Zastosowanie modeli czynnikowych w zarządzaniu portfelowym ryzykiem kredytowym na przykładzie kredytów hipotecznych i gotówkowych

Transkrypt

1 MBA. CE 5/202 Artuł 3 Maagemet ad Busiess Admiistratio. Cetral Europe 5/202 (8): s. 3 28, ISSN , Copright b Aademia Leoa Koźmińsiego Zastosowaie modeli cziowch w zarządzaiu portfelowm rziem redtowm a przładzie redtów hipoteczch i gotówowch Nadesła Zaaceptowa do druu Piotr Osińsi Ba Gospodari Żwościowej p_osi@wp.pl Abstrat Cel: W literaturze przedmiotu i w pratce brauje jedolitego stadardu pomiaru portfelowego rza redtowego w odiesieiu do redtów detaliczch. Dlatego w iiejszm artule autor stawia sobie za cel przbliżeie możliwości użcia tzw. modeli cziowch w zarządzaiu portfelowm rziem redtowm isttucji redtowej. Metoda: Autor przedstawia aalizę teoretczą własości modeli cziowch, a astępie ilustruje ich zastosowaie a przładzie dach o redtach hipoteczch i redtach gotówowch pochodzącch z jedej z dużch isttucji redtowch licecjoowach w Polsce. W artule worzstae są arzędzia aaliz wrażliwości. Wiosi: Zaczące różice w wliczoch redtowch wartościach zagrożoch wsazują a iezwle istotą rolę założeń poszczególch wersji modeli oraz doboru parametrów prz worzstaiu tej grup modeli. Poadto, sugeruje to oieczość użwaia dodatowch arzędzi werfiacji poprawości wliczeń, taich ja p. aaliza waruów srajch cz też wiedza esperca. Orgialość: Wład w literaturę przedmiotu jest dwojai. Przede wszstim w artule został przedstawio sposób worzstaia modeli cziowch dla portfeli detaliczch espozcji redtowch oraz uzsae a podstawie dach empirczch wii alulacji redtowej wartości zagrożoej. Dodatowo zaalizowaa została wrażliwość redtowch wartości zagrożoch a dobór modelu oraz parametrów rza. Słowa luczowe: modele cziowe, modele rza redtowego, redtowa wartość zagrożoa DOI: /mba.ce

2 4 Artuł MBA. CE 5/202 The Use of Factor Models i Portfolio Credit Ris Maagemet of Mortgage Baced Housig Loas ad Cash Loas Portfolios Primar submissio Fial acceptace Abstract Purpose: Withi literature as well as i practice there is o oe commo stadard of measurig portfolio credit ris of credit exposures toward retail cliets. Therefore, the Article s goal is to preset the possibilit of usig for these purposes so called factor models. Approach: The article presets theoretical aalsis of factor models properties ad the is illustratig theirs usage basig o the data o mortgage baced housig loas ad cash loas from oe of the biggest credit istitutios licesed i Polad. I the article techiques of stress testig aalsis are beig used as well. Fidigs: The sigificat differeces i credit value at ris estimates idicate that parameters ad assumptios of factor models have a critical role whe we tr to use this group of models. Additioall, the results suggest that it is ecessar to use verificatio tools lie stress tests or expert owledge. Value: The article exteds the literature fidigs i two aspects. First, it presets how to use factor models for retail loas portfolios ad shows the results of CVaR estimates basig o empirical data. Secod, it verifies the sesitivit of CVaR estimates to model selectio ad ris parameters. Kewords: factor models, credit ris models, credit value at ris JEL: C02, G2, G23, G32 Przcz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego W XXI w. modele pomiaru portfelowego rza redtowego są powszechie worzstwam arzędziem w procesie zarządzaia rziem redtowm. Istieje wiele przcz, tóre doprowadził do tej stuacji. W celu przejrzstego ich przedstawieia w artule podzieloo je a wiające z: wmogów regulacjch, stuacji rowej oraz rozwoju aui i techologii. W przpadu tch pierwszch z pewością istotm cziiem wpłwającm a wzrost zaiteresowaia modelami pomiaru portfelowego rza redtowego, a tór zwraca uwagę A. Sauders, bł propozcje Bau Rozrachuów Międzarodowch w postaci Nowej DOI: /mba.ce

