METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW. (notatki do wykładu)

Transkrypt

1 EODY NUERYCZNE DLA INŻYNIERÓW ott do włdu Wrocłw, mrzec

2

3 Sps reśc. Wstęp Lowe ułd rówń Wprowdzee etod elmcj Guss..... etod rozłdu LU Itercje metod rozwązw ułdu rówń lowch Rozwązwe rówń elowch..... Zgde jedowmrowe... etod prostej tercj... etod połowe... etod Newto... etod seczch... etod weloroowe: lgortm Ate Rozwązwe ułdów rówń elowch... 5 etod Newto-Rphso... 5 etod seczch Iterpolcj Wprowdzee Welom terpolcj Newto Numercze różczowe ucj dsretej Aprosmcj Wprowdzee Aprosmcj średowdrtow Fltr wgłdzjąc Fltr różczując Przłd oblczeow etod Njmejszch Kwdrtów z worzstem rozłdu mcerz według wrtośc szczególch SVD Cłowe umercze Wprowdzee etod Smpso Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch Wprowdzee etod jedoroowe... 5 etod Euler... 5 etod trpezów... 5 etod Rugego-Kutt... 5 Dołdość metod Stblość metod etod weloroowe etod Ger Nejw metod Rugego-Kutt... 59

4 4 Sps treśc 7.4. etod estrpolcjo-terpolcje Ltertur... 6 Sorowdz... 6

5 . Wstęp Nejsz srpt zwer ops główch zgdeń prezetowch włdze etod umercze dl żerów, tór jest przezczo dl studetów eruu Automt Robot Wdzle Eletrczm Poltech Wrocłwsej. etod umercze są podstwowm rzędzem ltczm w ręch współczesego żer stąd też etrudo zleźć wczerpującą lterturę te temt o różm stopu zwsow - etóre propozcje pode są w ońcowej częśc prc. Kżde jed ujęce tego temtu jest przezczoe dl oreśloego cztel, o odpowedm stopu przgotow z mślą o specczm zstosowu prezetowch metod. Główm celem ejszego oprcow jest prezetcj podstwowch metod umerczch stosowch w oblczech w eletrotechce. Złd sę, że Cztel z podstwow urs lgebr lz mtemtczej. Wmg jest róweż podstwow zjomość zsd tworze lgortmów oblczeowch. Woe prezetowch przłdów oblczeowch wmg róweż elemetrej zjomośc orzst z omputerów. Z włdem zwąze są ćwcze lbortorje, w trce tórch są prtcze lustrowe zgde przedstwe włdze. Podstwowm rzędzem progrmowm, stosowm do opsu poszczególch procedur oblczeowch, j do oblczeń w lbortorum omputerowm jest ALAB. Progrm te jest stosow tu zrówo do ormułow sprwdz prostch lgortmów umerczch, j do rozwązw brdzej złożoch zgdeń z worzstem gotowch procedur. Pet progrmow ALAB, j wele ch tego tpu progrmów przezczoch do rozwązw zdń żersch, zwer sporą lczbę gotowch procedur umerczch, tóre są dostępe w postc pojedczch strucj. oż ztem sptć, j jest cel dodtowego włdu te temt, soro wstrcz sę zpozć z strucją obsług odpowedego progrmu omputerowego. Jed żd użtow tego tpu oprogrmow specjlstczego tr problem zwąze z wborem odpowedch procedur często do rozwąz tego smego zd moż zstosowć róże lgortm, terpretcj błędów, dołdośc wów, rozwązw zgdeń estdrdowch, cz wreszce rozume terpretcj testu strucj. Wż jest tże umejętość ormułow model mtemtczch lzowch zjws, tóre pozwlją oreślć poszuwe prmetr lub zleżośc mędz m. W tch przpdch wmg jest eed pogłębo zjomość zgdeń lz umerczej. W prtce żersej metod umercze są rzędzem służącm do ormułow rozwązw prtczch zgdeń oblczeowch. tże do przesztłce zch model cągłch do dewtch postc dsretch. Z tego putu wdze metod umercze są tu trtowe jo wgod wdj sposób rozwązw zdń żersch. Przgotowe rozwąze tego tpu zdń wąże sę zzwczj z woem stępującch dzłń:

6 6 Wstęp - oreślee modelu mtemtczego lzowego zjws lub ops stu obserwowego sstemu; - wbre oprcowe odpowedej metod oblczeń umerczch; - lz wercj poprwośc przjętego modelu orz woch oblczeń. W ejszm włdze będzem sę zjmowć główe drugm z wmeoch dzłń. Łącz sę oo z podem sposobu lgortmu umerczego rozwąz postwoego zd. W oblczech prowdzoch z zstosowem metod umerczch leż sę lczć ze specą stosowch rzędz. Lczb reprezetowe w omputerze są przedstwe z ogrczoą dołdoścą, tór zleż od lczb btów użtch do ch zpsu. Wjące stąd błęd jczęścej e mją zcze w dlszm worzstu wów oblczeń. Need jed wrtość błędów powstjącch w poszczególch etpch oblczeń jest t duż, że otuowe oblczeń stje sę emożlwe przeroczee zresu lub uzse w zwerją edopuszczle błęd. oż wróżć stępujące czter źródł błędów, tóre ogrczją dołdość ońcowch wów:. błęd w dch wejścowch. przblżo model zjws. błęd prosmcj modelu 4. błęd zorągleń Błęd dch wejścowch leżą poz procesem oblczeń, jed stosowe odpowedch procedur może prowdzć do reducj ch wpłwu w przłd, wgłdze dch pomrowch. Problem te łącz sę ztem z drugm z wmeoch źródeł błędów. Nleż jed podreślć, że błęd dch wejścowch, w ogólm przpdu, są eusuwle. Błęd lub przblżo model lzowego procesu w z uproszczeń przjmowch w trce ormułow modelu mtemtczego zjws lub opsu stu. W to z potrzeb reducj złożoośc modelu, tór jest przjmow w sposób śwdom lub z bru odpowedch dch, t że lzow proces jest przedstw w sposób uproszczo. Błąd metod jest zwąz z tm, że poprw model jest prosmow z pomocą uproszczoch ormuł, w tórch dodtowo mogą bć stosowe przblżoe de rz prmetr. powm przłdem tego tpu podejśc jest prosmowe zleżośc różczowch z pomocą ucj różcowch. Błęd zorągleń wją ze sończoej długośc reprezetcj lczb w omputerze. Jeśl błęd te mją chrter przpdow e sstemtcz, to sumrcz błąd sttstcz wet długej ser oblczeń jest zzwczj mł. Sstemtcze błęd zorągleń mogą jed prowdzć do szbo rosącej edołdośc oblczeń. Zm źródłem tch błędów jest opercj odejmow blsch sobe lczb. Jeśl w lgortme szeregowo powtrze są te dzł, to szbo stępuje edopuszczl umulcj błędów. pow przłd jest zwąz z umeszczeem tej różc w mowu jegoś wrże. Poprwość eetwość lgortmów oblczeowch jest oreśl z pomocą różch prmetrów. Oto etóre z ch.

7 Wstęp 7 Złożoość oblczeow lgortmu jest zwąz z lczbą opercj umerczch, tóre prowdzą do uzs wu. Jest zrozumłe, że spośród różch lgortmów, tóre zpewją poprwe rozwąze, leż wberć te, tóre chrterzują sę młą złożooścą oblczeową. Jest to szczególe stote w ułdch sterow, gdze peł cl oblczeń umerczch mus bć wo w czse oreślom przez ores pomędz olejm pomrm welośc wejścowch. Uwruowe zd jest cechą metod umerczch, tór oreśl możlwość uzs poprwch wów prz stosowu dowolch dch wejścowch z odpowedo zdeowego zboru. Jeśl lzow lgortm służ do rozwąz zd w, to stopeń uwruow zd moż merzć z pomocą lorzu w δ / δ. Need użw sę też termu czułość zd. ów sę, ztem, że zde jest dobrze uwruowe lub źle uwruowe. W perwszm przpdu zde jest stble względem dch wejścowch, co ozcz, że rozwąze w sposób cągł zleż od dołdośc dch wejścowch t, że dl δ jest δ. W przpdu złego uwruow zd, możlwość uzs poprwego rozwąz zleż od wrtośc dch wejścowch. Cech t jest worzstw do odpowedej orecj zdń źle uwruowch, tóre e mogą bć czej rozwąze. W welu przpdch lgortm zstosow do rozwąz zd dobrze uwruowego stblego może bć estbl. Stblość umercz lgortmu odos sę do możlwośc uzs oreśloej dołdośc oblczeń. Algortm jest stbl umercze, gd zwęszjąc dołdość oblczeń moż z dowolą dołdoścą oreślć dowole z stejącch rozwązń.

