Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej

Transkrypt

1 Jacek Cichoń Katedra Iformatyki Wydział Podstawowych Problemów Techiki Politechiki Wrocławskiej MAP3045: Algebra z Geometrią Aalityczą Wykład przezaczoy jest dla studetów I roku I stopia Iformatyki a WPPT. Odbywa się w poiedziałki w godz. 9:5 :00 w sali.30 (C 3) oraz w środy w godz. 3:5 5:00 w sali.30 (C 3). Na stroie tej zajdziesz iformacje o zasadach zaliczeia, realizowaym materiale, literaturze oraz listę zadań. Ćwiczeia do wykładu prowadzą: mgr D. Bojko, dr P. Kubiak, dr K. Majcher. Zasady zaliczaia kursu Na ćwiczeiach odbędą się trzy 30 miutowe kolokwia. Na każdym z ich dostaiecie do zrobieia 3 zadaia. Za każde z ich będziecie mogli otrzymać do 5 puktów. Za aktywość moża uzyskać dodatkowo do 5 puktów. Ocea końcowa z ćwiczeń będzie wystawiaa za pomocą astępującej tabelki: Pkt C Literatura Podstawowa. A. Białyicki Birula, Algebra, PWN 97.. B. Gleichgewicht, Algebra, GiS Mostowski, M. Stark, Elemety algebry wyższej, PWN 970 Pomocicza. Victor Shoup, A Computatioal Itroductio to Number Theory ad Algebra (Versio ). Lida Gilbert, Jimmie Gilbert, Elemets of Moder Algebra, Brooks/Cole, Cegage Learig, T. Bachoff, J. Wermer, Liear Algebra Throught Geometry, Spriger Verlag, M. Zakrzewski, Markowe Wykłady z Matematyki: algebra z geometrią, GIS 05 Lista zadań: Algebra_05.pdf Przykładowe zadaia a pierwsze kolokwium: Algebra_05_K.pdf Pytaia do mie związae z kursem: QadA Omówioe zagadieia [ ] Struktury algebraicze Działaia biare; łączość:, przemieość: /7

2 . Działaia biare; łączość: x (y z) = (x y) z, przemieość: x y = y x. Pojęcie grupy 3. Grupa = ({0,,, }, + ), gdzie a + b = (a + b) modulo 4. Tw. W każdej grupie jest dokładie jede elemet eutraly. 5. Tw. W każdej grupie elemet odwroty do daego elemetu jest wyzaczoy jedozaczie. 6. Grupa Sym(): grupa permutacji zbioru {,,, } z działaiem określoym jako złożeie fukcji. Sym(3) jest przykładem grupy ieprzemieej; p. oraz 7. Tw. (x y) = y x = = 3 3 [ ] Struktury algebraicze - II. Pojęcie izomorfizmu grup.. Tw. Dowole dwie jedoelemetowe grupy są izomorficze. 3. Tw. Dowole dwie dwu elemetowe grupy są izomorficze. 4. Tw. (bez dowodu) Jeśli jest grupą która ma p elemetów i p jest liczbą pierwszą, to jest izomorficza z grupą. 5. Pojęcie pierścieia. 6. W dowolym pierścieiu (R, +, ) mamy 0 x = 0 7. W dowolym pierścieiu przemieym mamy: (a + b) = a + a b + b, (a + b) (a b) = a b,(a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3a b + b 3 8. Pojęcie ciała. 9. Tw. (bez dowodu) Jeśli p jest liczbą pierwszą, to struktura p = ({0,,, p }, +, ) (z działaiami "modulo p") jest ciałem. 0. Obliczeia w ciele 5: rówaia jedej zmieej, układ dwóch rówań liiowych dwóch zmieych, rówaia kwadratowe. [-0-05] Liczby całkowite. Róże wariaty idukcji matematyczej: W: ( A )(A ( a A)( x A)(a x)). W: Jeśli A, a A oraz ( )( A + A) to ( x )(a x x A). W3: Jeśli A, 0 A oraz ( )({0,,, } A + A) to A =. Uwaga: rówoważości tych waruków ie dowodziliśmy; będzie to zrobioe a wykładzie z Logiki i Struktur Formalych.. Twierdzeie o dzieleiu z resztą: jeżeli a, b i b > 0, to istieją q, r takie, że a = qb + r oraz 0 r < b. 3. Relacja podzielości w liczbach całkowitych; (a b) (a c) a (b + c) 4. Największy wspóly dzielik i algorytm Euklidesa: a > b NWD(a, b) = NWD(a b, b), jeśli a = qb + r, to /7