3 MBA. CE 5/202 Artuł 5 Umow Kapitałowej (NUK, Basel II), dotczące adewatości apitałowej (Husches, Vogl, Waia 2004), tóre po wdrożeiu do rajowego ustawodawstwa stał się w wielu rajach powszechie obowiązującmi wmagaiami. Poprzez wdrożeie propozcji Bau Rozrachuów Międzarodowch isttucje adzorcze dążł do stuacji, w tórej isttucje redtowe dspoują apitałem w wartości iezbędej do porcia strat ieoczeiwach, a tm samm są zabezpieczoe przed iewpłacalością (Schmid 2003). Moża powiedzieć, że opracowaie NUK, a w osewecji więsz acis a budowę i wdrażaie modeli pomiaru rza redtowego, bło odpowiedzią a słabość poprzedich rozwiązań propoowach przez Ba Rozrachuów Międzarodowch w zaresie zasad alulacji regulacjch wmogów apitałowch z ttułu rza redtowego, zach pod azwą Basel I. Nowa Umowa Kapitałowa z jedej stro pozwala a doładiejsze wliczeie regulacjego wmogu apitałowego poprzez zróżicowaie poszczególch otrahetów pod ątem rza, jaie jest z imi związae w przpadu stosowaia metod zaawasowach, cz też poprzez wróżieie więszej liczb las rza dla metod stadardowej. Z drugiej stro poprzez wprowadzeie oieczości wliczaia apitału eoomiczego pozwala a uwzględieie efetu dwersfiacji w zarządzaiu rziem redtowm. Należ pamiętać, że Nowa Umowa Kapitałowa wręcz wmusza a isttucjach redtowch rozwijaie modeli pomiaru rza redtowego (Jarrow, va Deveter 2004), jeśli chcą oe bć obciążoe isim wmogiem apitałowm i tm samm ourecje w stosuu do ich isttucji. Jest to szczególie istote w stuacji rowej, w tórej isttucje redtowe cierpią a bra apitału. W ostatich latach pomiar rza redtowego z worzstaiem odpowiedich modeli stał się jedm z podstawowch wzwań w ogólie pojętm procesie zarządzaia rziem, a co z pewością zacząc wpłw miała stuacja rowa. Związae jest to przede wszstim z fatem, że w relacji do posiadach apitałów wartość portfeli espozcji redtowch isttucji redtowch jest zacząca, a tm samm istote jest rzo redtowe, jaie biorą oe a siebie. Wsoi poziom rza redtowego dla isttucji redtowch ma z olei poważe osewecje dla sposobu zarządzaia im. Oczwiste jest, że zaczące zagrożeie wiające z działalości redtowej wiąże się z oieczością wdrożeia odpowiedich sposobów zarządzaia oraz pomiaru rza. Międz imi dlatego pojawiła się potrzeba opracowaia bardziej wrafiowach techi pomiaru rza dającch podstaw do jego suteczego ograiczaia (Morga 997). W osewecji doprowadziło to do espasji metod ilościowch, zwłaszcza do powstaia oraz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego. Zacząca wartość portfela espozcji redtowch isttucji redtowch ie jest jedą przczą rową wpłwającą a damicz rozwój modeli pomiaru portfelowego rza redtowego. Na ie, rówie istote przcz rozwoju modeli omawiaego rodzaju zwrócił uwagę A. Sauders (200). Do główch przcz zaliczł o stuację a rach fiasowch, ze szczególm uwzględieiem wzrostu liczb baructw 2, a taże wzrastającą ourecję w zaresie wali o lieta o słabszej odcji fiasowej, tóra sutuje ograiczaiem marż przez isttucje redtowe. Szczególą rolę wzrostu ourecji w se Baructwa w Staach Zjedoczoch w latach DOI: /mba.ce

4 6 Artuł MBA. CE 5/202 torze baowm w oteście rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego podreślił rówież W. Kurłe, powołując się a badaia przeprowadzoe przez T. Wilsoa (998). Rosąca ourecja wmuszała a isttucjach redtowch więszą ourecjość ceową, umożliwiającą zachowaie już obsługiwach lietów, a taże pozsiwaie owch lietów. Z drugiej stro świadomość zagrożeia wmuszała zachowaie odpowiediego poziomu bezpieczeństwa. Wśród przesłae rozwoju modeli pomiaru rza redtowego z pewością istotą rolę odegrał taże taie czii ja: rozwój ru wtórego redtowch istrumetów pochodch wiając taże m.i. z wzrostu ourecjości oraz chęci usprawieia procesu zarządzaia rziem redtowm (Jacowicz 200), a taże coraz więsz poziom ich zaawasowaia (Caouette et al. 2008). Oba te czii wmieiae są w artułach W. Kurła (2003) cz też T. Wilsoa (998) i przedstawiae jao istote dla rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego. Powżej przedstawioe został przesłai rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego związae z wmogami regulacjmi oraz stuacją rową. Nie moża jeda zapomiać o wmierej roli aładów przezaczach przez isttucje redtowe a dalsz rozwój techi pomiaru rza redtowego z powodu potecjalch orzści płącch z zastosowaia modeli pomiaru rza redtowego (Hull 2000). Zmiaom w sposobie modelowaia rza redtowego sprzjał iewątpliwie taże rozwój techologii oraz związaa z tm możliwość gromadzeia iezbędch do modelowaia dach oraz możliwość worzstaia zaawasowach modeli matematczch pozwalającch a przład a modelowaie grubch ogoów rozładu strat. Wśród przcz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego związach z auą oraz techologią zaczącą rolę odegrał rówież owe publiacje oraz rozwiązaia propoowae w tm obszarze. Moża powiedzieć, że fudametale dla rozwoju modeli pomiaru rza redtowego bł prace: F. Blaca i M. Scholesa (973) oraz R. Mertoa (973). Z jedej stro stwarzał oe solide fudamet do pomiaru rza redtowego, z drugiej zaś motwował do dalszego rozwoju modeli. Motwacja ta wiała przede wszstim ze świadomości czteliów, że rozwiązaia omawiae w tch publiacjach ie są pozbawioe wad wpłwającch a poprawość pomiaru rza redtowego (Youg, Helwege, JigZhi, 2004). Podsumowując przcz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza, moża przwołać opiie R. Gallatiego (2003) oraz A. Saudersa i L. Alle (2002). Jao główe przcz rozwoju modeli wsazują oi: pojawieie się owch orm w zaresie adewatości apitałowej, pogorszeie jaości redtowej otrahetów, oieczość wprowadzeia bardziej ourecjch marż, pojawieie się owch istrumetów, a taże rozwój techologii. Teoria modeli cziowch pomiaru portfelowego rza redtowego Jedm z główch rodzajów modeli pomiaru portfelowego rza redtowego są modele cziowe. Zajdują oe szeroie zastosowaie w pratce rowej. W szczególości modelem cziowm jest model propoowa w ramach metod zaawasowach Nowej Umow Kapitałowej. DOI: /mba.ce