8

9 . Lowe ułd rówń.. Wprowdzee Zgdee rozwązw ułdów rówń lowch jest podstwowm problemem w metodch umerczch. etod rozwązw tego zgde jest wele, wbór tej cz ej metod zleż od rodzju zd, oczewej dołdośc środów techczch będącch w dspozcj szbość procesor orz objętość pmęc. Złóżm, że mm ułd trzech rówń z trzem ewdomm: Rówe to moż zpsć w stępującej postc mcerzowej: Przechodząc do postc ogólej mm: A b. gdze: A - mcerz wdrtow ; w tm przpdu, - wetor ewdomch, b - wetor współczów prwej stro. Jeśl wzcz mcerz det A, to rozwąze moż przedstwć w stępującej postc A b.4 oż pozć, że poszuwe rozwąz rów. w postc.4 prowdz do lgortmu o dużej złożoośc oblczeowej, co jest zwąze z odwrcem mcerz A. Już zstosowe reguł 'ręczego' rozwązw ułdu rówń. reduuje ooło rz lczbę ezbędch możeń potrzebch do uzs wu. Pożej przedstwm etóre jczęścej stosowe metod rozwązw rów..

10 Lowe ułd rówń.. etod elmcj Guss Powższ przłd z ułdem trzech rówń lowch moż rozwązć stosując metodę, tór jest zblżo do trdcjej metod 'szolej'. Poleg o olejej elmcj zmech. Korzst sę prz tm z prostch dzłń, tch j: możee obu stro rów przez stłą wrtość lub dodwe rówń strom. W rozwżm przpdu., zme może bć welmow z drugego rów przez odjęce od ego rów perwszego pomożoego przez współcz /.. Podobe moż postąpć z trzecm rówem: w tm przpdu perwsze rówe przed odjęcem go od rów trzecego leż pomożć przez współcz 5 /. 5. Po wou tch opercj otrzmm stępującą postć rów.: tóre m stępującą ormę mcerzową: Z osttch dwóch rówń moż jperw oreślć przez elmcję zmeej z trzecego rów. oż to uzsć przez dode drugego rów po jego pomożeu przez współcz.5 /. 5. Osttecze otrzmm: Zuwżm, że z osttego rów ostt wersz moż już bezpośredo oreślć zmeą. e etp oblczeń zw sę etpem elmcj zmech. Poczjąc terz od osttego rów osttego wersz w zpse mcerzowm moż otrzmć oleje rozwąz. Jest to postępowe odwrote. Ztem, w celu uzs wrtośc wszstch ewdomch woujem stępujące dzł:

11 Lowe ułd rówń Powższe opercje moż zpsć dl ogólego przpdu. W tm celu rozptrzm ogólą postć rów., gdze:... A......,... b b b, b.8 tóre moż zpsć w postc stępującego ułdu rówń b b b.9 Stosując perwsz ro elmcj w odeseu do.9 otrzmm ułd rówń, w tórch poczjąc od drugego z ch, welmow jest zme : b b b. gdze:,,...,,,,...,,...,,,..., orz b b b, b b b,..., b b b W osttm rou tej procedur ułd rówń m stępującą postć: b b b. b

12 Lowe ułd rówń gdze:, b b b. W te sposób, po wou procedur elmcj zmech perwote rówe przesztłc sę do postc z górą trójątą mcerzą U : U b. gdze: u U u u u u u Newdomą wzcz sę z rów oreśloego przez ostt wersz: b. u Dlej, zjąc ewdome,, z -tego rów oblczm: b j j u u j.4 prz czm uwzględe są odpowedo przesztłcoe współcz wetor b. Osttecze otrzmujem stępując lgortm rozwązw ułdów rówń lowch metodą elmcj Guss. {elmcj zmech} or : to do or : to do beg b, l : l, l, : b b,, dl l,,..., dl l,,..., ed; ed; {odwrote podstwe}

