10. PROSTE ZGINANIE Stan naprężenia i odkształcenia przy prostym zginaniu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "10. PROSTE ZGINANIE Stan naprężenia i odkształcenia przy prostym zginaniu"

Transkrypt

1 . Wrwł Wkłd mechniki mteriłów 0. ROT ZGINNI 0.. tn nprężeni i odkstłceni pr prostm ginniu Zginnie proste (jednokierunkowe) wstępuje wówcs gd obciążenie ewnętrne redukuje się do wektor momentu ginjącego leżącego w płscźnie prekroju którego kierunek pokrw się jedną głównch centrlnch osi bewłdności prekroju. Rowżm pręt o długości l stłm prekroju obciążon momentem ginjącm (rs. ). Rs. Z powżsego rsunku wnik że jedną siłą prekrojową w rowżnm pręcie jest moment ginjąc którego kierunek pokrw się główną centrlną osią bewłdności prekroju C (rs. ). Ztem pręt ten jest poddn prostemu ginniu. Nprężeni odkstłceni i premiesceni w pręcie pr jego prostm ginniu wncm prjmując nstępujące łożeni uprscjące: (i) wpłw sił msowej jest pomijln więc g g g 0 () gdie g g g są współrędnmi wektor sił msowej; (ii) osie C i C są osimi głównmi centrlnmi prekroju cli gdie 0 0 () oncją moment sttcne ntomist bewłdności; (iii) spełnion jest hipote płskich prekrojów BRNOULLI GO (por. 7.). odśrodkow moment

2 Złożm też że w prpdku prostego ginni w prekroju rowżnego pręt wstępuje tlko nprężenie normlne (rs. ). W tkim prpdku mcier nprężeń (.6) prjmuje postć 0 0 T () [ ] Onc to że pr prostm ginniu wstępuje jednoosiow stn nprężeni. tron ficn Rs. odstwijąc element mcier () do równń ficnch (5.) otrmujem ε ν ε ε νε γ γ γ γ γ γ 0 () gdie jest modułem sprężstości podłużnej (modułem YOUNG) ntomist ν współcnnikiem oisson. Z powżsch relcji wnik że mcier odkstłceń m nstępującą postć: ε νε 0 (5) 0 0 νε [ ] Onc to że stn odkstłceń w pr prostm ginniu jest trójosiow (prestrenn).

3 tron sttcn Wkorstując prwo HOOK () w postci ε (6) or hipoteę płskich prekrojów powljącą predstwić odkstłcenie liniowe ε jko ε b c (7) otrmujem nstępującą leżność określjącą nprężenie normlne prekroju pręt ginnego ( b c) (8) gdie b c stłe które nleż wncć. Z uwgi n stn nprężeni w pręcie leżności (.55) prjmują postć (rs. ) d 0 d d 0 (9) odstwijąc do powżsch wiąków leżność (8) i wkorstując definicje chrkterstk geometrcnch (.) (.) (.9) i (.) dostjem ukłd równń b b b c c c 0 0 (0) gdie onc pole powierchni moment bewłdności prekroju. moment sttcne ntomist Uwględnijąc w powżsch równnich łożenie () otrmujem nstępujące wrtości posukiwnch stłch: b 0 c () Wkorstując powżse stłe we wore (8) otrmujem wór określjąc nprężenie w pręcie pr prostm ginniu

4 () Z powżsego woru wnik że nprężeni normlne w prekroju ginnm mieniją się liniowo po jego wsokości. oniewż nprężeni te nie leżą od współrędnej to prjmują tę smą wrtość we wsstkich punktch o tej smej współrędnej. oniewż nprężenie () jest leżne tlko od miennej ś poostłe nprężeni są równe eru to pr łożeniu () równni równowgi (.) są spełnione tożsmościowo. rrównując powżs wór do er wncm krwędź precięci płscn nprężeń płscną prekroju wną osią obojętną. Z wrunku 0 wnik że rędn punktów leżącch n osi obojętnej wnosi o 0 co onc że pr prostm ginniu oś obojętn pokrw się osią centrlną C. Oś obojętn stnowi grnicę pomięd nprężenimi ściskjącmi or rociągjącmi. Nprężeni te osiągją wrtości ekstremlne w punktch prekroju njbrdiej oddlonch od osi obojętnej. Uwględnienie stłch () we wore (6) powl otrmć leżność określjącą odkstłcenie liniowe pręt ginnego cli ε () gdie nwm stwnością pręt pr ginniu. Z powżsego woru wnik że również odkstłcenie pręt poddnego prostemu ginniu jest leżne od miennej. Ztem równni nierodielności (.7) są spełnione tożsmościowo. tron geometrcn W celu określeni premiesceń pręt pr prostm ginniu (rs. ) wkorstm równni geometrcne (.). Rs.