5 MBA. CE 5/202 Artuł 7 Model jedocziow Najprostszą wersją omawiaego tpu modeli jest model jedocziow. Jest to model załadając, że zmiaa wartości atwów dłużia V,s stego dłużia w tm portfelu, zgodie z wzorem () zależa jest od jedego czia sstematczego Y wspólego dla wszstich redtobiorców z tego portfela oraz od jedego czia specficzego ε charaterstczego dla poszczególch redtobiorców tego portfela redtowego. Zarówo zmiaa wartości atwów, ja i oba czii (sstematcz i swoist) mają stadardowe rozład ormale. Zachowaie wszstich redtobiorców jest ze sobą powiązae, poieważ ażd z dłużiów pozostaje pod wpłwem działaia czia Y. Siłę oddziałwaia czia Y oreśla współczi orelacji. Moża powiedzieć, że czi sstematcz Y odzwierciedla sta gospodari cz też reprezetuje cle gospodarcze (Forest, Beli, Suchower 998) i w dobrch latach przjmuje dużą wartość, zmiejszając prawdopodobieństwo iewpłacalości, atomiast w złch latach ma isą wartość, zwięszając prawdopodobieństwo iewpłacalości. Należ zazaczć, że czi sstematcz oraz czii specficze są iezależe (Husches, Vogl, Waia 2004) oraz przjęte jest założeie, że mają rozład ormal N(0,)., s dla ażdego s < S V, s = Y + ε, s () Zgodie z modelem jedocziowm iewpłacalość astępuje w momecie, gd wartość atwów V, spadie poiżej oreśloego progu. Tm samm, oprócz ustaleia wartości atwów w celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości (tj. ieza s leżego od wartości czia sstematczego Y ), oiecze jest oreśleie wartości progu, prz tórm liet staje się iewpłacal. Próg te, ozacza jao K, s, oreśla się zgodie z wzorem (2). ( p ) K. s = Φ sr, gdzie Φ jest fucją odwrotą do dstrbuat rozładu ormalego, a p sr, ozacza długooresowe (średie) prawdopodobieństwa iewpłacalości. W omawiam modelu w celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości przjmowae są założeia, że espozcje w portfelu są jedaowej wartości oraz że próg iewpłacalości jest wspól dla wszstich espozcji, tj. K, s = K. Warto zazaczć, że założeie o wspólej wartości progowej jest zaczącm uproszczeiem modelu, tóre jedocześie wdaje się usprawiedliwioe w przpadu jedorodch portfeli redtowch. Prz założeiach opisach powżej średie (długooresowe) prawdopodobieństwo iewpłacalości lieta z tego portfela wzaczae jest a podstawie wzoru: sr, = P V, s [ K ] p < (2), (3). DOI: /mba.ce

6 8 Artuł MBA. CE 5/202 W momecie gd oreśloe jest średie prawdopodobieństwo iewpłacalości lieta, możliwe jest przejście do wzaczaia rozładu prawdopodobieństwa iewpłacalości a poziomie portfela redtowego. Prz założeiu o iezależości espozcji, czli w przpadu, gd jest rówe 0, prawdopodobieństwo iewpłacalości w portfelu redtowm szacowae jest zgodie z wzorem (4): f N ( ) ( ) ( ) N p p =, s, s Z uwagi a to, że w rzeczwistości orelacja ie jest jeda zerowa, iezwle istotą rolę odgrwa worzstaie waruowej iezależości iewpłacalości. Imi słow ależ sorzstać z fatu, że dla oreśloej realizacji czia sstematczego Y, iewpłacalości są od siebie iezależe (Perli, Nada 2003). W taiej stuacji, aalogiczie ja powżej, wzacza się prawdopodobieństwo iewpłacalości lieta, prz czm uzależia się je od realizacji zmieej Y zgodie z wzorami (5) i (6):, s ( ) P[ V < K Y ] p = =, s (4). (5), p, s ( ) = P ε, s < K Y Y = K = Φ (6). Następie, orzstając z waruowej iezależości, ustala się wartość waruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości dla daej realizacji Y = z worzstaiem rozładu dwumiaowego zgodie z wzorem: P N ( ) ( N ( ) ) [ X Y = ] = p ( ) p ( ) =, s. s (7). W celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości ależ dooać uśredieia waruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości P[X = Y = ] po realizacjach zmieej Y, orzstając z wzoru (8): P [ X = ] = P[ X = Y = ] φ( ) d d gdzie φ ozacza fucję gęstości stadardowego rozładu ormalego. (8), DOI: /mba.ce

