10. PROSTE ZGINANIE Stan naprężenia i odkształcenia przy prostym zginaniu
|
|
- Przybysław Czerwiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Wrwł Wkłd mechniki mteriłów 0. ROT ZGINNI 0.. tn nprężeni i odkstłceni pr prostm ginniu Zginnie proste (jednokierunkowe) wstępuje wówcs gd obciążenie ewnętrne redukuje się do wektor momentu ginjącego leżącego w płscźnie prekroju którego kierunek pokrw się jedną głównch centrlnch osi bewłdności prekroju. Rowżm pręt o długości l stłm prekroju obciążon momentem ginjącm (rs. ). Rs. Z powżsego rsunku wnik że jedną siłą prekrojową w rowżnm pręcie jest moment ginjąc którego kierunek pokrw się główną centrlną osią bewłdności prekroju C (rs. ). Ztem pręt ten jest poddn prostemu ginniu. Nprężeni odkstłceni i premiesceni w pręcie pr jego prostm ginniu wncm prjmując nstępujące łożeni uprscjące: (i) wpłw sił msowej jest pomijln więc g g g 0 () gdie g g g są współrędnmi wektor sił msowej; (ii) osie C i C są osimi głównmi centrlnmi prekroju cli gdie 0 0 () oncją moment sttcne ntomist bewłdności; (iii) spełnion jest hipote płskich prekrojów BRNOULLI GO (por. 7.). odśrodkow moment
2 Złożm też że w prpdku prostego ginni w prekroju rowżnego pręt wstępuje tlko nprężenie normlne (rs. ). W tkim prpdku mcier nprężeń (.6) prjmuje postć 0 0 T () [ ] Onc to że pr prostm ginniu wstępuje jednoosiow stn nprężeni. tron ficn Rs. odstwijąc element mcier () do równń ficnch (5.) otrmujem ε ν ε ε νε γ γ γ γ γ γ 0 () gdie jest modułem sprężstości podłużnej (modułem YOUNG) ntomist ν współcnnikiem oisson. Z powżsch relcji wnik że mcier odkstłceń m nstępującą postć: ε νε 0 (5) 0 0 νε [ ] Onc to że stn odkstłceń w pr prostm ginniu jest trójosiow (prestrenn).
3 tron sttcn Wkorstując prwo HOOK () w postci ε (6) or hipoteę płskich prekrojów powljącą predstwić odkstłcenie liniowe ε jko ε b c (7) otrmujem nstępującą leżność określjącą nprężenie normlne prekroju pręt ginnego ( b c) (8) gdie b c stłe które nleż wncć. Z uwgi n stn nprężeni w pręcie leżności (.55) prjmują postć (rs. ) d 0 d d 0 (9) odstwijąc do powżsch wiąków leżność (8) i wkorstując definicje chrkterstk geometrcnch (.) (.) (.9) i (.) dostjem ukłd równń b b b c c c 0 0 (0) gdie onc pole powierchni moment bewłdności prekroju. moment sttcne ntomist Uwględnijąc w powżsch równnich łożenie () otrmujem nstępujące wrtości posukiwnch stłch: b 0 c () Wkorstując powżse stłe we wore (8) otrmujem wór określjąc nprężenie w pręcie pr prostm ginniu
4 () Z powżsego woru wnik że nprężeni normlne w prekroju ginnm mieniją się liniowo po jego wsokości. oniewż nprężeni te nie leżą od współrędnej to prjmują tę smą wrtość we wsstkich punktch o tej smej współrędnej. oniewż nprężenie () jest leżne tlko od miennej ś poostłe nprężeni są równe eru to pr łożeniu () równni równowgi (.) są spełnione tożsmościowo. rrównując powżs wór do er wncm krwędź precięci płscn nprężeń płscną prekroju wną osią obojętną. Z wrunku 0 wnik że rędn punktów leżącch n osi obojętnej wnosi o 0 co onc że pr prostm ginniu oś obojętn pokrw się osią centrlną C. Oś obojętn stnowi grnicę pomięd nprężenimi ściskjącmi or rociągjącmi. Nprężeni te osiągją wrtości ekstremlne w punktch prekroju njbrdiej oddlonch od osi obojętnej. Uwględnienie stłch () we wore (6) powl otrmć leżność określjącą odkstłcenie liniowe pręt ginnego cli ε () gdie nwm stwnością pręt pr ginniu. Z powżsego woru wnik że również odkstłcenie pręt poddnego prostemu ginniu jest leżne od miennej. Ztem równni nierodielności (.7) są spełnione tożsmościowo. tron geometrcn W celu określeni premiesceń pręt pr prostm ginniu (rs. ) wkorstm równni geometrcne (.). Rs.
