7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE

Transkrypt

1 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE W poprzedch rozdzłch omówlśm elemet skończoe formłowe z pomocą tzw. współrzędch ogóloch. Zkłdlśm że przemeszcze elemet zmeą sę zgode z przętm fkcm którch współczk ł trktowe ko ogóloe współrzęde elemet. Przpomm rz eszcze podstwowe krok tego sformłow:. Przęce pol przemeszczeń g c (7. gdze g ozcz tzw. mcerz geometrczą któr gromdz odpowede potęg welomów terpolcch zś c est mcerzą stłch. Stłe te wzcz sę z wrków rzegowch ( przemeszcze węzłów mszą ć zgode z wrtoścm przemeszczeń wkącm z przętch fkc.. Wzczee mcerz stłch c (współrzędch ogóloch: d h c gdze h g ] dl...edf. (7. [ Mcerz h est mcerzą kwdrtową eosolwą tk węc z (7. moż wzczć stłe welomów terpolcch ko fkcę przemeszczeń węzłów. Wzczee fkc ksztłt c h d. (7. g h d d węc: g h (7. - ( ( Rs. 7.. wwęzłow elemet krtowc płske. Wzczee mcerz B L 5. Wzczee mcerz sztwośc orz pozostłch wektorów p p l P T prz stlom prwe kostttwm σ ε. Formłowe omwch w tm rozdzle elemetów zoprmetrczch (term zoprmetrcz zcz te sm est prostsze szczególe trkce prz defow owch elemetów. Główą deą formłow elemetów zoprmetrczch est wzczee fkc terpolącch (fkc ksztłt określącch relcę pomędz przemeszczem elemet przemeszczem ego węzłów w sposó ezpośred ez koeczośc olcz mcerz h -. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

2 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE Proces formłow elemet zoprmetrczego zlzem przkłdze prostszego elemet km est dwwęzłow elemet krtowc płske. rsk 7. pokzo tk elemet o węzłch ozczoch przez. Perwszm krokem sformłow elemet est wrżee glolch współrzędch elemet od ego współrzędch trlch gdze - < <. Trsformc t est d w relc: l ( ( (7.5 (7.6 gdze.5(-.5( Są fkcm terpolącm (tt lowm. Zwżm że relc (7.5 est edozcz stl zleżość pomędz współrzędm. Glole przemeszcze pręt wrżoe są w te sm sposó co współrzęde glole mowce d d (7.7 Zstosowe tch smch fkc terpolącch (fkc ksztłt zdefowch we współrzędch trlch do współrzędch elemet ego przemeszczeń stow podstwę sformłow zoprmetrczch elemetów skończoch. W cel określe współczków mcerz sztwośc leż zleźć relcę: odksztłcee-przemeszczee w szm przpdk εd/d. Mm węc: d d ε (7. d d prz czm L est dłgoścą elemet. Mcerz odksztłceń B m ztem postć: B [ ] (7.9 L W ogólośc zwązek: odksztłcee-przemeszczee est fkcą współrzędch trlch w cel wzcze mcerz sztwośc wmge est cłkowe w tch współrzędch. orzstąc ze ze ż zleżośc mcerz sztwośc otrzmem k EA [ ] d L (7. gdze est koem wążącm dłgość elemet we współrzędch glolch z dłgoścą elemet wrżoą we współrzędch trlch t. gdze L/ skąd otrzmem osttecze: d d (7. EA k L (7. k wdć w powższm sformłow e ło potrze wzcz mcerz h -. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

3 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE Proszę porówć powższe sformłowe ze sformłowem tego smego elemet zmeszczom w rozdzle Współrzęde trle k wspomelśm wże podstwą formłow elemetów zoprmetrczch est wrżee współrzędch elemet ego przemeszczeń we współrzędch trlch. Te kłd może ć kłdem edo- dw- l trówmrowm w zleżośc od wmrów elemet. Podkreślm że olcze mcerz elemetów est tke smo dl wszstkch tch przpdków. Poże przedstwm sformłowe rdze ogóle t. dl przpdk przestrzeego. Współrzęde elemet przestrzeego wrzć możem ogóle w postc: q z z (7. q gdze z są współrzędm dowolego pkt elemet. z. (..q są współrzędm ego węzłów. Fkce ksztłt są zdefowe we współrzędch trlch ς które zmeą sę od - do. ezm w (7. pozostą fkce ksztłt.. Fkce te moż wzczć korzstąc z fdmetle ch włsośc mowce z tego że przmą wrtość w węźle wrtość w pozostłch węzłch. Pozostwm sformłowe elemet przestrzeego zlstrm powższe poowe przkłdze pręt krtowc tm rzem o węzłch (rs.7.. q -.L L - ( ( ( ( Rs. 7.. Trówęzłow elemet krtowc płske Zwżm początk że w tm przpdk fkce ksztłt mszą ć fkcm prolczm. Fkcę zdefowć łtwe owem prol któr speł wrk: dl ± rów est dl rów m postć (-. Pozostłe dwe fkce ksztłt wzczm przez sperpozcę fkc lowe prol. przkłd dl wzcze fkc lową (-/ speł wmge wrk: dl - rów est dl rów. B spełć wrek że dl est rówe dodm do lowe częśc prolę -(- /. W te sposó otrzmem fkcę ksztłt w postc.5 (--.5 (-. Podoe wzczm fkcę. Przedstwo wże lgortm kostrow fkc ksztłt moż ezpośredo ogólć dl elemetów dw trówmrowch. Zwżm eszcze że postć zleżośc (7. wskze że elemet zoprmetrcze mogą meć rzeg zkrzwoe woec czego w wel stcch elemet zoprmetrcze Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

4 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE są rdzo żtecze prz modelow geometrczch wrków rzegowch. Mą oe edk pewą trdość polegącą skomplkow relc ε-d. Wk to z fkt że przemeszcze elemet są wrżoe we współrzędch loklch: q w w (7. q podczs gd do olcze współczków mcerz odksztłceń wmge est różczkowe względem zmech glolch. Poewż przemeszcze elemet są zdefowe we współrzędch trlch (7. msm zleźć zwązek pomędz współrzędm z współrzędm ς. któr moż przedstwć formle ko: l ko zleżośc odwrote: q f( ζ f ( ζ z f ( ζ (7.5 f ( z f ( z ζ f ( z (7.6 A otrzmć relcę pomędz odwom kłdm współrzędch wmg est zomość pochodch tp / / /z. Wkorzstąc regłę różczkow fkc złożoe mm: ζ (7.7 ζ podoe moż otrzmć wrże / /z. W cel olcze / / ς/ msm w sposó w zć relcę (7.6. Olczee pochodch wstępącch w (7.6 est stoskowo cążlwe. W tm cel posłżm sę stępącm lgortmem. Wkorzstąc regłę różczkow fkc złożoe otrzmm: l cze: / / / / / ζ / ζ / z / / / z / / (7. / ζ z / ζ / z / / (7.9 gdze est opertorem ko (mcerzą koego wążącm pochode współrzędch trlch z pochodm loklm. Zwżm że mcerz koego łtwo wzczć z relc (7.: / / (7. któr wmg oczwśce mcerz stł. Wkorzstąc (7. (7. olczm pochode / / /z dle mcerz odksztłceń ε B d. stępe olczm mcerz sztwośc elemet k B T B dv. Poewż elemet mcerz B są fkcm współrzędch trlch ς to cłkowe po oętośc wmg wprowdze zleżośc dv det( d d dζ (7. gdze det( est wzczkem mcerz. k wdć we cłkowe wrże mcerz sztwośc e est efektwe dltego też w elemetch zoprmetrczch częśce stose sę cłkowe mercze. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

5 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 5 Poże zlstrem przedstwo wże lgortm dl elemetów zoprmetrczch wkorzstwch w zgdech płskch. 7.. Elemet czworokąt Rsek 7. przedstw ezwmrowe współrzęde trle dl czworokąt. Pkt g przęt est w środk geometrczm woec czego ego współrzęde glole spełą rów : g g ( ( ( Rs. 7.. Czworokąt elemet zoprmetrcz Zwżm że współrzęde zostł wprowdzoe w tk sposó że przkłd - defe wszstke pkt położoe krwędz - zś - pkt krwędz -. Stosąc terpolcę lową w o kerkch współrzęde glole położe dowolego pkt wrzm w postc: gdze (7. ( ( ( ( ( ( ( ( (7. Powższe fkce (porów wzór (6.5 wrżą współrzęde glole we współrzędch trlch. Ze względ to że rów (7. są lowe e moż tm rzem w sposó łtw odwrócć zleżośc (7. wrzć ko fkc współrzędch glolch. Zstosem ztem sposó przedstwo w pkce 7.. Mcerz koego dl lzowego przpdk moż przedstwć w postc: (7.5 Wrże w mcerz ko mą stępącą postć: Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

6 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 6 (7.6 Powższe wrże moż zpsć zgre w forme mcerzowe L C (7.7 gdze mcerz L. ( zwer różczk fkc ksztłt. ze względ współrzęde lokle zś mcerz C ( skłd sę ze współrzędch.. węzłów. L ( ( ( ( ( ( ( ( (7. orz C T (7.9 Iterese s przede wszstkm wrżee - wprowdzm e tt formle ko mcerz odwrotą do (7.7. Z defc mm: (7. gdze ozcz mcerz sprzężoą zś est wrtoścą wzczk ko. A otrzmć różczk wszstkch fkc ze względ zstosem (7.: (7. le zdefem mcerz G G L ( L C L (7. któr zwer różczk fkc ze względ zmee glole. e postć est stępąc : G (7. Wprowdząc koleo skłdowe te mcerz otrzmem : Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

7 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 7 g g g g g g g g [ ( ( ] [( ( ] [( ( ] [ ( ( ] [( ( ] [ ( ( ] [ ( ( ] [ ( ( ] (7. Ze względ fkt że w mowk powższch wrzów pow sę wzczk mcerz ko stee zsdcz trdość ezpośredego scłow wrżeń mcerz sztwośc l rówowże ocąże węzłowe. Msm węc porzcć stosow dotąd sposó wprowdz rówń przez ezpośrede cłkowe rzecz cłkow merczego. otm rozwż podęte w rozdzle 6.. w którch zmowlśm sę elemetem czterowęzłowm (Q. Sformłowwsz ż w postc zleżośc (6.5 skłdowe mcerz fkc ksztłt orz podmcerz B.( (6.57 orz stosąc otcę z tego rozdzł moż tę podmcerz zpsć tkże w postc: G B G (7.5 G G Mcerz sztwośc elemet Q o stłe grośc t moż terz przedstwć ko: e t B T ( B( d d (7.6 l we współrzędch loklch : e t B T ( B( ( d d (7.7 Podoe rzecz m sę z ocążem słm msowm początkowm odksztłcem: Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

8 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE P P t t B T T ( ( ( d d ( ( ε ( ( d d ( Elemet trókąt edą z metod otrzmw elemetów trókątch est proces degeerow elemetów czworokątch. Proces te poleg przps tch smch współrzędch dwom węzłom. Zlstrm to stępącm przkłdze. Z elemet czworokątego --- przedstwoego rsk 7. leż otrzmć elemet trókąt przez łożee see węzłów. Współrzęde elemet wrżą sę stępącm zleżoścm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (7.9 Przmąc że otrzmm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (7. Podstwąc odpowede lcz otrzmem: Rs. 7.. Tworzee elemet trókątego z elemet czworokątego ( ( ( (7. Olcząc terz pochode: / / ( / / / ( / µ. (7. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

9 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 9 otrzmem mcerz koego w postc: ( ( ( ( (7. Przemeszcze przedstwm zgode z podstwową deą elemetów zoprmetrczch ko: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (7. Olczm stępe pochode: ( / ( / / / ( / ( / / / ( / ( / / ( / ( / / (7.5 orzstąc z zleżośc (7. / / / / mm: / / / / ( / ( / / ( / ( / ( ( / / (7.6 Podoe otrzmm wrżee Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

10 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE / / / / / / (7.7 Relc odksztłcee-przemeszczee ędze mł ztem postć: ε / / / / / / / / (7. k wdć elemet te est elemetem CST. Chocż przedstwo wże sposó dow elemet trókątego może ć trkc w progrmch kompterowch w którch zdefowo elemet zoprmetrcze czworokąte to edk elemet tk moż róweż sformłowć cze korzstąc ze współrzędch polowch co pokżem poże. Położee dowolego pkt w trókące wprowdz podzł ego pol pol A A A (rs A A A.5.5 Rs Elemet trókąt współrzęde polowe Bezwmrowe współrzęde polowe dl trókąt są wted zdefowe ko: l króce odtkowo wdzm że A A A A A A A dl. A (7.9 A A (7.5 Rsek 7.5 wś że współrzęd defe położee pkt współrzęd zś defe położee dowolego pkt ok - trókąt. Chcąc wrzć współrzędą glolą dowolego pkt trókąt mm : Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

11 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE (7.5 l też z drge stro korzstąc z (7.5 (7.5 możem współrzęde lokle dowolego pkt przedstwć ko A (7.5 gdze A Porówe powższego kłd rówń z fkcm ksztłt. dl elemet CST wskze że są to te sme fkce. Tk węc elemet trókąt CST est elemetem zoprmetrczm. Uprszcząc rówe (7.5 przmm że A. ozcz pole powerzch trókąt o werzchołkch orz węźle środkowm orz Otrzmm wówczs: A A A A (7.5 Różczkowe fkc f( względem zmech glolch przeeg wedłg regł : f f f f (7.5 le poewż A A (7.55 Węc f A f f A f (7.56 Terz postępąc k wże dl elemet czworokątego możem wzczć mcerz odksztłceń B stępe mcerz sztwośc wektor ocążeń. 7.. Elemet Ośmowęzłow Q Rsek 7.6 przedstw prostokąt elemet Ośmowęzłow któr est elemetem mcerzstm dl ośmowęzłowego zoprmetrczego czworokąt Q (rs Przemeszcze węzłowe dl o tch elemetów skłdą sę z dwóch skłdowch trslc w kżdm węźle: T T 6 ] ;... ; [ ] d... d d [ d (7.57 Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

12 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE Przmm stępące fkce przemeszczeń : c c 9 c c c c c c c c 5 c 6 c c c 7 c 5 c 6 (7.5 Moż e wrzć w postc: ( d 5 d 7 6 d 5 d gdze: Rs Ośmowęzłow elemet zoprmetrcz: prostokąt elemet mcerzst elemet o rzegch zkrzwoch ( ( ( dl ( ( dl 5 7 ( ( dl 6 (7.6 Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

13 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE gdze ozczoo: prz czm są współrzędm węzłów w kłdze współrzędch loklch przmą wrtośc - l O. Te elemet est zw w ltertrze elemetem Seredp. l lepszego zmsłowe soe przemeszczeowch fkc ksztłt weźm dl przkłd fkcę przpsą węzłow r Współrzęde tego węzł woszą - - co po podstwe do (7.6 prowdz do : ( ( ( (7.6 Fkc t może ć przedstwo ko komc trzech form deformc (rs. 7.7 c d: d.5.5 [( ( ( c [( ( ( ( ( ( ] gdze: ( ( est fkcą lowo-lową ( ( est fkcą kwdrtowo-lową c ( ( est fkcą lowo-kwdrtową d c est fkcą kwdrtowo-kwdrtową Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

14 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE c d Rs Ośmowęzłow elemet zoprmetrcz - d postce fkc ksztłt Przmm że fkce terpolące geometrę są tm smm fkcm co fkce ksztłt. Ozcz to że kłd współrzędch loklch ste sę krzwolow wszstke rzeg elemet są fkcm kwdrtowm. Mm węc (7.6 lsze formłowe mcerz sztwośc elemet odpowdącch ocążeń węzłowch dl elemet Q est podoe do sformłow przedstwoego dl elemet Q. W tlc 7. zestwoo fkce ksztłt ch pochode względem zmech loklch potrzee do wko odpowedch cłkowń merczch. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

15 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 5 Tlc 7. Fkce ksztłt ch pochode ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Zlet stosow elemet Q w porów z elemetem Q mogą polegć żw w dskretzc prolem rzegowego mesze lcz elemetów w kosekwec mesze lcz stop swood dl cłego zd. W przpdk stosow elemetów Q stee dodtkowo możlwość modelow rzeg krzwolowego. Możem sę róweż spodzewć wększe dokłdośc mercze ze względ stosowe welomów terpolcch wższego stop. leż edk pmętć że przewdw te pow ć zwsze werfkowe w ekspermece merczm Izoprmetrcz elemet przestrze - sześcośc Spośród elemetów przezczoch do lz przestrzeego st prężeń odksztłceń przemeszczeń omówm sformłowe edego z prostszch elemetów. Ośmowęzłow sześcośc przedstwoo rsk 7. w kłdze współrzędch trlch ς. Początek tego kłd przęto w pkce g środk geometrczm o współrzędch : g g zg z (7.6 gdze przez z. ozczoo współrzęde krtezńske werzchołków (węzłów elemet sześcośceego wrżoe w kłdze glolm. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

16 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 6 z g 7 5 Rs. 7.. Izoprmetrcz elemet przestrze - sześcośc Stosąc terpolcę lową w kżdm z kerków ς moż położee dowolego pkt elemet wrzć z pomocą zleżośc: z z (7.6 w którch fkce ksztłt. przęto w postc: ( ( ( ζ ( ( ( ζ ( ( ( ζ ( ( ( ζ ( ( ( ζ 6 ( ( ( ζ ( ( ( ζ ( ( ( ζ. (7.65 Ze względ postć zleżośc (7.65 e stee możlwość wrże współrzędch loklch ; ς ko fkc z. Msm węc zstosowć podo sposó k to czlśm poprzedo. W przpdk zd trówmrowego mcerz koego est mcerzą o wmrch : z z (7.66 ζ ζ z ζ Odpowede skłdowe te mcerz wzczm orąc pod wgę wrże (7.5: Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

17 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 7 z z ζ ζ z ζ (7.67 Tk k to ż podwlśm mcerz ko est loczem mcerz L ( pochodch loklch fkc ksztłt orz mcerz C( współrzędch glolch węzłów elemet ( L C. Odwrotość mcerz ko wrżo est w ze postc: (7.6 Zgode z procedrą przedstwoą poprzedo wrzć pochode wszstkch fkc ksztłt ze względ współrzęde glole wstrcz terz olczć G L (7.69 Mcerz G skłd sę z stępącch elemetów : G z z z ( (7.7 Bezpośrede wzcze tch skłdowch est łtwe lecz prcochłoe dltego tke czośc wkoe sę tomtcze w progrme kompterowm. Pozostłe elemet procedr zmerzące do zdow mcerz sztwośc elemet ocążeń węzłowch w kłdze loklm są podoe do zmeszczoch w rozdzłch Cłkowe mercze W rozdzle 7. wspomelśm że w sformłow elemetów zoprmetrczch cłkowe mercze est powszeche stosową techką wkorzstwą prz olcz współczków mcerz sztwośc wektorów ocąże. Welkośc te zleże od wmrów elemet są stępące postc: F ( d F( dd F( ζ dddζ (7.7 Rozptrzm przpdek cłkow fkc ede zmee. Pokżem że rdzo łtwo ogólć go cłkowe fkc wel zmech. Ogóle rzecz orąc cłkowe mercze poleg przęc fkc welomowe Ψ( terpolące fkcę F (7.7 w de lcze pktów olcze cłk Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

18 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE ψ d ( (7.7 ko proksmc cłk fkc F. Złóżm że fkcę F( olczoo w różch pktch.... Przmm stępąc welom terpolc w postc: ( ψ (7.7 Borąc pod wgę że Ψ( F( w pktch otrzmm: V F (7.7 gdze: V est mcerzą Vdermode': T ] F [ F F F T ] [ V Poewż wzczk te mcerz est róż od zer to stee edozcze rozwąze (7.7 względem wektor. Fkce Ψ( przme sę częśce ko welom Lgrge': ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( l (7.75 gdze I ( skąd welom terpolc m postć: ( F l ( F l ( F l ( ψ (7.76 Mąc terz welom (7.76 możem olczć cłkę: d ( ψ (7.77 Stose sę dw podeśc. W perwszm zkłd sę że pkt cłkow są rówo oddloe woec czego h Wkorzstąc welom Lgrge' otrzmem: F. c ( d F( F d ( l d F( (7.7 Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

19 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 9 Stłe C. są stłm ewto-cotes moż e łtwo wzczć. Proszę zwrócć wgę że dl otrzmem ze formł trpezów Smpso. W cel otrzmw corz dokłdeszch wków cłkow możem zwększć czl żć formł ewto-cotes rzęd wższego l zstosowć te formł z podzłem przedzł klk podprzedzłów (czl klk przedzłów cłkow. Omówm terz drge podeśce. o te por stosowlśm formłę cłkow merczego zkłdąc że przedzł cłkow est podzelo rówe odck. Zwróćm wgę że cłkowe mcerz w metodze elemetów skończoch e wmg tego złoże. Pkt cłkow mogą ć wre dowole woec czego moż postwć stępące zde: scłkowć fkcę dl de lcz pktów dokoć optmlzc położe tch pktów. Tzw. kwdrtr Gss leżą do grp metod cłkow merczego w którch zrówo położee pktów k wg są wre tk zmmlzowć łąd procedr cłkow. Podstwowm złożeem cłkow merczego metodą Gss est przedstwee cłk w postc F( d αf( αf( αf( (7.79 gdze zrówo współczk α. k. są zmem (mm do wzcze ewdomch. Zwżm że w formle ewto-cotes zmem ł tlko wg (.. Podoe k wże fkcę cłkow zstąpm welomem terpolcm: ψ ( F l ( (7. W cel określe ewdomch..zdefem fkcę P( w postc welom rzęd : P( ( ( ( (7. Poewż dl pktów cłkow P( to możem psć: F( ψ( P( ( β β β (7. W tkm rze cłk z fkc F( ędze mł postć: F ( d F [ l ( d ] β [ r P( d ] (7. eze dotąd współczk r. (... mogą ć określoe z wrk: k P( r d k (7. Poewż welom Ψ( est welomem terpolącm fkcę F( przez pktów P( w tch pktch zk to rówe (7. ozcz że cłk z fkc F( est proksmow przez cłkę z welom rzęd -. W formle ewto-cotes dokłde cłkow ł welom rzęd tomst w metodze Gss stosąc róże położee pktów cłkow dokłde sclkem welom rzęd -. A ogólć procedrę cłkow w przedzle < > leż dokoć trsformc pktów cłkow wrtośc wg do przedzł <- >: Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

20 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE ( / r ( α (7.5 / ( Wrtośc wg wzcz sę z zleżośc: α l ( d... (7.6 Zrówo położee pktów cłkow k wrtośc wg moż olczć. l dżego wkorzste sę welom Legedr metod cłkow zw sę wted metodą Gss-Legedr. Metod t est powszeche stosow prz cłkow mcerz dl elemetów skończoch zoprmetrczch. W tlc 7. zestwoo współczk dl kwdrtr Gss do cłkow fkc ede zmee. Zestwee położeń pktów Gss dl zdń dwwmrowch rozpętch d polm trókąt ądź czworokąt orz ch wg zdze Cztelk w odtk B. Lcz pktów Tlc 7. Współczk dl kwdrtr Gss Położee pkt Gss Wg ± α Przkłd. Scłkm mercze fkcę Ф( ; przmąc różą lczę pktów Gss. l ( α otrzmem I α Ф(. ( 6. co est perwszm przlżeem dokłde wrtośc cłk co est ż rozwązem dokłdm. Przęce > zwsze dle prowdz do wk dokłdego. Zgode zresztą z poprzedą wgą prz przęc moż dokłde scłkowć welom stop trzecego. ( d dl zgode z tlcą 7. otrzmem: α α orz I ( (.. (. α φ.5... Przkłd. Określm współczk mcerz sztwośc. dl elemet Q żwąc formł cłkow wedłg kwdrtr Gss w pktch (mesc położe pktów Gss wg zdzem w odtk B. Złóżm że grość t est stł współczk werzchołków są odpowedo: (7 (5 ( (5. A węc Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

21 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE T tα α kb ( k B( k ( k k Mcerze B w tm wrże są fkcm współrzędch k w pktch cłkow (Gss. W szczególośc dl prz przęc co odpowd wgom α α k. otrzmem : T tb ( B ( ( k W te zleżośc B ozcz perwszą kolmę podmcerz B B drgą kolmę te podmcerz. Podstwąc te kolm otrzmem: t( G G k gdze są współczkm prw kostttwego. A wprowdzć do końc wrżee wzczm mcerz ko: 7 ( ( ( ( 5 C ( ( ( ( 9 5 Wrtość wzczk te mcerz wos: (5 Skłdk wmge do zdow mcerz G woszą : G G [ ( ( ] [( ( ] 5 9 (5 ( 5 (5 Wzcząc wrtośc wrżeń G G orz l l we wszstkch czterech pktch cłkow smąc otrzmem.579 t ( 7.7 Błęd w rozwązch MES Rozwąz operące sę sformłowch MES orczoe są łędm. Mm mśl tlko te łęd które wką z przlżoego chrkter metod e zś te które wką z prostch pomłek przkłd zwązch z epoprwm wprowdzeem dch cz łędm etpe kodow progrmów. Prolemtk oce łędów oece rdzo teswe rozw est rdzo rozległ skomplkow e ędze tt szczegółowo dsktow. Chcąc eco przlżć Cztelkow tę temtkę skocetrem sę tlko pewch elemetch podstwowch. Ze względ kosekwete kotowe w tm skrpce sformłow przemeszczeowego MES spróm rozptrzć stępące rozwąz wrżoe w przemeszczech pewego prolem fzczego. Ozczm przez ( hpotetcze rozwąze dego prolem fzczego otrzme w dele przeprowdzom ekspermece. Rozwąze to strhe od przmowego model mtemtczego tego zd opsąc rzeczwstość fzczą tką ką o w stoce swe est. Przez ( ozczm Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

22 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE rozwąze dokłde w rmch przętego cągłego mtemtczego model zd. Rozwąze to speł dokłde kłd rówń różczkowch opsące prolem kotm przęte prwo fzcze wrk początkowo-rzegowe zd. W tm mesc możem ż zdefowć tk zw łąd modelow mtemtczego: e ( m * ( ( ( (7.7 eśl przez (d ( ozczm rozwąze ścsłe w rmch model dskretego wówczs możem zdefowć tk zw łąd dskretzc. e (d ( ( - (d (. (7. est to łąd powstł w wk zstąpe kłd o eskończee wel stopch swood (cągł model mtemtcz kłdem o skończoe lcze stop swood. Błąd zokrągleń wk z reprezetow w olczech merczch lcz rzeczwstch z dokłdoścą do odpowede lcz cfr. Te łąd moż węc zdefowć stępąco: e (z ( (d ( - ( ( (7.9 gdze przez ( ( ozczoo otrzme rozwąze mercze. ole tk zw łąd dzedzczo l łąd rozwąz est dowolm etpe olczeń smą łędów dskretzc zokrągleń: e (r ( e (d ( e (z ( ( - ( (. (7.9 Przedmotem dń w rmch MES est zzwcz łąd rozwąz l ogrcząc sę do relc mędz modelem kotlm dskretm łąd dskretzc. Pozostł zdefow tt łąd e ( któr oper sę zomośc dokłdego rozwąz prolem fzczego so zmsłw trdośc modelow mtemtczego zwsk fzczch le w oczwst sposó wkrcz poz prolemtkę MES. leż tt koecze podkreślć że w wel rozpowszechoch progrmch MES e stee możlwość efektwe oce łędów rozwązń merczch. est to powż wd steącch kodów MES. W te stc pewee sę co do wrtośc żerske przdtośc otrzmego rozwąz est zwąze z klkkrotm przelczeem tego smego prolem. opero zeżość otrzmwch wków dl różch gęstośc stek MES cz też prz zme stop welomów proksmącch może ć podstwą do zkceptow rozwąz. Oce łędów dskretzc est rdzo kłopotlw. A przeprowdzć tką lzę potrze est przkłd w postć mcerz sztwośc. l ektórch prostch elemetów skończoch podlśm w tm skrpce tke włśe postc mcerz sztwośc. l zdecdowe edk wększośc dsktowch elemetów ze względ stosowe procedr merczego cłkow w postć tch mcerz e est z. Błąd dskretzc w w ltertrze szcow z pomocą wrżeń tp c h gdze c est pewą stłą h - chrkterstczm wmrem elemet skończoego p est wkłdkem potęg któr chrkterze zeżość cąg rozwązń powstącch w wk zmesz wmr h czl zgęszcz stk elemetów. Zlstrm węc prostszm przkłdze tke szcowe zeżośc. Rozptrzm przpdek edowmrow pręt podd osowem rówomere rozłożoem ocąże. Złóżm że sztwość EA cost. Przmm podzł pręt dwwęzłowe elemet skończoe o róże dłgośc tk że elemet łączące sę w węźle mą odpowedo dłgośc h orz gh (rs Odpowede mcerze sztwośc dl elemetów (- orz ( mą postć k ( EA h k ( EA γ h (7.9 węc rówe rówowg -tego węzł prowdz do wrk: Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

23 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE EA h EA ph( γ (7.9 γ h [ ] [ ] Rozwąc w szereg Tlor przemeszczee wokół pkt moż wrzć przemeszcze w pktch sąsedch ko: d d d d d γh d d h d ( γh d ( γh h! d d d h 6! (7.9 Podstwąc te rów do rówń rówowg (7.9 otrzmm d d h d h γ d p (γ (7.9 d γ d EA EA p(k - - Rs skretzc pręt podczs gd dokłde wrżee opsące rówe rówowg w pkce w zpse kotlm est rówem różczkowm o postc: d p (7.95 d EA Wdzm że dl wmr stk h -> O rozwąze dskretzowe dąż do rozwąz ścsłego. W przpdk gd g (stk reglr zeżość est kwdrtow gd g tlko low. Powższ prost przkłd może stowć wprowdzee do dowodów zeżośc rozwązń lowch prolemów MES. Przczą łędów merczch w MES est częstokroć tk zwe złe wrkowe mcerz sztwośc kłd. Poleg oo tm że wrtość wzczk te mcerz est lsk zer. W tkch stcch ewelk zm edego ze współczków kłd rówń może powodowć drstcze różce w rozwązch. Posłżm sę stępącm przkłdem. Ukłd rówń: m rozwąze e wele od ego różąc sę kłd Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

24 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE m rozwąze Zwżm tkże że gd olcze ł prowdzoe z dokłdoścą do zledwe dwóch cfr zczącch to wszstke współczk mcerz sztwośc ł rówe edośc mcerz t ł osolw. W prktczch olczech kostrkc z stcą złego wrkow mcerz sztwośc możem meć do cze częśce w przpdkch sprężstego podprc l podpór stowch kośe ked to sztwośc różch frgmetów kostrkc rdzo sę od see różą. Prmetrem chrkterzącm wrkowe mcerz est tk zw współczk wrkow zdefow ko: λ λ m κ ( (7.96 m gdze λ m λ m są odpowedo mksmlą mmlą wrtoścą włsą mcerz sztwośc. Współczk te żw est do oszcow lcz poprwch cfr zczącch s w rozwąz kłd rówń gd olcze są prowdzoe z dokłdoścą do g cfr zczącch (w PC około 7 cfr. Mm wówczs: s p log ( (7.97 κ Im gorsze est wrkowe mcerz to zcz m wększ est lcz tm trde o wsoką dokłdość rozwąz. W prktce w progrmch MES często sę zdąż że wrkowe sęg l 6 stąd wpłw sgest kompterch kls PC prowdzć olcze prz wkorzst podwóe precz. Błęd mogą róweż wkć z eprwdłowo oprcowch elemetów skończoch. Wem ż że spełąc tk zw wrek zgodośc (cągłośc pol przemeszczeń wrk zpełośc (prwdłowe opse w elemece pol stłch odksztłceń e powstwe odksztłceń prz deklrow rchów sztwch k to m mesce w omwch modelch przemeszczeowch osąg sę wrz ze wzrostem lcz stop swood mootoczą zeżość do rozwąz dokłdego. Ocee poprwośc sformłow elemet skończoego może słżć test wrtośc włsch mcerz sztwośc k tego elemet. Rozwąze sę rówe ( k λ I (7.9 które moż terpretowć ko ops drgń włsch elemet z edostkową mcerzą ms. Możem wówczs sprwdzć cz logczm postcom deformc odpowdą te sme wrtośc włse gdż e pow oe legć zmom prz sztwch rchch cł. Tkże wrtośc włse odpowdące rchom sztwm pow ć rówe zer wszstke pozostłe pow ć rzeczwste dodte. Prz m ż stosowm w tm skrpce formłow elemetów skończoch ( przkłd hrdowe cz mesze rezge sę często z pełe zgodośc model. Wówczs do oce łędów stose sę techk sprwdzące zgodość kłd elemetów. Róweż metod dptce teswe ostto rozwe wmgą wprowdze speclch orm łędów oce zeżośc. Cztelków zteresowch tą prolemtką odsłm do ltertr źródłowe. 7.. Uwg końcowe koec pośwęcm trochę wg temtow zeżośc metod elemetów skończoch w odese do elemetów zoprmetrczch orz podm klk wg temt cłkow merczego. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

25 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 5 k pmętm z rozdzł 5 elemet skończoe mszą spełć pewe wmg zpewć mootoczą zeżość z wkm dokłdm. Bł to wrk zgodośc zpełośc. W elemetch zoprmetrczch spełee wrk zgodośc poleg zd cz współrzęde przemeszcze elemetów grc pomędz elemetm są te sme. Gd elemet przlegące do see mą te sme węzł (tę smą lczę węzłów to wmóg te est speło tomtcze ze względ cechę tch elemetów. Spełee wrk zpełośc wmg sprwdze cz elemet może dokowć rch sztwego ez powst w m prężeń orz cz est możlw do osągęc st odpowdąc stłem odksztłce. W cel doko tke lz rozptrzm elemet trówmrow ko ogólesz przpdek elemet zoprmetrczego. Wrek rch ko cł sztwego orz możlwość wstępow stłego st odksztłce wmgą fkc przemeszczeń elemet mogł zwerć pole w postc: w c d z c d z c d z (7.99 gdze.. c. d. są stłm. Przemeszcze ztem węzłów odpowdące pol (7.99 mą postć: w c d z c d z c d z (7. gdze.. lcz węzłów. q q q w w (7. co po podstwe (7. de: w c d z c d z c d z (7. W sformłow zoprmetrczm fkce przemeszczeń zpsć możem w postc: Poewż dl elemetów zoprmetrczch est prwdzw zleżość wrek węc zpełośc est speło. Cłkowe mercze w metodze elemetów skończoch wmg odpowedz dw podstwowe pt: kego tp formł wkorzstć kego rzęd cłkowe zstosowć. Wspomelśm wże że ze względ dżą efektwość powszeche żwe są kwdrtr Gss. Wór rzęd cłkow zleż w ogólośc od postc fkc cłkowe. Stosąc odpowedo wsok rząd cłkow możem meć pewość że otrzme mcerze wektor ędą dokłde. Często stose sę edk ższ rząd cłkow ż tego wmg postć fkc podcłkowe. Wk to z fkt że proces cłkow est stoskowo prcochło dłg w zwązk z czm o le est to możlwe stose sę tzw. cłkowe zredkowe. W tkch przpdkch leż edk postępowć rdzo ostroże owem rząd cłkow e może ć ższ od pewego pozom wzczoego wklwą lzą kżdego przpdk. Zd Proszę wzczć wmg rząd cłkow metodą Gss dl mcerz sztwośc prostokątego elemet zoprmetrczego Q. Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch

26 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 6 Tomsz Łodgowsk Wtold ąkol Metod elemetów skończoch w wrch zgdech mechk kostrkc żerskch