4 KWADRYKI W PRZESTRZENI RZUTOWEJ

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "4 KWADRYKI W PRZESTRZENI RZUTOWEJ"

Danuta Angelika Janowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 252 ROZDZIAŁ 5. KWADRYKI 2- Niech 77 = F2iP2 będzie płaszczyzą rzutową ad ciałem F2 (złożoą z sied miu puktów); iech p i q będą dwoma różymi jej puktami. Ile istieje automorfizmów płaszczyzy 77, przeprowadzających p a q? 3 Udowodić, że każde przekształceie rzutowe przestrzei rzutowej zespoloej ma co ajmiej jede pukt stały. 4 KWADRYKI W PRZESTRZENI RZUTOWEJ 1. K lasyfikacja. Niech V będzie rzeczywistą przestrzeią liiową wymiaru + 1 > 2, q - formą kwadratową a V, a / - - odpowiadającą jej symetryczą formą dwuliiową. Zbiór O tych wektorów x V, dla których ę(x) = 0. azy wamy stożkiem, izotropowym, formy q. Jeśli zbiór te ie składa się tylko z 0. to obraz C zbioru C \ {0} przy odwzorowaiu kaoiczym 7r : V \ {0} >P(V') ( 3) azywamy kwadryką rzutową (stożkową rzutową, dla 2). Defiicja ta jest zgoda z wcześiejszą ogólą defiicją zbioru algebraiczego w przest rzei rzutowej - wystarczy zapisać formę q w (dowolych) współrzędych jedorod ych. Jeśli forma ą jest iezdegeerowaa, to i kwadrykę C azywamy iezdeyermwaą. Jeśli C jest podprzestrzeią rzutową wymiaru r, gdzie r < (czyli ma rówaie Xq x2. = 0 w odpowiedim układzie współrzędych), to podobie jak w przypadku afiiezyi mówimy, że C jest podprzestrzeią podwóją. Wybierzmy w V dowolą bazę (eo, e 1,.... e ). Wtedy w odpowiedim ukła dzie współrzędych o początku w 0 stożek C jest określoy przez rówaie ( i ) Jest to także rówaie kwadryki C we współrzędych jedorodych. Jak wia domo, bazę (e.j) moża wybrać tak, by forma q przybrała postać ormalą. Po ieważ obie stroy rówaia (1) moża pomożyć przez 1, mamy prawo zakła dać, że w tej postaci ormalej co ajmiej połowa kwadratów współrzędych występuje ze zakiem plus. Powołując, się teraz a prawo bezwładości form kwadratowych oraz a fakt. że przejście od jedej bazy w V do drugiej odbywa się za pomocą przekształceia A 6 GL(U), któremu odpowiada przekształceie rzutowe A E PGL(U) (li 3). otrzymujemy TW IERDZENIE 1. Każda kwadryka w -wymiarowej przestrzei rzutowej P(V/ ). iebędąca podprzestrzeią podwóją, jest rzutowo rówoważa dokładie jedej kwadryce o rówaiu x l xl - x 2s+l 0, [r/2] < s < r. (2) 1