5 odstwijąc do tch równń element mcier odkstłceń (5) pr uwględnieniu relcji ε c gdie c jest określone leżnością () dostjem u u c v v u νc w v w w νc 0 () Cłkując pierwse tr powżsch równń otrmujem nstępujące współrędne wektor premiesceń: u c c v ν c c (5) νc w gdie c c c c są stłmi cłkowni. c ( ) c ( ) odstwijąc do poostłch trech równń () pochodne powżsch funkcji cli otrmujem u u v v w w 0 c c u u v w ν c c c 0 0 c u v 0 c v w 0 c w c ν c c ν c c c ( ) νc c c νc ( ) d d (6) (7) Uwględnijąc powżse stłe we worch (5) dostjem gdie d d d. u c c c w v ν c c (8) ( ν ν ) d oniewż w miejscu utwierdeni pręt 0 wsstkie tr współrędne wektor premiesceni są równe eru (wrunki bregowe w premiescenich) tem (8) wnik że ( ) c 0 v( 0) c 0 w( 0) d 0 u (9) 0 5
6 i w konsekwencji dostjem osttecną postć współrędnch wektor premiesceń w pręcie pr jego prostm ginniu u c v νc c w ( ν ν ) (0) W prpdku punktów leżącch n osi podłużnej pręt gdie 0 powżse współrędne prjmą postć u w ( ) 0 v( ) c ( ) odstwijąc do osttniej powżsch współrędnch stłą c określoną worem () dostjem postć funkcji określjącej premiesceni pionowe punktów leżącch n osi podłużnej pręt pr jego prost ginniu w 0 ( ) () () owżs wór m stosownie tlko w prpdku prostego ginni kied jedną siłą prekrojową jest moment ginjąc. Ze woru () wnik iż ugięcie końc pręt o długości l ginnego momentem jest równe l w l w( l) () m oniewż nprężeni () odkstłceni () i premiesceni (0) spełniją wsstkie równni i wrunki bregowe tem otrmne rowiąnie gdnieni prostego rociągni jest ścisłe (dokłdne). 0.. Nprężeni w dowolnm prostokątnm ukłdie odniesieni eśli nie jest spełnione łożenie () cli osie C i C nie są osimi głównmi centrlnmi prekroju to po rowiąniu ukłdu równń (0) (scegół njdują się w dile Wprowdeni ) otrmm nstępujące wrtości posukiwnch stłch: 6
7 b c () odstwijąc powżse stłe do wiąku (8) i porądkując otrmn reultt otrmujem skomplikowną leżność określjącą nprężeni normlne pr prostm ginniu w dowolnm prostokątnm ukłdie odniesieni ( ) ( ) (5) Wncenie nprężeń pr wkorstniu powżsej leżności wmg obliceni wsstkich momentów sttcnch i momentów bewłdności wględem osi prjętego ukłdu odniesieni. edną jej letą jest to że nie musim wncć środk ciężkości i osi głównch centrlnch prekroju. W ukłdie osi głównch 0 powżs leżność prjmuje postć ( ) (6) w ukłdie osi centrlnch 0 uprsc się on do postci (7) ntomist w ukłdie osi głównch centrlnch 0 or 0 otrmujem wór (). Z porównni wiąków (5) (6) (7) i () wnik że leżność określjąc nprężeni normlne pr ginniu prjmuje njprostsą postć w ukłdie osi głównch centrlnch. Dltego tk wżn jest umiejętność ich wncni. twierdenie to jest słusne również w innch prpdkch wtrmłościowch. rkłd. W prpdku prekroju jk n rs.. wncć położenie osi obojętnej or nprężeni normlne wględem wbrnch ukłdów odniesieni (rs..b-e). Dne: b h l l ukne: o 7
8 Rs.. Rowiąnie: rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się dolną ntomist oś rędnch lewą krwędią prekroju (rs...b). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni h b b h Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) ( ) ( ) b h b h b h b h b h ( l) l do skąd po prekstłcenich otrmujem nstępującą postć leżności określjącej nprężeni normlne w prjętm ukłdie odniesieni Krok. Wncm położenie osi obojętnej 6l ( h ) (i) h 0 o (ii) Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) 8