5 odstwijąc do tch równń element mcier odkstłceń (5) pr uwględnieniu relcji ε c gdie c jest określone leżnością () dostjem u u c v v u νc w v w w νc 0 () Cłkując pierwse tr powżsch równń otrmujem nstępujące współrędne wektor premiesceń: u c c v ν c c (5) νc w gdie c c c c są stłmi cłkowni. c ( ) c ( ) odstwijąc do poostłch trech równń () pochodne powżsch funkcji cli otrmujem u u v v w w 0 c c u u v w ν c c c 0 0 c u v 0 c v w 0 c w c ν c c ν c c c ( ) νc c c νc ( ) d d (6) (7) Uwględnijąc powżse stłe we worch (5) dostjem gdie d d d. u c c c w v ν c c (8) ( ν ν ) d oniewż w miejscu utwierdeni pręt 0 wsstkie tr współrędne wektor premiesceni są równe eru (wrunki bregowe w premiescenich) tem (8) wnik że ( ) c 0 v( 0) c 0 w( 0) d 0 u (9) 0 5

6 i w konsekwencji dostjem osttecną postć współrędnch wektor premiesceń w pręcie pr jego prostm ginniu u c v νc c w ( ν ν ) (0) W prpdku punktów leżącch n osi podłużnej pręt gdie 0 powżse współrędne prjmą postć u w ( ) 0 v( ) c ( ) odstwijąc do osttniej powżsch współrędnch stłą c określoną worem () dostjem postć funkcji określjącej premiesceni pionowe punktów leżącch n osi podłużnej pręt pr jego prost ginniu w 0 ( ) () () owżs wór m stosownie tlko w prpdku prostego ginni kied jedną siłą prekrojową jest moment ginjąc. Ze woru () wnik iż ugięcie końc pręt o długości l ginnego momentem jest równe l w l w( l) () m oniewż nprężeni () odkstłceni () i premiesceni (0) spełniją wsstkie równni i wrunki bregowe tem otrmne rowiąnie gdnieni prostego rociągni jest ścisłe (dokłdne). 0.. Nprężeni w dowolnm prostokątnm ukłdie odniesieni eśli nie jest spełnione łożenie () cli osie C i C nie są osimi głównmi centrlnmi prekroju to po rowiąniu ukłdu równń (0) (scegół njdują się w dile Wprowdeni ) otrmm nstępujące wrtości posukiwnch stłch: 6

7 b c () odstwijąc powżse stłe do wiąku (8) i porądkując otrmn reultt otrmujem skomplikowną leżność określjącą nprężeni normlne pr prostm ginniu w dowolnm prostokątnm ukłdie odniesieni ( ) ( ) (5) Wncenie nprężeń pr wkorstniu powżsej leżności wmg obliceni wsstkich momentów sttcnch i momentów bewłdności wględem osi prjętego ukłdu odniesieni. edną jej letą jest to że nie musim wncć środk ciężkości i osi głównch centrlnch prekroju. W ukłdie osi głównch 0 powżs leżność prjmuje postć ( ) (6) w ukłdie osi centrlnch 0 uprsc się on do postci (7) ntomist w ukłdie osi głównch centrlnch 0 or 0 otrmujem wór (). Z porównni wiąków (5) (6) (7) i () wnik że leżność określjąc nprężeni normlne pr ginniu prjmuje njprostsą postć w ukłdie osi głównch centrlnch. Dltego tk wżn jest umiejętność ich wncni. twierdenie to jest słusne również w innch prpdkch wtrmłościowch. rkłd. W prpdku prekroju jk n rs.. wncć położenie osi obojętnej or nprężeni normlne wględem wbrnch ukłdów odniesieni (rs..b-e). Dne: b h l l ukne: o 7

8 Rs.. Rowiąnie: rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się dolną ntomist oś rędnch lewą krwędią prekroju (rs...b). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni h b b h Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) ( ) ( ) b h b h b h b h b h ( l) l do skąd po prekstłcenich otrmujem nstępującą postć leżności określjącej nprężeni normlne w prjętm ukłdie odniesieni Krok. Wncm położenie osi obojętnej 6l ( h ) (i) h 0 o (ii) Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) 8

