Zastosowania matematyki w chemii. Marek Kręglewski

Transkrypt

1 Zsosow mem w em Mre Kręglews

2 Progrm zjęć. Czm są meod umerze? Tworzee lgormu.. Ierje rozwąze rówe pu =().. Rozwązwe rówń jedej zmeej: meod sej, Newo sez.. Cłowe umerze: meod rpezów Smpso. 5. Różzowe umerze. 6. Rozwęe uj w szereg. 7. Crers łędu meod umerzej w zleżoś od długoś rou. 8. Esrpolj Rrdso. 9. Numerze rozwązwe rówń różzow..welom: posć url, sem Horer..Ierpolj welomem.

3 Progrm zjęć.deje rodzje merz. Dzł merz..zps merzow ułdu rówń low..rozwąze ułdu rówń low w pos merzowej. 5.Wroś rersze merz. 6.Eleme eor łędu przeoszee sę łędów. 7.Opmlzj low. 8.Opmlzj elow. LABORATORIUM. Progrm MS Eel. Worzse MS Eel do rozwązw prolemów umerz LITERATURA:. E. Seer, Mem dl emów, WN PWN.. A. Rlso, Wsęp do lz umerzej, PWN 975.

4 Algorm rozwąz rów =() START Wzj, ε, A = = =½(+A/) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń

5 Proes zeż: =½(+/) L P 6

6 Proes rozeż: =6-* E E E E E E+7 -.7E L P

7 Meod sej Rozwąze rów ()=, zl szue mejs zerow uj (). Szum mejs zerowego w przedzle <,>, w órm: ) uj () jes ągł ) () zme z w przedzle <,>, z. ()()< mejse zerowe p p p p

8 Algorm meod sej START Wzj,, ε ()*()< TAK p=(+)/ ()*(p)< TAK =p NIE NIE Wpsz: zł przedzł =p Śld dzłń NIE - <ε TAK Wpsz, STOP

9 Meod Newo Rozwąze rów ()=, zl szue mejs zerow uj (). Szum mejs zerowego rozpozją w dowolm pue, jeżel: ) uj () orz jej perwsz pood są ągłe ) perwsz pood jes róż od zer mejse zerowe sz Rozwęe uj w szereg Tlor:!

10 Algorm meod Newo START Wzj p, ε p =p p =p - (p ) / (p ) NIE p -p < ε TAK Wpsz p STOP Śld dzłń

11 Meod sez Rozwąze rów ()=, zl szue mejs zerow uj (). Szum mejs zerowego rozpozją z pr puów (, ) jeżel: ) uj () jes ągł ) ( ) ( ), gd mejse zerowe Perwsz pood przlżo przez lorz różow:

12 Algorm meod sez START Wzj p, p, ε q =(p ) q =(p ) p =p ; p =p q =q ; q =(p ) p =p q (p -p ) /(q -q ) p -p < ε NIE TAK Wpsz p STOP Śld dzłń

13 Cłowe umerze T T d m m m T T T m * * T T T m m m *, m m T T T T Meod rpezów T m

14 Cłowe umerze S d m S S S m m m m *, / m m m m S S S S / Meod Smpso S m/ m przse

15 I Cłowe lze - przłd ( ) d ()= d 68 ()= d ,

16 Cłowe umerze - przłd I ( ) d () T ( ) T ( ) S( ) 78 *78 78 * W olzeń umerz T(=) T(=) S(=) ,67 I (dołd) , ()= ()= T( ) T( ) S( ) 76 * * Błęd meod rpezów łąd T() T()-I T() T()-I ,6 9,6

17 Różzowe umerze ) ( ) ( lm ) ( ) ( lm Przlże jedosroe: L P ) ( ) ( ) ( ) ( - + (+) () (-) Śred P L (róż erl): L P ) ( ) (

18 Różzowe łąd meod!!!!!!! /:!!! pood łąd! : /!! pood łąd Pood jedosro Pood erl _

19 Przłd olzee poodej Olz poodą l() w pue = meodą poodej erlej orz jedosroej dl róż długoś roów: ()=l() l()=/ l()=.986 ()=[(+)-(-)]/(*) () () łąd ^ łąd/^ ()=[(+)-()]/ + (+) () łąd łąd/ Zmejszee rou zmejsz łąd, prz zm szej łąd mleje w meodze róż erl

20 Rówe różzowe I rzędu Rówe różzowe opsująe rozpd promeowórz Propozj rozwąz: Sprwdze poprwoś: Podswee do rów: Lew sro rów prwej, gd: dn d N N dn d e N e e e e Wrość wzz z wruu poząowego: Oseze rozwąze lze: sł szoś rozpdu promeowórzego N e N N N N N e

21 Rozpd promeowórz Rówe różzowe opsująe rozpd promeowórz dn d N Rozwąze lze: Ores połowzego rozpdu : N N N e e N e l N l N l

22 Rówe różzowe meod Euler Rówe ( jes zą ują): Wzór przlżo poodą: Po przeszłeu: Uproszzo zps: d d d d, d, d d d Os wzór pozwl olze wroś uj pu po pue. Wrość uj w pue zerowm oreślją wru poząowe.

23 Rówe różzowe I rzędu dn N d N dn/d Nl N Nl.5.5

24 Rówe różzowe II rzędu Drg rmoze F p = m - przspeszee F w = - - wlee Przjmjm: m= = Rówowg sł F p = F w =- " d d Rozwąz szzególe rów: e e e e e e e Rozwąze ogóle rów: e e F Słe wzze z wruów poząow

25 Rówe różzowe II rzędu e e - Wru poząowe: e e e e Rozwąze ogóle z uwzględeem wruów poząow: e e os

26 Rozwąze umerze I d d v d d d dv gdze : Korzsm z przlżo wzorów poode: v v v v v v v v Ozzm: v v v Z pos rów w:

27 Rozwąze umerze I.d. Gd = : m v m s () () v() () pood jedosro v () v() ()

28 Rozwąze umerze II d d v d d d dv gdze : Korzsm z przlżo wzorów poode erle: v v v v v v v v Ozzm: v v v Z pos rów w:

29 Rozwąze umerze II.d. Gd = : m v m v v s () () v(+/) () pood erl v () v(+/) ()

30 Esrpolj Rrdso Cz woują olze ze sońzo długośą rou moż oszowć w grz dl? F p r O r p F() wrość olzo dl długoś rou = F() poez wrość dl zerowej długoś rou p rząd łędu meod umerzej Olzm w umerz F dl dwó róż roów (q) F F F F p r O p q q O r q p p p q q /* q p

31 Esrpolj Rrdso.d. r O q q F F F p eż jes orzoe łędem posępowe moż prowdzć dlej. Njzęśej esrpolję sosujem dl q=, wed: r O F F F p p p p p p p p p q q F F q q q F q q F q odejmujem srom

32 Esrpolj Rrdso przłd I d 68 W umerze meodą rpezów: T() T T T

33 Esrpolj Rrdso przłd ()=l() l()=/ ()=[(+)-(-)]/(*) P() / łąd meod róż erl, zl p=. = P()-P()

34 Szereg geomerz /* S S S S S S r r w szzególoś dl = ) wrość sum jes rów ) jes rozwęem w szereg uj

35 Szereg Mlur ) (,,, słe 6 ) "( ) ( d d d d Sąd ()! "()! ()!!!! ()! "() ()

36 Szereg Tlor ) (,,, słe 6 ) "( ) ( d d d d Sąd ) (! ) "(! ) (!!!! ) (! ) "( ) (

37 Rozwęe uj w szereg e, Olz wrość (6) poprzez rozwęe w szereg Mlur e " e e * Wwołj szereg Mlur

38 Dołdość olzeń Źródł łędów: łęd d wejśow łęd zorągleń łęd oę uproszze modelu łęd przpdowe Błęd ezwzględe względe: wrość przlżo wrość dołd łąd ezwzględ łąd względ r

39 Zorągle oe zorąglee oęe,97,,9 -,97 -, -,9 zorąglee do r po przeu lz orzo łędem ½ - Przłd powżej:, ½ - =,,5 J zorąglć lz zońzoe rą 5?,5,,5, reduj łędów prz dodwu

40 Przeoszee sę łędów Dodwe odejmowe,5,75,7,,,, m,8,,,, m,,,, J jes łąd sum? J jes łąd róż?,5,9,86,,,, m,96,,,, m

41 Przeoszee sę łędów Dodwe odejmowe Podoe: Błąd ezwzględ sum lu róż rów sę sume łędów ezwzględ słdów.

42 Zoszee sę słdów prz odejmowu %,,,,,,576,576,576,576 r łąd ezwzględ łąd względ

43 Przeoszee sę łędów Możee dzelee r r r r r r r r r r r r r r Podoe: r r r r Błąd względ lozu lu lorzu rów sę sume łędów względ zów.

44 Worzse zsd przeosze łędów Olz perws rów wdrowego woują olze z dołdośą do 5 r zzą ,98 8 7,98,8 lo r zząe 8 7,98 55,98 5 r zzą r,5,8 r,5 55,98 9 6

45 Worzse zsd przeosze łędów Worzse wzorów Vee ,98,5,786,5,786 55,98 55,98 7,98 8 7, r r

46 Błęd msmle złożo wrżeń r,,,,,, D zleżość uj Prmer orzoe łędm. J jes łąd msml weloś złożoej?

47 Przłd szow łędu msmlego 6%,6,,, r,,,

48 Błęd sdrdowe złożo wrżeń,,,,,,,,, s s s s s s s s s D zleżość uj s o łęd sdrdowe zme. J jes łąd sdrdow weloś złożoej?

49 Przłd szow łędu sdrdowego,, s s s s s s s,,, s s s

50 Ierpolj welomem D jes uj () w pos l, z. zm jej wroś w (+) pu (węzł) ( ), ( ), ( ),, ( ). Zde: zleźć welom -ego sop, że: w( )= ( ) w( )= ( ) w( )= ( ) w () zwm welomem erpoljm. Cele erpolj: łwe zpmęe pos uj (współz) wowe operj memz welome wzze pośred wroś uj

51 Olze wroś welomu Posć url welomu w Olze wroś welomu wg semu Horer w

52 Olze wroś welomu Algorm START Wzj, { }, w= =- w=w*+ =- TAK NIE Wpsz w STOP

53 Śld dzłń w ()=+- + = = = =- = Olz wrość welomu w pue =. w *-= *+= *+= - Wrość welomu w pue = wos.

54 Posć Newo welomu Ne,,,, - są dm lzm, dl ór wroś welomu są oreśloe (de). Tworzm welom pomoze p (=,,,,) e, że p () = p () = - p () = (- )(- ) p ()= (- )(- ) (- - ) Welom w () przedswm jo w p J wzzć współz?

55 Wzze współzów () [ l, l+ ] [ l, l+, l+ ] ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,,,,,

56 Przłd w p p p p () [,] [,..,] [,,] = = 8 = 58 =

57 Ierpolj low Pros: w ()= + ( ) = = + (/ ) ( ) = = + (/ ) Wzz, - = =( - )/( - ) - = =( )/( - ) w ()= [( )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= [( + )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= + [( - )/( - )] (- ) o posć Newo dl w () = p () + p (), gdze p () = = p () = - = ( - )/( - )

58 Zjwso Rugego Prz erpolj welomem wsoego sop, p. -ego dl uj w przedzle [-,] dl węzłów rówoodległ ( ) 5 = - + *, =,,,, () w() E E

59 Zjwso Rugego Porówe wresu uj welomu:

60 Rozwązwe ułdu rówń A A A A A Przłd: + + = + + = + + = 8 A A 8 A =- = =

61 Merze przeszłe geomerze wersj P ode w płszzźe P oró os s s os P φ Merze rsormj geomerz są merzm orogolm Q Q Q Q Q T Q Q Q Q Q T os s s os os s s os os s s os Q Q Q Q Q T

62 Przeszłee merz przez podoeńswo Iseje odwzorowe A, óre przeszł : A Jeżel weor przeszłe są do weorów poprzez rsormję Q, j wgląd odwzorowe weor w weor? Q Jeżel orz, o Q A AQ Q Jeżel merz Q jes eosolw, o Q Q Q Q AQ AQ B Merze A B są swom rsormm przeszłom przez podoeńswo B Q AQ

63 Przeszłee - przłd os s s os Q φ=-5

64 Przeszłee - przłd (, )=(,) (, )=(,-) += -=- -5 (, )= (, )=,,

65 Rówe rersze merz λ slr, A() I() K() K = A λi merz rersz merz A dek = K(λ) = de(a - λi)=a - λi= rówe rersze merz K(λ) = λ + - λ λ λ + = Perws welomu K(λ): λ, λ,, λ -, λ zwm perwsm rerszm (wrośm włsm) merz A. Jeżel B = Q - AQ, o merz rersz merz B K = B λi = Q - AQ - Q - IQ = Q - (A - I)Q, wzz dek =B - λi= Q - A - λi Q = A - λi= Dwe merze zwąze przeszłeem przez podoeńswo mją e sme perws rersze.

66 Perws rersze, de, de I I A B A B

67 Merz dgol d d d d d d d d d d d d d d d d,,,, I D I D D Jeżel seje e przeszłee przez podoeńswo, óre merz A sprowdz do merz dgolej D, o eleme przeąej merz dgolej są zrzem perwsm rerszm (wrośm włsm) merz A.

68 Przłd dgolzj merz s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os os s s os os s s os os s s os os s s os AQ Q A Q A wzerowć eleme edgole: 8 os s s os Po przeszłeu orzmujem merz:, s os s os

69 Perws weor rersze C - AC jes przeszłeem dgolzująm merz A. Kolum merz C są weorm rerszm. Jeżel merz C jes orogol, o C - =C T, C - AC = C T AC. os C s 8 s 8 os 8 8 os s 8 8 s os 8 8 Ousroe pomożee merz A przez weor rersz dje wrość rerszą: os 8 os s os s 8 os s os os os s s os s os s 8 Ogóle: 8 8 T A ,,, 8 s s 8 8

70 Regresj low 5 5 (, ) 5 (, ) 6 8 Regresj low: =*+ Zde: Wzzć opmle wroś orz. 7

71 Regresj low Podswowe złoże: ) Rozłd woół l prosej jes losow ) Wrj σ jes ezleż od Meod jmejsz wdrów:, Wzzm m Φ(,) względem orz :,, 7

72 7 Regresj low Rozwąze ułdu rówń ze względu, :

73 Regresj low Esm wrj dl wroś : s Esm wrj dl prmerów orz : s s s s Współz orelj lowej dl pró r r ov vr, S vr S S Wrość r zwer sę mędz - +. r> wszuje zleżość dodą, r< zleżość ujemą mędz orz. r= wszuje r zleżoś lowej mędz orz. 7

74 Regresj low - przłd

75 [m] [g] * * -*- (-*-)^ -sr -sr Sum: = -.6 g/m = g s^=.5 s=.7 g s^=. s=.55 s^=. s=.66 sr= 5 ov(,)= -6.8 sr= - vr()= 8. vr()= 69.6 r(,)=

76 Węej o orelj - wdr IV III I II μ Kwdr: μ I -μ < -μ < (-μ )(-μ )> II -μ > -μ < (-μ )(-μ )< III -μ > -μ > (-μ )(-μ )> IV -μ < -μ > (-μ )(-μ )< ov(, ) ov, 76

77 r Współz orelj lowej ov vr, S vr S S r=- -<r< r= <r< r= 77

78 Regresj low jo ułd rówń Newdome:, Szum rozwąz ego, uzsć m Zps merzow: J

79 Ułd rówń dmrow J J ε ε ε J T T Poszuujem rozwąz, dl órego T jes mmle. J J J J J J J J J ε ε J J J J J J J J J J J T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T olzoe wroś prmerów zpewją mmlzję sum wdrów odleń od prosej

80 Przłd przedswe merzowego 9,5 5, * de J J J J J J J J T T T T

81 Wrj dl zmeej 8 J Wrje s, 5,,9 9,5,,7 ε T ε,,9,,7 ε s,,9,,7, 9 Wrje owrj dl prmerów 5,8 s ov(, ) ov(, ) s s, J T J,9* Współz orelj lowej r ov(, ) 58,6*8,, 9 s s

82 Jo W regresj lowej uj modelu o pros = * +. Jo o merz pood po prmer, we wszs pu d =,,, J Jeżel do d elśm dopsowć welom -go sop = + * + *, o jo mł posć: J

83 Rozłd złożoego psm Psmo dośwdzle Nleż dopsowć do psm rzwe Guss w pos P e - wsoość - położee - szeroość 8

84 Meod jmejsz wdrów { }, =:M, M dopsow prmerów Fuj łędu (sum po pu): Φ{ } = j [ j (dośw) - j ({ }] Zde Mmlzowć Φ modują zór { } srują z wroś poząow { } 8

85 Fuj łędu jo 85 e P e P e P N P P e P Rozłd N psm Eleme jou

86 Algorm 86 P P P P P P P P J Y Poprwo wrość { } J T Y J T J

87 Meod jmejsz wdrów Kro Psmo rozłożoe słdowe