9 B D 6l 6l ( h h) 6l 6l ( h 0) (iii) ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... Rs.. rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się dolną krwędią prekroju ntomist oś rędnch jego osią smetrii (rs..c). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni (ukłdie osi głównch) h 0 0 Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) ( l) 6l ( h ) l do owżs leżność jest identcn jk w prpdku więc położenie osi obojętnej określ wór (ii) nprężeni w punktch skrjnch prekroju wor (iii) ntomist wkres nprężeń rs... Ztem presunięci poiome ukłdu odniesieni nie mieniło wników otrmnch w prpdku. rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się górną krwędią prekroju ntomist oś rędnch jego osią smetrii (rs..d). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni (ukłdie osi głównch) 9
10 h 0 0 Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) Krok. Wncm położenie osi obojętnej ( l ) 6l ( h ) l do 0 o h Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) B D 6l 6l ( h 0) 6l 6l ( h h) ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... rpdek. Osie ukłdu odniesieni pokrwją się osimi smetrii prekroju (rs..e). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w ukłdie odniesieni jk n rsunku.e (ukłdie osi głównch centrlnch) Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or 0 do woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) l m Krok. Wncm położenie osi obojętnej l l o 0 0 więc w rowżnm prpdku oś obojętn pokrw się poiomą osią centrlną. 0
11 Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) B D l h 6l l h 6l ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... Z powżsego prkłdu wnik że o ile wor określjące nprężeni w prekroju ginnm w rowżnch ukłdch odniesieni różnią się od siebie podobnie jk równni osi obojętnej to rokłd nprężeń w prekroju jk i położenie osi obojętnej są wse tkie sme (nieleżne od prjętego ukłdu odniesieni). 0.. Rokłd nprężeń w prekroju ginnm Ze woru () wnik że rokłd nprężeń normlnch w prekroju ginnm jest liniow ś wrtości ekstremlne równe m min ( h ) d ( hg ) hg h d (8) nprężeni te osiągją we włóknch skrjnch prekroju poprecnego (rs. ). Rs. oniewż w rowżnm prpdku moment ginjąc jest stł n cłej długości pręt tem rokłd nprężeń normlnch jest tki sm we wsstkich jego prekrojch poprecnch. Nprężeni normlne są też jednkowe we wsstkich punktch prekroju o tkiej smej odległości od osi obojętnej. Njwięksą bewględną wrtość nprężeni oblicm e woru m ( h h ) m g d (9)
12 owżs wór możem pisć w nstępującej postci m (0) W gdie W () m ( h h ) g d nwm wskźnikiem wtrmłości pr ginniu. k łtwo sprwdić w prpdku prekroju prostokątnego o wmirch b h wskźnik ten jest równ Belki espolone Belką espoloną nwm belkę której prekrój poprecn skłd się co njmniej dwóch trwle e sobą połąconch cęści (espolenie pełne) wkonnch mteriłów o różnch modułch sprężstości podłużnej (modułch YOUNG). tn nprężeni i odkstłceni w belce espolonej Roptrm prekrój poprecn ginnej belki espolonej skłdjącej się dwóch różnch mteriłów i (rs. 5). Rs. 5 Zwiąek ficn (6) m w prpdku kżdego mteriłów belki espolonej inną postć cli ε ε () ntomist hipote płskich prekrojów wnik że odkstłcenie liniowe cłego prekroju tkiej belki opisuje jedn leżność (7) w postci
13 c b c b ε ε ε ε () odstwijąc powżsą leżność do wiąków () otrmujem ( ) ( ) c b c b () gdie c b stłe które nleż wncć. W prpdku prekroju espolonego leżności (9) prjmują postć 0 0 d d d d d d d d d (5) skąd po wkorstniu wiąków () dostjem ukłd równń ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 c b c b c b N N (6) gdie d d d d d N d N (7) oncją odpowiednio sił i moment ginjące prpdjące n kżdą obu cęści prekroju espolonego ntomist d d d d d d d d d d d d (8) są chrkterstkmi geometrcnmi tch cęści.
14 W odróżnieniu od prekroju wkonnego jednego mteriłu rowiąnie ukłdu równń (6) m njprostsą postć w ukłdie odniesieni O w którm oś O pokrw się osią obojętną o rędnej o (rs. 5). ołożenie tej osi wncm wrunku 0 (9) oment sttcne obu cęści prekroju espolonego wględem jego osi obojętnej możn predstwić w postci ( o ) ( ) o (0) gdie rędne i o oblicm wględem osi prechodącej pre dolną krwędź prekroju espolonego (rs. 5). odstwijąc powżse leżności do wrunku (9) dostjem równnie którego rowiąnie m postć ( ) ( ) 0 o o () o () Wrto uwżć że w prpdku prekroju espolonego (skłdjącego się różnch mteriłów) oś obojętn nie prechodi pre geometrcn środek ciężkości prekroju (nie pokrw się osią centrlną odciętch) cli jej rędn (rs. 5). o c o oniewż w prjętm ukłdie odniesieni 0 0 or spełnion jest wrunek (9) to rowiąując ukłdu równń (6) otrmujem nstępujące wrtości posukiwnch stłch: b 0 c () Uwględnijąc powżse stłe we wore (7) otrmujem leżność określjącą odkstłcenie pręt ginnego (rs. 5b) ε () odstwijąc ntomist stłe () do wiąków ficnch (5) dostjem
15 (5) owżse leżności powlją wncć rokłd nprężeń normlnch w prekroju espolonm (rs. 5c). rkłd. W prpdku belki espolonej o prekroju i obciążeniu i jk n rs.. nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch. Rs.. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Wncm położenie osi obojętnej prekroju (rs..) Rs.. Oblicm pol powierchni i moment sttcne obu cęści prekroju wględem jego dolnej krwędi 5
16 odstwijąc powżse wielkości do woru () i uwględnijąc że otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs..) o (i) Krok.. Oblicm nprężeni normlne w prekroju Oblicm moment bewłdności obu cęści prekroju wględem osi obojętnej ( ) ( ) ( ) odstwijąc powżse wielkości do worów (5) or uwględnijąc że 50 or otrmujem leżności określjące nprężeni normlne w obu cęścich prekroju ( ) ( ) (ii) Wnik nich że ( ) ( ) ( ) D D D D B B Wkres nprężeń normlnch w prekroju predstwi rs..b. Wkres ten powl oblicć wrtości sił (7) i momentów ginjącch (7) prpdjące n kżdą cęści prekroju espolonego. Wrtości te wnosą odpowiednio ( ) d N d N
17 d.8 d or uwgi n smetrię nprężeń wględem osi O Z powżsch leżności wnik że ( 0.75) ( ) ( ) d 0 d 0.9 N N co dowodi spełnieni równń (6). etod prekroju stępcego b uprościć powżse wor i upodobnić je do worów wkorstwnch do oblicni nprężeń w prekroju wkonnm jednego mteriłu możn wkorstć metodę prekroju stępcego (sprowdonego ekwiwlentnego). etod t poleg n stąpieniu recwistego prekroju belki espolonej prekrojem o włściwościch wtrmłościowch (module YOUNG) jednego wbrnego mteriłu (nie m nceni któr to jest mterił). r minie powierchni jednego mteriłu n równowżną powierchnię drugiego nie mienim wsokości prekroju równowżn prekrój stępc otrmujem pre odpowiednie więksenie lub mniejsenie tlko serokości prekroju mteriłu stępownego. Zwięksjąc tem n -krotnie n serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu (rs. 6) otrmujem pierws prekrój stępc (rs. 6b) w którm mterił ostł stąpion mteriłem pr cm w dlsch rowżnich łożm że >. Uwględnijąc w wrżeniu () n otrmujem o (6) gdie n jest momentem sttcnm prekroju stępcego wględem osi prechodącej pre jego dolną krwędź ś n polem powierchni tego prekroju. 7
18 Rs. 6 oniewż prekrój stępc skłd się jednego mteriłu to oś obojętn pokrw się jego osią centrlną C cli (rs. 6). o Uwględnijąc kolei n w leżnościch (5) otrmujem c n (7) gdie n jest momentem bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej. eśli mniejsm n -krotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu (rs. 6) to otrmm drugi prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. 6c) gdie n. oniewż n n to łtwo wkć że pol powierchni moment sttcne or moment bewłdności obu prekrojów stępcch powiąne są nstępującmi leżnościmi n n n (8) n gdie n odstwijąc (8) do (6) dostjem or n. o (9) 8
19 ntomist kłdąc (8) w (7) otrmujem n (50) oniewż wor (6) i (9) wnikją leżności () ntomist (7) i (50) relcji (5) tem położenie osi obojętnej or rokłd nprężeń w prekroju nie leż od wboru prekroju stępcego (nie m nceni c mterił stąpim mteriłem c też n odwrót). etodę prekroju stępcego możn również wkorstć w prpdku prekrojów espolonch więksej licb mteriłów. eśli prekrój espolon skłd się mteriłów o tkich smch współcnnikch sprężstości podłużnej cli to wor () (6) i (9) określjące położenie osi obojętnej or wiąki (5) (7) i (50) określjące rokłd nprężeń w prekroju prjmą odpowiednio postć: c (5) o or (5) gdie jest momentem sttcnm prekroju wględem osi prechodącej pre jego dolną krwędź polem powierchni prekroju ntomist momentem bewłdności prekroju wględem jego poiomej osi centrlnej. owżse wor są ocwiście identcne jk w prpdku prekroju wkonnego jednego mteriłu. rkłd. W prpdku prekroju espolonego jk w prkłdie (rs..) nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch wkorstując metodę prekroju stępcego i stępując mterił mteriłem. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Uwględnijąc że n więksm cterokrotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu otrmując prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. ). 9
20 Krok.. Wncm położenie środk ciężkości prekroju stępcego (rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju espolonego) Rs. Oblicm pole powierchni i moment sttcn prekroju stępcego wględem jego dolnej krwędi odstwijąc powżse wielkości do woru (6) otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs. ) 8 o (i) Krok.. Wncm rokłd nprężeń normlnch w prekroju stępcm i espolonm Oblicm moment bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej (.5) 8(.75) ( 8 )( 0.75) 6.9 odstwijąc powżs moment bewłdności do leżności (7) tkże uwględnijąc że or n otrmujem n (ii) Wkorstując powżse wor oblicm wrtości nprężeń normlnch w wbrnch punktch prekroju stępcego i espolonego 0
21 B D D.8 B ( ) D D (.75) Wkres nprężeń normlnch w prekroju stępcm (lini prerwn) i espolonm (lini ciągł) predstwi rs. b. rkłd. W prpdku prekroju espolonego jk w prkłdie (rs..) nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch wkorstując metodę prekroju stępcego i stępując mterił mteriłem. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Uwględnijąc że n 0. 5 mniejsm cterokrotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu otrmując prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. ). Rs. Krok.. Wncm położenie środk ciężkości prekroju stępcego (rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju espolonego) Oblicm pole powierchni i moment sttcn prekroju stępcego wględem jego dolnej krwędi
22 odstwijąc powżse wielkości do woru (9) otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs. ) 7 o. 75 (i) Krok.. Wncm rokłd nprężeń normlnch w prekroju stępcm i espolonm Oblicm moment bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej (.5) (.75) ( 0.5)( 0.75) odstwijąc powżs moment do leżności (50) tkże uwględnijąc że n 0.5 otrmujem n or (ii) Wkorstując powżse wor oblicm wrtości nprężeń normlnch w wbrnch punktch prekroju stępcego i espolonego B B D D 5.5 B B ( 0.75 ). D D (.75) 9.6 Wkres nprężeń normlnch w prekroju stępcm (lini prerwn) i espolonm (lini ciągł) predstwi rs..b. () Wrunek wtrmłości 0.5. Wrunki wmirowni prętów ginnch R (5) W gdie R onc wtrmłość obliceniową mteriłu pręt. eśli prekrój jest espolon to powżs wrunek nleż sprwdić w prpdku kżdego mteriłu. owżs wrunek możn wkorstć do wnceni nośności pręt WR (5)
23 lub wskźnik wtrmłości prekroju (wmirów prekroju poprecnego) (b) Wrunek stwności gdie w dop onc dopusclne ugięcie pręt. W R (55) wm w dop (56) Zgdnieni n egmin. Zdefiniowć proste ginnie; podć i omówić równni stron: sttcnej geometrcnej i ficnej w prpdku pręt ginnego.. odć rokłd nprężeń normlnch w prekroju ginnm; podć i omówić wrunki projektowni prętów ginnch.. Zdefiniowć belkę espoloną or mówić sposób wncni położeni osi obojętnej i nprężeń normlnch.