7 MBA. CE 5/202 Artuł 9 Worzstując wzor (6), (7) oraz (8), otrzmuje się wzór a prawdopodobieństwo iewpłacalości (9) oraz wzór a dstrbuatę rozładu (0): (9) (0). Model jedocziow postać uproszczoa dla dużch portfeli W poprzedim podpucie zaprezetowa został model jedocziow, tór pozwala a ustaleie redtowej wartości zagrożoej iezależie od liczb espozcji redtowch zajdującch się w portfelu. Ma o jedą zasadiczą wadę, jaą jest czasochłoość obliczeń wowach prz jego użciu. Jest to szczególie uciążliwe dla portfeli redtowch sładającch się z dużej liczb espozcji. Moża uprościć te model i sprowadzić go do postaci aalitczej, czli postaci ieworzstującej umerczch oszacowań. Korzstaie z uproszczoego modelu w osewecji pozwala a zaczie szbsze doowaie obliczeń prz jedoczesm zachowaiu ależtej preczji. Możliwe jest to w stuacji, gd będziem rozważać jedie duże portfele, czli taie, w tórch N, ozaczające liczbę espozcji, dąż do iesończoości. Co prawda w rzeczwistości ie ma się do czieia z portfelami iesończeie liczmi, jedaże stosowaie powższego uproszczeia ie wpłwa w zacząc sposób a wii w stuacji, gd badaiom podlegają portfele o zaczej liczbie espozcji (Schoebucher 2000). W celu wprowadzeia aalitczej postaci wzoru a prawdopodobieństwo iewpłacalości portfela redtowego, podobie ja w modelu przedstawiom w pucie 2., idwiduale prawdopodobieństwo iewpłacalości uwaruowae realizacją zmieej Y oreśla się wzorem: (). Z uwagi a fat, że waruowe prawdopodobieństwa iewpłacalości są iezależe z prawa wielich liczb, wiadomo, że dla dużch portfeli, tj. sładającch się z dużej liczb espozcji, udział espozcji wobec lietów, tórz aprawdę stają się iewpłacali, jest blisi idwidualemu prawdopodobieństwu iewpłacalości (Schoebucher 2000). Tm samm, [ ] ( ) ( ) Φ Φ = = N d K K N X P φ d [ ] ( ) ( ) = Φ Φ = N m d K K N X P φ 0 d ( ) = Φ s K p, DOI: /mba.ce

8 20 Artuł MBA. CE 5/202 gd X jest udziałem espozcji wobec lietów iewpłacalch w portfelu redtowm, zachodzi: Jao że ie jest zaa wartość Y, w celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości dooać ależ uśredieia po oczeiwach realizacjach Y zgodie z wzorem (3): Na podstawie wzorów (3) i (2) otrzmuje się: P [ X p ( ) Y = ] =, s P φ d [ X x] = E P[ X xy ] = [ = ] ( ) P X xy d (2). (3) P P [ xy = ] φ( ) [ X x] = P X = p ( ) [ X x] = p, s ( ), s d d * { x} φ( ) d = φ( ) d = Φ( ) * (4), (5), gdzie * jest ta dobrae, ab spełioe bł astępujące warui: p() = x, p()<x dla ależącch do przedziału (*, ), tj. ab idwiduale prawdopodobieństwo iewpłacalości bło miejsze iż liczba rzeczwiście obserwowach iewpłacalości. Tai sta mam dla * o postaci: ( Φ ( x) K ) * = Ostateczie rezultatem jest dstrbuata prawdopodobieństwa iewpłacalości (7): (6). P ( K ) * [ ] ( ) X x = Φ = Φ Φ ( x) (7), Dla osób zajmującch się modelowaiem rza redtowego istotiejszą od iformacji o tm, z jaim prawdopodobieństwem wstąpi iewpłacalości, jest iformacja o prawdopodobieństwie iewpłacalości odpowiadającm daemu watlowi rozładu zmieej X. W związu z powższm oiecze jest przeształceie wzoru (7) a dstrbuatę. Otrzmuje się w te sposób wzór a watl rzędu α rozładu prawdopodobieństwa iewpłacalości (8): DOI: /mba.ce x = Φ Φ ( α) + Φ (d pd sr, ) sr, (8).

9 MBA. CE 5/202 Artuł 2 Model jedocziow uwzględiając orelację międzportfelową Wszstie z zaprezetowach do tej por wliczeń dla modeli jedocziowch bł doowae dla stuacji, w tórej wstępuje jede homogeicz portfel redtow bądź wiele portfeli, tóre są ze sobą idealie dodatio sorelowae. W taiej stuacji, chcąc ustalić redtową wartość zagrożoą dla wszstich portfeli, wstarcz zsumować redtowe wartości zagrożoe dla poszczególch portfeli. W pratce jeda często wróżia się co ajmiej ila jedorodch portfeli, tóre różią się międz sobą cziami sstematczmi wpłwającmi a iewpłacalość lietów z tch portfeli. W taiej stuacji pojawia się problem orelacji międzportfelowch. W rzeczwistości portfele ie są ze sobą idealie sorelowae i w rezultacie oiecze jest uwzględieie orelacji międzportfelowej. Uwzględieie orelacji międzportfelowch pozwala a urealieie pomiaru rza, a jaie arażoa jest isttucja redtowa, i tm samm a ograiczeie wmogu apitałowego. Korelację międzportfelową moża uwzględić w modelu p. poprzez wzaczaie łączej strat dla portfeli redtowch jao watla z rozładu sum strat waruowch dla zadach wartości cziów sstematczch, gdzie stratę waruową dla wszstich portfeli wzacza się zgodie z wzorem: Strata waruowa = l = Φ Φ ( p ) sr, * DLGD (9), gdzie l ozacza liczbę portfeli. W taiej stuacji, prz wliczaiu łączej strat w portfelu redtowm, możliwe jest worzstaie smulacji Mote Carlo, przjmując, że zmiee Y, Y 2,...,Y dla ażdego z portfeli osobo mają stadardow rozład ormal. Prz ich jedoczesm ujęciu mają oe wielowmiarow rozład ormal o macierz owariacji odpowiadającej ich macierz orelacji R. W pierwszm rou smulacji ależ oreślić wartość współczia orelacji międz cziami specficzmi. Szacuu tego ależ dooać a podstawie ciągu obserwacji cziów sstematczch dla ażdej ze zmiech. Ciąg obserwacji Y,l, Y,2,...,Y,t, gdzie ozacza t portfel, a t czas, wzacza jest a podstawie wzoru: pd pd, i, i Φ = Φ ( p ) sr,, i, i, i (20). Mając ustaloą macierzą orelacji, moża przeształcić iezależe zmiee losowe wlosowae ze stadardowego rozładu ormalego X, X 2,..., X w sorelowae zmiee Y, Y 2,..., Y, dla tórch macierz orelacji ma postać R x. Przjmując, że wetor realizacji zmiech Y, Y 2,..., Y ma postać: =, 2,...,, zaś wetor realizacji iezależch zmiech X, X 2,..., X jest DOI: /mba.ce