3 NWD(a, b) = NWD(r, b). 5. Tw. NWD(a, b) = mi({ax + by : X, Y } ( {0})). 6. Tw: Jeśli NWD(a, b) = oraz a bc to a c. 7. Tw. jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą. [4-0-05] Liczby całkowite i liczby zespoloe. Tw. ( )( p PRIME)(p ).. Tw [Euklides] Istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych. 3. Tw. Każda liczba aturala jest iloczyem liczb pierwszych. 4. Tw. Rozkład liczby a czyiki pierwsze jest jedozaczy. 5. Tw. Jeśli p < p < < p są pierwsze, a = i= pk i i NWD(a, b) = i= pmi(k i,l i ) i 6. Def. NWW(a, b) = mi{k : a k b k} 7. Tw. Jeśli p < p < < p są pierwsze, a = i= pk i i NWW(a, b) = i= pmax(k i,l i ) i 8. Wiosek: NWD(a, b) NWW(a, b) = a b Liczby zespoloe i a = i a = i= pl i i i= pl i i. Liczby zespoloe ( ): wyrażeia postaci a + b i, gdzie a, b zaś i jest takim symbolem, że i =. Dodawaie: (a + b i) + (c + d i) = (a + b) + (c + d) i (patrz aplet ). Możeie: (a + b i) (c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i Elemet eutraly dodawaia: i Elemet eutraly możeia: + 0 i. Elemet odwroty: a + b i a b i a b i a b = = = + i. a + b i a b i 3. Wiosek: Struktura (, +, ) jest ciałem z 4. Dzieleie: = z z z 5. Iterpretacja graficza liczb zespoloych 6. Def. a + b i = a b i (sprzężeie liczby zespoloej) 7. Def. a + b i = a + b (moduł liczby zespoloej) (patrz aplet ) 8. Fakt. z z = z. z z z 9. Wiosek: =. z z a + b a + b to to a + b Liczby zespoloe: II. Formala kostrukcja. = Dodawaie: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Możeie: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) 3/7

4 . Podstawowe fukcje: Re(a + bi) = a, Im(a + bi) = b, a + bi = a bi, a + bi = a + b 3. Tw. zz = z z 4. Tw. z + z z + z 5. Iterpretacja: z z = odległość z od z 6. Przykład: + i = ± ( + + i) 7. Dla każdej liczby zespoloej z 0 istieje α taka, że z = z (cos(α) + i si(α)). 8. Wzór Eulera: 9. ( t ) e it = cos(t) + i si(t) Liczby zespoloe: III. Najpiękiejszy wzór matematyczy:. e πi = 3. Możeie liczb zespoloych 4. r(cos(α) + i si(α)) r(cos(β) + i si(β)) = (rr)(cos(α + β) + i si(α + β)) 5. Wzór de Moivre'a: 6. (r(cos(α) + i si(α))) = r (cos(α) + i si(α)) 7. Pierwiastki z jedości: 8. π = {ϵ,k : k = 0,, }, gdzie ϵ,k = e ki 9. Jeśli u = r(cos α + i si α), gdzie r > 0 oraz to 0. u = { r(cos + i si ) ϵ,k : k = 0,, }. Tw. W dowolym ciele K, jeśli x, to + x + x =.. Wiosek: k=0 ϵ,k = 0 α Obserwacja: Struktura jest grupą. 4/7 α x + x