2 4. KWADRYKI W PRZESTRZENI RZUTOWEJ P rz y k ła d y i p rzed staw ie ia afiicze kw ad ry k rzutow ych. Wi dzimy, że klasyfikacja kwadryk rzutowych jest zaczie prostsza iż w przypadku afiiczym, a tym bardziej euklidesowym. Dobrą ilustracją jest tu przykład 1 z 3: różiące się afiiczie elipsa, hiperbola i parabola odpowiadają tej samej krzywej rzutowej w różych mapach afiiczych. W przypadku wielowymiarowym sytuacja jest aalogicza. Na przykład w P3 istieją tylko dwie róże kwadryki iezdegeerowae, określoe przez rówaia «o + «? + <*l - «1 = 0, «o + a? - (Ą - «3 = 0. (3) Kwadryka C : + «i + «2 - «I = 0 obejmuje elipsoidę, hiperboloidę dwupowłokową i paraboloidę eliptyczą: pierwsza, odpowiada mapie A3 = e3 + V3, druga mapom Ao, At lub A2, a trzecia mapie, otrzymaej w wyiku zamiay współrzędych fia = «0, fi\ «1, Ih = «2 (*:t, fis = «2 + Wtedy rówaie kwadryki C przybiera postai' fio + fi 1 + / ^ 2 A t o, co odpowiada paraboloidzie eliptyczej w mapie A' = e!j + Tt'. Te trzy przypadki różią się częścią wspólą kwadryki aliiczej Cafi z płaszczyzą iewłaściwą m y Cafi P(Kt) = 0, gdy Cafi jest elipsoidą; Cafi Ÿ(V2) jest okręgiem, gdy Cafi jest, hiperboloidą dwupowłokową; Cafi CP(VJj) jest puktem podwójym (0 : 0 : 1 : 0), gdy Cafir, jest, paraboloidą eliptyczą. Aalogiczie moża pokazać, że kwadryka odpowiadająca drugiemu z rówań (3) obejmuje hiperboloidę jedopowłokową i paraboloidę hiperboliezą. Nietrudo też zaleźć przedstawieie ogólej kwadryki rzutowej (1) (iepustej i iebędącej podprzestrzeią podwóją) w mapie afiiczej (A,<Z>). Wybieramy bazę (eo,ei,...,e ) w V taką, że hiperplaszezyza A rówa się Ao = eo + To Wtedy <?>= <I>oi w układzie współrzędych (eo; e i,..., e) kwadryka S = CflA = $0(C) ma rówaie Q(eo + y) = Vi Vi + <A>o- (4. i, j = 1 t=l Jeśli macierz ie jest zerowa, to kwadryka afiicza S o rówaii (4) ie jest zbiorem pustyi ai podprzestrzeią podwóją. Istotie, w przeciw ym razie fukc ja kwadratowa Q przyjęłaby w pewym układzie współrzędycł (f0;fi,...,f) postać ± ( 5 2 2*2 + e)> i=l 2

3 2 5* ROZDZIAŁ 5. KWADRYKI gdzie s 0 lub e = 1. Wtedy rówaiem kwadryki rzutowej we współrzędych jedorodych odpowiadających bazie (f*) byłoby XX i zf = 0 lub J2i=oz'f = co ie może mieć miejsca. Na odwrót, każda kwadryka afiicza S (iepusta i iebędąca podprzestrze ią podwóją) jest przedstawieiem w mapie dokładie jedej kwadryki rzu towej w P(V). Istotie, rówaiu (4) kwadryki S w układzie współrzędych (e0; e j,..., e) odpowiada forma kwadratowa q postaci (1) i stożek C. Poie waż macierz i Jest iezerowa, więc tym bardziej ( < ^ 0. Gdyby w pewym układzie współrzędych forma q miała postać </(z) = ± X)Xo zf to stożek C byłby podprzestrzeią rzutową, wbrew założeiu o S = C fi A. Zatem q(x) = 0 jest rówaiem pewej kwadryki rzutowej C, iebędącej podprzestrzeią rzutową, a S jest jej przedstawieiem w mapie afiiezej A. Jeśli S jest jedo cześie przedstawieiem iej kwadryki C' C P(F) o rówaiu q\(x) = 0. to odpowiedie fukcje kwadratowe Q i Q\ są proporcjoale ( 2. twierdzeie' 1). Wtedy formy kwadratowe q i q\ są też proporcjoale, a stąd C = C '. Zwróćmy uwagę a fakt, że w przestrzei rzutowej zaika różica między wal cami i stożkami: prostoliiowe tworzące walca, rówoległe z ałiiezego puktu widzeia, przeciają się w pukcie w ieskończoości. Na przykład stożek -i f+.r x \ = 0, walec eliptyczy, walec paraboliczy i walec hiperboliezy w trójwymia rowej przestrzei afiiezej są przedstawieiami w różych mapach afiiczych jedego i tego samego walca" o 2 + j)2 - f = 0 w trójwymiarowej przestrzei rzutowej. 3. P rzecięcie k w adryki rzutow ej z p ro stą. Jak ależało się spodziewać, w odróżieiu od przypadku afiiczego w przestrzei rzutowej każda (iepusta) kwadryka przecia każdą prostą (być może w pukcie urojoym). Istotie, załóżmy, że kwadryka C ma rówaie (1), a prosta rówaie Xi = //. + idą. i = 0,1... (5) Tutaj a -- (ao : aj :... : a) i b = (bo : b\ :... : b) są dwoma puktami a prostej. Po podstawieiu (5) do (1) otrzymamy q{ a)p2 + 2/(a, b)/j.u + q{h)u2 = 0. (6) Iteresują as rozwiązaia (/*, v) ^ (0,0), poieważ współrzęde r0,...r ie mogą wszystkie być zerami. Jeśli D = / ( a,b)2 - ą(a)ę(b) ^ 0, otrzymujemy dwa rozwiązaia (fi, u) (być może zespoloe sprzężoe), odpowia dające dwóm puktom wspólym prostej i kwadryki. Jeśli D 0, ale ie wszystkie liczby q(a), ą(b), /(a, b) są zerami, to prosta i kwadryka mają jede pukt wspóly p. Jeśli pukt te ie jest osobliwy, tz. J^- - 7Ś 0 dla pewego i, to prosta (5) jest stycza do kwadryki. 3

4 4. KWADRYKI W PRZESTRZENI RZUTOWEJ 255 Jeśli wreszcie g(a) = <z(b) = / (a, b) = 0, to rówaie (6) staje się tożsamością, i prosta (5) w całości leży a kwadryce C, jest więc jej tworzącą prostoliiową. Widzimy, że dla kwadryk rzutowych pojęcie kieruku asymptotyczego ie ma sesu. 4. Ogóle uwagi o kw adrykach rzutow ych. 1) Rozważmy pukt a P(P) i rówaie /(a,x) = Pu0**] = 0, (7) 'J=o gdzie / jest formą dwuliiową, bieguową dla formy kwadratowej q. Jeśli wszyst kie współczyiki przy x.j są zerami, to P O O ^ O + y? i o «l + + <fio<l 0, po^o 4- Pi^i 4" "h ^ d, a poieważ ie wszystkie współrzęde jedorode a* są rówe zeru, więc det((/?ij)gj=o = 0. Iaczej mówiąc., jeśli rówaie (7) jest tożsamością, to kwadryka C (o rówaiu q(x) = 0) jest zdegeerowaa, pukt a leży a tej kwadryce i jest jej puktem osobliwym. Jeśli wykluczymy powyższy przypadek, to rówaie (7) określa hiperpłaszczyzę rzutową 77 C P(P). zwaą hiperplaszc.zyzą bieguouią puktu a względem kwadryki C. Pukt a azywamy wtedy bieguem hiperpłaszczyzy 77 względem kwadryki C. Hiperpłaszczyza bieguowa Tl puktu a przechodzi przez a dokład ie wtedy, gdy a e Ć. Każda hiperpłaszczyza rzutowa 77 o rówaiu po*o 4- P\X\ px = 0 ma dokładie jede biegu względem każdej iezdegeerowaej kwadryki C C P(P). Istotie, jeśli det {pij)i<j=;o ^ 0, to układ rówań P o j d o 4- p i j ( ( p j d = P j i j 0, 1,...,, ma dokładie jedo rozwiązaie. 2) Naturale jest rozpatrywaie kwadryk, jak też i iych zbiorów algebra iczych, z zespoloego puktu widzeia. Zbiory algebraicze w CP dają możli wość wikięcia w wiele subtelych kwestii, ierozstrzygalych w przypadku rze czywistym. Przypomia to zagadieie poszukiwaia pierwiastków wielomiaów o współczyikach rzeczywistych wiemy z części I, że tylko w dziedziie zespo loej możliwe jest jego pełe rozwiązaie. W części 3 podręczika [2] dokoujemy porówaia, przestrzei rzutowych MP i CP; ważą rolę odgrywa tu kompleksy- (8) 4

5 256 ROZDZIAŁ 5. KWADRYKI Akacja P(V'C) rzeczywistej przestrzei rzutowej P(V) w duchu rozdziału 3 ( 4). Kaoicze zaurzeie V c V c pozwala przyporządkować każdej prostej rzeczy wistej w V jej kompleksyakację, będącą prostą zespoloą w Vc ; daje to zaurzeie P(V) C P(\/C). Wtedy pukty z P(UC) \ P(V) stają się puktami zespoloymi" rzeczywistej przestrzei rzutowej P(V). ĆWICZENIA 1 Udowodić, że w przestrzei rzutowej RP3 istieje dokładie 8 klas rzutowo ierówoważych kwadryk (włączając, kwadryki puste, zdegeerowae oraz podprzestrzeie podwóje). Kwadryki te (w odpowiedim układzie współ rzędych jedorodych) są określoe rówaiami: ( l ) t f + t f + g + e! = 0; (2Ko2 -K? + = 0; (5) % + $ - = 0; (6) +*?=<>; (7) = 0: 2. (4) + (i + ^ = ; (8) $ = 0. Wykorzystując: ćwiczeie 1 oraz ćwiczeie 5.2.1, opisać przedstawieia afiicze kwadryk typów (1) (3). 5

Podobne dokumenty

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład