Różniczkowanie numeryczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Różniczkowanie numeryczne"

Transkrypt

1 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Różczowe umercze Różczowem umerczm zwm wzcze przblżoc wrtośc pococ uc srete ee lub welu zmec w zc putc obszru. Opercę tą moż woć wuetpowo: wprowząc stosowe wzor różcowe pozwlące wrżee pożąe pocoe w oreślom puce obszru o ombc lowe wrtośc uc w putc sąsec węzłc (tzw. scemt różcowe) stosuąc wzczoe wzor różcowe o oblcz pococ w wbrc putc obszru. ostępowe te est wątowo sutecze eetwe w przpu g węzł są rozmeszczoe rówomere gż wówczs wstrcz eorote wprowzee scemtu różcowego żą ezbęą pocoą. eto geerc wzorów różcowc możem pozelć trz tegore: przez terpolcę eozczoc współczów ścsłe l welomów możlwe wższego stop poto w przpu geerow wzorów różcowc pocoe rzęu wższego ż perwsz możem zstosowć metoę sł opertorów pmętąc że rug poco to perwsz poco z perwsze pocoe z ole trzec poco to rug poco z perwsze pocoe lub perwsz poco z ruge pocoe t.:. () eto geerc wzorów różcowc przez terpolcę sprowz sę o utworze włścwego welomu terpolcego (ptrz rozzł pośwęco terpolc): stępe ego zróżczow stosową lczbę rz: " ϕ " " ϕ ϕ (). () Nleż tu zwrócć uwgę że prz tm trbe postępow różczue sę włącze uce bzowe tomst współcz terpolc e ulegą zme. eto eozczoc współczów bzue rozwęcu uc w szereg Tlor w otoczeu putu l tórego ostruow bęze wzór różcow zżąu poprwośc otworze wrtośc poszuwe pocoe o ombc lowe wrtośc uc w węzłc otczącc teże put.

2 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Nprostsz ocepce est trzec meto sprowząc sę o egzewow wmogu b tworzo wzór różcow wł w ścsł l eomów możlwe wsoego stop. oże przestwm sposób geerc wzoru różcowego perwszą rugą pocoą prz zstosowu że z wmeoc powże meto. rzmem prz tm że węzł są rówomere rozmeszczoe w oległośc ee o rugego wzór różcow bęze wprowzo l węzł cetrlego w gweźze. eto przez terpolcę Rozwżm welom terpolc grge przecoząc przez trz węzł : () po ego zróżczowu otrzmuem: " (5) co w przpu węzłów rówooległc prowz o: ". (6) Zgoe z zleżoścą (6) wzór różcow rugą pocoą est etcz bez wzglęu położee putu w tórm tę pocoą ccem oblczć tomst wzór (6) prowz o obrze zc wzorów różcowc l putów lewego cetrlego prwego w scemce różcowm (gweźze):. (7) eto eozczoc współczów Sorzstm z rozwęc uc w szereg Tlor: O (8) tór pozwl wrzć wrtość uc w wbrm puce o ombcę lową wrtośc uc e olec pococ w m puce leżącm w ego sąseztwe. Dążm o wrże wrtośc pocoe w pożąm puce o ombc lowe wrtośc uc w węzłc otczącc czl w przpu śroowego węzł st trzec rówomer-

3 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows e rozmeszczoc węzłów (ozczoc opoweo esm ) wzorów różcowc perwszą rugą pocoą otrzmm:. (9) Rozwąc ucę w szereg Tlor w otoczeu węzł l żego z węzłów (czl we wzorze (8) przmuąc opoweo oleo poto uwzglęąc że ) orz oouąc obcęc rozwęc trzecm wrze szeregu otrzmuem l wzoru różcowego perwszą pocoą: () l wzoru różcowego rugą pocoą:. () o wou ow strom przegrupowu słów w sume po prwe stroe możem osttecze zpsć w przpu perwszm rugm:. () Żąąc b wrże stoące po lewe stroe wzorów (9) bł opoweo rówe wrżeom po prwe stroe wzorów () l owolc wrtośc uc e pococ otrzmuem w ewele uł lowc rówń lgebrczc wzczee ezc współczów wzorów różcowc: (). ()

4 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows eto wzorów ścsłc l welomu W metoze te żąm b wprowzo wzór różcow wł w ścsłe l eomów możlwe wższego stop począc o co prowz o ułu lowc rówń lgebrczc z tórego wzczm współcz opertor różcowego. Dl wzoru różcowego perwszą cz rugą pocoą zbuowego trzec węzłc (9) możem zżąć ścsłośc wów l welomów o stop rugego włącze co prowz opoweo o rówń: l wzoru perwszą pocoą : (5). (6) l wzoru rugą pocoą. Wzor (5) (6) zostł zpse w lolm ułze współrzęc zczepom w węźle cetrlm czl węźle l tórego wzcz est scemt różcow. W węźle tm żąm oleo b perwsz (5) rug (6) poco z: uc stłe bł rówe zero (rówe perwsze) uc lowe bł opoweo rówe ee zero uc wrtowe bł opoweo rówe zero w. erwsze trz olum we wzorc (5) (6) ozczą opoweo: stosow eom ego perwszą rugą pocoą tomst w czwrte olume po lewe stroe zu rówośc oblczoo wrtość wrże (9) l rozptrwe uc po prwe stroe umeszczoo wrtość pocoe w węźle cetrlm (wącą wprost z olum ruge lub trzece). Nleż tu zwrócć uwgę t że stee ścsł zleżość wążąc lczbę węzłów w scemce różcowm rzą wzcze pocoe. I t o sostruow scemtu różcowego perwszą pocoą potrzeb mmum rugą t. e porwącc sę węzłów czl ogóle wzór różcow pocoą rzęu mus zwerć co me węzłów w zu eowmrowm. Zstosowe lczb węzłów węsze o przestwoego mmum pozwl uzse wzorów różcowc wższe ołośc eże leż pmętć że lczb węzłów w gweźze e może bć przese uż ze wzglęu wstępowe eetu Rugego (ptrz rozzł o terpolc). mętć leż róweż o tm że ołość scemtu różcowego est wższ w poblżu śro cężośc zboru węzłów tórc est o tworzo est to ezleże o rzęu pocoe. Wrto róweż zwrócć uwgę t że wszste trz meto przestwoe powże w przpu tego smego rozmeszcze węzłów w scemce różcowm

5 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows 5 prowzą o etczc wrtośc współczów opertor różcowego. Ne est to w przpow gż łtwo zuwżć wszste meto mą swoe postw w terpolc welomowe. rzestwoe powże meto moż uogólć przpe owole lczb węzłów w scemce różcowm pocoe owolego rzęu co pożem poże przłze meto eozczoc współczów leż e pmętć o tm że ż ole poco est oblcz z węszm błęem. W celu wprowze wzorów ogólc w zu eowmrowm rozwżm zbór węzłów poumerowc z tórc węzeł est węzłem cetrlm. oszuuem współczów wzoru różcowego tą pocoą w tm węźle:. (7) ostępuąc poobe poprzeo czl rozwąc ucę w szereg Tlor (8) w otoczeu węzł l żego węzł sąsuącego uwzglęąc że: (8) otrzmuem:. (9) o wou ow strom przegrupowu słów w sume po prwe stroe zu rówośc moż zpsć: () co osttecze prowz o ułu lowc rówń lgebrczc opsego mcerzą Vermoe :

6 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows 6 () z tórego wzczm eze współcz:. () Dl przestwe zwązu pomęz lczbą węzłów gwz oległoścm pomęz m oścą uzsego umerczego oszcow wrtośc pocoe oom oblcze perwsze pocoe l srego prwego węzł regulre st węzłów użwąc oleo wzorów różcowc zbuowc o (mml możlw lczb węzłów ze wzglęu rzą pocoe) o 5 węzłów. Oblcze przeprowzm w puce l uc 5 tóre poco wzczo ltcze est rów 5 5 e wrtość l wos. Współcz opertor różcowego perwszą pocoą l poszczególc wzorów różcowc wzczm z ułu rówń () uwzglęąc w ego zpse lczbę węzłów gwz c wzglęą lolzcę orz położee węzł w tórm geerow est opertor. oże l przłu zpszem te uł rówń ego rozwąze w przpu brze złożom gwz pęcowęzłowe: () W uzse l tego pozostłc prostszc przpów zebro w tblc tór zwer współcz wzoru różcowego perwszą pocoą w srm prwm węźle st (ozczom o ) zbuowego pęcu węzłc. Tblc. Współcz wzoru różcowego Współcz zebre w tblc zostł worzste o oblcze przblżoe wrtośc perwsze pocoe uc 5 w puce.

7 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Tblc. rzblżo wrtość perwsze pocoe uc 5 w puce. Oległość męz węzłm błą wzglę procetow pocoe b b b b b J w z tblc prz osttecze młc oległoścc pomęz węzłm zwęsze lczb węzłów w gweźze zecowe poprw ość uzsego oszcow e w przpu g oległośc pomęz węzłm są uże może zrzć sę stuc e oszcowe uzse prz zstosowu wzoru ższego rzęu bęze lepsze ż oszcowe uzse prz zstosowu wzoru zwerącego węce węzłów. Nestet e est możlwe sormułowe ogólego wzoru tę zleżość. Kż z meto przestwoc wże może bć róweż uogólo z wu tró wmrowe. Główą truoścą w tm przpu est zgwrtowe opoweego ( płszczźe bąź w przestrze) rozmeszcze węzłów zpewącego ostteczą stblość wprowzc wzorów. Oczwśce problem te e stee w przpu regulrc ste węzłów. oże l lustrc przestwm wprowzee wzoru różcowego opertor plce w zu wuwmrowm l regulre st węzłów. Zstosuem metoę eozczoc współczów. W zu wuwmrowm wzór Tlor przestw sę stępuąco: ( ) ( ) ( ) gze es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ozczą umer wersz olum regulre prostoąte st węzłów przecęcu tórc zue sę rozptrw węzeł cetrl. oszuuem wzoru różcowego opertor plce czl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (5) Wobec tego zpsuem rozwęce uc w szereg Tlor w węźle cetrlm gwz czterec blższc mu węzłc sąsuącc optrzoc opoweo esm ( ) : ( ) ( ) orz () 7

8 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows 8 K K K K. (6) We wzorc (6) uwzglęoo t że wbre współcz rozwęć zpsc w werszc są rówe zeru poewż lub. Dle poobe poprzeo oouem obcęc we wszstc rozwęcc po ruge pocoe oem poszczególe rów strom przegrupowuem prwą stroę uzsego w te sposób rów t b prze ws wcągąć ucę e poszczególe pocoe porówuem ą z prwą stroą rów (5) co po przęcu otowo (st regulr wrtow) prowz o: (7) osttecze ułu lowc rówń lgebrczc wzczee ewomc współczów gż żąm b prw lew stro rówośc (7) bł sobe rówe l owolc wrtośc uc e pococ wstępuącc w tm wzorze.. (8) Wzczm terz współcz tego smego opertor różcowego posługuąc sę metoą sł opertorów. W tm celu wstrcz zuwżć że opertor plce to sum rugc pococ w eruu węc o e oblcze wstrcz zstosowć wurote przł wprowzo powże () wzór różcow rugą pocoą w zu eowmrowm sumuąc współcz w porwącc sę węzłc. W rezultce l st regulre wrtowe otrzmm w etcz uzs powże (8) gż: (9) prz ozczec tc smc użte we wzorze (7) po zsumowu:. ()

Układ Liniowych Równań Algebraicznych

Układ Liniowych Równań Algebraicznych chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk Ukł owch Rówń gebrczch Z owm ukłem rówń gebrczch mm o cze w stuc, g wszstke zmee wstępuące w rówch ukłu wstępuą ee w perwsze

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna. terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne procedury

Metody numeryczne procedury Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc

Bardziej szczegółowo

Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego.

Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego. 3. Wzór Tlor. Przpomm tu z wzór Tlor ze względu ego worzste w zgdec terpolc róŝczow cłow umerczego. Jeśl uc e perwszc pocodc est cągłc w przedzle domętm [] to dl dowolc putów z przedzłu [] zcodz!! ξ gdze

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle

Bardziej szczegółowo

Nadokreślony Układ Równań

Nadokreślony Układ Równań Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZA ITELIGECJA WYKŁAD. SYSTEMY EUROOWO-ROZMYTE Częstocow 4 Dr b. ż. Grzegorz Dude Wdzł Eletrcz Poltec Częstocows SIECI EUROOWO-ROZMYTE Sec euroowo-rozmte pozwlją utomtcze tworzee reguł podstwe przłdów

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl

Bardziej szczegółowo

[ ] Pochodne cząstkowe funkcji złożonych.

[ ] Pochodne cząstkowe funkcji złożonych. EI-Iork-Wkł - r Ćel cel@.g.e.pl De. Mów że kc es kls D eżel pos w kż pkce zbor D wszske pocoe cząskowe cągłe czl es F- różczkowl w kż pkce zbor E. Pocoe cząskowe wższc rzęów. Rozwż kcę rzeczwsą zec : R

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.

Bardziej szczegółowo

Kwadratury numeryczne

Kwadratury numeryczne Kdrtur umercze Kdrturm umerczm zm zor służące do przlżoego zcz rtośc cłe ozczoch oszrze edo lu elo mrom. Olcze cłe ozczoch oszrze elomrom sprodz sę do elorotego zstoso drtur dl oszru edomroego. Ide postępo

Bardziej szczegółowo

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów . Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe

Bardziej szczegółowo

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska. chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Iterpolc Iterpolc oże być trtow o szczególy przypde prosyc polegący ty że fuc prosyow fuc prosyuąc przyuą te se wrtośc w

Bardziej szczegółowo

Wygładzanie i filtrowanie danych z przeznaczeniem do interpretacji widm spektroskopowych.

Wygładzanie i filtrowanie danych z przeznaczeniem do interpretacji widm spektroskopowych. Uwerstet Moł Koper Wdzł Che Złd Che Fzcze Mrusz Hu Wgłdze fltrowe dch z przezczee do terpretc wd spetrosopowch. rc lcecc wo w Złdze Che Fzcze pod erue prof. ould Wódzego Toruń Sps treśc:. Cheoetr.. Modele.

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku? METODY NUMERYCZNE Wkłd. dr h.ż. Ktrz Zkrzewsk, prof.agh Met.Numer. wkłd Pl Aproksmc Iterpolc welomow Przkłd Met.Numer. wkłd Aproksmc Metod umercze zmuą sę rozwązwem zdń mtemtczch z pomocą dzłń rtmetczch.

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Auo Robo Alz Wł 7 r A Ćl cl@ghul Pocho cząsow wższch rzęów Nch uc : R D R D owr os ochoą cząsową w ż uc D Js węc orślo uc : R D Jżl owższ uc ochoą cząsową o - z w uc o zw ą rugą ochoą cząsową uc o zch

Bardziej szczegółowo

Ramowy program laboratorium z metod numerycznych. Skrócone instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych.

Ramowy program laboratorium z metod numerycznych. Skrócone instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych. Rmowy progrm lbortorum z meto umeryczyc. Srócoe strucje o ćwczeń lbortoryjyc. erm Nr emty Wprowzee, zsy zlcze, regulm, BHP tp. Ćw. Błęy. czby zmeoprzecowe IEEE 754. Epslo mszyowy Ćw. Rozwązywe ułu rówń

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa) Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne cał Padaows Isu Tecolog Iormacjc w Iżer Lądowej Wdał Iżer Lądowej Poleca Kraowsa Rówaa różcowe wcaje W ajprossm prpadu posuujem ucj jedej meej recwsej x w posac: ( x órej pocoda ( x ma spełać rówae dae

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej. Algorytm DMC z funkcjami bazowymi. Piotr Marusak

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej. Algorytm DMC z funkcjami bazowymi. Piotr Marusak Isttt Atomt Iformt Stosowej Poltech Wrszwsej Algortm DMC z fcjm bzowm Potr Mrs Pl rezetcj. Wstę. Strow lgortm DMC.. Algortm w wersj merczej.. Algortm w wersj ltczej 3. Algortm DMCBF (z fcjm bzowm) 3..

