Równanie falowe. Fale podłużne a fale. poprzeczne : Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych:

Transkrypt

1 Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: Fale podłużne a fale poprzeczne zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa, korpuskularno-falowa teoria światła poprzeczne : podłużne : kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p) Fale Wykład 2. Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna na Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomów Zadania Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe funkcji f: f x 1 f = v t Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, ę fal powierzchniowych). Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) są rozwiązaniem równania falowego z v = c

2 Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie: Długość fali E(x,t) = A cos[(k x ω t ) θ ] Fala harmoniczna: długość fali f ( xt, ) = f ( x± v t) λ ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n Amplituda wektor falowy: k = 2π/λ liczba falowa: 1/λ okres fali gdzie f (u) może być dowolną funkcąj podwójnie różniczkowalną. Zmiana λ w ośrodku niejednorodnym z tłumieniem Amplituda Amplituda częstość kołowa: ω=2π/τ częstość: λ w pewnym ν=1/τ momencie czasu Fale: parametryzacja Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe: E(x,t) = E 0 cos[(k x ω t ) θ ] A Oscylacje w czasie i przestrzeni A - amplituda θ - faza początkowa (faza absolutna) θ = 0 θ = 3/2 π Fala harmoniczna E(x,t) = A cos[(k x ω t ) θ ] wielkości przestrzenne: długość fali wektor falowy: k = 2π/λ liczba falowa: 1/λ okres fali wielkości czasowe: częstość kołowa: ω=2π/τ częstość: ν=1/τ 3 4

3 Prędkość fazowa fali harmonicznej nie wystarczy, by opisać fale bardziej złożone! długość fali prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie: v p = λ / T, lub: v p = ω / k Prędkość grupowa Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej. E( t) = E0( z v t)exp[ ik( z v t)] Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. v υ g g v υ p p Na przykład: W ośrodkach dyspersyjnych fale o różnych różnych częstotliwościach rozchodzą się z różnymi: ω = ω(k). Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych ω opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa v g dω /dk Prędkość grupowa wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych. Np. E(t) = A cos(ϕ), ϕ = k x ω t θ gdzie faza fali: ϕ = ϕ(x,y,z,t) (w przeciwieństwie do fazy początkowej θ), zmienia się się w czasie i przestrzeni. Zmiany fazy w czasie: ω = ϕ / t Zmiany fazy w przestrzeni: k = ϕ / x W języku fazy prędkość ę grupowa: v φ / t t = φ / x Taka definicja jest przydatna dla naprawdę skomplikowanych fal. Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa. g Prędkość grupowa fal w ośrodkach z dyspersją: n(ω) v g dω /dk Częstość fali harmonicznej ω jest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale: ω k = k 0 n= n k c 0 jest wektorem falowym w próżni, 0 n(ω) jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o ω jako o zmiennej niezależnej: Mamy więc: k = ω n(ω) / c 0, v pochodna k: dk /dω = ( n + ω dn/dω ) / c 0 [ / ] 1 g dk dω Ostatecznie: v g = c 0 / ( n + ω dn/dω) ) = (c 0 /n)) / (1 + ω /n dn/dω ) v φ = ω / k = c 0 /n, - prędkość światła w próżni zmniejszona przez wsp. załamania ω dn vg = v φ / 1+ v g = c 0 / (n + ω dn/dω) ndω 5 6

4 Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka: n(ω) v g dω /dk Częstość fali harmonicznej ω jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i poza nim, ale k = k 0 n,, gdzie k 0 jest wektorem falowym w próżni i n jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o ω jako o zmiennej niezależnej: Ponieważ: k = ω n(ω) / c 0, v g = v φ / [ dk dω] 1 pochodna k: dk /dω = ( n + ω dn/dω ) / c 0 v g = c 0 / ( n + ω dn/dω) = (c 0 /n) / (1 + ω /n dn/dω ) v φ = ω / k = c 0 /n, ω dn vg = v φ / 1+ v g = c 0 / (n + ω dn/dω) Ostatecznie: ndω Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy dn/dω = 0, (brak dyspersji, tak jak np. w próżni). g Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światła Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie różna dla różnych długości światła. czasowy początek impulsu v gr (żółta) < v gr (czerwona) czasowy koniec impulsu Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW). W ośrodku dyspersyjnym: fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierajacych częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt. Każda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową): v p = ω / k, natomiast paczka fal jako całość przesuwa się z prędkością v g v p. Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa w układach telekomunikacyjnych: Ciąg impulsów wchodzących Dyspersja sprawia, że impulsy rozciągają się w czasie. Wiele kilometrów światłowodu Falę taką opisać możemy jako falę harmoniczną o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie; prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji to prędkość grupowa: v g = dω/dk. Dyspersja narzuca długości fal, dla których transmisja systemów telekomunikacyjnych jest możliwa oraz stawia wysokie wymagania na parametry światłowodów (kompensacja dyspersji). Ciąg impulsów wychodzących 7 8

5 Czy można: zatrzymać światło? przyspieszyć światło?!? Prędkość grupowa (v g ) a prędkość fazowa (v p ) Czy można pokonać prędkość światła? Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c 0, musimy dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/dω w dostatecznie dużym obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome, a absorpcja powinna być jak najmniejsza. Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie impulsem światła laserowego. Impuls świetlny napompuje układ stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji; odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu: ałamania bsorpcji Współczynnik za Współczynnik ab Obszar przydatny 2 Nachylenie zbyt duże Nachylenie zbyt małe Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji? v g = c 0 / (n + ω dn/dω) dn/dω jest ujemn. Tak więc v g może przewyższy c 0 dla tych częstości! załamania n Współczynnik Obszary dyspersji anomalnej v g < c 0 v g < c 0 v g < c 0 Dyspersja normalna Dyspersja normalna Dyspersja normalna Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/dω < 0 w wąskich przedziałach częstości (schodek), tak wiec osiągniecie v g > c 0 nie jest trywialne (np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości) Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Pole elektryczne fali świetlnej o częstości ω można opisać: E(x,t) = A cos(kx ωt θ) Ponieważ exp(iϕ) = cos(ϕ) )+i i sin(ϕ) (formuła ł Eulera El ):) lub E(x,t) = Re { A exp[i(kx ωt θ)] } E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx ωt θ)] + c.c. gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem. Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx): 9 10

6 Przypomnienie: liczby zespolone Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać: Tak więc: ę i z = Re{ z } + i Im{ z } Re{ z } = 1/2 ( z + z* ) Im{ z } = 1/2i ( z z* ) gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i i ) Wielkość z (moduł), liczby zespolonej: Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości. Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów: Etot ( x, t) = E1exp i( kx ωt) + E2exp i( kx ωt) + E3exp i( kx ωt) % % % % = ( E1+ E2 + E3)exp i( kx ωt) % % % gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E 1, E 2, i E 3. z 2 = z z* = R{ Re{ z } 2 +I Im{ z } 2 Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(iϕ). z A 2 = Re{ z } 2 + Im{ z } 2 tan(ϕ) = Im{ z } / Re{ z } Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy: (, ) = exp ( ω θ) E x t A i kx t Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie. W wyniku otrzymujemy zespolone amplitudy": Tak więc: { } (, ) = { Aexp ( iθ )} exp ( x ω ) E x t i k t E0 = Aexp( iθ ) (note uwaga the na " ~ ") % (, ) = exp ( ω ) E x t E0 i kx t % % Jak odróżnić, E 0 jest rzeczywiste, czy zespolone? Pole tak zapisane jest całkowicie zespolone! Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona. Fala płaska: E 0 exp[ i ( k r r ωt )] % Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń. Płaszczyzny frontów falowych są odległe o długość fali. Są one prostopadłe do kierunku propagacji. Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj rysujemy linie