9 B D 6l 6l ( h h) 6l 6l ( h 0) (iii) ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... Rs.. rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się dolną krwędią prekroju ntomist oś rędnch jego osią smetrii (rs..c). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni (ukłdie osi głównch) h 0 0 Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) ( l) 6l ( h ) l do owżs leżność jest identcn jk w prpdku więc położenie osi obojętnej określ wór (ii) nprężeni w punktch skrjnch prekroju wor (iii) ntomist wkres nprężeń rs... Ztem presunięci poiome ukłdu odniesieni nie mieniło wników otrmnch w prpdku. rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się górną krwędią prekroju ntomist oś rędnch jego osią smetrii (rs..d). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni (ukłdie osi głównch) 9

10 h 0 0 Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) Krok. Wncm położenie osi obojętnej ( l ) 6l ( h ) l do 0 o h Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) B D 6l 6l ( h 0) 6l 6l ( h h) ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... rpdek. Osie ukłdu odniesieni pokrwją się osimi smetrii prekroju (rs..e). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w ukłdie odniesieni jk n rsunku.e (ukłdie osi głównch centrlnch) Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or 0 do woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) l m Krok. Wncm położenie osi obojętnej l l o 0 0 więc w rowżnm prpdku oś obojętn pokrw się poiomą osią centrlną. 0

11 Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) B D l h 6l l h 6l ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... Z powżsego prkłdu wnik że o ile wor określjące nprężeni w prekroju ginnm w rowżnch ukłdch odniesieni różnią się od siebie podobnie jk równni osi obojętnej to rokłd nprężeń w prekroju jk i położenie osi obojętnej są wse tkie sme (nieleżne od prjętego ukłdu odniesieni). 0.. Rokłd nprężeń w prekroju ginnm Ze woru () wnik że rokłd nprężeń normlnch w prekroju ginnm jest liniow ś wrtości ekstremlne równe m min ( h ) d ( hg ) hg h d (8) nprężeni te osiągją we włóknch skrjnch prekroju poprecnego (rs. ). Rs. oniewż w rowżnm prpdku moment ginjąc jest stł n cłej długości pręt tem rokłd nprężeń normlnch jest tki sm we wsstkich jego prekrojch poprecnch. Nprężeni normlne są też jednkowe we wsstkich punktch prekroju o tkiej smej odległości od osi obojętnej. Njwięksą bewględną wrtość nprężeni oblicm e woru m ( h h ) m g d (9)

12 owżs wór możem pisć w nstępującej postci m (0) W gdie W () m ( h h ) g d nwm wskźnikiem wtrmłości pr ginniu. k łtwo sprwdić w prpdku prekroju prostokątnego o wmirch b h wskźnik ten jest równ Belki espolone Belką espoloną nwm belkę której prekrój poprecn skłd się co njmniej dwóch trwle e sobą połąconch cęści (espolenie pełne) wkonnch mteriłów o różnch modułch sprężstości podłużnej (modułch YOUNG). tn nprężeni i odkstłceni w belce espolonej Roptrm prekrój poprecn ginnej belki espolonej skłdjącej się dwóch różnch mteriłów i (rs. 5). Rs. 5 Zwiąek ficn (6) m w prpdku kżdego mteriłów belki espolonej inną postć cli ε ε () ntomist hipote płskich prekrojów wnik że odkstłcenie liniowe cłego prekroju tkiej belki opisuje jedn leżność (7) w postci

13 c b c b ε ε ε ε () odstwijąc powżsą leżność do wiąków () otrmujem ( ) ( ) c b c b () gdie c b stłe które nleż wncć. W prpdku prekroju espolonego leżności (9) prjmują postć 0 0 d d d d d d d d d (5) skąd po wkorstniu wiąków () dostjem ukłd równń ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 c b c b c b N N (6) gdie d d d d d N d N (7) oncją odpowiednio sił i moment ginjące prpdjące n kżdą obu cęści prekroju espolonego ntomist d d d d d d d d d d d d (8) są chrkterstkmi geometrcnmi tch cęści.

14 W odróżnieniu od prekroju wkonnego jednego mteriłu rowiąnie ukłdu równń (6) m njprostsą postć w ukłdie odniesieni O w którm oś O pokrw się osią obojętną o rędnej o (rs. 5). ołożenie tej osi wncm wrunku 0 (9) oment sttcne obu cęści prekroju espolonego wględem jego osi obojętnej możn predstwić w postci ( o ) ( ) o (0) gdie rędne i o oblicm wględem osi prechodącej pre dolną krwędź prekroju espolonego (rs. 5). odstwijąc powżse leżności do wrunku (9) dostjem równnie którego rowiąnie m postć ( ) ( ) 0 o o () o () Wrto uwżć że w prpdku prekroju espolonego (skłdjącego się różnch mteriłów) oś obojętn nie prechodi pre geometrcn środek ciężkości prekroju (nie pokrw się osią centrlną odciętch) cli jej rędn (rs. 5). o c o oniewż w prjętm ukłdie odniesieni 0 0 or spełnion jest wrunek (9) to rowiąując ukłdu równń (6) otrmujem nstępujące wrtości posukiwnch stłch: b 0 c () Uwględnijąc powżse stłe we wore (7) otrmujem leżność określjącą odkstłcenie pręt ginnego (rs. 5b) ε () odstwijąc ntomist stłe () do wiąków ficnch (5) dostjem

15 (5) owżse leżności powlją wncć rokłd nprężeń normlnch w prekroju espolonm (rs. 5c). rkłd. W prpdku belki espolonej o prekroju i obciążeniu i jk n rs.. nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch. Rs.. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Wncm położenie osi obojętnej prekroju (rs..) Rs.. Oblicm pol powierchni i moment sttcne obu cęści prekroju wględem jego dolnej krwędi 5

16 odstwijąc powżse wielkości do woru () i uwględnijąc że otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs..) o (i) Krok.. Oblicm nprężeni normlne w prekroju Oblicm moment bewłdności obu cęści prekroju wględem osi obojętnej ( ) ( ) ( ) odstwijąc powżse wielkości do worów (5) or uwględnijąc że 50 or otrmujem leżności określjące nprężeni normlne w obu cęścich prekroju ( ) ( ) (ii) Wnik nich że ( ) ( ) ( ) D D D D B B Wkres nprężeń normlnch w prekroju predstwi rs..b. Wkres ten powl oblicć wrtości sił (7) i momentów ginjącch (7) prpdjące n kżdą cęści prekroju espolonego. Wrtości te wnosą odpowiednio ( ) d N d N

17 d.8 d or uwgi n smetrię nprężeń wględem osi O Z powżsch leżności wnik że ( 0.75) ( ) ( ) d 0 d 0.9 N N co dowodi spełnieni równń (6). etod prekroju stępcego b uprościć powżse wor i upodobnić je do worów wkorstwnch do oblicni nprężeń w prekroju wkonnm jednego mteriłu możn wkorstć metodę prekroju stępcego (sprowdonego ekwiwlentnego). etod t poleg n stąpieniu recwistego prekroju belki espolonej prekrojem o włściwościch wtrmłościowch (module YOUNG) jednego wbrnego mteriłu (nie m nceni któr to jest mterił). r minie powierchni jednego mteriłu n równowżną powierchnię drugiego nie mienim wsokości prekroju równowżn prekrój stępc otrmujem pre odpowiednie więksenie lub mniejsenie tlko serokości prekroju mteriłu stępownego. Zwięksjąc tem n -krotnie n serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu (rs. 6) otrmujem pierws prekrój stępc (rs. 6b) w którm mterił ostł stąpion mteriłem pr cm w dlsch rowżnich łożm że >. Uwględnijąc w wrżeniu () n otrmujem o (6) gdie n jest momentem sttcnm prekroju stępcego wględem osi prechodącej pre jego dolną krwędź ś n polem powierchni tego prekroju. 7

18 Rs. 6 oniewż prekrój stępc skłd się jednego mteriłu to oś obojętn pokrw się jego osią centrlną C cli (rs. 6). o Uwględnijąc kolei n w leżnościch (5) otrmujem c n (7) gdie n jest momentem bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej. eśli mniejsm n -krotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu (rs. 6) to otrmm drugi prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. 6c) gdie n. oniewż n n to łtwo wkć że pol powierchni moment sttcne or moment bewłdności obu prekrojów stępcch powiąne są nstępującmi leżnościmi n n n (8) n gdie n odstwijąc (8) do (6) dostjem or n. o (9) 8

19 ntomist kłdąc (8) w (7) otrmujem n (50) oniewż wor (6) i (9) wnikją leżności () ntomist (7) i (50) relcji (5) tem położenie osi obojętnej or rokłd nprężeń w prekroju nie leż od wboru prekroju stępcego (nie m nceni c mterił stąpim mteriłem c też n odwrót). etodę prekroju stępcego możn również wkorstć w prpdku prekrojów espolonch więksej licb mteriłów. eśli prekrój espolon skłd się mteriłów o tkich smch współcnnikch sprężstości podłużnej cli to wor () (6) i (9) określjące położenie osi obojętnej or wiąki (5) (7) i (50) określjące rokłd nprężeń w prekroju prjmą odpowiednio postć: c (5) o or (5) gdie jest momentem sttcnm prekroju wględem osi prechodącej pre jego dolną krwędź polem powierchni prekroju ntomist momentem bewłdności prekroju wględem jego poiomej osi centrlnej. owżse wor są ocwiście identcne jk w prpdku prekroju wkonnego jednego mteriłu. rkłd. W prpdku prekroju espolonego jk w prkłdie (rs..) nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch wkorstując metodę prekroju stępcego i stępując mterił mteriłem. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Uwględnijąc że n więksm cterokrotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu otrmując prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. ). 9

