MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH 1. Wiadomości wstępne o modelowaniu

Transkrypt

1 ODELOWANIE UKŁADÓW DYNAICZNYCH Wiaomości wstępe o moelowaiu Jeą z meto baaia właściwości amiczch ułau jest przeprowazeie espermetu bezpośreio a ułazie. W wielu przpaach woaie espermetu a ułazie jest iemożliwe, ze wzglęów techologiczch lub ze wzglęu a oszt espermetu. Istotm cziiem jest taże czas trwaia baaia, tór może bć barzo ługi i trwać awet ila lat (a przła w baaiach zmęczeiowch) lub barzo róti, rzęu ułamów seu (sta ieustaloe w ułaach eletrczch). Wstępują wte truości z zarejestrowaiem przebiegów poszczególch wielości. Im poejściem o zagaień baaia właściwości ułau jest zbuowaie moelu ułau i przeprowazeie baań a moelu. oelem ułau azwam przestawieie ułau za pomocą relacji matematczch (postać abstracja ułau) lub w postaci fizczej (woa moel ułau) przestawiającej, zazwczaj z pewm uproszczeiem, właściwości ułau. Postać fizczą ułau moża otrzmać za pomocą moelu fizczego lub moelu aalogowego. oel fizcz ułau jest zbuowa z elemetów o taiej samej aturze fizczej co baa uła, lecz w miejszej sali. Na przła, g w rzeczwistm ułazie eletrczm wstępują barzo uże apięcia i prą, możem zbuować moel ułau rzeczwistego, w tórm wstępują te same zjawisa, opisae tmi sammi zależościami, różiące się jeie rząem wartości. Uzsujem w te sposób moel ułau o właściwościach poobieństwa o ułau rzeczwistego. oel aalogow zbuowa jest z elemetów o iej aturze fizczej iż baa uła, łatwiejszch o realizacji. W moelach aalogowch worzstuje się właściwości aalogii fizczej, wstępującej pomięz ietórmi zjawisami fizczmi. Aalogia ozacza poobieństwo zachozące po pewmi wzglęami mięz różmi przemiotami, zjawisami lub procesami. Aalogia fizcza polega a tm, że różmi zjawisami fizczmi rzązą taie same lub poobe prawa i zięi temu przebieg tch zjawis może bć opisa za pomocą taich samch zależości matematczch. Klascz przła aalogii fizczej otcz ułaów mechaiczch i eletrczch. ówim, że uła eletrcz jest moelem aalogowm ułau mechaiczego. oele matematcze (abstracje) to zbiór relacji matematczch, a postawie tórch Wprowazeie o ćwiczeia a postawie Roz. 4 poręczia Postaw automati (autor R.Kaula)

2 moża przewizieć zachowaie się ułau. oelem matematczm ułau ciągłego są ajczęściej rówaia różiczowe, opisujące ziałaie ułau. oele matematcze ajczęściej realizowae są za pomocą masz cfrowch i eletroiczch masz aalogowch. oele, tórch realizacja oowaa jest za pomocą masz cfrowch, azwae są moelami cfrowmi. oelowaiem azwam proces tworzeia moelu fizczego lub moelu matematczego baaego ułau. Postawową zaletą moelowaia cfrowego jest możliwość zapisu moelu oraz jego parametrów w postaci programu. Pozwala to, w sposób elastcz, przeprowazać baaia moelowe. W eletroiczch maszach aalogowch moelowaie, różch wielości fizczch, przestawiae jest w sposób ciągł w postaci przebiegów apięć. aaia oowae a moelu matematczm, w celu uzsaia iteresującch as iformacji o procesie zachozącm w ułazie, azwam smulacją procesu. Rozróżia się zatem smulację cfrową i aalogową. oelowaie matematcze ułaów ciągłch oelowaie matematcze zapewia możliwość szbiego i ołaego baaia przebiegów w ajbarziej złożoch ułaach, w przpau różch ombiacji parametrów i prz różm charaterze wmuszeń. Jem z postawowch celów moelowaia jest zastosowaie moelu w sstemie aaptacjm, pozwalającm obrać struturę i parametr tego moelu ajbarziej zbliżoe o zachowań ułau rzeczwistego. Postawowm elemetem programowaia masz cfrowej (moelowaia matematczego) jest tworzeie schematu operacjego baaego ułau. Poieważ ziałaie ułau ciągłego opiswae jest ajczęściej za pomocą rówań różiczowch, więc zamoelowaie ułau polega a tworzeiu schematu operacjego la rówaia różiczowego lub ułau rówań. Ta przestawio uła baa się za pomocą meto smulacji procesu, orzstając z różch meto rozwiązwaia rówań różiczowch. Jeą z postawowch meto rozwiązwaia rówań różiczowch zwczajch lub ich ułaów owolego rzęu, liiowch, ja rówież ieliiowch jest metoa ogóla Kelvia. Prz tworzeiu schematu operacjego la rówaia tego rzęu () a a a ao u... =, () metoą Kelvia postępujem w astępując sposób:

3 Po stroie lewej rówaia pozostawiam jeie pochoą ajwższego rzęu fucji iewiaomej, przeosząc a stroę prawą rówaia różiczowego wszstie pozostałe wraz () a a u a = a ao.... () a a Wartość fucji iewiaomej wzaczam całując rotie rówaie (). Realizujem to łącząc szeregowo itegratorów (elemetów całującch), prz czm a wejście pierwszego itegratora poajem sgał tej pochoej. Wte a wjściu ostatiego itegratora otrzmujem sgał (rs. ).... Rs.. Szeregowe połączeie itegratorów Dspoując wjściami itegratorów oraz fucją wmuszającą tworzm prawą stroę rówaia (), otrzmując pochoą tego rzęu fucji. u a a 0 a a a a a... Rs.. Graficze przestawieie rówaia Łączm wjście ułau z rs. z wejściem ułau z rs., otrzmując peł schemat operacj rówaia różiczowego tego rzęu (rs. 3). 3

4 4 u a a 0 a a a a a Rs. 3. Peł schemat operacj rówaia różiczowego tego rzęu Ustalam warui początowe fucji (0) i jej pochoch, i przpisujem je opowieim itegratorom. Przła. Dla ułau mechaiczego, przestawioego a rs. 4, zrealizować schemat operacj, orzstając z meto ogólej Kelvia. F Rs. 4. Prost uła mechaicz ST Rówaie różiczowe opisujące zależość pomięz wielość wjściową położeiem mas, a wielością wejściową siłą F jest astępujące: = F, (3) gzie: masa wóza, współczi tłumieości tłumia, współczi sprężstości spręż. Postępując weług putów poach powżej otrzmujem: = F. (4) Schemat operacj ułau ma postać: 4

5 F Rs. 5. Schemat operacj ułau mechaiczego z przłau Przła. Na rs. 6 przestawioo złożo uła mechaicz poa ziałaiu sił F. Wzaczć schemat operacj ułau, gzie wielościami wjściowmi są położeia i. F Rs. 6. Uła mechaicz z przłau Rówaia amii ułau: po przeształceiu: ( ) ( ( ) = F, ) ( ) = 0, (5) 5

6 6 6. ) ( ) (, F = = (6) Schemat operacj ułau przestawioo a rs. 7. F Rs. 7. Schemat operacj ułau mechaiczego z przłau

7 Przebieg ćwiczeia laboratorjego. Zapozaie się z postawowmi bloami smulacjmi stosowami w programie SIULINK.. Dla poaego moelu ułau, ależ przestawić schemat operacj. Sorzstać z meto poaej we wstępie. 3. Zamoelować za pomocą SIULINKa moel ułau amiczego. 4. Przeprowazić baaia smulacje la różch parametrów ułau. 5. W sprawozaiu zamieścić otrzmae wii i przestawić wiosi. Przła ćwiczeia laboratorjego Uła zawieszeia pojazu I. Opis problemu Pojaz o masie m jest zawieszo a profilem rogi za pomocą elemetów wazującch właściwości amicze o charaterze spręż i tłumia. Zatem zmia położeia zawieszeia (w czasie jaz) moża aalizować za pomocą uproszczoego moelu masasprężatłumi. Zmieiając parametr moelu ułau moża aalizować opowiezi czasowe przemieszczaia pioowego pojazu la różch profili rogi (awierzchi rogi). Uproszczo schemat taiego ułau przestawio jest a rs... h Rs.. Uproszczo schemat moelu ułau amiczego ST. u II. Cel aaliz Zaaiem zawieszeia pojazu jest ompesacja profilu rogi ta ab oczuwale przemieszczeie awozia pojazu bło la pasażerów ja ajmiejsze. Jem z ajgorszch przpaów jest soowa zmiaa profilu rogi o wartość h. Zaaiem projetowm jest tai obór parametrów i ab przebiegi czasowe przemieszczeia zawieszeia (t) w opowiezi a wmuszeie soowe h ie miał charateru osclacjego. 7

8 8 III. oel matematcz ułau Przjęte założeia: rozpatrujem tlo pioowe przemieszczeie pojazu, opoa oziałuje a uła tlo poprzez właściwości sprężste i tłumieiowe (ie uwzglęiam mas opo), właściwości sprężste i tłumieiowe ułau zawieszeia pojazu są oreśloe za pomocą parametrów i : gzie: współczi sprężstości zawieszeia, pręościow współczi tłumieia. Na postawie rs.. moel matematcz ułau moża opisać rówaiem różiczowm opisującm zmia położeia zawieszeia pojazu (t) po wpłwem zmia położeia położa rogi u(t). Rówaie ogóle ma postać: u m ( ) ( u) = mg (.) Dla przjętch założeń otrzmujem: u m ( ) ( u) = 0 (.) Uwaga! Siła grawitacji w rówaiu (.) została uwzglęioa poprzez wstępe przemieszczeie spręż. Parametr aaliz: Pojaz porusza się ruchem jeostajm (ze stałą pręością v=90m/h (v=5m/s)). Założoo że początowe przemieszczeie pioowe wosi 0m, astępie w oległości s=500m o putu początowego aaliz (czli po czasie t=s/v) przemieszczeie pioowe wosi 0,5m (wsoość ziur h_=0,5m). Szeroość ziur m i astępie pojaz wraca o położeia pioowego położa 0m. Zatem przemieszczeie opo 0 u = 0,5m 0 t < t t h _ pocz t t h _ pocz t < t h _ o h _ o fucja wejścia u(t) (blo step) W przeprowazoej aalizie zmia położeia oła pojazu a roze bęziem smulować za pomocą fucji wóch soów jeostowch, moelującch ziurę a roze o wsoości h (głęboości). 8

9 . Parametr fucji step: Step time t_pocz (th_pocz), Iitial value 0, Fial value h_. Parametr fucji step: Step time t_o (th_o), Iitial value 0, Fial value h_ Rówaie różiczowe opisae wzorem (.) moelujem za pomocą schematu operacjego. (Doła opis w ćwiczeiu moelowaie ułaów amiczch). u Ze wzglęu a wstępowaie pochoej wejścia ( ) musim wprowazić zmieą pomociczą z. Przjmujem: oraz z = m ( ) (.3) u z = u (.4) Zatem a postawie rówań (.3) i (.4) moża przestawić schemat operacj ułau ja a rs... Rs.. Schemat operacj moelu ułau z rs.. Smulację moża uruchomić a przła z przestrzei ATLAa a postawie pliu woawczego. Istrucja wiążąca ATLA z Simuliiem ma struturę: sim( azwa_pliu, czas_smulacji). 9

10 0 Pli woawcz ATLAa % moel zawieszeia awozia pojazu m= 000; % (masa samochou (g)) =500; % wspolczi sprezstosci sprez (N/m) =000; % wspolczi tlumieia (Ns/m) v=5; %preosc samochou (m/s) roga_pocz=500; % roga po torej jest przeszoa t_pocz=roga_pocz/v; h_=0.5; % gleboosc ziur (m) _sz=; %(m) t_o=(roga_pocz_sz)/v; sim('azwa_pliu_sim',50); subplot(,,); plot(t,u); gri; subplot(,,); plot(t,); gri; IV. Uproszczo moel matematcz ułau Prz założeiu oatowego uproszczeia, że opoa oziałuje a uła tlo poprzez właściwości sprężste (ie uwzglęiam mas opo i współczia tłumieia), otrzmujem moel uproszczo w postaci: m ( u) = 0 (.5) Poieważ jest to uła rzęu rugiego zastosujem wa itegrator (elemet całujące) o otrzmaia zależości a (t): Uproszczo moel ułau przestawioo a rs..3 Rs..3 Schemat operacj uproszczoego moelu ułau z rs.. 0