13 Lowe ułd rówń b or : to step do b j j W powższm lgortme złd sę, że w perwszm etpe e jest tworzo ow mcerz U, tomst tworzo mcerz trójąt jest zpsw mejscu mcerz A. J wdć, w opercjch rtmetczch wżą rolę odgrwją elemet leżące przeątej mcerz współczów rów. Przez e są dzeloe odpowede rów w perwszm etpe elmcj zmech. że w wu dzele uzsuje sę oleje rozwąz etpe podstw zmech. Rozwąze stje sę eosągle, gd tórś z tch elemetów dgolch jest rów zero wówczs mcerz prmetrów jest osoblw. Róweż prz młch wrtoścch elemetów dgolch moż spodzewć sę dużch błędów gdż wstępuje dzelee przez młą lczbę, tór - z rcj reprezetcj dsretej - może bć przedstwo edołde. Ab tego uąć stosuje sę modcję metod, tór poleg t zwm częścowm wborze elemetu wodącego. W tm celu, przed elmcją olejej zmeej etp wprzód, spośród rówń pozostjącch do rozptrze pożej dego wersz wber sę to, tóre m w reduowej olume w perwszej ezerowej jwęszą wrtość zme sę go z dm rówem. Odpowed lgortm zoste poz w stępm rozdzle. Optmle metod rozwązw ułdów rówń lowch pow przewdwć te uporządowe rów, b mcerz A bł dgole domującą. Ozcz to, że moduł elemetów przeątej są e mejsze od sum modułów pozostłch elemetów w tm smm werszu wówczs jest to mcerz dgole domując olumowo, co moż zpsć stępująco j,,,...,.. etod rozłdu LU Złóżm, że wdrtow mcerz współczów rów A zoste przedstwo w postc loczu dwóch mcerz trójątch: A LU.5 gdze:

14 4 Lowe ułd rówń l L..., l, l,... l..., l, l, u U u u u u u,,, Złóżm, że ze są mcerze L, U dl dej mcerz A. Wówczs rówe.5 moż zpsć w stępującej orme LU b.6 Wetor moż oreślć w dwóch etpch, rozwązując olejo stępujące rów Lz b.7 U z.8 Ze względu trójątą struturę mcerz L orz U, rów.7-.8 moż rozwązć bezpośredo przez odwrote podstwe, j w metodze Guss. Wmg to wo opercj może dzele, węc tle, le potrzeb pomoże mcerz przez wetor. Dużą oszczędość uzsuje sę wówczs, gd rówe.6 trzeb rozwązć dl różch wrtośc wetor b. Nleż zuwżć, że mcerze L orz U mogą bć zpse w jedej mcerz P [ L \ U], gdż elemet dgole mcerz L są zwsze rówe, węc e muszą bć pmęte. Wetor moż oreślć z pomocą stępującego lgortmu or : to do z : b pmzm {rozwąze rów.7} m or : to step do j : z j p jm m / p jj {rozwąze rów.8 } m j Algortm rozłdu LU moż łtwo wzczć podstwe zwązu.5. N przłd, dl mcerz A wrż sę w stępując sposób z pomocą współczów mcerz L orz U : A u lu lu u l l u u u l u u l l Z powższego przedstwe moż oreślć sposób oblcz elemetów mcerz L orz U : u u u l u u u u, u u,

15 Lowe ułd rówń 5. u l /u l / u. u u l. u lu lu /u u lu u lu lu Wdć, że w żdm z trzech roów jperw są oblcze elemet mcerz U, stępe elemet mcerz L w dej olume. Dl ogólego przpdu moż to zpsć w postc stępującego lgortmu {wru początowe - cjlzcj mcerz: L, U } or : to do beg or m m : to do u : l u ; or j : to do l j : j l jmu m / u ; m ed; Algortm te jest zw lgortmem Guss-Bchewcz [8]. Podobe j w przpdu lgortmu Guss, dl poprwe suteczośc dołdośc lgortmu LU moż stosowć wbór msmlego elemetu główego w olume. W tm celu leż porówć ze sobą wrz -tej olum mcerz A leżące pożej główej przeątej j : p : l u j.9 j j jm m m wbrć spośród ch jwęsz co do modułu. Odpowdjąc mu wersz leż przestwć z rozptrwm -tm werszem mcerz A. Procedur t e prowdz do zczego somplow lgortmu, gdż wrżee.8 jest rgmetem główego lgortmu t mus bć oblczoe. Złóżm, że elemet mcerz L orz U będą zpse odpowedch mejscch mcerz A mcerz t e zoste zchow, elemet wetor d { d } oreślją umer wersz mcerz A zgode z przestweem wjącm z wboru msmlego elemetu główego. Przeprowdzoe rozwż prowdzą wówczs do stępującego lgortmu rozłdu LU z wborem msmlego elemetu główego w olume. m