2.2. ZGINANIE UKOŚNE
.. ZGINNIE UKŚNE Zginnie ukśne (dwukierunkwe) wstępuje wówcs, gd bciążenie ewnętrne redukuje się d wektr mmentu ginjąceg, leżąceg w płscźnie prekrju, któreg kierunek nie pkrw się żdną głównch, centrlnch
Bardziej szczegółowo14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe
. Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33
Bardziej szczegółowoMatematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie
Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc
Bardziej szczegółowo2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowo2.3. ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) MIMOŚRODOWE
.. RZCĄGNE (ŚCSKNE) MMŚRDWE Rcągne (ścskne) mmśrdwe wstępuje wówcs gd bcążene ewnętrne redukuje sę d wektr sł prstpdłeg d prekrju pprecneg cepneg p jeg śrdkem cężkśc (rs. ). Rs. Złżene: se C r C są sm
Bardziej szczegółowo2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar
2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.
Bardziej szczegółowoLaboratorium wytrzymałości materiałów
olitechnik ubelsk MECHANIKA bortorium wtrmłości mteriłów Ćwicenie 0 - Wncnie linii ugięci belki stosowniem twierdeni o wjemności premiesceń rgotowł: Andrej Teter (do użtku wewnętrnego Wncnie linii ugięci
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6. Mimośrodowe rozciąganie. Redukcja do środka ciężkości PROJEKT
ĆWICZENIE 6 Mmośrodowe rocągne Redukcj do środk cężkośc N P M P0 M P0 PROJEKT Zprojektowć prmetr prekroju, wncć oś obojętną or brłę nprężeń. Wncć rdeń prekroju. Prekrój obcążono słą N=00 kn prłożoną w
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoZginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-6 Pomiar modułu sprężystości metalu metodą ugięcia pręta. I. Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. Fi Rys 1.
Pomir moułu sprężstości metu metoą ugięci pręt.. Ce ćwiceni: wncenie moułu sprężstości połużnej E (moułu Young ) że, uminium i mosiąu. Porównnie ugięć prętów wkonnch tego smego mteriłu o różnch kstłtch
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoSposób opisu symetrii figur lub brył skończonych
Wkłd drugi - smetri Smetri (gr. συμμετρια podobn mir) dl figur lub brł - istnienie nietrwilnego prekstłceni, które odworowuje obiekt w smego siebie minie mogą ulegć współrędne prestrenne, cs, kolor itp.
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoBelki zespolone 1. z E 1, A 1
Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione
Bardziej szczegółowo2.1. ZGINANIE POPRZECZNE
.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują
Bardziej szczegółowo(y N, z N ) Rys. 14.1
dm Bodnr: Wtrmłość Mterłów. Mmośrodowe rocągne ścskne. MIMOŚRODOWE ROCIĄGIE I ŚCISKIE.. prężen odkstłcen Mmośrodowe rocągne pręt prmtcnego wstępuje wówcs gd ukłd sł ewnętrnch po jednej strone jego prekroju
Bardziej szczegółowoTensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci
ensor f liniow jenoron funkj: wektor wektor =f f f f W nm ukłie współręnh i,j,k - tensor jko mier f ˆ ˆ i j kˆ f ˆ i f ˆ j f kˆ le f iˆ [ˆ if ˆ i ˆjf ˆ i kf ˆ ˆ] i ˆ [ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f j if j jf j kf ˆ] j f
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE
. UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego
Bardziej szczegółowoWykład z fizyki Budownictwo I BB-ZI. Dr Andrzej Bąk
Wkłd fiki udownictwo I -ZI Dr ndrej ąk Dlcego wrto się ucć fiki? Powsechność jwisk ficnch W świecie, któr ns otc chodi mnóstwo jwisk ficnch, np.: jwisk meteorologicne: opd descu, śniegu, mgł, tęc, włdowni
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowoPręt nr 2 N 3,1416² ,1. Wyniki wymiarowania stali wg PN-EN 1993 (Stal1993_2d v. 1.3 licencja) Zadanie: P_OFFER Przekrój: 8 - Złożony
Pręt nr Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_d v..3 licencja) Zadanie: P_OER Prekrój: 8 - Złożon Z Y 39 83 Wmiar prekroju: h6,0 s438,7 Charakterstka geometrcna prekroju: Ig4490, Ig34953,6 83,00
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoZapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna
Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn
Bardziej szczegółowoTydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g.