10 22 Artuł MBA. CE 5/202 postaci: x = x, x2,..., x, związe międz oboma wetorami przedstawić możem w astępując sposób: T = C x (2), gdzie C jest macierzą Choles ego, czli macierzą spełiającą warue T Rx = C C. Model wielocziow uwzględiając orelację międzportfelową W tm podpucie zaprezetowa zostaie uogólio model cziow pozwalając a ujęcie wielu zmiech wpłwającch a wpłacalość redtobiorc. Idea modeli wielocziowch została opisaa m.i. przez P. Schoebuchera (2000), a taże przez A. Lucasa (2000). W modelu wielocziowm wartość atwów determiowaa jest przez wetor Z zawierając j cziów. Każd z tch cziów wpłwa a wartość atwów stego lieta w tm j portfelu zgodie z przpisaą mu wagą rza β. Wagi te sładają się a wetor wag β. W zaresie idei ostrucjej model wielocziow ie różi się od modelu jedocziowego, atomiast jest o zdecdowaie bardziej sompliowa, jeśli chodzi o sposób wliczaia wartości zagrożoej. W taim ujęciu wartość atwów opiswaa jest wzorem (22), a próg, w zależości od wersji modelu, jest idwidualie ustala dla poszczególch espozcji bądź też jest wspól dla poszczególch portfeli. J j, s = β + α, sε, s j= V z (22), gdzie ε, s jest cziiem specficzm stego dłużia w tm portfelu, a α, s współcziiem dla tego czia. Tradcjie, w momecie gd wartość atwów spadie poiżej wartości progu, astępuje iewpłacalość lieta. Koretm przładem modelu wielocziowego będzie model zależ od czia specficzego ε charaterstczego dla poszczególch espozcji, s oraz dwóch cziów tworzącch ombiacją liiową determiującą wartość czia sstematczego Z. Zmiea Z ształtowaa jest przez czi Ψ, tór wpłwa a wszstie espozcje, oraz czi F, tór oddziałuje tlo a espozcje z daego portfela. Siłę zależości zmieej Z od zmiech Ψ i F oreśla współczi λ. W modelu załada się, że zmiea Ψ i zmiee F mają rozład ormal stadardow i są iezależe. W rezultacie otrzmuje się wzór oreślając czi sstematcz: 2 Z = λ Ψ + λ F (23) Po podstawieiu wzoru (23) do wzoru (22) możliwe jest wzaczeie ostateczej postaci modelu determiującego zdolość redtową otraheta. DOI: /mba.ce

11 MBA. CE 5/202 Artuł 23 Kredtowa wartość zagrożoa w wbrach modelach cziowch W iiejszm artule wliczeia redtowej wartości zagrożoej przeprowadzoe zostaą dla: () modelu jedocziowego z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch; (2) uproszczoego modelu jedocziowego z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch; (3) uproszczoego modelu jedocziowego z orelacjami zgodmi z Basel II, (4) uproszczoego modelu jedocziowego z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową, a taże dla (5) modelu wielocziowego z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową. Wselecjoowa zestaw modeli pozwoli a dooaie omplesowej oce modeli cziowch. W obliczeiach worzstae zostaą dae jedej z więszch, licecjoowach w Polsce isttucji redtowch. Dae obejmują ores prawie sześciu lat, od maja 2004 do wietia 200 r., i dotczą staów a oiec poszczególch miesięc. Obejmują oe miesięczch obserwacji. Dae dostępe są a poziomie poszczególch trasacji. Dla potrzeb aaliz empirczej wodrębioe został portfele: redtów mieszaiowch zabezpieczoch hipoteczie dla lietów detaliczch oraz redtów gotówowch dla lietów detaliczch. Wodrębieie wmieioch portfeli astąpiło a podstawie iformacji o tpie lieta oraz rodzaju espozcji redtowej. W wiu przeprowadzoego podziału powstał portfel redtów mieszaiowch zabezpieczoch hipoteczie (dalej azwa srótowo portfelem redtów mieszaiowch), sładając się z 43,4 ts. espozcji redtowch według stau a oiec wietia 200 r. o wartości 5,88 mld zł. Jest to portfel podmiotowo homogeicz o średiej wartości espozcji 35 ts. zł, zawierając espozcje deomiowae zarówo w złotch, ja i w walutach obcch. Wartość tego portfela oraz liczba espozcji sstematczie rosł w aalizowam oresie. Moża powiedzieć, że portfel te charaterzował się damiczm wzrostem. W maju 2004 r. a portfel te sładało się 8,6 ts. espozcji o wartości zaledwie 375,7 ml zł. W aalizowam oresie wartość tego portfela wzrosła o poad 5,5 mld zł, czli o o. 500%. Wartość średia pojedczej espozcji z olei wzrosła trzrotie w porówaiu do wartości z maja 2004 r. Kolejm wodrębiom portfelem jest portfel redtów gotówowch. Kredt gotówowe są to redt udzielae a dowol cel, dla tórch ie są ustaawiae zabezpieczeia. W odróżieiu od portfela redtów mieszaiowch wartość tego portfela w aalizowam oresie ie rosła sstematczie. W przpadu tego portfela możliwe jest wróżieie dwóch etapów jego rozwoju. Od maja 2004 do grudia 2007 r. jego łącz wolume bł dość stabil. Na oiec maja 2004 r. wosił 27,6 ml zł i przez trz i pół rou spadł do 23 ml zł. Warto prz tm zazaczć, że w oresie tm sstematczie rosła średia wartość pojedczej espozcji (z o. 4,5 ts. zł w grudiu 2007 do 3 ts. zł w maju 2004), zaczie spadała atomiast liczba espozcji z 72 ts. do 47 ts. W drugim etapie, tj. od grudia 2007 r. do wietia 200 r., portfel te charaterzował się damiczm wzrostem zarówo wartości portfela, liczb espozcji, ja i średiej wartości espozcji, tóre w wietiu 200 r. wiosł odpowiedio: 705 ml zł, 8,2 ts. zł, 8,7 ts. zł. DOI: /mba.ce

