezonanse: oscylacyne i roacyne podczerień widzialne UV X czesoliwość (Hz) prześcia elekronowe am eŝ: p c /n Dyspersa: funkca dielekryczna i współczynnik załamania w modelu Lorenza Ne ε r ( ) + ε me ( iγ) ε + i ε n ~ ( ) ε ( ) n ( ) Re n ~ ( ) κ ( ) Im n ~ ( ) współczynnik załamania i współczynnik eksynkci (absorpci) Prędkość rupowa a dyspersa ośrodka A co się dziee w obszarze anomalne dyspersi? c / (n + dn/d) dn/d es uemne. Tak więc moŝe przewyŝszyć c dla ych częsości! Współczynnik załamania n Obszary dyspersi anomalne < c < c < c Dyspersa Dyspersa Dyspersa normalna normalna normalna Prędkość rupowa moŝe przekroczyć c w ośrodku w obszarze anomalne dyspersi

7 Prędkość rupowa a dyspersa ośrodka A co się dziee w obszarze anomalne dyspersi? κ n Rezonanse: oscylacyne i roacyne c / (n + dn/d) dn/d es uemne. Tak więc moŝe przewyŝszyć c dla ych częsości! Ale: prześcia elekronowe Obszary dyspersi anomalne są: spekralnie wąskie sowarzyszone z rezonansową absorpcą Prędkość rupowa a dyspersa ośrodka A co się dziee w obszarze anomalne dyspersi? c / (n + dn/d)? podczerień widzialne UV X Prędkość rupowa moŝe przekroczyć c w ośrodku w obszarze 5 czesoliwość (Hz) anomalne dyspersi 7 Prędkość rupowa a dyspersa ośrodka A co się dziee w obszarze anomalne dyspersi? κ n Rezonanse: oscylacyne i roacyne c / (n + dn/d) dn/d es uemne. Tak więc moŝe przewyŝszyć c dla ych częsości! Ale: prześcia elekronowe Obszary dyspersi anomalne są: spekralnie wąskie sowarzyszone z rezonansową absorpcą Czy moŝna: zarzymać świało? przyspieszyć świało?!? podczerień widzialne UV X A moŝe prędkość rupowa nie ma sensu w obszarze 6 czesoliwość (Hz) anomalne dyspersi? 3 4

8 Propaaca impulsu w ośrodku dyspersynym, Szybcie niŝ świało Power (µw) "slow-lih medium Vacuum - 4 Time (ns) del 67.5 ns Delayed ośrodek dyspersyny Wyniki obserwaci doświadczalnych: Power (µw) power (µw) "fas-lih medium adanced ime (ns) ad 7.4 ns acuum power (µw) c 3 km s - - prędkość świała w próŝni (w kosmosie) es edną z napowszechnie znanych sałych fizycznych Obieky posiadaące masę wymaaą nieskończenie duŝe enerii by ą osiąnąć, Cząseczki bezmasowe akie ak foon w próŝni przenoszą (swoą) enerię dokładnie z prędkością c, Relaywisyczne poęcie ednoczesności prowadzi do wniosku, Ŝe informaca nie moŝe wędrować szybcie niŝ świało (eśli nie chcemy zrezynować z sysemu poęć i loiki, kórymi się doąd posłuiwaliśmy). Niemnie ednak prędkości większe niŝ c są obserwowane! Zarzymać świało Szybcie niŝ świało W obszarze anomalne dyspersi, eśli: Kompuery opyczne? Złapanie świała w kryszałach silikonowych umoŝliwiłoby konsrukce kompuerów na nowych zasadach Podziurkowana warswa silikonu: spowalniaący świało świałowód skonsruowany z myślą o uŝyciu do buforowania synałów opycznych ako elemen kompuera opyczneo (fooniczneo) lub rouera siecioweo. impuls es dosaecznie wąski spekralnie obszar, przez kóry wędrue es dosaecznie króki, ładki fron falowy impulsu es modyfikowany przez ośrodek i: moŝliwa es obserwaca propaaci prędkości rupowe impulsu z prędkością większą niŝ c (~(3 x c)), ale prędkość ransmiowane enerii impulsu o zmodyfikowanym kszałcie wiąŝe się nie z prędkością rupową impulsu,, ale doyczy prędkości, z aką porusza się wiodąca krawędź (fron) impulsu w ośrodku. Prędkość a nie przekracza prędkości c. Wniosek: rzeba przemyśleć definicę prędkości przenoszenia enerii i określić ą na nowo! 5 6

9 Jak przekazywana es informaca? Z aką prędkością się ona porusza? Brak dobre odpowiedzi!!! Manipulaca świałem Nowe narzędzia Uemny współczynnik załamania (meamaeriały) Anomalna dyspersa ze zminimalizowaną absorpcą (pompowanie opyczne, kryszały fooniczne) Szybcie niŝ świało Wniosek: rzeba przemyśleć definicę prędkości przenoszenia enerii i informaci określić ą na nowo! Ani prędkość rupowa, ani prędkość fazowa nie są dobrymi poęciami, by opisać prędkość przenoszenia informaci impulsu w warunkach wykonanych doświadczeń. Jes nią prędkość synału, zdefiniowana ako prędkość wędrówki fronu faloweo impulsu. Zodnie z Teorią Wzlędności, prędkość a nidy nie moŝe przekroczyć prędkości świała w próŝni, poniewaŝ, dyby ak się sało, oznaczałoby o synał cofaący się w czasie (sprzeczność z zasadą przyczynowości). Zadanie domowe: Sellmeier wyprowadził nasępuące wyraŝenie na zaleŝność współczynnika załamania od dłuości fali: n A + ( λ λ PokaŜ, Ŝe wyraŝenie o odpowiada wyraŝeniu: Ne ε r ) + ε m w obszarach przezroczysości z dala od linni absorpcynych. Określ wynikaące warości A i λ. λ ( e ) f ( iγ ) 7 8