ELEMENTY TEORII GIER

Transkrypt

1 ELEMENTY TEORII GIER Śwt s otcząc pełe est koflktów rwlzc. Moż weć lcze przkłd stuc deczch, ędz : wo, kpe poltcze, kpe reklowe rketgowe rwlzuącch ze sobą fr wele ch, w którch do cze z koflkte ędz ch uczestk. Teorę ger oprcowo wcześe ż teorę podeow decz stow o obece tegrlą e część. Przedote bdń teor ger są stuce decze, w którch kżd z ezleżch uczestków us podeowć decze. Zwkle poędz decdet stee koflkt teresów. Nczęśce stosow krteru w rozwązwu probleów tego rodzu est krteru ksowe. Słowo gr ozcz w lterturze, zrówo zbór uów reguł rozgrw gr k poedczą rozgrwkę (prtę), t. szczególą relzcę tch reguł dotczącą ede stuc.

2 Zkłd, że po zkończeu gr G kżd z grcz P,,,...,, otrzue (bądź trc) pewą lość peędz v zwą wgrą (przegrą) grcz P. Cele kżdego z grcz est kslzc ego wgre. W brdze zch grch, k p. poker, cłkowt lość peędz strco przez przegrwącch grcz est rów cłkowte lośc peędz wgrch przez wgrwącch. Przue zte, że zchodz wruek v Wrtośc wgrch v ogą bć dodte, uee bądź rówe zero, prz cz v > ozcz wgrą grcz P, v < - ego przegrą, v - wk resow z puktu wdze grcz P. Gr, dl którch zchodz powższ wruek zw gr o sue wpłt zero (gr zerow).

3 Gr klsfkue sę róweż ze względu lość grcz ożlwch ruchów. Szch są grą dwuosobową o skończoe lośc ożlwch ruchów, poker grą weloosobową róweż o skończoe lośc ruchów (oczwśce, eżel stosue sę odpowede reguł przerw gr). Poedek, w któr wlcząc ogą strzelć w dowole chwl dego przedzłu czsu est grą dwuosobową o eskończoe lośc ożlwch ruchów. Gr oż chrkterzowć ko zespołowe (kooperce) ezespołowe. W grch zespołowch grcze ogą tworzć kolce dzłć ko grup, w grch ezespołowch kżd z grcz zteresow est tlko dwdulą wgrą. Nwcześe zlezoo rozwąz dl ger dwuosobowch o sue wpłt zero.

4 Gr dwuosobowe o sue wpłt zero - kżdą ze stro zteresowch grą zw grcze, - dokłde spreczow przed rozpoczęce gr reguł decz, podstwe które grcz podeue deczę, określo dl kżde decz przecwk zw est strtegą, - strteg esz to strteg polegąc t, że grcz postw w pewe ustloe proporc zstosowć wszstke lub klk z dostępch u sposobów dzł. Jeżel grcz decdue sę ede tlko określo sposób dzł ów, że stosue strtegę czstą, - ów, że grcze rozgrwą prtę gr wówczs, gd kżd z ch podął deczę o sposobe dzł, - po kżde rozegre prt ede z grcz wpłc drugeu kwotę wkącą z obrch przez ch sposobów dzł, - wrtość gr to śred kwot prtę, którą wgrłb w dług okrese czsu ede z grcz, gdb ob stosowl swoe lepsze strtege,

5 - cerz wpłt to tblc ukzuąc w werszch kwot otrze przez grcz P (sposob dzł grcz P wróżoe są w boczku tblc) dl kżdego przętego przez ego sposobu dzł orz dl kżdego sposobu dzł grcz P (sposob dzł grcz P wróżoe są w główce tblc). Wpłt pokze są tlko dl grcz P - ze względu zerow chrkter gr wpłt dl grcz P są lczb przecw. Prz de tblc wpłt grcz P kslzue wgrą, zś grcz P lzue wgrą. Defc Mów, że określo est gr cerzow, eśl d est cerz A o wrch, które eleet są dowol lczb rzeczwst. Mcerz A zw cerzą wpłt. Eleet est suą wpłcą grczow P przez grcz P, eśl P wber strtegę -tą grcz P wber strtegę -tą.

6 Defc Przez strtegę eszą grcz P rozue wektor X T [,,..., ] lczb rzeczwstch spełącch wruek: dl,,..., orz.... Przez strtegę eszą grcz P rozue wektor Y T [,,..., ] lczb rzeczwstch spełącch wruek: dl,,..., orz.... Eleet przedstwą odpowedo częstośc/prwdopodobeństw z k grcz P wber -t sposób postępow P -t sposób postępow.

7 Defc Dl kżdego,,...,, strtegę eszą, które -t współrzęd est rów pozostłe współrzęde są rówe zero zw sę -tą strtegą czstą grcz P. Ozcz ą przez. Podobe, -t strteg czst grcz P, ozcz przez, est eszą strtegą grcz P o -te współrzęde rówe pozostłch współrzędch rówch. Defc Fukcę wpłt dl grcz P, t. wrtość oczekwą ego wgre określ ko: E( ) E(X,Y) X Y X T AY E( Y X ) gdze X Y są dowol strteg esz grcz P P, są prwdopodobeństw wboru -te strteg czste przez grcz P orz -te strteg czste przez grcz P.,

8 E(X Y) ozcz wrukową oczekwą wpłtę dl grcz P, eżel stosue o strtegę eszą X pod wruke, że grcz P stosue strtegę czstą. E(Y X) ozcz wrukową oczekwą wpłtę dl grcz P, eżel stosue o strtegę eszą Y pod wruke, że grcz P stosue strtegę czstą. Defc 5 Rozwąze gr cerzowe est pr strteg eszch * * * * * * * * X,,...,, Y,,..., [ ] [ ] lczb rzeczwst v tk, że zchodzą stępuące wruk:,,..., E( X,,..., * E( Y * Y ) v X ) v. Strtege X * Y* zw strteg optl, lczbę v wrtoścą gr.

9 Defc 6 Mów, że l-t strteg czst grcz P, reprezetow przez l-t wersz cerz A, est zdoow przez -tą strtegę czstą, eśl orz < l l -t strteg czst os wówczs zwę strteg douące. Mów, że p-t strteg czst grcz P est zdoow przez -tą strtegę czstą, eśl p orz p >. -t strteg czst, reprezetow przez -tą koluę cerz A, os wówczs zwę strteg douące.

10 Kżd grcz powe grć rcole, co ozcz tut, że powe lzowć swoe ksle strt. Krteru, zwe krteru ksow, est stdrdow krteru propoow w teor ger dl wboru strteg optle dl ger koflktowch. Prz de tblc wpłt: grcz P wber strtegę, dl które esz z wpłt est ksl () - est to tzw. dol wrtość gr, ozcz przez v, grcz P wber strtegę, dl które wększ ze strt est esz () - est to tzw. gór wrtość gr, ozcz przez v. W przpdku, gd dol gór wrtość gr są sobe rówe ów, że gr posd pukt sodłow, któr odpowd czst strtego ksow obu grcz. Ne wszstke gr będą posdć pukt sodłow. W tkch przpdkch dopuszcz wstępowe strteg eszch.

11 Przkłd Rozwż grę o stępuące cerz wpłt: P P 5 Wrtość dol gr, v {,, -} odpowd druge strteg czste grcz P. Wrtość gór gr, v {5,, } odpowd druge strteg czste grcz P. T T Zte pr strteg czstch X [,, ], Y [,, ] stow pukt sodłow powższe gr wrtość gr v.

12 Przkłd Rozwż grę o stępuące cerz wpłt: P P v {,}, v {,} Powższ gr e puktu sodłowego. Twerdzee o kse Jeżel dopuszcz wstępowe strteg eszch, to stee pr optlch strteg eszch zgodch z krteru ksow tk, że v v v, tz. ( X Y) ( X Y) E, E, v X Y Y X Rozwąze gr est stble, co ozcz, że żde z grcz e oże zwększć swoe wgre (lub zeszć strt) poprzez edostroą zę swoe strteg.

13 Kocepc strteg eszch est zrozuł w przpdku ger powtrzch; w przpdku ger rozgrwch edokrote wg dodtkowe terpretc. Ozcz o wbór ede czste strteg wbre losowo według dego rozkłdu prwdopodobeństw - wrtośc,..., trktowe są ko prwdopodobeństw wboru -te strteg. Oczwst est tkże terpretc rozwąz optlego gr ko pr strteg eszch w przpdkch, gd grcze e uszą dokowć wboru ede strteg spośród ltertw, le ogą stosowć wszstke z róż tężee (p. w przpdku ger rketgowch). Wrtośc,..., oż wówczs trktowć ko optle procetowe przdzł środków przezczoch wprowdzee - te strteg.

14 Twerdzee o lczbe stosowch strteg Nech ( ) ozcz lczbę strteg, ką użwć będze postępuąc optle grcz P (grcz P ). Kżd z grcz postępuąc optle użwć będze e węce strteg ż wos esz z lczb lub, t. { }, orz { },.

15 Rozwż grę, odpowdąc które cerz wpłt A c powstł przez dode do wszstkch eleetów cerz wpłt A stłe welkośc c. Pokże, że strtege optle są dl owe gr tke se k w przpdku cerz wpłt A, wrtość owe gr est rów vc. Fukc wpłt E dl gr orgle: E (X,Y)X T AY orz fukc wpłt E dl gr zodfkowe: E (X,Y)X T A c Y ( c) Ze względu otrzue: E (X,Y) c c E (X,Y) c v c. Dode stłe wrtośc c do cerz wpłt e wpłw wbór optle strteg, ze sę ede wrtość gr o c..

16 Rówowżość gr cerzowe zgde progrow lowego Rozwż dowolą grę cerzową o sue wpłt zero z cerzą wpłt A[ ]. Z defc we, że strtegą optlą dl grcz P est strteg esz X T [,,..., ], dl które orz dl wszstkch strteg czstch,..., grcz P speło est wruek co odpowd ukłdow erówośc postc tz. v dl,,..., ,..., v, v v v Podobe, dl grcz P leż zleźć tk wektor Y T [,,..., ] tką lczbę v, które dl kżde strteg czste grcz P spełą stępuąc ukłd relc:

17 ... v... v v...,..., Prwe stro ogrczeń są eze (est to ez wrtość gr v), le ogą bć zwsze sprowdzoe do wrtośc dodtch z wkorzste włsośc wkze w poprzed prgrfe, owce, eżel w cerz A wstępuą eleet uee, poprzez dode do wszstkch eleetów odpowede wrtośc c tworz cerz zodfkową A c, któr będze ł wszstke eleet dodte. Może zte prząć, że wrtość gr v est wększ od zer. Pozostą edk stępuące trudośc: o wrtość gr v est ez o zde e fukc krteru.

18 Pokże dw sposob rozwąz probleu. Perwsz sposób poleg dokou z zech według stępuącego wzoru: Zuwż, że zchodzą stępuące relce: v v v v orz /v, /v. Zwróć uwgę, że po ze zech ksl wrtość gr v osąg est wówczs, gd est l, lzc zś v odpowd edoczes kslzc.

19 Otrzue setrcze zgde dule: Zgdee perwote f()... prz ogrczech ,..., Zgdee dule g( )... prz ogrczech ,...,

20 Zte kżd gr o sue wpłt zero posd rozwąze optle orz v. Wrtość gr zdze ko odwrotość optle wrtośc fukc krteru zgde perwotego bądź dulego. Częstośc stosow strteg otrz ożąc optle wrtośc zech przez wrtość gr (bądź dzeląc przez optlą wrtość fukc krteru).

21 Przkłd : Dl gr skostruowo stępuącą cerz wpłt:. v v v v A Poewż wrtość gr e est dodt do cerz A dode stłą c. Mcerz zodfkowe gr A c przue postć:. 5 6 v v c A Wrtość zodfkowe gr est pewo dodt wększ od wrtośc gr orgle o. Kostruue prę dulch zdń progrow lowego dl zodfkowe gr:

22 Rozwąz optle obu zdń są stępuące X o Y o 7 7 o f orz wrtość fukc krteru 7. Ntost rozwąze zodfkowe gr uzsk dzeląc eleet wektorów X o Y o przez f o : X / Y /. Wrtość zodfkowe gr est rów odwrotośc f o wos: v c. Optle częstośc stosow strteg dl gr orgle są tke se k dl gr zodfkowe wrtość gr 7 orgle wos v. 7

23 Drug etod sprowdz gr do zgde progrow lowego poleg t, że w ukłdch erówośc wrtość gr v ozcz odpowedo przez przeos lewą stroę. Poewż zee te ozczą ezą wrtość gr, ogą tworzć tkże fukce celu w prze setrczch zdń dulch progrow lowego: Zgdee perwote f() lbo f() - prz ogrczech ,...,...

24 Zgdee dule g( ) lbo g( ) - prz ogrczech ,...,

25 Przkłd : Gr k w Przkłdze. Mcerz gr zodfkowe po dodu stłe c est postc:. 5 6 v v c A Modele PL dl gr zodfkowe:,, ,,, Rozwąze optle est stępuące: 75, o, 5, o, 5, o vc,5 o, 5, o, o, 5, o vc. Optle wrtośc zech to optle częstośc stosow strteg orz wrtość zodfkowe gr. Ab otrzć wrtość gr orgle leż odąć wrtość stłe c.