12 24 Artuł MBA. CE 5/202 W celu umożliwieia obliczeń w ramach ażdego z ta wodrębioch portfeli dae źródłowe poddae został przeształceiu. Dostępe dae został podzieloe a dae z poszczególch oresów miesięczch. Dla ażdego zestawu dach miesięczch wodrębioo dae opisowe pozwalające a oreśleie charatersti lieta oraz dae fiasowe worzstwae do wliczeń. Wśród dach fiasowch zalazł się m.i. iformacje o: zadłużeiu początowm będącm apitałem z poprzediego miesiąca, apitale ońcowm jao staie apitału (zadłużeia) a oiec daego miesiąca, początowej lasie przetermiowaia odpowiadającej przetermiowaiu z poprzediego miesiąca, ońcowej lasie przetermiowaia odpowiadającej przetermiowaiu z ońca daego miesiąca. Poadto wzaczoa została spłata doowaa w ciągu daego miesiąca. Z uwagi a fat, że ie bł dostępe bezpośredie iformacje o spłacie, za spłatę uzawaa bła zmiaa stau apitału do spłat, czli różica międz apitałem ońcowm oraz apitałem początowm (zadłużeiem ońcowm i początowm). Jedocześie prz ustalaiu spłat worzstaa została iformacja o sposobie zamięcia rachuów. Pozwalało to a uiięcie tratowaia zmia stau apitału jao spłat w stuacji, gd zmiaa stau wiała z umorzeia, restruturzacji cz też przewalutowaia redtu. Podczas przgotowwaia dach dooae został oret mające a celu usuięcie błędch zapisów. Z ażdego zestawu dach miesięczch usuięte został espozcje, dla tórch przetermiowaie w ciągu miesiąca wzrosło o więcej iż 3 di. Poadto zestaw dach został sorgowae o espozcje, dla tórch w wsoich lasach przetermiowaia zaobserwowae bardzo wsoie spłat. Wśród dach opisowch worzstae został taie dae ja: tp lieta, rodzaj produtu redtowego cz też waluta redtu. W efecie opisach powżej działań opracowa został zestaw dach, tór w dalszej części prac posłuż do wliczeń parametrów rza, taich ja: prawdopodobieństwo iewpłacalości oraz stop odzsu a momet iewpłacalości, a taże worzsta zostaie do testowaia jaości modeli pomiaru portfelowego rza redtowego espozcji wobec lietów detaliczch. Na podstawie dach historczch dotczącch wolumeów, odzsów oraz liczb iewpłacalości, wliczoe został wsaźii iezbęde do ustaleia redtowej wartości zagrożoej w wmieioch modelach cziowch. W tabelach 3 zaprezetowae został prawdopodobieństwa iewpłacalości, strat a momet iewpłacalości w rzsie (ag. dowtur LGD), orelacje wewątrzportfelowe zgode z Basel II i ustaloe a podstawie dostępch dach wewętrzch, a taże macierze orelacji międzportfelowej i macierz Choles ego. Tabela Parametr rza Parametr rza Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe Dowtur LGD 56,92% 76,30% PD,73% 6,82% Korelacje ustaloe a podstawie dostępch dach 2,99% 6,46% Korelacja zgoda z Basel II 5% 4,9% Źródło: opracowaie włase. DOI: /mba.ce

