Przedmowa 5. Rozdział 1 Przekształcenie Laplace a 7

Transkrypt

1

2 Spis treści Predmowa 5 Rodiał 1 Prekstałcenie Laplace a 7 Rodiał 2 Wyprowadenie prekstałcenia Z 9 1. Prykładowe adania Zadania do samodielnego rowiąania Rodiał 3 Właściwości prekstałcenia Z Opóźnienie sygnału Różnickowanie wględem miennej Rodiał 4 Odwrotne prekstałcenie Z Wprowadenie Prykładowe adania Rodiał 5 Opis filtrów cyfrowych astosowaniem prekstałcenia Z Analia filtrów w diedinie casu Filtr dolnoprepustowy SOI pierwsego rędu Filtr górnoprepustowy SOI pierwsego rędu Filtr środkowoprepustowy SOI Filtr środkowoaporowy SOI Qui Filtr dolnoprepustowy NOI Filtr górnoprepustowy NOI Płascyna miennej s i miennej Zadania do samodielnego rowiąania Rodiał 6 Transmitancja i właściwości filtrów cyfrowych Zera i bieguny transmitancji Prycynowość filtra Odpowiedź filtra o wartościach recywistych Stabilność filtrów Qui Rodiał 7 Charakterystyki cęstotliwościowe filtrów 79 3

3 SPIS TREŚCI 1. Charakterystyka amplitudowa filtra Charakterystyka faowa filtra Rodiał 8 Prekstałcenie filtrów analogowych na cyfrowe Właściwości prekstałcenia biliniowego Rodiał 9 Realiacje filtrów cyfrowych Realiacja bepośrednia I rodaju Realiacja kaskadowa Realiacja równoległa Realiacja bepośrednia II rodaju Bibliografia 127 4

4 Predmowa Niniejsy biór adań jest pomocą dydaktycną do wykładów Pretwaranie Sygnałów prowadonych na Wydiale Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki Politechniki Łódkiej. Do opisu sygnałów cyfrowych korysta się równań różnicowych. Prekstałcenie Z jest bardo efektywnym narędiem do rowiąywania równań różnicowych, podobnie jak prekstałcenie Laplace a do rowiąywania równań różnickowych. Celem skryptu jest aponanie Cytelnika prekstałceniem Z w kontekście filtracji sygnałów cyfrowych. Skrypt składa się diewięciu rodiałów. W rodiale pierwsym podano podstawy prekstałcenia Laplace a, które jest fundamentem prekstałcenia Z. Rodiał ten wymaga od Cytelnika najomości transformacji Laplace a ora analiy matematycnej i jest ogranicony do podstawowych worów i pojęć. Podstawy teoretycne ww. prekstałcenia całkowego można naleźć w książce prof. Michała Tadeusiewica [1]. Sereg adań najduje się w biore adań dr Kajetany Snopek i prof. Jacka Wojciechowskiego [2]. W następnym rodiale wprowadono pojęcie prekstałcenia Z. Rodiał awiera kilkanaście rowiąanych adań transformaty podstawowych sygnałów. Ogólniejse spojrenie na prekstałcenie Z awarte jest w książce prof. Jacka Kudrewica [3]. W trecim rodiale omówiono właściwości prekstałcenia Z. Rodiał ten awiera adania, których roumienie jest klucowe pry późniejsym omawianiu stabilności i prycynowości filtrów. Rodiał cwarty jest poświęcony odwrotnemu prekstałceniu Z oblicanemu pry użyciu metody rokładu na ułamki proste. Rodiał piąty jest wprowadeniem do filtracji cyfrowej sygnałów. Proste prykłady wprowadają Cytelnika do filtrów o skońconej odpowiedi impulsowej (tw. filtry SOI). Zawarte w rodiale adania, które można rowiąać pry pomocy arkusa kalkulacyjnego, powalają ponać proste filtry górnoprepustowe, pasmowoprepustowe i pasmowoaporowe. Rodiał ten uwidacnia jak efektywnym narędiem pry analiie filtrów cyfrowych jest prekstałcenie Z. Stosując prekstałcenie Z uyskujemy wynik kilkakrotnie sybciej niż rachunkiem bepośrednim. W dalsej cęści rodiału omawiane są filtry o nieskońconej odpowiedi impulsowej (tw. filtry NOI). Prosty prykład rachunkowy 5

