Superpozycja dwu fal biegnących

Transkrypt

1 Prędość grupowa

2 Superpoycja dwu fal biegącyc geeraor Załóżmy że w pucie srua wyouje drgaia W sruie wyworoe osaą dwie fale biegące Acos Acos Acos Acos Acos cos A A cos Acos

3 Załóżmy że Prędość rocodeia się ulacji << Z jaą prędością porusa się grbie ulowaej fali? A Acos cos d d d d υ Obowiąuje wiąe dyspersyjy υ υ d υ d υ g - prędość grupowa g

4 λ /T T Symulacja: d d 3/T T 5/T Taie acowaie moża obserwować p. wodie - wysarcy wrucić amień

5 Zwiąe dyspersyjy dla fal a wodie Fale a wodie siła ciążeia decydujące dla fal o długości powyżej ilu cm apięcie powierciowe Dyspersja fal a głęboiej wodie długość fali mała w porówaiu głęboością g T ρ 3 ρ - gesosc wody T apiecie powierciowe g pryspieseie iemsie Dla fal rósyc iż o..7cm υ g > υ ϕ dla długic fal υ g < υ ϕ. Waro o sprawdić saielie

6 Fale radiowe o ulowaej ampliudie Napięcie wymusające pryłożoe do aey uluje ampliudę fali ośej. Wpływ ego apięcia możemy wyraić a pomocą seregu Fouriera: A A A cos ϕ Różica A A a dobraa aby była proporcjoala do sygału elerycego p. mirofou w sudio radiowym Sała A jes obeca be wględu a o cy do mirofou docierają dźwięi cy eż ie Resa wyraów pocodą od fal ausycyc docierającyc do mirofou. Ic cęsoliwości H-KH są acie miejse od cęsoliwości fali ośej p. Warsawa I 5H U A cos A cos[ ϕ ]cos

7 U A cos A cos drgaie ośe ϕ góre pasmo ośe A cos ϕ dole pasmo ośe max max mi max mi seroość pasma ν ν max Modulacje a aem i muya rocodą się w oodu prędością grupową fale eleromageycyc! Dla próżi prędość faowa i grupowa są rówe c.

8 Uład mas połącoyc sprężyami drgaia podłuże Poaliśmy już wiąe dyspersyjy K m a si υ ϕ K m a si υ d d g a K m cos a Widać że K Ka α υ ϕ υg a m m / a ρ Cyli a ja dla sruy! Naomias że π/a υ g π K πa a cos a m a a υ ϕ π K m Fala biegąca saje się falą sojącą!

9 Zwiąe dyspersyjy dla fal de Broglie a Af e i Prawdopodobieńswo aleieia cąsi w prediale d woół położeia ie ależy od casu Jeśli eergia poecjala cąsi jes sała i cąsa porusa się w jedorodym oodu o f jes siusoidalą fucją lub [ Asi Bcos ] e i Dla cąsi ierelaywisycej w obsare o sałej eergii poecjalej V możemy apisać: Zwiąe pędu licbą falową Zwiąe eergii cęsością E Ae Be i i [ ] p e i λ π

10 Dla cąse ierelaywisycyc p E V m Prędość faowa Pęd cąsi p mυ c υ ϕ V m m υ ϕ υc V V p c m W mecaice waowej prędość cąsi jes prędością paci fal łożoej seregu sąsiadującyc warości. Prędość rocodeia się paci fal rówa jes prędości grupowej υ g : d d V p υ g υ d d m m m c V

11 Dla swobodej cąsi relaywisycej: E p mc cp E mc υ ϕ Cyli osaecie prędość faowa E p c υ υ ϕ c ale c p υc E c dla swobodej cąsi relaywisycej par p. wyład 5 υc -prędość cąsi υ ϕ > c Prędość grupowa d c cp υ g υ d E c Zależość pomiędy prędością faową i grupową υ ϕ υ g c Dla foou w próżi: υ ϕ υ g c

12 Wiaie w obsar abroioy Zaim prejdiemy do fal de Broglie a uwięioyc w pewym obsare presrei wróćmy a cwilę do waadeł sprężoyc Rówaie rucu: M& & K K M Najiżsa cęsość własa: g l

13 Prybliżeie ciągłości... a a a... a a a Korysamy rowiięcia w sereg Taylora... a a... a a M Ka Rówaie Kleia-Gordoaspełiają je fale de Broglie a relaywisycyc cąse swobodyc Sąd aie prypusceie?

14 i i i e Be Ae ] [ i i i i ibe iae e Korysając ego że dla cąse ierelaywisycyc mamy: V m a b c d Możymy wiąe a obusroie pre i Roważmy moocromayce : fale poecjał Vcos E i V m i ora e wiąu d dosajemy uogólieiedla VV rówaie Scrödigera

15 Dla cąse relaywisycyc mamy: mc c Możąc powyżse rówaie pre dosajemy c Korysając e wiąów b ora d orymujemy mc c mc Rówaie Kleia-Gordoa Dla cąse o masie m rówaie Kleia-Gordoa precodi w lasyce rówaie falowe dla fal ie ulegającyc dyspersji o prędości c! Foo ma erową masę

16 Waadła sprężoe graica ciągłości Ka M A cos ϕ A cos ϕ d A cos ϕ d Fale siusoidale gdy > M Ka Ka M A Asi Bcos d A M A d Ka κ Fale wyładice < M Ka Ka M κ A Ae Be g l

17 Fale aiające wyładico oode reaywy F A F F cos < g l - cęsość progowa Z

18 F F cos Graica obsarów F g < l Obsar dyspersyjy: fale siusoidale g > l Obsar reaywy - fale wyładice wiają a pewą głęboość

19 V Elero w sudi o iesońcoyc barierac [ Asi Bcos ] e i E E V f L prawdopodobieńswo aleieia elerou rówe eru poa prediałem L warui bregowe ja dla sruy amocowaej dwóc ońców i Asi e si L L π... L π Prawdopodobieńswo aleieia elerou a jedosę długości Powio być oo uormowae L d A si d L e i A Asi L A A A e α - sała faa si L e iα iα

20 V Sąd fucja falowa elerou w w sudi: si e L i α Pryjmując ja popredio dla cąsi lasycej wiąe dyspersyjy E p 3... V ml V m E π m Cęsości fal ie iż cęsości fal sojącyc a sruie!

21 V V E E V f f Preiaie cąsi do aaaego obsaru L Fale de Broglie a wiają w obsar aaay Aalogia waadłami sprężoymi: Obsar dyspersyjy: L Ka M g l Ka κ M E V > m κ E V < m co odpowiada > V Obsar reaywy ai wyładicy: ai wyładicy < L w iyc miejscac ~ e κ L

22 Tuelowaie pre barierę d Nadaji mirofal Odbiori mirofal Dla d~λ mirofale preiaja pre scelie aalogia do efeu uelowego preiaia case pre bariere poecjalu