20 Krok.. Wncm położenie środk ciężkości prekroju stępcego (rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju espolonego) Rs. Oblicm pole powierchni i moment sttcn prekroju stępcego wględem jego dolnej krwędi odstwijąc powżse wielkości do woru (6) otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs. ) 8 o (i) Krok.. Wncm rokłd nprężeń normlnch w prekroju stępcm i espolonm Oblicm moment bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej (.5) 8(.75) ( 8 )( 0.75) 6.9 odstwijąc powżs moment bewłdności do leżności (7) tkże uwględnijąc że or n otrmujem n (ii) Wkorstując powżse wor oblicm wrtości nprężeń normlnch w wbrnch punktch prekroju stępcego i espolonego 0

21 B D D.8 B ( ) D D (.75) Wkres nprężeń normlnch w prekroju stępcm (lini prerwn) i espolonm (lini ciągł) predstwi rs. b. rkłd. W prpdku prekroju espolonego jk w prkłdie (rs..) nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch wkorstując metodę prekroju stępcego i stępując mterił mteriłem. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Uwględnijąc że n 0. 5 mniejsm cterokrotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu otrmując prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. ). Rs. Krok.. Wncm położenie środk ciężkości prekroju stępcego (rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju espolonego) Oblicm pole powierchni i moment sttcn prekroju stępcego wględem jego dolnej krwędi

22 odstwijąc powżse wielkości do woru (9) otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs. ) 7 o. 75 (i) Krok.. Wncm rokłd nprężeń normlnch w prekroju stępcm i espolonm Oblicm moment bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej (.5) (.75) ( 0.5)( 0.75) odstwijąc powżs moment do leżności (50) tkże uwględnijąc że n 0.5 otrmujem n or (ii) Wkorstując powżse wor oblicm wrtości nprężeń normlnch w wbrnch punktch prekroju stępcego i espolonego B B D D 5.5 B B ( 0.75 ). D D (.75) 9.6 Wkres nprężeń normlnch w prekroju stępcm (lini prerwn) i espolonm (lini ciągł) predstwi rs..b. () Wrunek wtrmłości 0.5. Wrunki wmirowni prętów ginnch R (5) W gdie R onc wtrmłość obliceniową mteriłu pręt. eśli prekrój jest espolon to powżs wrunek nleż sprwdić w prpdku kżdego mteriłu. owżs wrunek możn wkorstć do wnceni nośności pręt WR (5)

23 lub wskźnik wtrmłości prekroju (wmirów prekroju poprecnego) (b) Wrunek stwności gdie w dop onc dopusclne ugięcie pręt. W R (55) wm w dop (56) Zgdnieni n egmin. Zdefiniowć proste ginnie; podć i omówić równni stron: sttcnej geometrcnej i ficnej w prpdku pręt ginnego.. odć rokłd nprężeń normlnch w prekroju ginnm; podć i omówić wrunki projektowni prętów ginnch.. Zdefiniowć belkę espoloną or mówić sposób wncni położeni osi obojętnej i nprężeń normlnch.

2.2. ZGINANIE UKOŚNE

2.2. ZGINANIE UKOŚNE .. ZGINNIE UKŚNE Zginnie ukśne (dwukierunkwe) wstępuje wówcs, gd bciążenie ewnętrne redukuje się d wektr mmentu ginjąceg, leżąceg w płscźnie prekrju, któreg kierunek nie pkrw się żdną głównch, centrlnch

Bardziej szczegółowo

14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe

14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe . Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie

Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

2.3. ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) MIMOŚRODOWE

2.3. ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) MIMOŚRODOWE .. RZCĄGNE (ŚCSKNE) MMŚRDWE Rcągne (ścskne) mmśrdwe wstępuje wówcs gd bcążene ewnętrne redukuje sę d wektr sł prstpdłeg d prekrju pprecneg cepneg p jeg śrdkem cężkśc (rs. ). Rs. Złżene: se C r C są sm

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów olitechnik ubelsk MECHANIKA bortorium wtrmłości mteriłów Ćwicenie 0 - Wncnie linii ugięci belki stosowniem twierdeni o wjemności premiesceń rgotowł: Andrej Teter (do użtku wewnętrnego Wncnie linii ugięci

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6. Mimośrodowe rozciąganie. Redukcja do środka ciężkości PROJEKT

ĆWICZENIE 6. Mimośrodowe rozciąganie. Redukcja do środka ciężkości PROJEKT ĆWICZENIE 6 Mmośrodowe rocągne Redukcj do środk cężkośc N P M P0 M P0 PROJEKT Zprojektowć prmetr prekroju, wncć oś obojętną or brłę nprężeń. Wncć rdeń prekroju. Prekrój obcążono słą N=00 kn prłożoną w

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch

Bardziej szczegółowo

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-6 Pomiar modułu sprężystości metalu metodą ugięcia pręta. I. Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. Fi Rys 1.

Ćwiczenie M-6 Pomiar modułu sprężystości metalu metodą ugięcia pręta. I. Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. Fi Rys 1. Pomir moułu sprężstości metu metoą ugięci pręt.. Ce ćwiceni: wncenie moułu sprężstości połużnej E (moułu Young ) że, uminium i mosiąu. Porównnie ugięć prętów wkonnch tego smego mteriłu o różnch kstłtch

Bardziej szczegółowo

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania

Bardziej szczegółowo

Sposób opisu symetrii figur lub brył skończonych

Sposób opisu symetrii figur lub brył skończonych Wkłd drugi - smetri Smetri (gr. συμμετρια podobn mir) dl figur lub brł - istnienie nietrwilnego prekstłceni, które odworowuje obiekt w smego siebie minie mogą ulegć współrędne prestrenne, cs, kolor itp.

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.

Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej. Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła

Bardziej szczegółowo

Belki zespolone 1. z E 1, A 1

Belki zespolone 1. z E 1, A 1 Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione

Bardziej szczegółowo

2.1. ZGINANIE POPRZECZNE

2.1. ZGINANIE POPRZECZNE .1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują

Bardziej szczegółowo

(y N, z N ) Rys. 14.1

(y N, z N ) Rys. 14.1 dm Bodnr: Wtrmłość Mterłów. Mmośrodowe rocągne ścskne. MIMOŚRODOWE ROCIĄGIE I ŚCISKIE.. prężen odkstłcen Mmośrodowe rocągne pręt prmtcnego wstępuje wówcs gd ukłd sł ewnętrnch po jednej strone jego prekroju

Bardziej szczegółowo

Tensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci

Tensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci ensor f liniow jenoron funkj: wektor wektor =f f f f W nm ukłie współręnh i,j,k - tensor jko mier f ˆ ˆ i j kˆ f ˆ i f ˆ j f kˆ le f iˆ [ˆ if ˆ i ˆjf ˆ i kf ˆ ˆ] i ˆ [ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f j if j jf j kf ˆ] j f

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE . UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego

Bardziej szczegółowo

Wykład z fizyki Budownictwo I BB-ZI. Dr Andrzej Bąk

Wykład z fizyki Budownictwo I BB-ZI. Dr Andrzej Bąk Wkłd fiki udownictwo I -ZI Dr ndrej ąk Dlcego wrto się ucć fiki? Powsechność jwisk ficnch W świecie, któr ns otc chodi mnóstwo jwisk ficnch, np.: jwisk meteorologicne: opd descu, śniegu, mgł, tęc, włdowni

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

Pręt nr 2 N 3,1416² ,1. Wyniki wymiarowania stali wg PN-EN 1993 (Stal1993_2d v. 1.3 licencja) Zadanie: P_OFFER Przekrój: 8 - Złożony

Pręt nr 2 N 3,1416² ,1. Wyniki wymiarowania stali wg PN-EN 1993 (Stal1993_2d v. 1.3 licencja) Zadanie: P_OFFER Przekrój: 8 - Złożony Pręt nr Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_d v..3 licencja) Zadanie: P_OER Prekrój: 8 - Złożon Z Y 39 83 Wmiar prekroju: h6,0 s438,7 Charakterstka geometrcna prekroju: Ig4490, Ig34953,6 83,00

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna

Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn

Bardziej szczegółowo

Tydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g.

Tydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g. Studi dzienne, kierunek: Budownictwo, semestr IV Studi inżynierskie i mgisterskie (ilość godz. w2, ćw1, proj1) Wytrzymłość mteriłów. Ćwiczeni udytoryjne. Przykłdow treść ćwiczeń. Tydzień 1. Linie ugięci

Bardziej szczegółowo

Projekt: Data: Pozycja: A ch = 0,5 20, ,40 = 5091,1 cm 4

Projekt: Data: Pozycja: A ch = 0,5 20, ,40 = 5091,1 cm 4 Pręt nr 4 Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_3d v..4) Zadanie: Hala stalowa suwnicą - P-E.rm3 Prekrój:,9 Z Y 50 Wmiar prekroju: h00,0 s76,0 g5, t9, r9,5 e0,7 Charakterstka geometrcna prekroju:

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

Zginanie Proste Równomierne Belki

Zginanie Proste Równomierne Belki Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie

Bardziej szczegółowo

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:

Bardziej szczegółowo

pionowe od kół suwnic, zgodnie z warunków równowagi statecznej (rys. 6.4) dla

pionowe od kół suwnic, zgodnie z warunków równowagi statecznej (rys. 6.4) dla 6.7. Prkład oblicania słupa pełnościennego esakad podsuwnicowej Pełnościenne słup esakad podsuwnicowej podpierają or podsuwnicowe na kórch pracują suwnice pomosowe naorowe o udźwigach i paramerach echnicnch

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie . Zborski, Rozciągnie proste Rozciągnie rzkłd Zprojektowć pręt i tk, b przemieszczenie węzł nie przekroczło dopuszczlnej wrtości mm. Dne: R = 50 M, E = 0 G. 5 m m 4 m 80 k Rozwiąznie: równni sttki: sin

Bardziej szczegółowo

Zmiany w wydaniu drugim skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN

Zmiany w wydaniu drugim skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN Zminy w wydniu drugim skryptu Konstrukcje stlowe. Prykłdy obliceń według PN-EN 99- Rodił. Dodno nowy punkt.. Inormcje o minch (str. 0.) obecnym wydniu uwględniono miny: wynikjące wprowdeni pre PKN w cerwcu

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena

Bardziej szczegółowo

=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz

=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz GEMETRIA MAS moment ewłdności i dewicji Zsd ogólne: 1) Moment ewłdności wględem osi ówn jest sumie momentów ewłdności wględem dwóc postopdłc płscn wiejącc tę oś: I =I π + I π I =I π + I π I = I π +I π

Bardziej szczegółowo

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam

Bardziej szczegółowo

Morfologia kryształów

Morfologia kryształów Morfologi krsztłów Morfologi krsztłu Ścin krsztłu = ogrniczjące powierzchnie Zleżą od ksztłtu komorek elementrnch i od fizcznch wrunków wzrostu krsztłu (T, p, otoczenie, roztwór itd.); Krsztł jest wielościnem

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

7.0 Wały i osie 7.1. Definicje Materiały Obliczenia wytrzymałościowe

7.0 Wały i osie 7.1. Definicje Materiały Obliczenia wytrzymałościowe 7.0. Wł i osie 7.0 Wł i osie 7.. Deinicje Wł - eement konstrukcjn, o prcując ruchem obrotowm, obciążon momentem skręcjącm, gnącm i siłmi osiowmi. Roróżni się wł: cłkowite - wkonne jednej brł mteriłu, skłdne

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia. Przkłd 6.. Płski stn nprężeni. Płski stn odksztłeni. ZADANIE. Dl dnego płskiego stnu nprężeni [MP] znleźć skłdowe stnu nprężeni w ukłdzie osi oróonh względem osi o kąt α0 orz nprężeni i kierunki główne.

Bardziej szczegółowo

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów II

Wytrzymałość materiałów II Wytrzymłość mteriłów II kierunek Budownictwo, sem. IV mteriły pomocnicze do ćwiczeń oprcownie: dr inż. Iren Wgner, mgr inż. Jont Bondrczuk-Siwick TREŚĆ WYKŁADU Sprężyste skręcnie prętów pryzmtycznych.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot - podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.

Bardziej szczegółowo

Errata do I i II wydania skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1

Errata do I i II wydania skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1 Errt do I i II dni skrptu Konstrukcj stlo. Prkłd oblicń dług PN-EN 99- Rodił. W osttnim kpici pkt. dodno nstępującą inormcję: Uględniono min nikjąc prodni pr PKN crcu 009 r. poprk opublikonch normch, śld

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych

Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie B-5

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie B-5 POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT ORAIAREK I TECHNOLOGII UDOWY MASZYN Ćwicenie -5 Temt: ADANIE POPRZECZNEJ SZTYWNOŚCI UKŁADU WRZECIONO-ŁOŻYSKA HYDROSTATYCZNE Oprcownie: dr h inż R Prł prof ndw PŁ Aktulicj i

Bardziej szczegółowo

I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.

I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce. Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości

Bardziej szczegółowo

1.8. PROSTE ŚCINANIE

1.8. PROSTE ŚCINANIE .8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe lgbr liio gomtrią litcą / WYKŁD. PRZEKSZTŁCENIE LINIOWE WRTOŚCI I WEKTORY WŁSNE Prkstłci liio Diicj Prporądkoi ktorom R ktoró k R, : jst prkstłcim liiom td i tlko td gd: k k k k c c c c c Postć prkstłci

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdenie: Do cego służą wekor? Mp połąceń smoloowch Isige pokuje, skąd smolo wlują i dokąd dolują; pokne jes o pomocą srłek srłki e pokują premiescenie: skąd dokąd jes dn lo, rs.. Mimo, że rjekori lou

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego

Bardziej szczegółowo

3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b...