13 MBA. CE 5/202 Artuł 25 Tabela 2 Macierz orelacji Portfel redtow Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe redt mieszaiowe 00,0% 77,3% redt gotówowe 77,3% 00,0% Źródło: opracowaie włase. Tabela 3 Macierz Cholesego Portfel redtow Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe redt mieszaiowe 00,0% 0,0% redt gotówowe 77,3% 63,4% Źródło: opracowaie włase. W przpadu modelu dwucziowego ładui cziowe prezetuje tabela 4. Tabela 4 Ładui cziowe w modelu wpłacalości Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe β 0,345 0,90 β 2 0,76 0,078 α 0,922 0,979 Źródło: opracowaie włase. Na podstawie przestawioch w iiejszm rozdziale parametrów wliczoa została redtowa wartość zagrożoa (tabela 5). Tabela 5 Kredtowa wartość zagrożoa dla modeli cziowch LP Nazwa modelu Zaagażowaie Model jedocziow z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch 2 Uproszczo model jedocziow z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch 3 Uproszczo model jedocziow z orelacjami zgodmi z Basel II 4 Uproszczo model jedocziow z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową 5 Modelu dwucziow z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową Źródło: opracowaie włase. Kredtowa wartość zagrożoa Kredtowa wartość zagrożoa jao procet zaagażowaia ,76% ,75% ,83% ,5% ,53% DOI: /mba.ce

14 26 Artuł MBA. CE 5/202 Opierając się a uzsach wiach, moża wiosować, że w zależości od wbraego modelu cziowego redtowe wartości zagrożoe mogą zacząco różić się od siebie. Dla wbrach modeli redtowa wartość zagrożoa przjmowała wartości od 33 ml zł do 647 ml zł. Różice te wiają z worzstach parametrów w ramach poszczególch modeli oraz rodzaju modelu. Do elemetów wpłwającch a wii zaliczć ależ: () liczbę cziów w modelu, (2) wartość współczia orelacji węwątrzportfelowej, (3) uwzględieie bądź ieuwzględieie efetu orelacji międzportfelowej oraz (4) wbór wersji uproszczoej lub pełej modelu jedocziowego. Istota poszczególch elemetów oceioa zostaie poprzez aalizę modeli parami. Zaczeie postaci modelu W artule zaprezetowa został peł model, pozwalając a ustaleie redtowej wartości zagrożoej iezależie od wielości portfela redtowego oraz model uproszczo przezaczo dla portfeli redtowch sładającch się w teorii z iesończoej liczb espozcji redtowch. Ja moża zauważć, różica w redtowej wartości zagrożoej jest iezacza. W pratce ozacza to, że orzstiejsze w więszości przpadów ze względu a szbość obliczeń jest stosowaie modelu uproszczoego. Należ jeda pamiętać o ograiczeiach modelu uproszczoego i aalizować, cz możliwe jest jego stosowaie. Model te zwraca błęde rezultat, gd liczba espozcji w portfelu jest isa. Dodatowo w przpadu stosowaia modelu uproszczoego wstępują odchleia od redtowej wartości zagrożoej z pełego modelu, jeśli wartość współczia orelacji wewątrzportfelowej jest isa. Przładowo, gdb wartość współczia orelacji wosiła 0,5%, to różica międz redtowmi wartościami zagrożomi odiesioa do redtowej wartości zagrożoej z modelu uproszczoego osiągęłab poziom,5% w porówaiu do 0,% wstępującej, gd orelacja wewątrzportfelowa wosi 2,99% i 6,46% odpowiedio dla redtów mieszaiowch i gotówowch. Rola współczia orelacji wewątrzportfelowej Wartość współczia orelacji wewątrzportfelowej ie tlo determiuje, cz model uproszczo może bć stosowa, ale taże w zacząc sposób wpłwa a uzsae z modelu redtowe wartości zagrożoe. Wliczając redtową wartość zagrożoą dla modelu r 2, w tórm współczii orelacji wewątrzportfelowej woszą 2,99% i 6,46% odpowiedio dla redtów mieszaiowch i gotówowch oraz modelu r 3 z orelacjami wewątrzportfelowmi a poziomie 5% i 4,9%, uzsuje się redtowe wartości zagrożoe, różiące się o poad 50%. Porówując te dwa modele, warto przeaalizować redtowe wartości zagrożoe oddzielie dla portfela redtów mieszaiowch oraz portfela redtów gotówowch. Moża zauważć wted, że redtowa wartość zagrożoa rośie wraz ze wzrostem orelacji wewątrzportfelowej i maleje wraz z jej spadiem, prz czm zależość ta ie jest wprost proporcjoala. DOI: /mba.ce