7 Wiązka laserowa a fala płaska Płaszczyzniane fronty falowe fali płaskiej wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie! Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego. 2 2 x + y Exyzt (,,, ) = E0 exp exp[ ikz ( ωt) ] 2 % % w Zlokalizowane fronty falowe z y x w Plamka wiązki laserowej na ścianie Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: E r - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], B r - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m 2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m 2 ] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] ε r - przenikalność elektryczna ośrodka, µ r - przenikalność magnetyczna ośrodka, -gęstość prądu swobodnego, [A/m 2 ], ρ -gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3 ] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. sformułowanie makroskopowe r r r D ε E + P = 0 Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie. E r - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], B r - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], ε 0 - przenikalność elektryczna, µ 0 -przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej. Migawka w czasie t: Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są wzajemnie prostopadłe: E r B r k r 13 14

8 Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi:, gdzie: h jest stałą Plancka, k jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2π /λ, ), ω=2π/ν jest częstością kołową. Wektor k wskazuje kierunek propagacji. Fotony Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości. Długość momentu pędu wynosi, tak więc jego składowe mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą odpowiednio. Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacji kołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to superpozycja tych polaryzacji. Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega więc ę statystyce y Bosego Einsteina. Dowolna liczba bozonów może dzielić ten sam stan kwantowy. Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi:, gdzie: h jest stałą Plancka, k jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2π /λ, ), ω=2π/ν jest częstością kołową. Wektor k wskazuje kierunek propagacji. W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i jego energia E i pęd p powiązane są relacją: E=cp cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu dla cząstki posiadającej masę byłby: E 2 = (cp cp) 2 +(mc 2 ) 2 (szczególna teoria względności). Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują nas o charakterze źródła światła. Bose- Einstein Poisson Przypadkowe (niespójne) źródła światła takie jak gwiazdy (Słońce) i żarówki, emitują fotony przypadkowo rozłożone w czasie i statystyce Bosego- Einsteina. Laserowe (spójne) źródła światła, posiadają bardziej jednorodne (choć nadal przypadkowe) rozkłady czasowe o poissonowskim rozkładzie prawdopodobieństwa

9 Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku, zgodnie z zasada zachowania pędu. Spowalnianie atomów światłem lasera Podstawy chłodzenia i pułapkowania atomów światłem laserowym Nobel 1997 S.Chu, C.Cohen-Tannoudji, Cohen-Tannoudji W.Phillips CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI: wiązka lasera po zabsorb. 1 fotonu: wiązka atomów v R = ħk/m = 3 cm/s Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed wzbudzeniem = 6 mw/cm 2 1 atom czas zatrzymania: 1 ms droga hamowania: 0,5 m przyspieszenie: 10 6 m/s 2 p = Σ ħ k abs - Σ ħ k em = N ħ k L 0 Fotony ciśnienie światła Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd. Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m 2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi: P= S/c P (1400 W/m 2 )/(3x10 8 m/s) 5x10-6 Pa << P =10 atm 5 Pa Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową. Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne: Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze) Pułapki magneto-optyczne umożliwiają ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych atomów do temperatur rzędu 100µK PUŁAPKA MOT IF PAN IF PAN (M. Głóź) IF UW (W. Gawlik) Laboratorium FAMO (Toruń) Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsa o 15,000 km) Wnętrza gwiazd Chmura zimnych atomów Rb w centrum pułapki 17 18

10 Photons "What is known of [photons] comes from observing the results of their being created or annihilated." Eugene Hecht Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią. Indeks haseł dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa Chłodzenie atomów światłem laserowym Ciśnienie światła Dyspersja (czasowa) Dyspersja prędkości grupowej Fala elektromagnetyczna Fale podłużne Fale poprzeczne Prędkość fazowa Prędkość ę grupowa Równania Maxwella w próżni Równania Maxwella w ośrodkach materialnych Równanie falowe skalarne Spin fotonu Światło jako fala elektromagnetyczna Światło jako strumień fotonów Zadania: 1. Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe. 2. Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość ω zależy od długości fali λ)