5 SPIS TREŚCI licenie średniej próbek pokauje podstawowe właściwości filtrów NOI. Rodiał sósty awiera wiele prykładów. Służy on omówieniu stabilności i prycynowości filtrów. Qui na końcu rodiału powala nabrać biegłości w roponawaniu różnych właściwości filtrów cyfrowych. W rodiale siódmym omówiono charakterystyki cęstotliwościowe filtrów. Na podstawie wielu prykładów pokaano wpływ biegunów i er transmitancji filtra na charakterystykę amplitudową. Wyjaśniono charakterystykę faową filtra, której nacenie jest cęsto aniedbywane pre projektantów. Test na końcu rodiału powala na weryfikację dobytej wiedy. W ósmym rodiale definiowano prekstałcenie biliniowe, które powala na wykorystanie analogowego prototypu filtra do budowy cyfrowego odpowiednika. Omówiono właściwości tego prekstałcenia m.in. w kontekście projektowania filtrów dolno- i górnoprepustowych. W ostatnim rodiale omówiono różne sposoby realiacji filtrów cyfrowych: realiacja bepośrednia I i II rodaju, kaskadowa, równoległa. Porusono również kwestię stabilności filtrów NOI. Chciałbym serdecnie podiękować Panu profesorowi Pawłowi Strumiłło, wieloletniemu opiekunowi, a motywację do pracy ora lekturę i dyskusje nad pierwsą wersją skryptu. Diękuję Panu doktorowi Andrejowi Kucyńskiemu a bardo cenne sugestie dotycące awartości skryptu. Scególne podiękowania składam Panu profesorowi Michałowi Tadeusiewicowi a cas poświęcony na recenję skryptu ora bardo trafne uwagi merytorycne. 6

6 Rodiał 6 Transmitancja i właściwości filtrów cyfrowych 1. Zera i bieguny transmitancji Już wceśniej roważaliśmy transmitancję filtra, w której wprowadiliśmy pojęcie er i biegunów. Transmitancję można apisać w postaci ułamka (6.1), mnożąc licnik i mianownik pre do odpowiedniej potęgi. Wielomian stopnia N posiada N + 1 współcynników (np. N = 2; a 2 + b + c) i N miejsc erowych (np. N = 2; a( 1 )( 2 )). Pamiętamy, że jest mienną espoloną i będiemy posukiwali miejsc erowych, które mogą być licbami espolonymi. Zatem: H() = b 0 N + b 1 N b N 1 + b N M + a 1 M a M 1 + a M (6.1) H() = b 0( o 0 )( o 1 )... ( o N 1 ) ( p 0 )( p 1 )... ( o M 1 ) = b 0 ( o n ) N 1 n=0 M 1 ( p m ) m=0 (6.2) gdie o n są miejscami erowymi licnika i naywamy je erami transmitancji, a p m są miejscami erowymi mianownika i naywamy je biegunami transmitancji. Na płascyźnie bieguny będiemy onacać symbolem, a era symbolem. Zbadajmy charakterystykę widmową filtra danego równaniem różnicowym: y(n) = y(n 2) + x(n 1) x(n 2). Transmitancja tego filtra NOI wynosi: H() = = 1 ( j)( + j). 63

7 Filtr ten posiada jedno ero o 0 = 1 i dwa bieguny p 0 = j ora p 1 = j. Zanacmy to na płascyźnie rysunek 6.1. Na podstawie położenia er i biegunów można bardo łatwo wynacyć charakterystykę amplitudową filtra. Im{} Re{} - - Rys Położenie er i biegunów na płascyźnie filtra danego równaniem różnicowym y(n) = y(n 2) + x(n 1) x(n 2) Tera wykonajmy adanie odwrotne, tj. na podstawie wykresu er i biegunów filtra pokaanego na rysunku 6.2 odtworymy równanie różnicowe filtra. Im{} Re{} - - Rys Zera i bieguny filtra NOI Filtr posiada jedno ero o 0 = 1 ora dwa bieguny p 0 = + j ora p 1 = j. Transmitancja: 64

8 H() = o 0 ( p 0 )( p 1 ) = Re{p 0 } + p 0 2 = gdie skorystaliśmy e woru na ( p)( p ). Transmitancja wynacona jest dokładnością do współcynnika proporcjonalności współcynnik b 0 we wore (6.2). Zapamiętaj ( p)( p ) = 2 2 Re{p} + p 2 Dielimy licnik i mianownik pre 2, tj. wyra w najwięksej potęde mianownika: stąd: H() = Y() X() = Y() Y() 1 + Y() 2 = X() 1 + X() 2 a odpowiadające tej transmitancji równanie różnicowe jest dane w postaci: lub w postaci: y(n) y(n 1) + y(n 2) = x(n 1) + x(n 2) y(n) = y(n 1) y(n 2) + x(n 1) + x(n 2). 2. Prycynowość filtra Filtr jest prycynowy, gdy jego odpowiedź nie występuje pred pobudeniem. Filtr nieprycynowy to taki, którego odpowiedź występuje pred pobudeniem. Onacałoby to, że filtr posiada możliwość patrenia w prysłość i wysterowania wyjścia pred wystąpieniem pobudenia. Takich filtrów nie można budować w praktyce. Roważmy filtr o następującej transmitancji, określmy jego odpowiedź impulsową i wykreślimy na wykresie: H() = = ( ) +.

9 Filtr posiada dwa era: o 0 = 0, o 1 = ora jeden biegun p 0 =. Oblicmy odpowiedź impulsową tego filtra: Y() = ( ) + 1 = = = +. Odpowiedź w diedinie casu (korystając dwustronnego prekstałcenia Z omówionego w rodiale 4) jest następująca: y(n) = δ(n + 1) u(n) ( ) n a jej wykres jest pokaany na rysunku n x(n) y(n) Rys Odpowiedź impulsowa filtra nieprycynowego Odpowiedź filtra występuje w chwili n = 1 pred faktycnym pobudeniem w chwili n = 0. Wynacmy równanie różnicowe filtra. Podielmy licnik i mianownik transmitancji pre : Równanie różnicowe: H() = Y() X() = Y() (1 + 1 ) = X() ( ). lub y(n) + y(n 1) = x(n + 1) x(n) y(n) = y(n 1) + x(n + 1) x(n). Z równania różnicowego widać, że filtr wynaca wynik na podstawie próbki prysłości x(n + 1). Jest to filtr nieprycynowy. Filtr nieprycynowy można prekstałcić do filtra prycynowego opóźniając tor pobierania próbek x(n). W nasym prypadku, po opóźnieniu toru próbek wejściowych o jeden cykl uyskujemy filtr: y(n) = y(n 1) + x(n) x(n 1). 66

10 Transmitancja tego filtra prycynowego jest równa: H() = = Ponieważ opóźnienie o jedną próbkę odpowiada pomnożeniu pre 1, transmitancję omawianego filtra nieprycynowego można prekstałcić do transmitancji filtra prycynowego popre pomnożenie licnika pre 1 (lub mianownika pre 1 ). Można łatwo pokaać, że dla filtra nieprycynowego stopień wielomianu w licniku transmitancji N jest więksy od stopnia wielomianu mianownika M lub inacej mówiąc, licba er transmitancji jest więksa od licby biegunów. Filtr jest prycynowy, gdy: Zapamiętaj stopień wielomianu mianownika M jest więksy lub równy stopniu wielomianu licnika N, co jest równoważne stwierdeniu, że: licba biegunów jest więksa lub równa licbie er transmitancji filtra. Zadania Dla podanych transmitancji filtrów: określ licbę er i biegunów, oblic i wykreśl odpowiedź impulsową, nieprycynowy prekstałć do filtrów prycynowych. 1. H() = 3 2 1, 2. H() =, 3. H() = , 4. H() =