3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b... RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Ukłd rówń liiowch iewidoi isuje w ostci Z ukłde () wiąe są ciere A X B które w: A cierą wsółcików X koluą iewidoch B koluą wrów wolch Wkorstując owżse ocei ukłd

Bardziej szczegółowo

5.7. Przykład liczbowy

5.7. Przykład liczbowy 5.7. Prład licbow onać oblicenia nośności beli podsuwnicowej e sali S75 pręsłami o długościach l m swobodnie podparmi na słupach esaad obsługiwanej pre dwie suwnice naorowe o jednaowch paramerach usuowanej

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

REZONATORY MIKROFALOWE

REZONATORY MIKROFALOWE RZONATORY MIKROFALOW Reonto mikofow jest to pewien obs mknięt. Pe obs mknięt oumie się obs pe bei któeo nie m pepłwu eneii, tn. wunki beowe wmusją w kżdm punkcie beu niknie skłdowej stcnej po eektcneo

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe. HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

Ścianki szczelne. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Ścianki szczelne. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Ścinki scelne W preentcji tej obsernie korystłem mteriłów dokumentcyjnych ebrnych pre mgr inż. Sebstin Olesik, co mu jesce r tą drogą skłdm podiękownie. Ścinki scelne Ścinki scelne to lekkie konstrukcje

Bardziej szczegółowo

x od położenia równowagi

x od położenia równowagi RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia 1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać: ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ

Bardziej szczegółowo

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321 Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka

Bardziej szczegółowo

z b leżącą na płaszczyźnie xz, otrzymujemy równanie elipsoidy obrotowej, która w myśl równania (3) będzie miała następujące równanie: z b x y z

z b leżącą na płaszczyźnie xz, otrzymujemy równanie elipsoidy obrotowej, która w myśl równania (3) będzie miała następujące równanie: z b x y z Mtrił ddktcn Godj gomtrcn Mrcin Ligs, Ktdr Gomtki, Wdił Godji Górnicj i Inżnirii Środowisk, AGH LIPSOIDA OBROTOWA, LIPSA POŁUDNIKOWA, SZROKOŚĆ GODZYJNA, SZROKOŚĆ ZRDUKOWANA, SZROKOŚĆ GOCNTRYCZNA, WSPÓŁRZĘDN

Bardziej szczegółowo

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów

Bardziej szczegółowo

Prawo Coulomba i pole elektryczne

Prawo Coulomba i pole elektryczne Prwo Coulomb i pole elektryczne Mciej J. Mrowiński 4 pździernik 2010 Zdnie PE1 2R R Dwie młe kulki o msie m, posidjące ten sm łdunek, umieszczono w drewninym nczyniu, którego przekrój wygląd tk jk n rysunku

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Morfologia kryształów

Morfologia kryształów Morfologi krsztłów Morfologi krsztłu Ścin krsztłu = ogrniczjące powierzchnie Zleżą od ksztłtu komorek elementrnch i od fizcznch wrunków wzrostu krsztłu (T, p, otoczenie, roztwór itd.); Krsztł jest wielościnem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Motyl, wstęga Möbius a i dwunastościan.

Motyl, wstęga Möbius a i dwunastościan. Michł Nowkiewic 05.03.2007 Motl, wstęg Möbius i dwunstościn. Celem dni jest wprowdenie do progrmowni w OpenGL or poknie różnch metod konstruowni mcier prekstłceń dl obiektów trójwmirowej scen. Do opercji

Bardziej szczegółowo

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU: WYKŁADOWCA: dr h. inż. Ktrn ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, pw. C-1, p. 317, III p. tel. 617 29 01, tel. kom. 0 601 51 33 35 k@gh.edu.pl http://home.gh.edu.pl/~k 2010/2011, im 1 ZASADY ZALICZANIA

Bardziej szczegółowo

Badania zginanych belek

Badania zginanych belek Mechanika i wtrzmałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratorjneo: Badania zinanch belek oprac. dr inż. Ludomir J. JNKOWSKI, dr inż. nna NIKODM. Wprowadzenie W wtrzmałości materiałów stan obciążenia

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. III

Sprawdzian całoroczny kl. III Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0

Bardziej szczegółowo

EPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B

EPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s

Bardziej szczegółowo

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost

Bardziej szczegółowo