15 MBA. CE 5/202 Artuł 27 Rola współczia orelacji międzportfelowej W rzeczwistości gospodarczej portfele espozcji redtowch rzado ie są z sobą w pełi sorelowae. Dlatego też wdaje się racjoale ujęcie efetu dwersfiacji w procesie szacowaia redtowej wartości zagrożoej. Uwzględieie w modelu orelacji międzportfelowej pozwoli a lepsze odzwierciedleie rzeczwistości gospodarczej i będzie sutować iższą redtową wartością zagrożoą. W artule przedstawio został zarówo model uwzględiając orelację międzportfelową (model 3), ja i załadając bra tej orelacji (model 4). Model trzeci załada idealą orelację międz portfelem redtów mieszaiowch a portfelem redtów gotówowch, podczas gd model 4 przjmuje istieie iedosoałej orelacji. W modelu tm współczi orelacji międzportfelowej wosi 77,3%, co ozacza, że portfele są z sobą dość silie sorelowae. Gd aalizuje się wii z tabeli 5, widać, że orelacja międzportfelowa w tm przpadu miała ograiczo wpłw a redtową wartość zagrożoą redtowa wartość zagrożoa zmiejszła się jedie o 3,35%. Wia to przede wszstim z wsoiej jej wartości dla modelu 4. Wpłw liczb cziów w modelu a redtową wartość zagrożoą W przpadu modeli cziowch moża wróżić modele jedo oraz wielocziowe. Liczba cziów w modelu ie wpłwa a redtową wartość zagrożoą, o ile obrazują oe to same zjawiso. Zarówo w przpadu modelu z jedm cziiem, ja i wieloma cziami redtowe wartości zagrożoe osiągają zbliżoe wartości. Dla pierwszego z tch modeli redtowa wartość zagrożoa wiosła 626 ml zł, a dla drugiego 628 ml zł. Podsumowaie W artule omówioo ideę modeli cziowch. Zaprezetowae został przcz ich rozwoju oraz potecjale zastosowaia. Dla wbrach modeli cziowch przedstawioo teorię, a astępie przeprowadzoo wliczeia redtowej wartości zagrożoej, bazując a dach jedej z dużch licecjoowach w Polsce isttucji redtowej. Ustaloo, że redtowe wartości zagrożoe dla poszczególch modeli zacząco różią się od siebie. Wazao, że ajwięsz wpłw a redtową wartość zagrożoą ma wartość orelacji wewątrzportfelowej oraz ujęcie bądź też ie orelacji międzportfelowej. W ziomm stopiu redtowa wartość zagrożoa w modelach cziowch zależ od liczb cziów ujętch w modelu, cz też form modelu (pełej bądź uproszczoej). Powższe wiosi uzsao, badając redtowe wartości zagrożoe zaprezetowae w tabeli 5. Dzięi aalizie modeli parami możliwe bło wizolowaie poszczególch efetów. Porówując model z modelem 2, w artule oceioo wpłw a wi uproszczoej oraz pełej formuł modelu. Aalizując modele 2 i 3, ustaloo z olei rolę wartości współczia orelacji wewątrzportfelowej. W przpadu aaliz modeli 3 i 5 wsazao a zaczeie orelacji międzportfelowej, zaś modeli 4 i 5 a rolę liczb cziów w modelu. Przeprowadzoe rozumowaie uwidaczia rolę założeń przjętch w modelach DOI: /mba.ce

16 28 Artuł MBA. CE 5/202 w szacowaiu redtowej wartości zagrożoej. Prz pomiarze rza z worzstaiem tego arzędzia ależ zadbać o dobór ajlepszego z możliwch modeli. Jedocześie trzeba pamiętać, że uzsae wartości ie staowią jedego i ostateczego rozwiązaia. Koiecze jest ich testowaie z worzstaiem wiedz esperciej cz też ich arzędzi, ja p. aaliza waruów srajch. B i b l i o g r a f i a Blac F., Scholes M. (973) The Pricig of Optios ad Corporate Liabilities. Joural of Political Ecoom, Vol. 8, No. 3, s , / Caouette B., Altma A.I., Naraaa P., Nimmo R.W.J. (2008) Maagig credit ris: The great challege for global fiacial marets. Hoboe, New Jerse: Joh Wile & Sos. Forest L.R., Beli Jr., B., Suchower J. (Q3 998) A Oe Parameter Represetatio of Credit Ris ad Trasitio Matrices. CreditMetrics Moitor, s Gallati R. (2003) Ris Maagemet ad Capital Adequac. New Yor: McGrawHill. Gupto G., Figer C., Bhatia M. (997) Credit Metrics TM techical documet, J.P. Morga worig paper, Hull J. (2003) Optios, Futures & Other Derivatives 5th Editio. New Jerse: Pretice Hall. Husches S., Vogl K., Waia R. (2004) Estimatio of Default Probabilities ad Default Correlatios, / _2. Jacowicz K. (200) Pochode istrumet redtowe (I). Defiicja i rodzaje pochodch istrumetów redtowch. Ba i Kredt, Vol. 33, No. 3, s Jarrow R., va Deveter D. (999) Practical usage of credit ris models i loa portfolio ad couterpart exposure maagemet: a update. W: D. Shimo (red.), Credit Ris: models ad maagemet. Lodo: Ris Publicatios. Kurłe W. (2003) Modelowaie rza portfela redtowego. Ba i Kredt, Vol. 34, No. 5, s Lucas A., Klaasse P., Spreij P., Straetmas S. (200) A aaltic approach to credit ris of large corporate bod ad loa portfolio. Joural of Baig ad Fiace, Vol. 25, No. 9, s Merto R. (974) O the pricig of corporate debt: the ris structure of iterest rates. Joural of Fiace, Vol. 29, No. 2, s Perli R., Nada W. (2003) Ecoomic ad regulator capital allocatio for revolvig retail exposures, FEDs worig paper No , s. 22. Sauders A. (200) Metod pomiaru rza redtowego. Kraów: Ofica Eoomicza. Sauders A., Alle L. (2002) Credit Ris Measuremet: ew approaches to value at ris ad other paradigms. Hoboe:. Wile Fiace. Schmid B. (2003), Credit Ris Pricig Models: Theor ad Practice. Berli: Spriger. Schoebucher P.J. (200) Factor Models for Portfolio Credit Ris. Joural of Ris Fiace, Vol. 3, No., s Wilso T. (998) Portfolio credit ris. FRBNY Ecoomic Polic Review, Vol. 4, No. 3, s Youg H., Helwege J., Huag. J.Z. (2004) Structural models of corporate bod pricig: a empirical aalsis. The Review of Fiacial Studies, Vol.7, No. 2, s DOI: /mba.ce