5 3. Obserwacja: Struktura ({z : z = }, ) jest grupą. Pojęcie homomorfizmu. Pojęcie homomorfizmu grup: f(x + y) = f(x) f(y). Pojęcie podgrupy 3. Jądro homomorfizmu: ker(f) = {x : f(x) = e} 4. Tw: Jądro homomorfizmu grup jest podgrupą 5. Def: Dziedzia całkowitości: przemiey pierście z jedością, bez dzielików zera Wielomiay. Dla pierścieia przemieego z jedością (R, +, ) określamy. Rówość: R[X] = =0 a X : ( )(a R) ( N)( > N)(a = 0). =0 a X = =0 b X ( )(a = b ) 3. W 3 rozważamy wielomia w(x) = X 3 + X. Mamy: w(0) = w() = w() = 0, ale w 0 4. Dodawaie: 5. Możeie: =0 a X + =0 b X = =0 (a + b )X =0 a X =0 b X = =0 c X gdzie c = a k+l= kb l. 6. Tw. Jeśli R jest pierścieiem przemieym z jedością, to R[X] jest rówież pierścieiem przemieym z jedością. 7. Def: Dla w R[X] określamy deg(w) = max{k : a k 0} : w 0 : w = 0 8. Jeśli R jest dziedzią całkowitości i w, v R[X], to deg(w v) = deg(w) + deg(v) 9. Jeśli R jest dziedzią całkowitości i w, v R[X], to deg(w + v) max{deg(w), deg(v)} Wielomiay a ciałami. Tw (O dzieleie z resztą). Niech K będzie ciałem, w, v K[x], deg(v) > 0. Istieją wtedy wielomiay q, r K[x] takie, że w = q v + r oraz deg(r) < deg(v).. Wiosek (Tw. Bezout): Jeśli K jest ciałem, a K, w K[x] oraz w(a) = 0, to w(x) = (x a)α(x) dla pewego α K[x]. 3. Wiosek: Jeśli K jest ciałem, a K, w K[x] to istieje wielomia α taki, że w(x) = α(x) (x a) + w(a) 4. Wiosek: Jeśli K jest ciałem, a,, a K są parami róże, w K[x] oraz w(a) = w(a) = w(a ) = 0, to w(x) = (x a) (x a )α(x) dla pewego α K[x]. 5. Schemat Horera 6. Zasadicze Twierdzeie Algebry 5/7

6 7. Jeśli w [x] i deg(w) > 0 to istieje takie a, że w(a) = Wiosek: Jeśli w [x] i deg(w) = > 0 to istieją a, a,, a oraz c takie, że w(x) = c (x a) (x a ). 9. Fakt: Jeśli w [x], a oraz w(a) = 0 to w( ā) = 0 0. Tw. Jeśli w [x] i deg(w) > 0 to istieją takie wielomiay v,, v k takie, że. w = v v v k. deg(v i ) {, } dla i =,,...,k 3. Jeśli deg(v i ) = to v i jest dwumiaem o wyróżiku ujemym. Każdy wielomia w [x] stopia trzeciego ma pierwiastek rzeczywisty. Wielomiay a ciałami - II. Fakt: Jeśli p, q K[x], p q i q p to p = aq dla pewego a K.. Def. p jest wielomiaem pierwszym, jeśli deg(p) oraz ie istieją wielomiay a, b takie, że p = a b oraz deg(a), deg(b) < deg(p) 3. Tw. Każdy wielomia jest iloczyem wielomiaów pierwszych 4. Def. Wielomia p(x) = a0 + ax + + a x jest moiczy, jeśli a = 5. Def. NWD(p, q) = r jeśli r jest moiczy, r p, r q oraz dla dowolego wielomiau s, jesli s p i s q to s r 6. Tw. Jeśli p 0 lub q 0 to istieje NWD(p, q). Co więcej, istieją takie wielomiay a, b takie, że NWD(p, q) = a b + b q 7. Algorytm Euklidesa dla wielomiaów ad ciałem 8. Tw. Rozkład wielomiau a iloczy wielomiaów pierwszych jest jedozaczy Przykład. Wielomia w(x) = x + x + jest pierwszy w K = {a + bx : a, b [x]} określamy działaie [x]. Na zbiorze p q = reszta z dzieleia p q przez wielomia x + x + Mamy, między iymi, x = (x + x + ) + x +, więc x x = + x Wielomiay. Kostrukcja ciała 4 elemetowego za pomocą wielomiau pierwszego w(x) = x + x + ad ciałem.. Tw. Jeśli w(x) = a0 + ax + a x [x], NDW(p, q) = oraz w( ) = 0 to q a oraz p a0 3. Def. Zawartością wielomiau w(x) = a0 + ax + a x [x] azywamy liczbę z(w) = NWD(a0,, a ). 4. Lemat: Jeśli z(w) = z(v) = to z(w v) =. 5. Tw (Gauss). Wielomia w [x] jest ierozkładaly w [x] wtedy i tylko wtedy, gdy jest ierozkładaly w [x]. 6. Rozwiązywaie rówań stopia trzeciego w ciele liczb zespoloych. p q 6/7