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Spójne przestrzenie metryczne

Spójne przestrzenie metryczne Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł

Bardziej szczegółowo

Ł Ł ć

Ł Ł ć Ą Ł Ł Ł Ś Ł Ś Ć Ł Ł ć ź ć ż ć ź ź Ą Ś ż ć Ż ż Ą Ż Ś ćż Ą ż Ż ć Ś ć ć ć Ł Ą ź ź Ł Ż Ź ć ć ć Ż Ś ż ż ć Ł ć ź ż ż ż ć Ą ź ż ć ż ż ż ź ż Ą Ż Ż ż Ż Ą ż ć ź ż ź ć Ż Ł ż Ś ć Ż ć ć ż ć Ć ć ć ć ć ż ć Ż Ł Ł Ż Ź

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

CONNECT, STARTUP, PROMOTE YOUR IDEA

CONNECT, STARTUP, PROMOTE YOUR IDEA Dz ę u ę z r - T A ry. K z w ź ó ży u w USA www.. łą z sz s ł z ś F u T A ry! C yr t 2018 y Sy w Gór Wy rwsz S Fr s, 2018 Wszyst r w z strz ż. N ut ryz w r z wsz ł ś u r tu sz - w w st st z r. K w ą w

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r różczowe przylżoe cłowe umerycze r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Perwsz pocod uc Perwsz pocod uc dec: ' lm Ozcze:

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA POLIECHIK CZĘSOCHOWSK KEDR IŻYIERII KOMPUEROWEJ PRC DOKORSK SYSEMY ROZMYO-EUROOWE RELIZUJĄCE RÓŻE SPOSOY ROZMYEGO WIOSKOWI Roert owc Promotor: dr h. ż. Dut Rutows rof. dzw. P.Cz. Częstochow 999 eszm chcłm

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń

Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń RCHUNEK RWDOODOIEŃSTW WYKŁD. rwopoobeństwo wruowe. Nezleżość zrzeń rzył. Rzucmy rz symetryczą sześceą ostą. e zrzee {, 4, 6} - wypł przyst lczb ocze m szsę zjśc rówą 0,5. Zobylśmy formcję, że wypły jwyżej

Bardziej szczegółowo

ć ż Ą ź ź ź Ź ć ć ź ż Ł ć Ź ź Ł ć ż ż Ć Ł ż ć ć ź ż Ł ć Ź Ć Ć Ł ż

ć ż Ą ź ź ź Ź ć ć ź ż Ł ć Ź ź Ł ć ż ż Ć Ł ż ć ć ź ż Ł ć Ź Ć Ć Ł ż ż Ź ż Ł ż Ś ż ć ż ć Ł Ś ż ż ż ż ź ż Ź ż ż Ż ć ć ż Ź ż ć ż ć ć ż ć ż Ą ź ź ź Ź ć ć ź ż Ł ć Ź ź Ł ć ż ż Ć Ł ż ć ć ź ż Ł ć Ź Ć Ć Ł ż ż Ź ż ź ż Ź ź Ź ćź ż Ś Ł ć ż ż ć ż ż ć ż ż ć ż ć ż ż Ł ż ź Ł ż Ł ż ć ż

Bardziej szczegółowo

Ź ń Ś Ś ń Ó ń Ó Ó ń Ę ć ń ć ń ń Ó Ą ń Ó ń ń Ż Ć ń Ś ŚĆ ź ń ń ń ń ń Ó ń Ć Ż Ć ń ń ń Ś Ż Ś ń ć ń Ą Ż ń Ó Ś Ż Ż Ś ŻĆ Ś Ó ć ń ć Ą ń ń Ś ń ń Ś Ż ź Ż ń Ś Ź Ż Ś ź Ę ć ź ć ź ń Ę ń ń Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ź Ę Ę Ę Ń ć

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI

ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI (Wpsue zdaąc przed rozpoczęcem prac) KOD ZDAJĄCEGO ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI CZĘŚĆ II (dla pozomu rozszerzonego) GRUDZIEŃ ROK 004 Czas prac 50 mnut Instrukca dla zdaącego. Proszę sprawdzć, cz zestaw zadań

Bardziej szczegółowo

ą ą Ą ł ą Ą Ł ÓŁ Ą ę ą ż ę łą ą łą

ą ą Ą ł ą Ą Ł ÓŁ Ą ę ą ż ę łą ą łą Ą ł Ą Ł ÓŁ Ą ę ę ł ł ń ęść ł ł ę ęść źć ć ł ń ś ń ć ń ń ń Ż ł ć ść ń ń Ę ę ĘŚĆ Ó Ł Ł ę ł ś ł Ę ę ń ń ś ś ź ę ś Ę ś ć ś ę Ę ę ć ń ś ś ę ę ć ś Ę ń ź ć ś ś Ł ś Ł ź ł ę Ż ń Ę ń Ę ń ś ę ń ś ś ń ł ś ć ź ń ś

Bardziej szczegółowo

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam

Bardziej szczegółowo

Ł Ą Ń

Ł Ą Ń Ł Ą Ń Ł Ł ź ź Ż Ż Ą Ł ź ź Ł Ź Ż Ź ź Ż Ż Ż ź Ć Ą ź Ł Ć Ż Ż Ż Ź Ć ź Ń Ż Ż Ć Ć ź Ż Ć ź Ź Ć Ć ź Ź Ć Ź Ż ź Ź Ż Ć ź Ń Ź Ć Ć ź Ż Ź Ź Ż Ć Ź Ż Ż Ż Ż Ż Ń Ą Ź ź Ć Ż Ż Ż Ż Ż ź Ż Ż Ź ź Ć Ć Ź Ż Ł Ą Ń ź Ń Ż Ć Ą Ź Ą

Bardziej szczegółowo

Johann Wolfgang Goethe Def.

Johann Wolfgang Goethe Def. "Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad

Bardziej szczegółowo

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki Kompresa fratalna obraów. Kopara welorotne reuuąca.. Zasaa ałana ana naprostse opar Koncepca opar welorotne reuuące Naprosts prła opar. Moel matematcn obrau opara cęś ęścowa. obra weścow opara obra wścow

Bardziej szczegółowo

Ę ż Ł ś ą ł ść ó ą ż ę ł Ł ś ą ś Ż ż ż ń ż ł ś ń ż żę Ł ż ó ń ę ż ł ńó ó ł ń ą ż ę ż ą ą ż Ń ż ż ż óź ź ź ż Ę ż ś ż ł ó ń ż ć óź ż ę ż ż ńś ś ó ń ó ś

Ę ż Ł ś ą ł ść ó ą ż ę ł Ł ś ą ś Ż ż ż ń ż ł ś ń ż żę Ł ż ó ń ę ż ł ńó ó ł ń ą ż ę ż ą ą ż Ń ż ż ż óź ź ź ż Ę ż ś ż ł ó ń ż ć óź ż ę ż ż ńś ś ó ń ó ś Ę Ł ś ą ł ść ą ę ł Ł ś ą ś Ż ł ś ę Ł ę ł ł ą ę ą ą Ń ź ź ź Ę ś ł ć Ź ę ś ś ś Ę ł ś ć Ę ś ł ś ą ź ą ą ą ą ą ą ą ą ś ą ęń ś ł ą ś Ł ś ś ź Ą ł ć ą ą Ę ą ś ź Ł ź ć ś ę ę ź ą Ż ć ć Ą ć ć ł ł ś ł ś ę ą łą ć

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD nr Wielomian M (s) ma pierwiastki wielokrotne oraz równe zero

WYKŁAD nr Wielomian M (s) ma pierwiastki wielokrotne oraz równe zero WKŁD nr. Welomn m perwt welorotne orz równe zero J zznczono poprzeno ążąc o uogólnen wzorów umożlwjących przetwene opowez elementów utomty opnego owolną trnmtncją przy owolnym ygnle wymuzjącym wprowzono

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec

Bardziej szczegółowo

Ó Ó ą ć ą ą ą Ź ą ą Ż Ż Ę Ó Ż ą ć ć ź Ó Ź ź ź ą Ó Ś ą ą ć ć Ż ą Ż ą Ó ą ć ą Ż Ó ć ć ć Ę ą Ó Ł Ó Ź Ę ą ć ć ź Ó Ź Ó Ź ć ć ą Ż ą ź Ż Ź ć ć ć Ż Ę Ą ą ą Ź Ż Ź Ź ź ź Ź ć ą ą ź ź Ż Ż Ą ź Ę ą ć ą ą Ó Ź ć Ę ź ź

Bardziej szczegółowo

Ą ś Ę ń ń ń Ć ś ć Ę Ę ż ę ę ż ż ż ź ć ż Ę ś ż ż ż ń ź ż ę Ą ę ę Ć ż ć Ę Ę ż Ó ś ż ż ż ś ż ź ć Ą ś ź ę Ę ń śł ż ę ż ń Ą Ó ń Ę Ż Ę ę ę ż ć ż ń ś ń Ć ń ć żę ś Ę ń ę ś Ę Ę ż ćż ć ę ż Ę ż ś Ę ń ć ś ż Ą ń ż

Bardziej szczegółowo

ń Ę Ę Ę Ę ń ń Ś ź Ę ś ś Ę Ś Ą Ę Ę Ę Ę Ż Ę Ę ść Ą Ł Ę Ć ć Ś Ę Ę ś Ę Ż Ś Ę Ę ń Ż Ę Ć ź ć Ł ś Ę ś Ż ś Ś ś Ę ć Ł ś Ż ŚĆ Ę ń ŚĆ ść ś ś ń ś Ś ś ś Ęś Ę ć ś ść ń ń Ć ś Ą ń ć Ą Ś ń ś ś ć ć ś źć ć ź ś ń Ę ś Ę ć

Bardziej szczegółowo

ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź

ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź ć Ż Ż ć ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź ć ź ć ź ć ź ź ź ź ź ź ź ć ć ź ć źć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ź ć ć ć ć Ź ć ć ć Ó Ż ć ć Ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ź ć ź ć ć ć ć ź ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz

Bardziej szczegółowo

Ń Ą Ę Ł Ł Ł Ł ź Ł Ł Ł Ł Ł Ł ź Ł Ł Ł Ł Ś Ś źć Ą ź ź ć ź ć Ś ć Ą ć Ż ć ć Ę ć Ą Ł Ł Ł ź Ś Ą ź Ą Ą Ł Ś Ą Ż Ą Ł Ł ć Ż Ś ź Ó ź Ó ć Ć ź Ś ć Ł ć ć ć ć ć ć Ą Ą Ą Ł Ą ć ć ć ć Ą Ł ź ć ćź ć ć ź Ś ć ć Ą Ą Ą ć Ą ć Ż

Bardziej szczegółowo

ć ć ć ć ć ć ć źć ć ć ć ć ć ć ź Ś ź ć ć ć Ż ć Ę ć ć ć ć ć ć Ę Ę ć ć ć Ż ź ź ź ć ć ć ć ć Ś ć ć ć ć ć Ż ćż ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ź ć ź Ę ć ć ź ć ć Ś Ż ć ć ć Ą Ż ć ć ć Ę ć ć Ż ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska. chł Pzdos Istytut Techolog Iforcyych Iżyer ądoe Wydzł Iżyer ądoe Poltech Kros Aprosyc Aprosycą zyy procedurę zstępo ede fuc (fuc prosyo) ą fucą (fuc prosyuąc) t sposób, by fuce te eele sę różły sese oreśloe

Bardziej szczegółowo

Ż ć ź ć ć ź Ż Ż Ł Ż ć Ż Ż Ż ć Ł Ż ć ć ć ź Ż Ż Ż Ż Ż Ż ć ć ź Ż ć ć ć ź Ż Ż ć Ż Ż źć ć Ż Ż Ż ć Ż Ż Ż Ż Ś ć Ż ć Ł Ż Ł ć Ą Ż Ł ć Ż ć Ż Ż Ż ć ć ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ł ć Ł Ż ź ć Ż Ż Ż ć ć ć ć ć Ż Ż Ą Ż Ż Ż ć Ż Ż ć

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i programowanie

Metody numeryczne i programowanie Meoy Numerycze Progrmowe Sro z 53 Wył. Meoy umerycze progrmowe Mrusz B. Bogc Zł Iżyer Procesowej Wyzł Techolog Chemczej Polech Pozńs e-ml: Mrusz.Bogc@pu.poz.pl www.fc.pu.poz.pl/cv3.hm Pozń 009 Mrusz B.

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański INFORMATYKA W CHEMII Dr Potr Szczepńk Ktedr Chem Fzczej Fzkochem Polmeró ANALIZA REGRESJI REGRESJA LINIOWA. REGRESJA LINIOWA - metod jmejzch kdrtó. REGRESJA WAŻONA 3. ANALIZA RESZT 4. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego

instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego 5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7 RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z

Bardziej szczegółowo

Oświadczam, że warunki ww. umowy zawartej z Wojewódzką Komendą OHP są przestrzegane. Środki finansowe prosimy przekazać na rachunek bankowy Nr...

Oświadczam, że warunki ww. umowy zawartej z Wojewódzką Komendą OHP są przestrzegane. Środki finansowe prosimy przekazać na rachunek bankowy Nr... Dz tw r 77 4674 Pz. 518 ącz r 4 Mcwć t Pczęć rcwc (mcwć t) (częć rcwc) Wwóz Km OHP z rctwm trum uc Prc Mz w... DOKŁD MRY MÓW O RFDJĘ! Or, z tór wum rfucę. W rcwc Dzń zwrc umw rfucę rfucę wgrzń wcch mcm

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel, utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem

Bardziej szczegółowo

Ż ś ćł ę ś ś ź ć ę ł ś ś ę ę ę ę ę łę ę ś ę Ś ę ę ł ę ę ę Ń ć Ś ć ę ś Ś Ź Ć ę ę Ę ę ś ę ł ę ę Ć ł ę ć ę ś ę ę ę ść ę ź ś ś ę Ć ę ę ę ł ć ź ę ć ś ł

Ż ś ćł ę ś ś ź ć ę ł ś ś ę ę ę ę ę łę ę ś ę Ś ę ę ł ę ę ę Ń ć Ś ć ę ś Ś Ź Ć ę ę Ę ę ś ę ł ę ę Ć ł ę ć ę ś ę ę ę ść ę ź ś ś ę Ć ę ę ę ł ć ź ę ć ś ł Ą ł ł ś Ń ś ę Ź ł ę Ł ść ę ę ę ś ćź ł ę ś ć ę ś ę ę ę ę ś ęś ś Ż ś ćł ę ś ś ź ć ę ł ś ś ę ę ę ę ę łę ę ś ę Ś ę ę ł ę ę ę Ń ć Ś ć ę ś Ś Ź Ć ę ę Ę ę ś ę ł ę ę Ć ł ę ć ę ś ę ę ę ść ę ź ś ś ę Ć ę ę ę ł ć ź

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Politechni Gńs Wził Eletrotechnii i Autoti Kter Inżnierii Ssteów Sterowni Postw Autoti Moelownie tetczne eleentów ssteu sterowni (obwo eletrczne, echniczne i płnowe) Mterił poocnicze o ćwiczeń terin T

Bardziej szczegółowo

ć ć ć ć ć ź Ź ć ć Ń Ę ź ź Ą ć ć

ć ć ć ć ć ź Ź ć ć Ń Ę ź ź Ą ć ć Ł Ł ź Ą Ź ć Ź ć Ę ć ź Ż ć ć Ń Ę Ę Ś ć ć ć ć Ć ć ć ć ć ć ź Ź ć ć Ń Ę ź ź Ą ć ć ć Ź Ż ć Ą ć Ł Ó Ł Ę Ę ĘŚĆ Ę ĘŚ ź Ę Ą Ą Ą ĘŚ Ź Ź Ź Ź Ż Ź ć ć Ź ć Ź Ł Ź Ź Ź ć ć Ą ć ć ć ć ć ć ć Ź Ź ź ć ć ć ć ć ć ć Ź ć Ą Ę Ą

Bardziej szczegółowo

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [ ] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale spełna je także unkcja [ ] Q. Dokłaając warunek cąłośc unkcj [ ]

Bardziej szczegółowo

Rozpraszania twardych kul

Rozpraszania twardych kul Wyłd XVIII Rozprszn twrdych u Rozwżmy oddzływne twrdych u opsywne potencjłem V r r Ponewż potencjł jest seryczne symetryczny uncję ową możn zpsć w postc ( r Cm R Ym( m gdze Ym( to hrmon seryczne Rozprszne

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także

Bardziej szczegółowo

ń ń ś ń ę ę Ś ę Ż ę ę ś ń ę ż ń ęś ę ż ń ń Ą Ę ś ś ś ż Ż ś Ś ś ę ś Ś

ń ń ś ń ę ę Ś ę Ż ę ę ś ń ę ż ń ęś ę ż ń ń Ą Ę ś ś ś ż Ż ś Ś ś ę ś Ś ę ę Ą Ą ń Ó ś ś ś ń ń Ż ń Ą Ż śó ŚĆ ś ę ę ś ś ś Ż ś ść ń Ż Ś ń ń ś ń ę ę Ś ę Ż ę ę ś ń ę ż ń ęś ę ż ń ń Ą Ę ś ś ś ż Ż ś Ś ś ę ś Ś ę ę ś ń Ż Ż Ż ę ś ć Ą Ż Ż ś Ś Ą Ż ś Ś Ą Ż ś ś ś Ę Ą ę ń ś ę ż Ż ć Ś ń ę

Bardziej szczegółowo

Ę Ę Ó ć ź Ż Ż Ą Ł Ę ć Ę Ą ź ć ź ć Ę

Ę Ę Ó ć ź Ż Ż Ą Ł Ę ć Ę Ą ź ć ź ć Ę Ę Ń Ł ź ź Ż Ą Ł ć Ę Ę Ó ć ź Ż Ż Ą Ł Ę ć Ę Ą ź ć ź ć Ę ć Ż ć Ą ź Ę Ż Ę Ż Ą Ń ć ź Ł ć Ń ć ź ć ć Ń ć Ż Ę Ę ć ć ć Ą Ę Ę ź ć ć Ż Ż Ę ĘĘ Ż ć Ą Ę ć ć ć Ę ć ź ć Ś ź Ę ć Ź ć Ę ć Ę ź ć Ż Ż Ż ć Ś Ę ć Ż Ż ź Ł Ę ć

Bardziej szczegółowo

ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć

ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć ć ć Ł ć ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć ż ćż Ń ż ż ż ż ż ż ż ż Ź ż ż ż ć ć ż Ę Ń ć ż Ą ż Ś ż ż ć ć Ź ć ć ż ż Ź ż ć Ę Ń Ź ż ć ć ż Ń Ł ć ć ć Ż ż ć ć ż Ź ż Ę Ą ż ż ćż ż ż ć ż ż ż ć ć ż

Bardziej szczegółowo

Ę Ę ź Ę Ą ć ć Ę Ą ć Ą Ę ć Ę Ę ć

Ę Ę ź Ę Ą ć ć Ę Ą ć Ą Ę ć Ę Ę ć Ń Ń Ż Ś Ś ź Ą ŻŻ ź ć Ą ć ć ź Ą Ę ź Ę Ę Ę Ę ź Ę Ą ć ć Ę Ą ć Ą Ę ć Ę Ę ć ć ć ć ć Ź Ź ć Ź Ę ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć Ż Ż ć Ż ć Ż ć Ś Ż ć Ż ć Ż Ź ć Ż ć Ź ź ć ć Ż ć ć Ś Ż Ź Ś ć ć ź ć ć ć Ń ć Ż Ż ć Ę ź

Bardziej szczegółowo

śą ś ć Ą Ó ó Ę ń ó

śą ś ć Ą Ó ó Ę ń ó ć Ł Ś Ó ó ś ą ś Ł ń Ą Ę ń śą ś ć Ą Ó ó Ę ń ó Ę ń Źą ń ó Ą ś ś ń Ń ó ń ń ń ń ę ś Ę ń ń ś ą ą ą ę śó ń Ó Ś ę Ź ę ść ń ó ę Ę ń ó ą ó ą ą ą ę ą ó ń ń ę ć ń ó ó ń ą ń ę ó ś ą ś Ł ą ń ą ń Źą ń ę ś ń Ź ó ę ń

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE

7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE W poprzedch rozdzłch omówlśm elemet skończoe formłowe z pomocą tzw. współrzędch ogóloch. Zkłdlśm że przemeszcze elemet zmeą sę zgode z przętm

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0

Bardziej szczegółowo

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury. Proces decyzyny: 1. Sformułu sno problem decyzyny. 2. Wylcz wszyste możlwe decyze. 3. Zdentyfu wszyste możlwe stny ntury. 4. Oreśl wypłtę dl wszystch możlwych sytuc, ( tzn. ombnc decyz / stn ntury ). 5.

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji

Aproksymacja funkcji Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy

Bardziej szczegółowo

Zasada wariacyjna mechaniki kwantowej

Zasada wariacyjna mechaniki kwantowej Zsd wry meh wtwe uł eerg: K ( [ ] Hˆ ( K de rmwe (łwe z wdrtem fu przyprz dw est wrt zew eerg w ste psym t fu. Jest t p e gze d p fu. u przyprz dwue wrt zbwe zb wrt fu. Argumetm s zby. D fułu rgumetm s

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe

Bardziej szczegółowo

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA .4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19 Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej

Bardziej szczegółowo

ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż

ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż Ł Ę Ł ż Ż ć ż ż ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ż Ż Ż ż ż Ż Ż Ż ć ć ż ć ż ż ŻĄ ć ć ż Ż Ż ż Ż Ż ć Ż ź ć ż Ę Ż Ę Ż ć Ż Ż ć Ż ć ż Ż Ż ż Ż Ą Ż ć ż ć Ś Ą ż Ż Ż Ż ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ż ż ż Ż Ż

Bardziej szczegółowo

Ż Ś Ń Ą Ą ć

Ż Ś Ń Ą Ą ć Ż Ś Ń Ą Ą ć Ń ź Ż Ń Ą Ń Ń ć Ń ć ź Ń ć ć ć Ł Ń Ń ć ć Ą Ą ć ć Ń ź Ą ć ć ć ć ć ć ć ć Ż źć ć ć Ą ć ć ć ź Ą ć ź ź ź ź Ź ć ć Ż ć Ą ć ź Ą Ą ź Ń ź ź ź Ś ź Ż Ń ć ź Ń Ł ć ć ć ć ć Ą Ń Ń ć Ń źć Ż Ń ć ć Ą ć ć Ń ć Ń

Bardziej szczegółowo

6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 6 PŁSI S PRĘŻI I ODSZŁCI 6 PŁSI S PRĘŻI I ODSZŁCI 6 Posumowne równń opsuą płse stn Przpomnene nwżnesz zleżnoś opsuą postw lnowe men ł stłeo l oólneo przpu przestrzenneo zwrto w rozzle 5 Ponewż wele tenzne

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE W INZYNIERII WODNEJ

METODY NUMERYCZNE W INZYNIERII WODNEJ Romuld Szmewcz METODY UMERYZE W IZYIERII WODEJ Wdwcwo Polec Gdse Romuld Szmewcz METODY UMERYZE W IZYIERII WODEJ Gds PRZEWODIZĄY KOMITETU REDAKYJEGO WYDAWITWA POLITEHIKI GDAŃSKIEJ Jusz T eślńs REEZET Wd

Bardziej szczegółowo

I. APROKSYMACJA I INTERPOLACJA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

I. APROKSYMACJA I INTERPOLACJA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Oprcowł: mgr Słwomr Mlewsk Smodzely Zkłd Metod Komputerowych w Mechce L6, WL, PK APROKSYMACJA NTERPOLACJA FUNKCJ JEDNEJ ZMENNEJ Ogóle zgdee proksymcj moż opsć stępująco: De są pukty leżące ądź to do wykresu

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH

BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW. (notatki do wykładu)

METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW. (notatki do wykładu) EODY NUERYCZNE DLA INŻYNIERÓW ott do włdu eugeusz.rosolows@pwr.wroc.pl Wrocłw, mrzec Sps reśc. Wstęp... 5. Lowe ułd rówń... 9.. Wprowdzee... 9.. etod elmcj Guss..... etod rozłdu LU....4. Itercje metod

Bardziej szczegółowo

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące. 4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

ć Ń

ć Ń ć Ń ć ź Ł Ń Ń ź Ł Ń Ń Ń Ń ź ź ć Ń ź Ń Ń ź Ś Ś ź Ś Ś Ń Ń Ń Ę Ś Ę ć ź ź Ę Ś ź Ą ź ź Ś Ś Ę ć Ń Ń Ń Ń Ń ć Ń Ń ć Ł Ł Ń Ę Ę ć Ę Ę Ę ź Ą ć Ł Ę Ę Ś ć ć Ę Ł Ę Ż Ą ź Ł Ą ź Ę ź ć Ę Ł Ę ćł Ł Ł Ą ź Ł Ę ź ć Ę Ę

Bardziej szczegółowo

ę Ę ę ę ó ó Ę ę ś ś Ę ę Ę ń Ę Ę ó Ę ó ę ę Ę ń ęś ś ę ść Ę ó Ą ś ę ę ęę ę ę ń ę ę Ę ś Ł ę ę ę ć ś ę ś Ę ę ś ś ś Ą ś ę ę ń ó ę ć ś ń ó ó Ą ę ń ęę ś ś ś Ę ś ś ę ś ś ę ń ń Ę ĄĄ Ł Śę ó ń ś ń Ę ó ś ś ę ś Ę ś

Bardziej szczegółowo