RÓWNANIE VAN DER POLA. Paweł Jendykiewicz

Transkrypt

1 Studia i Materiał Iformati Stosowaej, Tom, Nr, 009 RÓWNANIE VAN DER POLA Paweł Jediewicz Uiwerstet Kazimierza Wieliego Isttut Techii II ro MU Eduacja Techiczo-Iformatcza ul.chodiewicza 0, 85-0 Bdgoszcz pawel5pl@wp.pl Streszczeie: W artule prezetowaa jest metoda badaia stabilości obwodu eletrczego opisaego za pomocą rówaia różiczowego. Ab opisać tą metodę worzstao osclator va der Pola. Badaia uładu opisaego rówaiem va der Pola z losowm współcziiem tłumieia przeprowadzoo za pomocą programu vdp.exe. Na podstawie wizualizacji wiów rozwiązaia rówaia vdp oreślam przbliżoą wartości współczi tłumieia, prz tórm uład traci stabilość. Worzstaą metodą umerczą do obliczeń rówaia różiczowego jest metoda Ruge-Kutt według schematu cztero poziomowego. Słowa luczowe: Bifuracja, Rówaie va der Pola, metoda Ruge-Kutt. Va der Pol equatio Abstarct: This paper presets the electric circuit stabilit test method aalsed usig differetial equatio. Authors described this method usig va der Pol oscillator. Research of the sstem aalsed usig va der Pol equatio with radom dampig coefficiet has bee performed b meas of the vdp.exe program. Authors determie approximate value of the dampig coefficiet for which the sstem becomes istable o the grouds of the vdp equatio visualisatio results. The umerical aalsis method used to calculate the differetial equatio is Ruge-Kutt method with a four-level patter. Kewords: Bifurcatio, Va der Pol equatio, the Ruge Kutt metod. WSTĘP der Pola (. Prz czm wartość parametr μ czli współczi tłumieia będzie liczbą losową. Warui początowe atomiast będą stałe. Możliwość jedozaczego oreśleia ewolucji w czasie iteresującego as procesu, istieje gd dspoujem wiedzą dotcząca zależości fucjch miedz fucja opisująca te proces i jej pochodą (lub jej pochodmi oraz dodatowo ależ dspoować waruami początowmi. Zależość fucja pomiędz iezaą fucją a jej pochodą osi azwę rówaia różiczowego. Obecie bardzo trudo wobrazić sobie rozwój wielu dziedzi aui bez zajomości teorii rówań różiczowch. Istieje wiele ieruów rozwoju współczesch teorii rówań różiczowch oraz róże metod ich auczaia w zależości od potrzeb uwaruowach ręgiem odbiorców. Celem artułu jest przedstawieie metod i oreśleie stabilości uładu opisaego za pomocą rówaia va. RÓWNANIE VAN DER POLA Rówaie va der Pola (osclator va der Pola opisae jest astępującm modelem matematczm d x dx + μ ( x + x = 0 ( dx ( x μ ( ieliiowa fucja tłumieia, μ współczi tłumieia. Rówaie ( jest to rówaie worzstwae do aaliz obwodu eletrczego, w tórm zwł rezstor został zastąpio elemetem o ieliiowej 9

2 Paweł Jediewicz, Rówaie va der Pola charaterstce prądowo-apięciowej. Elemetami o taiej charaterstce są diod tuelowe. Rówaie ( ma doładie jedo asmptotcze stabile rozwiązaie oresowe. Fat te jest podstawą worzstaia diod tuelowch do ostrucji tzw. geeratorów samowzbudch, iezbędch w wielu zastosowaiach eletroii (geerowaie i odbiór sgałów. Szczegółowe wprowadzeia rówaia vdp oraz zastosowaie rówań różiczowch w teorii obwodów eletrczch możem zaleźć w wielu opracowaiach. [] W ostatich latach osclator stosowa jest rówież do modelowaia damii serca. Jedą z cech osclatorów relasacjch jest umiejętość dopasowwaia swojej częstości do częstości zewętrzego uładu wmuszającego []. Ta cecha powoduje, że osclator relasacje adają się do modelowaia uładów, w tórch istote jest geerowaie odpowiedzi a pobudzeie, o dopasowującej się częstości i stałej amplitudzie. Tą własość worzstali va der Pol i va der Mar tworząc pierwsz model serca opart a osclatorach relasacjch (va der Pola [].. NUMERYCZNE ROZWIĄZANIE RÓWNANIA VAN DER POLA. W rozliczch opracowaiach [],[5] moża zaleźć algortm umerczego rozwiązaia rówaia różiczowego lub uładu rówań. Prost schemat drugiego rzędu przedstawia astępując schemat: + = + ( + = h f ( t,, = h f ( t + h, + h - jest roiem (przrostem całowaia zmieej iezależej t, atomiast i są to wrażeia pomocicze. Bardziej doładą metoda stosowaa prz całowaiu rówań różiczowch jest metoda Ruge-Kutt czwartego rzędu = ( h = ( + = h f ( t,, ( h = h f ( t h +, + h = h f ( t +, + = h f ( t + h, + Metoda w porówaia do poprzediej ma więszą doładość. Rozwiązać rówaie różiczowe ozacza zaleź wszstie fucje spełiające dae rówaie różiczowe, tzw. rozwiązaie ogóle. Fucji tch jest zazwczaj iesończeie wiele, a różią się zazwczaj wielościami jedego parametru. Ab rozwiązać rówaie (, posłużm się metodą, tóra pozwoli zaleźć szczególe rozwiązaie rówaia. Spełiając pewe warui zwae brzegowmi lub początowmi. Na początu musim asze rówaie różiczowe ( sprowadzić do postaci uładu rówań różiczowch pierwszego rzędu. x' = ' = x + μ ( x ( Rówaie va der Pola ( zapisae w taiej postaci ( moża rozwiązać za pomocą metod Ruge-Kutt, orzstając p. z arusza alulacjego Excel. Poiżej przedstawioo algortm rozwiązaia uładu rówań, według poziomowego schematu Ruge-Kutt. = ( m = x + μ ( x (5 m = + h ( m m = ( x + h + μ ( ( x + h ( + h (7 m + h m = ( x + h + μ ( ( x + h = (8 m ( + h (9 = + h (0 m 50

3 Studia i Materiał Iformati Stosowaej, Tom, Nr, 009 m = ( x + h + μ ( ( x + h ( + h m ( x + = x + h ( / ( + = + h ( m + m + m + m / ( W metodzie tej musim wielorotie obliczać wartości fucji, orzstam tutaj z poprzediego rou. Długość rou całowaia oreśla h. Poiżej przedstawioo wido arusza alulacjego z widoczmi wiami rozwiązaia rówaia va der Pola z losowm parametrem μ. Współczi tłumieia wosi + µlos. Rs. Wido arusza alulacjego z widoczmi wiami rozwiązaia rówaia va der Pola z losowm parametrem μ. Do oreśleia stabilości uładu posłuż am portretu fazow, w tórm to będziem szuali się przeciającch się liii tego portretu. W momecie gd liie portretu fazowego zaczą się przeciać uład przestaje bć stabil. Do przeprowadzeia bada worzstao apliacje apisaą za pomocą programu Borlad Eterprise Suite C++ Builder. Worzstao metodę programowaia obietowego. Stworzo program jest zdefiiowa za pomocą obietów omuiującch się pomiędz sobą w celu wowaia zadań. Worzstae ompoet: TChart jest jedm z ajważiejszch ompoetów udostępioch przez biblioteę TeeChart Zawiera o bogat zbiór wresów. Kompoet te służ do wizualizacji wiów. TStrigGrid arusz z elemetami będącmi łańcuchami zaów. Kompoet te służ do wświetlaia wiów obliczeń w formie tabeli. TChecBox pole wboru, włączo i włączo. Za pomocą tego ompoetu możem wprowadzać losowość parametru μ z przedziału. MaiMeu meu związae z formularzem.. Kompoet odpowiada za pase meu w tórm możem zapisać dae, zapisać grafię, zamąć program. Edit edcja testu. Edit służą am do wprowadzaia parametrów. Butto przcis. Wowaie zdefiiowach zadań. W programie worzstao metodę Ruge Kutt czwartego rzędu opisaą w pucie.. PRZEPROWADZONE BADANIA OSCYLATORA VAN DER POLA Główm celem artułu jest oreśleie stabilości uładu opisaego za pomocą rówaia va der Pola (. Prz czm wartość parametr μ czli współczi tłumieia będzie liczbą losową z zaresu <0;5>. Warui początowe atomiast będą stałe. Sstem jest struturalie stabil, jeżeli prz iewieliej zmiaie parametrów zachodzą iewielie zmia w trajetoriach. Ze stabilością struturalą ściśle wiąże się pojecie bifuracji. Bifuracją (łac. Bifurcus - rozdwojeie, rozwidleie, rozdzieleie azwa się zjawiso, polegające a tm, że pod wpłwem zmia parametru astępują jaościowe zmia trajetorii. Putem bifuracji jest wartość parametru, dla tórego uład traci stabilość. Rs. Oo programu vdp Program jest bardzo prost w obsłudze. Po uruchomieiu programu możem ustawiać parametr taie ja: wartości początowe x0, 0 wartość współczia tłumieia μ 5

4 Paweł Jediewicz, Rówaie va der Pola liczbę roów czas smulacji. Smulacja r. Parametr uładu: współczia tłumieia losowa z przedziału <;>, warui początowe x 0 = 0 =, czas smulacji =5, ro =0,0, ilość iteracji=500. Rs. 5 Powięszo fragmet zazaczo czerwoą ramą a rsuu. Na rsuu 5 portret fazow przecia się, co ozacza ze przeroczoa została graica stabilości uładu. Po przbliżeiu możem zauważć, że portret przecia się w pucie (-.89,0.7 co według tabeli odpowiada współcziowi tłumieia rówemu μ=,08. Rs. Otrzma wres sładowch x i osclatora vdp. Smulacja r. Parametr uładu: współczia tłumieia losowa z przedziału <0;>, warui początowe x 0 = 0 =, czas smulacji =5, ro =0,0, ilość iteracji=500. Rs. Portret fazow osclatora vdp z parametrem losowm. Widzim ze portret fazow rówaia ( prz losowm współcziu tłumieia z przedziału <;> charaterzuje się ierówościami trajetorii. Nierówości te spowodowae są zmie współcziiem tłumieia. Sutiem tego jest pojawieie się bifuracji. Ab zauważć wstępujące bifuracje worzstao opcje zoom, ab powięszć iteresując fragmet wresu (rs.. Rs. Otrzma wres sładowch x i osclatora vdp 5

5 Studia i Materiał Iformati Stosowaej, Tom, Nr, 009 obliczeń umerczch a omputerach tworz ową lasę problemów. Wiają oe miedz imi ze stosowaej artmeti. Każda liczba w pamięci omputera jest reprezetowaa przez swoje sończoe rozwiiecie. W ażdm działaiu artmetczm powstaje błąd, poieważ wi jest rówież sończom rozwiięciem. Dlatego ie ależ przjmować wiów bezrtczie i uzawać je za poprawe tlo dla tego, że został obliczoe przez omputer. Literatura Rs. 7 Portret fazow osclatora vdp z parametrem losowm Rs. 8 Powięszo fragmet zazaczo czerwoą ramą a rsuu. Bifuracje wstąpił w pucie (.7, co odpowiada współcziowi tłumieia μ=, PODSUMOWANIE Najmiejsza losowa wartości współczia tłumieia prz tórej wstąpił bifuracje wosi 0,9. Jest to graica po przeroczeiu tórej uład traci stabilość. Współczi tłumieia w tm uładzie losowa bł z przedziału <0;>. Im więsz przedział, z tórego losowa jest współczia tłumieia tm jest więsze prawdopodobieństwo wstąpieia bifuracji. Na podstawie przprowadzoch smulacji możem stwierdzić, że losow współczi tłumieia wpłwa a stabilość uładu. W te sposób moża przeprowadzać smulacje uładów, w tórch elemet wraz z upłwem czasu tracą swoje pierwote właściwości. Co może powodować zaburzeia w uładzie. Pratcze worzstaie metod umerczch już od wielu lat wiąże się maszami cfrowmi. Współczese metod umercze są rozwijae z mślą o ich realizacji a maszach cfrowch. Woaie. Adrzej Polaczewsi, Rówaia Różiczowe zwczaje. Wdawictwo Nauowo Techicze, Warszawa Thompso J.M.T., Steward H. B. Noliear Damics ad Chaos, Wile & Sos 00. va der Pol, B., va der Mar, J The heart beat cocideredas a relaxatio oscillatio, ad a electrical model of the heart. Phil. Mag. 98,, Collatz L.: Metod umercze w rozwiązwaiu rówań różiczowch, Wdawictwo Nauowe PWN, Warszawa Jea Degras, Pratcze metod aaliz umerczej. Wdawictwo Nauowo Techicze Warszawa 97.. Kapitaia T., Wojewoda J., Bifuracje i chaos, Wdawictwo Politechii Łódziej, Łódź E. M. Elabbas, Schroizatio of va der Pol oscillator ad Che chaotic damical sstem. 8. Awrejcewicz Ja, Chaos i schroizacja w uładach fizczch, Wdawictwo Politechii Łódziej, Łódź Awrejcewicz Ja, Tajemice ieliiowej damii, Wdawictwo Politechii Łódziej, Łódź 997. INTERNET so/demos.html. tml. 5