Laboratorium wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 olitechnik ubelsk MECHANIKA bortorium wtrmłości mteriłów Ćwicenie 0 - Wncnie linii ugięci belki stosowniem twierdeni o wjemności premiesceń rgotowł: Andrej Teter (do użtku wewnętrnego

2 Wncnie linii ugięci belki stosowniem twierdeni o wjemności premiesceń W 86 roku Jmes Clrk Mwell (8-879 sformułowł nstępujące twierdenie: Jeżeli n ukłd liniowo-sprężst diłją dwie identcne, co do wrtości sił, to premiescenie odpowidjące pierwsej sile, lec wwołne pre drugą, jest równe premiesceniu odpowidjącemu drugiej, lec spowodownej pierwsą siłą. Nleż podkreślić, że premiescenie jest definiowne jko presunięcie punktu prłożeni sił w kierunku jej diłni. W mechnice cił odkstłclnego nwne twierdeniem o wjemności premiesceń lub twierdeniem Mwell. ( (b (c Rs. W prktce onc to, że dl nliownej konstrukcji (rs. wbierm dw dowolne punkt: ( i (, w miejscch dostępnch do pomiru premiesceń (rs.. rkłdm dowolną siłę w punkcie ( i bdm premiescenie punktu ( w kierunku diłni sił, które oncm np. u (rs. b. o cm prkłdm siłę w punkcie ( i bdm premiescenie punktu (, które oncm np. u (rs. c. Jeżeli sił są sobie równe, to n podstwie twierdeni Mwell stwierdm, że u u. Njłtwiej sprwdić to, gd belk jest jednoceśnie rociągn i ginn tk jk n rs..

3 olitechnik ubelsk, ublin 008 Rs. Bdm wrint I, gd dił sił rociągjąc w punkcie (. rkłdm siłę ginjącą w punkcie ( i stwierdm doświdclnie, że wdłużenie u 0. W wrincie II odwrcm kolejność: dił sił ginjąc w punkcie ( i prkłdm siłę rociągjącą w punkcie (, stwierdm, że premiescenie 0. Tm smm mm: u itd. Anlogicne rowżni możn prowdić dl elementu skręcnego i rociągnego lub ginnego. Twierdenie o wjemności premiesceń m również stosownie, gd jedno obciążenie jest siłą, drugie momentem lub gd obdw obciążeni są momentmi. Możem go stosowć do konstrukcji dowolnego tpu: krtownic, belki, rm, korpusu itp. Ogrniceniem jest to, b ukłd bł liniowo-sprężst tn. mterił musi spełnić prwo Hooke, premiesceni musą bć młe. W tkim prpdku obowiąuje sd superpocji. rwdiwość twierdeni Mwell łtwo sprwdić n innm prkłdie: pręt rociągnego dwom siłmi (rs.. ( Rs. (b (c W roptrwnm prpdku (rs. prmtcnego pręt o polu prekroju poprecnego A sił są prłożone w punktch np. ( l, (. W pierwsej wersji obliceń prkłdm siłę w punkcie ( i licm premiescenie u punktu prłożeni drugiej sił (punkt (, które wwoł prłożon sił (rs. b. Stosując prwo Hooke : l u ( EA

4 olitechnik ubelsk, ublin 008 Zmienim kolejność: prkłdm siłę w punkcie ( i licm premiescenie u punktu ( (rs. c, stosując prwo Hooke : l u ( EA Jk widć u u, co potwierd prwdiwość twierdeni Mwell. Identcne wrtości premiesceń otrmm licąc ukłd nieobciążon (rs., któr obciążm prkłdjąc siłę w punkcie ( i licm premiescenie punktu (, nstępnie prkłdm siłę w punkcie ( i licm premiescenie punktu (. ( (b Rs. Anlogicne rowżni łtwo możn powtórć dl skręcni pręt momentem skupionm M s. Nleż pmiętć, że w tm prpdku premiescenie będie kątem skręceni. Dużo brdiej łożon jest prpdek ginni. Wbierm pręsło swobodnie podprte o długości i obciążone pionową siłą prłożoną w dowolnm punkcie ( odległm o od podpor (rs. 5. Zkłdm, że stwność n ginnie jest stł const. Rekcje w podporch mją wrtość: R R ( Rs. 5 W celu określeni ugięci w dowolnm punkcie musim wncć równnie linii ugięci. W prpdku ukłdu wieloprediłowego stosujem metodę Clebsch [-]. Równnie linii ugięci wrżone jest równniem różnickowm:

5 olitechnik ubelsk, ublin d M Moment gnąc M g w równniu ( m nk (± godn umową prjętą dl momentów gnącch. Rowiąnie powżsego równni różnickowego poleg n dwukrotnm scłkowniu i wnceniu stłch cłkowni wrunków bregowch. W ogólnm prpdku równnie różnickowe linii ugięci nleż rowiąć w kżdm predile mienności sił wewnętrnch. Obliceni uprscją się stosując procedurę Clebsch, któr powl utomtcnie spełnić wrunki ciągłości ukłdu. W nliownm prpdku mm dw predił mienności momentu gnącego: I - <0, > or II - (, >. W skrótowej formie różnickowe równnie linii ugięci możem pisć: I g d ( (5 miętm, że obowiąuje umow nkow dl dodtnich sił wewnętrnch predstwion n rs. 7.. ierwse cłkownie: Drugie cłkownie: d I II II ( ( C + (6 ( D + C + (7 6 6 Stłe cłkowni C i D wncm wrunków pocątkowch: dl 0, 0 or dl, 0. Z pierwsego wrunku wnik, że D0, drugiego ś: ( ( C 6 odstwijąc stłe cłkowni do równni (7 otrmujem równnie linii ugięci dl nliownej belki: ( ( ( + ( Sprwdźm twierdenie Mwell dl punktów: ( / or ( / (rs. 6. N wstępnie prkłdm siłę w punkcie (, więc / i mierm ugięcie w punkcie ( dl / (rs. 6. odstwim dne do równni (9, pmiętjąc, o tm że (/, więc predił są określone: I - <0, />, II - (/, > or / nleż do II prediłu: I I II II (8

6 6 olitechnik ubelsk, ublin 008 / ( / ( / / / ( / o oblicenich otrmujem: ( / / 6 + (0 0, / ( Nstępnie prkłdm siłę w punkcie (, więc / i mierm ugięcie w punkcie ( dl / (rs. 6b. odstwim dne do równni (9, pmiętjąc, o tm że (/, więc predił są określone: I - <0, />, II - (/, > or / nleż do I prediłu: / ( / ( / / / ( / o oblicenich otrmujem: 0, / Osttecnie otrmujem:, co potwierd nse ocekiwni. ( ( ( (b Rs. 6 Twierdenie Mwell możem wkorstć do doświdclnego wnceni linii ugięci w prpdku pręsł swobodnie podprtego obciążonego pionową siłą prłożoną w dowolnm miejscu. ( (b Rs. 7

7 olitechnik ubelsk, ublin Jeżeli ogrnicm pomir premiesceń dl kilku punktów np. 6, to musim w kżdm punkcie umieścić cujnik mierąc premiescenie (rs. 7. Stosując twierdenie o wjemności premiesceń możem postępowć incej. Umiescm jeden cujnik premiesceni np. w punkcie i mierm ugięcie w tm smm punkcie, mm. resuwm siłę do kolejnch punktów i cujnikiem mierm premiescenie odpowiednio:,,, 5, 6 (rs. 8. ( (b (c itd. Rs. 8 oniewż wrtość sił const, godnie twierdeniem Mwell mm:,,, 5 5, 6 6. Co onc, że mm kolejno ugięci w punktch,,,, 5, 6 wwołne diłniem sił prłożonej w punkcie (. Wkorstując jeden cujnik wncm ugięcie w dowolnej licbie punktów. Strłką ugięci Strłką ugięci dl ginnej konstrukcji nwm mksmlne jej ugięcie. Wncm ją sukjąc loklnego ekstremum funkcji opisującej linię ugięci belki f( według woru: d 0 (0. Jest to równoncne tm, że kąt obrotu ϑ d/ w miejscu njwięksego ugięci jest równ ero. Dodtkowo nleż sprwdić ugięci n krńcch prediłów. Do scegółowch rowżń prjęto pręsło swobodnie podprte o długości i obciążone pionową siłą prłożoną w dowolnm punkcie ( odległm o od podpor (rs. 0.. Zkłdm, że stwność n ginnie jest stł const. Rekcje w podporch mją wrtość:

8 olitechnik ubelsk, ublin R R (0. Rs. 0. W celu określeni ugięci w dowolnm punkcie wncm ścisłe równnie linii ugięci stosując metodę Clebsch [6,9,,0]. W nliownm prpdku mm dw predił mienności momentu gnącego: I - <0, > or II - (, >. W skrótowej formie różnickowe równnie linii ugięci możem pisć: II I d ( (0. o dwukrotnm cłkowniu otrmujem: II I C D 6 ( (0. Stłe cłkowni C i D wncm wrunków pocątkowch: dl 0, 0 or dl, 0. Z pierwsego wrunku wnik, że D0, drugiego ś: C 6 ( ( (0.5 odstwijąc stłe cłkowni do równni (0. otrmujem równnie linii ugięci dl nliownej belki: II I 6 ( 6 6 ( ( + (0.6 Wrżenie (0.6 określ ugięci wsstkich punktów belki, b wncć strłkę ugięci korstm wrunku (0.: + II I d ( 6 ( ( (0.7

9 olitechnik ubelsk, ublin W cłm pierwsm predile <0, > pochodn (d/<0, onc to, że w cłm predile nie m miejsc erowego: d d W drugim predile <, > d ( ( < ( ( < 0 < 0 (0.8 (0.9 (0.0 d ( 6 > 0 (0. Zmin nku pochodnej (d/ potwierd, że w tm predile njduje się minimum loklne. odstwim wrżenie n ugięcie w drugim predile dl równni (0.: ( ( ( (0. Rowiąując równnie (0. wncm współrędną, opisującą miejsce gdie ugięcie osiąg ekstremum loklne (rs. 0.. Łtwo sprwdić, że: ś dl ( dl 0, 5 (rs. 0. (0. > 0, 5 mm: ( ( (0. Wrto uwżć, że ( dl > 0, 5 (rs. 0.b (0.5 (rs. 0.b: im ( 0,577

10 0 olitechnik ubelsk, ublin 008 ( (b Rs. 0. Zś dl 0 (rs. 0. 0,577 0,, co onc, że we wsstkich roptrwnch prpdkch strłk ugięci njduje się w predile: < 0,; 0, 577 >. odstwijąc wrtość (0. do woru (0.6 wncm ścisłą wrtość strłki ugięci: dl 0, 5 (rs. 0. (0.6 m ( 6 ( ( ( + ( ( + ( m ś dl > 0, 5 mm: (0.7 m ( ( 7 ( (0.8 Jeżeli / to otrmm: m (0.9 redstwion metod Clebsch jest metodą dokłdną, le w prpdku belek wieloprediłowch wncenie strłki ugięci wmg brdo skomplikownch i prcochłonnch rchunków. W celu grubnego oscowni strłki ugięci możem sięgnąć do metod prbliżonch, które pisują linię ugięci we wsstkich prediłch jedną ciągłą funkcją. Do obliceń prktcnie są prjmowne dowolne funkcje, które powinn spełnić wrunki podprci belki i dodtkowo strm się dopsowć funkcje do nnch wrtości sił, momentów i premiesceń. inię ugięci dl nliownej belki (rs. 0. możem n prkłd opisć funkcją hrmonicną:

11 olitechnik ubelsk, ublin 008 π sin (0.0 Wrunki podprci: dl 0, 0 or dl, 0 są spełnione. Automtcnie są spełnione również wrunki swobodnego bregu: d d M g 0, 0, 0 M g (0. 0 ( (b Rs. 0. W celu wnceni mplitud ugięci stosujem njogólniejsą sdę mechniki, sdę chowni energii: W V (0. rcę sił ewnętrnch W (rs. 0., w prpdku gd sił nrst od 0 do pełnej wrtości, wncm e woru: W (0. Zmin energii wewnętrnej (rs. 0.b wwołn ginniem wnosi: V M g ϑ Z ogólnego równni linii ugięci otrmujem: (0. rekstłcjąc (0.5 otrmujem: odstwijąc (0.6 do (0.: d d d dϑ M g (0.5 ϑ M g (0.6 M g V Z sd chowni energii otrmujem: (0.7

12 olitechnik ubelsk, ublin 008 M g (0.8 Z równni linii ugięci M g wrżon jest worem (0.5. odstwijąc do (0.8: d (0.9 W nliownm prpdku: const or π sin, ś: d π π sin odstwijąc do (0.9 powżse wrżenie otrmujem: (0.0 rekstłcjąc, osttecnie mm: Jeżeli prjąć / to: Strłk ugięci: π π π sin sin (0. π sin (0. π (0. π 8,7 m ( , 7 jest brdo blisko dokłdnego rowiąni (0.9. Zmin nku wiąn jest prjętm ukłdem współrędnch. Identcne wniki otrmm, gd bdm minę energii wewnętrnej wwołną ginniem i prcę sił ewnętrnch spowodowną młą miną mplitud premiesceni d. Z (0.0 (0. mm: π d d sin (0.5 dw d (0.6

13 olitechnik ubelsk, ublin 008 ś: d ( V ( V d d ( V d d d d d oniewż: (0.7 d π π sin Otrmujem: d π π sin (0.8 π π π d sin d sin (0.9 Dieląc pre młą wielkość d otrmujem identcne wrżenie jk (0.. C otrmn wnik prbliżon może bć dokłdniejs? Tk, jeżeli stosujem krwe wieloprmetrowe np.: n i i iπ sin (0.0 Ab wncć wsstkie współcnniki i nleż stosowć sdę energii burjąc kolejno wsstkie mplitud skłdowe d i w leżności (0.0. Otrmujem ukłd liniow niewidommi współcnnikmi: i. W oblicenich prktcnch brdo cęsto linie ugięci dl belek opisuje się wielominmi. W omwinm prpdku belki w postci pręsł od funkcji wmgm spełnieni wrunków podprci belki or dodtkowo wrunków dl swobodnch bregów. Mm więc cter wrunki: d d M g M g (0. 0 b je spełnić prjmujem wielomin stopni i oblicm pochodne:

14 olitechnik ubelsk, ublin o + + (0. d (0. d (0. odstwim powżs wielomin (0. i jego pochodne do wrunków (0. wncm stłe o,,,, : o o (0.5 Rowiąując powżs ukłd równń otrmujem: 0 0 o / / (0.6 odstwijąc otrmne rowiąni do wielominu proksmcjnego (0. otrmujem: + (0.7 or: d + (0.8 odstwijąc do (0.9 powżse wrżenie otrmujem: + + rekstłcjąc dlej mm: ( (0.50 Osttecnie otrmujem: (0.5 +

15 olitechnik ubelsk, ublin Jeżeli prjąć / to: Strłk ugięci: 0, ,5 ( m (0.5 jest to dobre prbliżenie rowiąni ścisłego (0.9, le gorse niż prbliżenie sinusoidą (0.. W prpdku innch belek wrunki (0., które musi spełnić wielomin będą inne. Dl prkłdu belki wspornikowej mocownej n końcu 0 i długości mją one postć: 0 0 dm g d d T 0 0 M g (0.5 d 0 0

16 6 olitechnik ubelsk, ublin 008 olitechnik ubelsk, Wdił Mechnicn Ktedr Mechniki Stosownej bortorium Wtrmłości Mteriłów Imię i nwisko Grup Dt wkonni rowdąc Ocen bortorium Wtrmłości Mteriłów Wncnie linii ugięci belki stosowniem twierdeni o wjemności premiesceń. Cel ćwiceni Celem ćwiceni jest doświdclne sprwdenie twierdeni o wjemności premiesceń (twierdenie Mwell or doświdclne wncenie linii ugięci swobodnie podprtego pręsł obciążonego pionową siłą skupioną.. Schemt i opis stnowisk Bdni doświdclne prowdim n stnowisku (rs. skłdjącm się belki (C stlowej o stłej stwności n ginnie. Belk jest swobodnie podprt n końcch i obciążon w wbrnm punkcie odwżnikiem wiesonm n wiesku (B. Wiesk oprt n rolce może premiescć się wdłuż belki. W innm punkcie n sttwie mgnetcnm mocowno cujnik premiesceni (A.. rebieg ćwiceni Rs.. Dokonć pomiru w kilku miejscch geometrii belki: - długość, b serokość, h wsokość. omir powtrm, w sprwodniu miescm wrtości średnie.. N powierchni belki ncć, w podnch pre prowdącego miejscch, punkt pomirowe od do 6 (rs..

17 olitechnik ubelsk, ublin Rs. ( (b (c itd. Rs.. W punkcie umieścić cujnik premiesceń i werowć go.. Slkę dnm obciążeniem umiescm kolejno w punktch,,, 5, 6 i cujnik odctujem premiesceni punktu (rs.. 5. omir możn powtórć, b sprwdić dokłdność pomirów. W sprwodniu miescm wrtości średnie pomirów dl kolejnch punktów. 6. W celu doświdclnego potwierdeni twierdeni Mwell dl wbrnch pr punktów i dl różnch sił mierm ugięci mienijąc cujnik i obciążenie miejscmi (rs.. ( (b Rs.

18 8 olitechnik ubelsk, ublin 008. Oprcownie wników i wkonnie sprwodni W celu obliceni i wkreśleni linii ugięci belki nleż: Dl prjętego ukłdu współrędnch określić współrędne punktów pomirowch,,,,5,6,. określić odpowiednio współrędne:,,,, 5, 6, (rs. 8. Oblicć teoretcne wrtości premiesceni i (rs. 8b dl punktów pomirowch i,,,,5,6 Ab wncć premiescenie podstwić: or. Anlogicnie, podstwić:,. oostłe i, i. Wniki wpisujem do tbeli. b Błąd popełnion oblicć e woru: δ t t d 00% gdie: t premiescenie wncone e woru (9, d premiescenie mierone doświdclnie. c Otrmne wrtości premiesceń teoretcnch i doświdclnch prenosim n wkres. W celu doświdclnego potwierdeni twierdeni Mwell dl wbrnch pr punktów i dl różnch sił nleż mierć ugięci mienijąc cujnik i obciążenie miejscmi (rs.. Błąd popełnion oblicć e woru: δ ij ij ij ji 00% 5. Wmir stnowisk i inne dne: p. Średni Tbel b h E I [ ] [..] [ ] [..] [ ] [ ] [ ] 6. rjęte punkt pomirowe: unkt pomirow Odległość i [ ] Tbel 5 6

19 olitechnik ubelsk, ublin Wniki pomirów i obliceń dl linii ugięci belki: p remiescenie doświdclne i [ ] remiescenie teoretcne i [ ] Tbel Błąd pomiru δ i i i 00% 5 6 Zgodnie twierdeniem Mwell: i i dl i,,,,5,6 Uwg. odć wsstkie wor, podstwieni i wniki obliceń teoretcnch i błędów. 8. Wkres teoretcn i doświdcln linii ugięci belki.

20 0 olitechnik ubelsk, ublin Wniki pomirów dl doświdclnego potwierdeni twierdeni Mwell: Wrtości (i, j (, (, itd remiescenie Wrint : ij [ ] remiescenie Wrint : ji [ ] Tbel Błąd pomiru δ ij ji ji 00% Wrint : cujnik premiesceń njduje się w punkcie i, ś sił w punkcie j. Wrint : cujnik premiesceń njduje się w punkcie j, ś sił w punkcie i. 0. Wnioski i uwgi końcowe.