Studi dzienne, kierunek: Budownictwo, semestr IV Studi inżynierskie i mgisterskie (ilość godz. w2, ćw1, proj1) Wytrzymłość mteriłów. Ćwiczeni udytoryjne. Przykłdow treść ćwiczeń. Tydzień 1. Linie ugięci
Bardziej szczegółowoProjekt: Data: Pozycja: A ch = 0,5 20, ,40 = 5091,1 cm 4
Pręt nr 4 Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_3d v..4) Zadanie: Hala stalowa suwnicą - P-E.rm3 Prekrój:,9 Z Y 50 Wmiar prekroju: h00,0 s76,0 g5, t9, r9,5 e0,7 Charakterstka geometrcna prekroju:
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoZginanie Proste Równomierne Belki
Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie
Bardziej szczegółowoCzęść 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp
Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:
Bardziej szczegółowopionowe od kół suwnic, zgodnie z warunków równowagi statecznej (rys. 6.4) dla
6.7. Prkład oblicania słupa pełnościennego esakad podsuwnicowej Pełnościenne słup esakad podsuwnicowej podpierają or podsuwnicowe na kórch pracują suwnice pomosowe naorowe o udźwigach i paramerach echnicnch
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowoWyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych
Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE
Bardziej szczegółowoTEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoA. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie
. Zborski, Rozciągnie proste Rozciągnie rzkłd Zprojektowć pręt i tk, b przemieszczenie węzł nie przekroczło dopuszczlnej wrtości mm. Dne: R = 50 M, E = 0 G. 5 m m 4 m 80 k Rozwiąznie: równni sttki: sin
Bardziej szczegółowoZmiany w wydaniu drugim skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN
Zminy w wydniu drugim skryptu Konstrukcje stlowe. Prykłdy obliceń według PN-EN 99- Rodił. Dodno nowy punkt.. Inormcje o minch (str. 0.) obecnym wydniu uwględniono miny: wynikjące wprowdeni pre PKN w cerwcu
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego
Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena
Bardziej szczegółowo=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz
GEMETRIA MAS moment ewłdności i dewicji Zsd ogólne: 1) Moment ewłdności wględem osi ówn jest sumie momentów ewłdności wględem dwóc postopdłc płscn wiejącc tę oś: I =I π + I π I =I π + I π I = I π +I π
Bardziej szczegółowonapór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )
5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka
Bardziej szczegółowoBelki złożone i zespolone
Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki
Bardziej szczegółowoANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY
Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoMorfologia kryształów
Morfologi krsztłów Morfologi krsztłu Ścin krsztłu = ogrniczjące powierzchnie Zleżą od ksztłtu komorek elementrnch i od fizcznch wrunków wzrostu krsztłu (T, p, otoczenie, roztwór itd.); Krsztł jest wielościnem
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowo7.0 Wały i osie 7.1. Definicje Materiały Obliczenia wytrzymałościowe
7.0. Wł i osie 7.0 Wł i osie 7.. Deinicje Wł - eement konstrukcjn, o prcując ruchem obrotowm, obciążon momentem skręcjącm, gnącm i siłmi osiowmi. Roróżni się wł: cłkowite - wkonne jednej brł mteriłu, skłdne
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.
Przkłd 6.. Płski stn nprężeni. Płski stn odksztłeni. ZADANIE. Dl dnego płskiego stnu nprężeni [MP] znleźć skłdowe stnu nprężeni w ukłdzie osi oróonh względem osi o kąt α0 orz nprężeni i kierunki główne.
Bardziej szczegółowoŚrodek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1
Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów II
Wytrzymłość mteriłów II kierunek Budownictwo, sem. IV mteriły pomocnicze do ćwiczeń oprcownie: dr inż. Iren Wgner, mgr inż. Jont Bondrczuk-Siwick TREŚĆ WYKŁADU Sprężyste skręcnie prętów pryzmtycznych.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoErrata do I i II wydania skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1
Errt do I i II dni skrptu Konstrukcj stlo. Prkłd oblicń dług PN-EN 99- Rodił. W osttnim kpici pkt. dodno nstępującą inormcję: Uględniono min nikjąc prodni pr PKN crcu 009 r. poprk opublikonch normch, śld
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowoZłożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych
Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie B-5
POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT ORAIAREK I TECHNOLOGII UDOWY MASZYN Ćwicenie -5 Temt: ADANIE POPRZECZNEJ SZTYWNOŚCI UKŁADU WRZECIONO-ŁOŻYSKA HYDROSTATYCZNE Oprcownie: dr h inż R Prł prof ndw PŁ Aktulicj i
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowo1.8. PROSTE ŚCINANIE
.8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe
lgbr liio gomtrią litcą / WYKŁD. PRZEKSZTŁCENIE LINIOWE WRTOŚCI I WEKTORY WŁSNE Prkstłci liio Diicj Prporądkoi ktorom R ktoró k R, : jst prkstłcim liiom td i tlko td gd: k k k k c c c c c Postć prkstłci
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdenie: Do cego służą wekor? Mp połąceń smoloowch Isige pokuje, skąd smolo wlują i dokąd dolują; pokne jes o pomocą srłek srłki e pokują premiescenie: skąd dokąd jes dn lo, rs.. Mimo, że rjekori lou
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
Bardziej szczegółowo3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b...
RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Ukłd rówń liiowch iewidoi isuje w ostci Z ukłde () wiąe są ciere A X B które w: A cierą wsółcików X koluą iewidoch B koluą wrów wolch Wkorstując owżse ocei ukłd
Bardziej szczegółowo5.7. Przykład liczbowy
5.7. Prład licbow onać oblicenia nośności beli podsuwnicowej e sali S75 pręsłami o długościach l m swobodnie podparmi na słupach esaad obsługiwanej pre dwie suwnice naorowe o jednaowch paramerach usuowanej
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoREZONATORY MIKROFALOWE
RZONATORY MIKROFALOW Reonto mikofow jest to pewien obs mknięt. Pe obs mknięt oumie się obs pe bei któeo nie m pepłwu eneii, tn. wunki beowe wmusją w kżdm punkcie beu niknie skłdowej stcnej po eektcneo
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoŚcianki szczelne. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Ścinki scelne W preentcji tej obsernie korystłem mteriłów dokumentcyjnych ebrnych pre mgr inż. Sebstin Olesik, co mu jesce r tą drogą skłdm podiękownie. Ścinki scelne Ścinki scelne to lekkie konstrukcje
Bardziej szczegółowox od położenia równowagi
RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoWykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji
Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowoz b leżącą na płaszczyźnie xz, otrzymujemy równanie elipsoidy obrotowej, która w myśl równania (3) będzie miała następujące równanie: z b x y z
Mtrił ddktcn Godj gomtrcn Mrcin Ligs, Ktdr Gomtki, Wdił Godji Górnicj i Inżnirii Środowisk, AGH LIPSOIDA OBROTOWA, LIPSA POŁUDNIKOWA, SZROKOŚĆ GODZYJNA, SZROKOŚĆ ZRDUKOWANA, SZROKOŚĆ GOCNTRYCZNA, WSPÓŁRZĘDN
Bardziej szczegółowo2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Bardziej szczegółowoPrawo Coulomba i pole elektryczne
Prwo Coulomb i pole elektryczne Mciej J. Mrowiński 4 pździernik 2010 Zdnie PE1 2R R Dwie młe kulki o msie m, posidjące ten sm łdunek, umieszczono w drewninym nczyniu, którego przekrój wygląd tk jk n rysunku
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoMorfologia kryształów
Morfologi krsztłów Morfologi krsztłu Ścin krsztłu = ogrniczjące powierzchnie Zleżą od ksztłtu komorek elementrnch i od fizcznch wrunków wzrostu krsztłu (T, p, otoczenie, roztwór itd.); Krsztł jest wielościnem
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoMotyl, wstęga Möbius a i dwunastościan.
Michł Nowkiewic 05.03.2007 Motl, wstęg Möbius i dwunstościn. Celem dni jest wprowdenie do progrmowni w OpenGL or poknie różnch metod konstruowni mcier prekstłceń dl obiektów trójwmirowej scen. Do opercji
Bardziej szczegółowoZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:
WYKŁADOWCA: dr h. inż. Ktrn ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, pw. C-1, p. 317, III p. tel. 617 29 01, tel. kom. 0 601 51 33 35 k@gh.edu.pl http://home.gh.edu.pl/~k 2010/2011, im 1 ZASADY ZALICZANIA
Bardziej szczegółowoBadania zginanych belek
Mechanika i wtrzmałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratorjneo: Badania zinanch belek oprac. dr inż. Ludomir J. JNKOWSKI, dr inż. nna NIKODM. Wprowadzenie W wtrzmałości materiałów stan obciążenia
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Bardziej szczegółowoEPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B
Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s
Bardziej szczegółowoω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy
Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost
Bardziej szczegółowo