11 3. Odpowiedź filtra o wartościach recywistych Aby filtr posiadał odpowiedź o wartościach recywistych w diedinie casu wsystkie era i bieguny posiadające cęść urojoną musą posiadać swoje sprężone odpowiedniki. Roważmy prosty prykład pokaany na rysunku 6.4. Im{} Re{} - - Rys Filtr o jednym biegunie espolonym Transmitancja filtra wynosi: a odpowiedź impulsowa: H() = j y(n) = u(n) j n = {1, j, 1, j, 1,...} jest espolona. Roważmy tera filtr, gdie biegun p 0 = 0 + j ma swój sprężony odpowiednik p 1 = 0 j (rysunek 6.5). Transmitancja tego filtra jest postaci: H() = ( j)( + j) = a odpowiedź impulsowa składa się wyraów o wartościach recywistych: ( y(n) = u(n) sin n π ) = {0, 1, 0, 1, 0, 1,...}. 2 Podobnie sytuacja wygląda dla er transmitancji. Bieguny i era posiadające tylko cęść recywistą nie musą mieć sprężonych odpowiedników. 68

12 Im{} Re{} - - Rys Filtr o dwóch biegunach sprężonych Zapamiętaj Bieguny i era filtrów posiadające cęść urojoną musą posiadać sprężone odpowiedniki, aby odpowiedź casowa filtra miała wyłącnie wartości recywiste. 4. Stabilność filtrów Roważmy prosty filtr NOI o strukture pokaanej na rysunku 6.6. Równanie różnicowe tego filtra jest następujące: y(n) = 1.1 y(n 1) + x(n). Preanaliujmy ten filtr. Pobudźmy filtr deltą Kroneckera i wynacmy odpowiedź filtra metodą rachunku bepośredniego. n x(n) y(n 1) y(n)

13 x(n) + y(n) 1.1 y(n 1) 1 Rys Prykładowy niestabilny filtr NOI Odpowiedź impulsową pokaano na rysunku n x(n) y(n) Rys Odpowiedź impulsowa filtra NOI rysunku 6.6 Kolejne próbki sygnału wyjściowego więksają się godnie postępem geometrycnym i rosną do nieskońconości. Filtr ten jest niestabilny. Filtr o identycnej strukture roważaliśmy w rodiale 1.6., jednak jego odpowiedź impulsowa anikała do 0. Od cego atem ależy cy filtr jest stabilny, cy niestabilny? Preanaliujmy filtr pry użyciu prekstałcenia Z. Transmitancja tego filtra wynosi: a odpowiedź impulsowa: H() = 1.1 y(n) = 1.1 n. Prypomnijmy, że transformata odwrotna: Y() = 70 b

14 jest równa: y(n) = b n. Gdy b > 1, wartości próbek na wyjściu filtra będą się więksać. Wynacmy jesce odpowiedź impulsową filtra dla ujemnych wartości b. Roważmy filtr o transmitancji: H() = Jego odpowiedź impulsowa jest ciągiem próbek: y(n) = ( 1.1) n = {1, 1.1, 1.21, 1.33, 1.46, 1.61, 1.77, 1.95, 2.14, 2.36,...}. Bewględne wartości kolejnych próbek na wyjściu filtra więksają się. Filtr ten jest niestabilny. Aby filtr był stabilny należy pryjąć b < 1. Podobne roważania można pocynić, gdy b jest biegunem espolonym i tym raem otrymamy warunek stabilności filtra b < 1 cyli moduł bieguna powinien być mniejsy od 1, tj. odległość bieguna od pocątku układu współrędnych powinna być mniejsa od 1. Onaca to, że aby filtr był stabilny wsystkie bieguny filtra musą leżeć wewnątr okręgu jednostkowego, tj. okręgu o promieniu 1. Wykreślmy na płascyźnie bieguny i era dla omawianego filtra o transmitancji 1.1 i stabilnego filtra omawianego w rodiale 1.6. o transmitancji rysunek 6.8. Im{} Im{} Re{} - - Re{} - - a) Filtr niestabilny H() = 1.1 y(n) = 1.1 n b) Filtr stabilny H() = y(n) = n Rys Prykłady filtrów NOI niestabilnego i stabilnego 71

15 Zapamiętaj Aby filtr był stabilny, wsystkie jego bieguny powinny leżeć wewnątr okręgu o promieniu 1. Odpowiedź impulsowa takiego filtra anika do era. Każdy filtr nierekursywny, tj. filtr SOI, jest stabilny. Zajmijmy się tera pewnym scególnym prypadkiem, który może ainteresować cytelnika. Co się stanie, gdy biegun leży dokładnie na okręgu jednostkowym? Roważmy filtr o transmitancji: H() = 1 1. Odpowiedź impulsowa takiego filtra jest równa: y(n) = u(n 1) więc wydaje się, że filtr jest stabilny. Spójrmy natomiast co się stanie, gdy podamy na wejście skok jednostkowy. Wówcas odpowiedź filtra: Y() = ( 1) 2. Transformatę odwrotną oblicaliśmy w rodiale 2. i wynosi ona: y(n) = n u(n) = {0, 1, 2, 3,...}. Filtr jest ewidentnie niestabilny. Roważmy podobny stabilny filtr, którego biegun najduje się wewnątr okręgu: 1 H() = 0.9. Zbadajmy odpowiedź filtra na skok jednostkowy: Y() = Y() = Y() = y(n) = n + 10 u(n). Składnik 0.9 n anika e wrostem n. Filtr jest stabilny. 72

16 Zadanie 23 Dany jest filtr o transmitancji: 2 H() = Sprawdić cy filtr jest stabilny, badając jego odpowiedź impulsową w diedinie casu. Rowiąanie: H() = 2 ( + j1.1)( j1.1). Położenie er i biegunów filtra pokaano na rysunku 6.9. Im{} Re{} - - Rys Położenie er i biegunów filtra o transmitancji H() = Obydwa bieguny leżą poa okręgiem jednostkowym, więc należy się spodiewać, że filtr jest niestabilny. Oblicmy odpowiedź impulsową: Y() = ( + j1.1)( j1.1) = A + j1.1 + B j1.1. Po obliceniach najdujemy A = i B =, atem: ( y(n) = ( 1.1j) n + (1.1j) n) = ((1.1e ) jπ 2 ) n + (1.1e jπ 2 ) n ( ) y(n) = 1.1 n e jπn 2 + e jπn 2 ( y(n) = 1.1 n cos n π ). 2 73

17 Odpowiedź impulsowa filtra pokaana jest na rysunku Filtr, jak słusnie prypuscaliśmy, jest niestabilny n x(n) y(n) Rys Odpowiedź impulsowa filtra o erach i biegunach pokaanych na rysunku Qui Wybier jedną lub więcej poprawnych odpowiedi. Zadanie 24 Filtr o biegunach i erach pokaanych na rysunku jest filtrem: stabilnym, niestabilnym, prycynowym, nieprycynowym, którego odpowiedź impulsowa jest recywista, którego odpowiedź impulsowa jest espolona. 74

18 Im{} Re{} - - Zadanie 25 Filtr o biegunach i erach pokaanych na rysunku jest filtrem: stabilnym, niestabilnym, prycynowym, nieprycynowym, którego odpowiedź impulsowa jest recywista, którego odpowiedź impulsowa jest espolona. Im{} Re{}

19 Zadanie 26 ROZDZIAŁ 6. TRANSMITANCJA I WŁAŚCIWOŚCI FILTRÓW Filtr o biegunach i erach pokaanych na rysunku jest filtrem: stabilnym, niestabilnym, prycynowym, nieprycynowym, którego odpowiedź impulsowa jest recywista, którego odpowiedź impulsowa jest espolona. Im{} Re{} - - Zadanie 27 Filtr o biegunach i erach pokaanych na rysunku jest filtrem: stabilnym, niestabilnym, prycynowym, nieprycynowym, którego odpowiedź impulsowa jest recywista, którego odpowiedź impulsowa jest espolona. 76

20 Im{} Re{} - - Zadanie 28 Filtr o biegunach i erach pokaanych na rysunku jest filtrem: stabilnym, niestabilnym, prycynowym, nieprycynowym, którego odpowiedź impulsowa jest recywista, którego odpowiedź impulsowa jest espolona. Im{} Re{}

21 Zadanie 29 ROZDZIAŁ 6. TRANSMITANCJA I WŁAŚCIWOŚCI FILTRÓW Filtr o biegunach i erach pokaanych na rysunku jest filtrem: stabilnym, niestabilnym, prycynowym, nieprycynowym, którego odpowiedź impulsowa jest recywista, którego odpowiedź impulsowa jest espolona. Im{} Re{}

22 Pełna wersja książki dostępna pod adresem: