Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce"

Sabina Król
8 lat temu
Przeglądów:

1 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl Wre rozkłd prwdopodoeństw żtecze w sttstce Rozkłd ch-kwdrt o stopch swood - to rozkłd s kwdrtów ezleżch zech losowch o stdrzow rozkłdze orl tz......d. rozkłd o kcj gęstośc e Γ >. Wdć że rozkłd jest szczegól przpdke rozkłd g. Rozkłd t-tdet o stopch swood ech ędze zeą losową o rozkłdze zeą losową o rozkłdze. Jeżel zee są ezleże to ze losow T rozkłd t tdet o stopch swood kcj gęstośc Γ t T t π Γ Rozkłd edecor-sher- ech ędą ezleż ze losow o rozkłdch wówczs ze losow Z rozkłd edecor-sher z Γ kcją gęstośc z z z> Z Γ Γ z ecetrle rozkłd ch-kwdrt tdet t edecor De. ech... ędą ezleż ze losow o rozkłdch... Wówczs ze losow U swood pretrze ecetrlośc ozcz rozkłd ecetrl ch-kwdrt o stopch. Bezpośredo z decj wdć że czl że zwkł cetrl rozkłd szczegól przpdke ecetrlego rozkłd z. jest Przeksztłć ortogole wektor I wektor wedłg wzor

2 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl gdze pozostłe wersze cerz przeksztłce są tk dore cerz ł ortoorl. oż to zroć trktjąc perwsz wersz jko wektor w R zpełć te wektor - wektor tk zskć zę w R zstosowć procedrę ortogolzcj Gr -chdt. Przeksztłco ortogole wektor rozkłd I. Poewż przeksztłcee ortogole zchowje orę U. Otrzlś dekopozcję z której wk że ecetrl rozkłd to rozkłd s ezleżch zech losowch z którch perwsz jest kwdrte zeej losowej o rozkłdze drg zeą losową o rozkłdze. kt te zpsje solcze. Woec tego dl > P P U > dd d d ] [ d tosjąc wzór d d d d dt t dt t d d β β β β otrzje gęstość rozkłd w postc d. Cłk t e wrż sę przez kcje eleetre. oż pokzć że gęstość wrż sę przez tzw. ogóloą kcje hpergeoetrczą jed z kcj specjlch jest tlcow l dostęp w p. w thetc po złdow ttstcs`cotosdstrtos` koedą ocetrlchqredstrto[ld] gdze pretr ecetrlośc ld p. CD[ocetrlChqreDstrto[ld]] zwrc wrtość dstrt w pkce. Z dekopozcj łtwo oże zskć wrtość oczekwą wrcję w rozkłdze. Rzeczwśce jeżel zee losowe są ezleże to ze losow U o rozkłdze wrtość oczekwą EUE EVE E - VU V V4-4

3 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl o zpsjąc jko zskje V V V 4 V 4Cov 4 4 Uwg. 3 E E E E E Cov Twerdzee o dodw U U U U ezleże U U Dowód. Z dekopozcj otrzje U U gdze wszstke zee są ezleże. Z twerdze o dodw dl cetrlego rozkłd tost dl wektor Z I stosje przeksztłcee ortogole Z Z otrzje że Z Z I. Woec tego ze Z U jest są ezleżch trzech zech losowch z którch perwsz jest kwdrte U zeej losowej o rozkłdze drg kwdrte zeej losowej o rozkłdze czl zeej o rozkłdze zeej o rozkłdze twerdzee o dodw dl cetrlego rozkłd U U otrzje dekopozcję.. tosjąc jeszcze rz ecetrl rozkłd t- tdet ech ezleże. Wówczs T t ecetrl rozkłd edecor sher ech ezleże. Wówczs Uzpełee. ech... ędze próą prostą z rozkłd. Przeksztłć ortogole wektor I wektor wedłg wzor 3

4 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl 4 gdze pozostłe wersze cerz przeksztłce są cerz ł ortoorl oż to zroć trktjąc perwsz wersz jko wektor w R zpełć te wektor - wektor tk zskć zę w R zstosowć procedrę ortogolzcj Gr chdt. Przeksztłco ortogole wektor rozkłd I węc jego skłdowe są ezleże. Zwż że tost. tąd sttstk są ezleże. Ze losow rozkłd tost rozkłd. tąd Q... θ rozkłd t-tdet z - stop swood tost kcj... Q rozkłd. Przedzł ośc estcj przedzłow ech... ędze próą prostą z rozkłd P θ P{P θ : θθ θ Θ Θ Θ Θ R}. Decj. osow przedzł [... U... ] gdze θ Θ P θ <U tk że dl zdego P θ θ U- θ Θ zw -% przedzłe ośc dl pretr θ Θ R. ttstk U zw odpowedo dol gór końce przedzł współczk - zw pozoe ośc. Iterpretcj. Prwdzw ez elosow wrtość θ z prwdopodoeństwe - leż do losowego przedzł jest krt losow przedzłe [U]. e oż t ówć o prwdopodoeństwe że ez pretr ędze zwrt w jkś stł przedzle. Tke zde ło ses gd ez pretr ł zeą losową e jest.

5 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl Kostrkcj przedzłów ośc z poocą kcj cetrlej wodącej Decj. ech... ędze próą prostą z rozkłd P θ P{P θ : θθ θ Θ Θ Θ Θ R}. kcj Q... θ to e jest sttstk zw sę kcją cetrlą dl pretr θ Θ jeżel jej rozkłd prwdopodoeństw e zleż od θθ θ. Przkłd ech... ędze próą prostą z rozkłd gdze ze. kcj Q... jąc rozkłd jest kcją cetrlą dl ech... ędze próą prostą z rozkłd. Ozcz. kcj Q... jąc rozkłd t - t - tdet z - stop swood jest kcją cetrlą dl. kcj Q... jąc rozkłd jest kcją cetrlą dl. ech... ędze próą prostą z rozkłd o cągłej dstrce. Poewż rozkłd U wec kcj Q... o rozkłdze jedostj kostce jest kcją cetrlą dl. Złóż że dspoje kcją cetrlą Q... θ. Przedzł ośc kostrje w stępjąc sposó: Wer lcz tk spełł erówość P θ Q... θ - θ Θ. Gd kcj cetrl Q... θ jest cągłą ścśle ootoczą kcją pretr θ to erówość Q jest rówowż erówośc... θ U.... tąd [... U... ] jest -% przedzłe ośc dl pretr θ Θ. Przedzł ośc dl w rozkłdze gdze ze. kcj cetrl Q... θ rozkłd. Woec tego 5

6 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl 4 3 Rozkłd z co jest rówowże P P z z z z - otrzlś wec przedzł ośc [ z z ] o stłej dłgośc l z Tą kostrkcję oż powelć kostrjąc sptotcz przedzł ośc dl pojedczego pretr estowego W θ P ˆ θ z θ ˆ θ z s s θ gdze z sptotczą wrcję s θ leż przjąć jej esttor. Dokłdej w orcj sher θ θ z pretr θ leż przjąć θˆ EW[θ]. Poprwość tej kostrkcj jest prost woske z sptotczch włsośc esttorów W twerdze łckego. Przedzł ośc dl w rozkłdze gdze eze. 4 3 kcj cetrl Q... swood. Woec tego Rozkłd t - θ rozkłd t - t - tdet z - stop P co jest rówowże t P t t t-d t-- otrzlś wec przedzł ośc [ t t ] o losowej dłgośc l t o wrtośc oczekwej dłgośc E E E l t t t Przedzł ośc dl w rozkłdze cost kcj Q... rozkłd. Woec tego 6

7 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl 7 Rozkłd ch ch - ch -- P co jest rówowże P otrzlś wec przedzł ośc ] [ o losowej dłgośc l o wrtośc oczekwej dłgośc E l E W przpdk setrczego rozkłd kcj cetrlej wór lcz tk spełł erówość P θ Q... θ - θ Θ wdje sę oczwst. W przpdk rozkłd esetrczego wór e jest jż oczwst. oż postwć prole tkego door dłgość l przedzł [... U... ] gd jest elosow l wrtość oczekw dłgośc ł l. ów wted o jkrótszch przedzłch ośc pozoe -.. Jeżel ozcz dstrtę rozkłd kcj cetrlej to leż rozwązć stępjące zgdee optlzcje Zleźć tk l pod wrke --. W rozwż powżej prolee l A rozwązć powższ prole ekstre wrkowego tworz kcję grge ;. Z WK otrzje kłd

8 ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl ech ψ ψ leż tk dorć pozo pr { } ψ [{ }] spełł wrek 8

Podobne dokumenty

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce Wyre rozkłdy prwdopodoieństw żytecze w sttystyce Rozkłd chi-kwdrt o stopich swoody - to rozkłd sy kwdrtów iezleżych zieych losowych o stdryzowy rozkłdzie orly N tz iid N = i i rozkłd y o kcji gęstości