7 Wielomiay - c.d.. Charakterystyka ciała. Formale różiczkowaie wielomiaów 3. Tw. (dla ciał o charakterystyce 0) Jeśli w(a) = w () (a) = w () (a) = (x) = w ( ) (a) = 0 i w () (a) 0 to a jest pierwiastkiem krotości wielomiau w. 4. Tw. (f g) = f g + f g Przestrzeń. Def. < x, y >= k= x iy i. Def. x = < x, x> 3. Tw. < x, y > x y 4. Def. d( x, y) = x y 5. Tw. (ierówość trójkąta) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) 6. Tw. < x, y >= x y cos(α) Przestrzeń. Def. (x y) (< x, y >= 0). Twierdzeie Pitagorasa: jeśli x y to x + y = x + y 3. Rówaie parametrycze prostej: X t = P + ta, t. 4. Hiperpłaczyza wyzaczoa przez parametry A,, A, B (zakładamy, że A + A > 0): zbiór tych (x,, x ), że Ax + A x + B = Własości: wektor (A,, A ) jest prostopadły do hiperpłaszczyzy zadaej powyższym rówaiem. 6. Odległość puktu P = (p,, p ) od hiperpłaszczyzy zadaje wzorem Ax + A x + B = 0 wyraża się wzorem d(p, Π) = Ap + A p + B A + A 7. Wektor ormaly do hiperpłaszczyzy: wektor długości, prostopadły do tej hiperpłaszczyzy. 7/7

8 Normale ścia w programie Bleder: Przestrzeie wektorowe. Defiicja przestrzei wektorowej ad ciałem K.. Def. Liiowa kombiacja wektorów f,, f : dowoly wektor postaci λf + + λ f, gdzie λ,, λ K. 3. Def. Liiowa otoczka zbioru E V : zbiór Li(E) = { k= λ k f k :, λ,, λ K, f,, f E} Def: Wektory są liiowo iezależe jeśli dla dowolych 8/7

9 4. Def: Wektory f,, f V są liiowo iezależe jeśli dla dowolych λ,, λ K mamy (λf + + λ f = 0) (λ = = λ = 0). 5. W przestrzei wektorowej ( 3 ) : Li({(, )}) = {(0, 0), (, ), (, )}. Liiowa iezależość. Tw. Zbiór E jest liiowo iezależy wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego e E mamy e Li(E {e}).. Tw. Jeśli f,, f są liiowo iezależe oraz to λ = μ,, λ = μ. λf + + λ f = μf + + μ f, 3. Def. Bazą przestrzei wektorowej V azywamy dowoly taki liiowo iezależy podzbiór B V, że Li(B) = V. 4. Tw (bez dowodu, bo był o wykładzie z Logiki i Struktur Formalych) W każdej przestrzei wektorowej V {0} istieje baza 5. Tw. Liiowo podzbiór B przestrzei wektorowej V jest bazą wtedy i tylko wtedy, jest maksymalym, liiowo iezależym podzbiorem przestrzei V. 6. Tw. Jeśli k < to układ rówań ( i {,, k}) j= α i,j x j = 0 ma ietrywiale rozwiązaie. 7. Tw. Jeśli B jest bazą przestrzei V, F V oraz B < F to F jest liiowo zależy. Podprzestrzeie liiowe i odwzorowaia liiowe. Tw. Jeśli B i B są bazami przestrzei V to B = B.. Def: 9/7

10 dim(v ) = 0 : V = {0} B : B jest bazą V 3. Def. Niepusty zbiór H V jest podprzestrzeią liiową przetrzei V jeśli ( x, y H)( α, β K)(αx + βy H). 4. Def. Fukcja F : V V jest odwzorowaiem liiowym jeśli ( x, y H)( α, β K)(F(αx + βy) = αf(x) + βf(y)). 5. Opis odwzorowań liiowych z w : F x x = a x + ax ax + ax dla pewych a, a, a, a. 6. Def. Jeśli F : V V jest odwzorowaiem liiowym, to ker(f) = {x V : F(x) = 0}. 7. Tw. Jeśli F : V V jest odwzorowaiem liiowym, to ker(f) jest podprzestrzeią liiową przestrzei V. 8. Tw. Jeśli F : V V jest odwzorowaiem liiowym, to rg(f) jest podprzestrzeią liiową przestrzei V. 9. Tw. Jeśli F : V V jest odwzorowaiem liiowym, to 0. dim(v) = dim(ker(f)) + dim(rg(f)) Odwzorowaia liiowe. Jeśli F : V H jest liiowe, B = {e,, e } jest bazą V oraz C = {f,, f m } jest bazą H to macierzą F w bazach B i C azywamy macierz M C,B(F) rozmiaru m o wyrazach (a i,j ) jeśli F(e i ) = m f j a ji j=. Możeie macierzy przez wektor: 3. a a a m a m x = x j= a jx j j= a jx j j= a mjx j 4. Jeśli M C,B (F) = (a ij ) i= m;j= oraz 0/7

11 a a a m a m x x = y y m to F( j= x je j ) = j= y jf j, czyli F([x,, x ] B ) = [y,, y m ] C. 5. Przykłady odwzorowań liiowych F :. Idetyczość: Id = Odwzorowaie zerowe: Skalowaie : S a,b = a 0 0 b 4. Ścięcie: S r = r 0 5. Obrót: O α = cos α si α si α cos α 6. Def. det a c b d = ad bc 7. Tw. Jeśli F : jesy liiowe oraz A jest macierzą F w stadardowej bazie oraz S to pow(f[s]) = pow(s) det(a). Odwzorowaia liiowe - c.d.. Jeśli B = (b,, b ) jest upoządkowaą bazą, to [x] B = [x,, x ] T jeśli x = k= x ib i. Suma macierzy tych samych rozmiarów: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) 3. Tw. Jeśli F, G : V H są liiowe, to F + G też jest liiowe. Jesli B, C są bazami uporządkowaymi przetrzei V i H, to M C,B (F + G) = M C,B (F) + M C,B (G) 4. Iloczy macierzy: (a ij ) i= r;j= m (b jk ) j= m;k= = (c ik ) i= r;k=, gdzie c ik = m a ij bjk j= (patrz: YouTube). 5. Jeśli F : V V, G : V V3 są liiowe, to G F : V V3 jest liiowe. Jesli B, C, D są bazami uporządkowaymi przetrzei V i V, V3 to M D,B (G F) = M D,C (G) M C,B (F) 6. Przykład: Rozważamy odwzorowaie F : zadae wzorem F(x, y) = 3 3 x y W bazie C = {(, ), (, )} ma oo macierz /7

12 Pokazaliśmy, że M = 0 0 M = Macierz przejścia z bazy B = (b,, b ) do bazy C = (c,, c ): T B,C = [[c] B,, [c ] B ]. 8. Jeśli T jest macierzą przejścia z B do C to [x] B = T [x] C. 9. Jeśli T jest macierzą przejścia z B do C to [x] C = T [x] B. 0. Jeśli M = a b c d oraz det(m) 0, to. M = det(m) d c b a (wrócimy do tego a astepym wykładzie). Odwzorowaia afiicze płaszczyzy. Def. Odwzorowaiem afiiczym płaszczyzy azywamy odwzorowie postaci F(x, y) = a c b d x y + e f. Reprezetacja odwzorowań afiiczych: 3. Przykłady: traslacja: Zak permutacji 0 e 0 f 0 0 a b e c d f 0 0 x y, obrót: x y cos α si α 0 si α cos α Def. Iv((a i ) i= ) = card({(i, j) : i < j a i > a j }).. Def. Jeśli a = (a i ) i= to sg( a) = ( ) Iv( a). 3. Tw. Jeśli T i,j jest traspozycją dwóch elemetów to sq(t i,j ) =. 4. Tw. Jesli σ, π S to sq(π σ) = sq(π) sq(σ). Wyzaczik. Def. Jeśli A = (a i,j ) i,j=,, to x y /7

13 . det(a) = σ S sg(σ) a i,σ(i). i= Wyzacziki. Wyzaczik macierzy 3 3: YouTube. Tw. Niech (G, ) będzie grupą oraz a G Wtedy fukcje f(x) = x oraz g(x) = x a są bijekcjami G. 3. Tw. det(a) = σ S sg(σ) i= a σ(i),i 4. Def. [a i,j ] T = [a j,i ] 5. Wiosek. det(a T ) = det(a) 6. Tw (o możeiu kolumy przez stałą) det([k,, k i,, k i+,, k ]) = det([k,, k i,, k i+,, k ]) 7. Tw.(o sumie dwóch kolum) det([k,, k i,, k i+,, k ]) = det([k,, k i,, k i+,, k ]) + det([k,, k i,, k i+,, k ]) 8. Tw. (o zamiaie kolum) det([k,, k i,, k i+,, k j,, k j+k ]) = det([k,, k i,, k i+,, k j,, k j+k ] 9. Wiosek. Wyzaczik macierzy o dwoch takich samych kolumach (lub dwóch takich samych wierszach) jest rówy zero. 0. Tw.(o dodawaiu kolum) Jeśli i < j to det([k,,,,,, k ]) = det([k,, k i,, k i+,, k j,,, k ]). Algorytm obliczaia wyzaczika o złożoości obliczeiowej O( 3 ). Wyzacziki. Def. Niech A M. Miorem M i,j maciezry A azywamy wyzaczik macierzy która powstaje z A po skreśleiu i tego wiersza oraz j tej kolumy.. Def. Niech A M. Algebraiczym dopełieiem elemetu a i,j azywamy liczbę A i,j = ( ) i+j M i,j. 3. Tw. (Laplace) Niech r, s. Wtedy a r,j A s,j = det(a)δ r,s j= gdzie δ r,s = : r = s 0 : r s. 4. Tw. Jeśli A M oraz det(a) 0, to istieje taka macierz A, że A A = A A = I. Poadto 5. A = [A i,j ] T. det(a) 3/7

14 6. Wzory Cramera: Rozważamy układ rówań liiowych: a,x + a,x + a,x a,x + a,x + a,x a, x + a, x + a, x = b = b = = b (mamy rówań oraz zmieych). Ozaczamy A[a i,j ] i,j=,,. Rozważay układ te jest rówoważy astępującemu rówaiu: gdzie x = x x oraz b = b b. A x = b Załóżmy, że det(a) 0. Wtedy x = A wzory a rozwiązaie: det A x k = k, b, b. Po rozpisaiu tego, otrzymujemy det(a) gdzie A k, b jest macierzą, którą otrzymujemy z macierzy A przez zastąpieie k tej kolumy wektorem b. Wyzacziki. Tw. det(a B) = det(a) det(b). Def. rak([k,, k ]) = dim(li({k,, k })). 3. Tw. rak(a) jest rówy ajwiększemu stopiu iezerowego miora macierzy A 4. Układ rówań liiowych ax + + a,x a mx + + a m, x = b = = b m jest rówoważy rówaiu a, a, a m, a m, x x = b b m Istieie rozwiązaia tego układu jest rówoważe zdaiu b b m rg(f A ), 4/7

15 gdzie F A x x = A x x 5. Niech A = [k,, k ]. Wtedy, a A = a, a, a m, a m,. 6. b rg(f A ) rak([k,, k ]) = rak([k,, k, b]). Metoda elimiacji Gaussa-Jordaa. Tw. Jeśli a 0 to dim(li({w, w,, w })) = dim(li({w, aw + w, w3,, w })). Metoda elimiacji Gausa Jordaa: YouTube 3. Zastosowaie metody elimiacji do wyzaczaia macierzy odwrotej. YouTube 4. Def. H + H = {x + y : x H y H}. 5. Tw. dim(h + H) = dim(h) + dim(h) dim(h H) 6. Def. H = H H jeśli H = H + H H H = {0}. 7. Jeśli H = H H to przestrzeń H + H jest izomorficza z przetrzeią H H Podprzestrzeie iezmieicze.. Def. Podprzestrzeń H V jest podprzestrzeią iezmieiiczą odwzorowaia F : V V jeśli F[H] H. Def. Wartość własa macierzy A: taka λ, że istieje iezerowy wektor x taki, że x T A x T = λ 3. Def. Wektor własy odpowiadający wartości własej λ: taki x że x T A x T = λ 4. Def. Wielomia charakterystyczoy macierzy kwadratowej A: p A (λ) = det(a λi) x 0 oraz 5. Tw. λ jest wartością własą macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy p A (λ) = 0 6. Liczby Fiboacciego: F0 = F =, F + = F + F = F F +. p(λ) = det( λ λ ) = λ λ 3. Rówaie p(λ) = 0 ma dwa pierwiastki: λ = ( 5), λ = ( + 5) 4. Wiemy, że są takie stałe a i b, że F = aλ + bλ 5. Korzystając z tego, że zamy F0 i F_$ liczymy trochę i po kilku uproszczeiach otrzymujemy 5/7

16 6. F = ( ) 5 + Wielomia charakterystyczy. Def: Spektrum macierzy A: spec(a) = \{\lambda: p_a(\lambda) = 0\}$. Tw. Jeśli T jest macierzą przejścia z bazy do bazy i A jest dowolą macierzą kwadratową to p T AT (λ) = p A (λ). 3. Tw. Jeśli A jest macierzą kwadratową rozmiaru N oraz p A (λ) = c0 + cλ + cλ + c λ to. c = ( ). c = ( ) + Tr(A) 3. c0 = det(a) 4. Przykład: Jeśli A M (K) to $p_a(\lambda) = \lambda^ \mathrm{tr} (A)\lambda + \mathrm{det}(a) 5. Tw(Cayley Hamilto) Jeśli A jest macierzą kwadratową, to p A (A) = 0 Macierze ortogoale. Proces ortogoalizacji Grama Schmidta : g = f, g k+ = f k. Def: A jest macierzą ortogoalą jeśli A jest macierzą złożoą z kolum ortoormalych. k i= < f i, g i > < g i, g i > 3. Tw. Jeśli A jest macierzą ortogoalą, to AA T = I. 4. Wiosek: Jeśli A jest ortogoala, to A = A T 5. Tw. A jest macierzą ortogoalą wtedy i tylko wtedy, gdy < Ax, Ay > = < x, y > dla dowolych wektorów x i y. 6. Wiosek: Jeśli A jest ortogoala, to A też jest ortogoala 7. Wiosek: Jeśli A, B są ortogoale, to AB też jest ortogoala 8. Wiosek: Zbiór macierzy ortogoalych tworzy grupę, ze względu a składaie macierzy. Ozacza się ją przez O() g u Sigular value decompositio. Tw. Załóżmy, że A jes macierzą rzeczywistą i symetryczą. Istieją wtedy macierze V i Σ takie, że V jest ortogoala, Σ jest diagoala oraz A = V ΣV T.. Twierdzeie [O rozkładzie SVD] Niech A M m (R). Istieją wtedy macierze Q M m m(r), Σ M m (R) oraz R M (R) taki, że. Q i R są ortogoale. tylko elemety a główej przekątej macierzy Σ są iezerowej 6/7

17 oraz A = QΣR T. 7/7