16 6 Lowe ułd rówń {wru początowe} err : ; or : to do d : ; {głów lgortm} or : to do beg {wbór elemetu główego} b : ; or j : to do beg j j : j jmm ; m j > b the beg b : ; w : j ed; j ed; ed; b the beg err : ; hlt ed; {br rozwąz} {przestwee wersz} w > the beg or j : to do beg b : j ; j : wj ; wj : b ed; s : d ; d : d w ; d w : s ed; {oblczee u } or : to do : ; {oblczee l j } m m or j : to do j : j / ; m Jeśl w tego lgortmu jest stosow łącze z lgortmem rozwązw rów.6, to wetor b leż uszeregowć zgode z desm zwrtm w wetorze przestweń d : b,,,...,, b d gdze: wetor { } b b może bć bezpośredo użt w lgortme.7.

17 Lowe ułd rówń 7 Algortm rozwązw ułdu rówń lowch może bć stosow do odwrc mcerz. Zuwżm, że L L AA. L L ztem A A [ ] [ L ] L. gdze jest wetorem olumowm z jedą -tej pozcj zerm w pozostłch mejscch, jest -tą olumą poszuwej mcerz A. oż zuwżć, że jest rozwązem rów A. ztem w celu oblcze mcerz A leż rozwązć rówń tpu.. W przedstwoch metodch wmg to tlo jedorotego rozłdu mcerz A mcerz trójąt lub mcerze LU. Złożoość oblczeow tego lgortmu jest z grubsz rów trzrotej złożoośc rozwąz pojedczego ułdu rówń lowch..4. Itercje metod rozwązw ułdu rówń lowch Przedstwoe powżej metod elmcj e uwzględją różch włścwośc mcerz współczów, tóre w metodch tercjch mogą prowdzć do uproszcze oblczeń, co jest szczególe wże w zdch o dużch rozmrch. to mejsce, przłd, w przpdu mcerz o sle domującej przeątej, gd wele elemetów leżącch poz przeątą m młą wrtość lub są to elemet zerowe. oż w tm przpdu złożć, że wszste elemet leżące przeątej mcerz współczów rów są róże od zer. W t przpdu rówe. moż zpsć w stępującej postc: b j j j j,,,...,. Prz zdch wrtoścch początowch poszuwch ewdomch zdeowch przez wetor, oleje przblże moż uzsć zgode z lgortmem tercjm. etod tercje sprowdzją sę do poszuw rozwąz ułdu rówń o postc

18 8 Lowe ułd rówń,,...,,,,...,.4 tór jest rówowż.. Ogól schemt tercjego rozwązw ułdu rówń moż zpsć stępującą zleżoścą j j j λ υ,,,...,.5 j gdze j jest umerem rou tercj, j λ jest weloścą rou tercj, j υ prmetrem oreśljącm 'erue' tercj, prz złożoch początowch wrtoścch,,,...,. W przpdu ułdu rówń lowch, odpowede metod tercje są tworzoe podstwe przedstwe rów. w stępującej postc C d.6 sąd oleje przblże rozwąz są oreśle zgode z rówem C d.7 Zgode z tm lgortmem, rówe. moż zpsć w stępującej orme tercjej: b j j j j,,,...,.8 Zleżość t jest z jo tercj metod Jobego rozwązw rówń lowch. Poszczególe metod różą sę sposobem wboru rou tercj λ orz prmetru υ. Omówm pożej pewą modcję metod Jobego, zą jo metod Guss-Sedl. W metodze Guss-Sedl oleje przblżee rozwąz rów. oreśl sę zgode z stępującm podstweem L b L L L L L L b L.9 L b co moż zpsć w stępującej orme mcerzowej A A b.

19 Lowe ułd rówń 9 gdze A..., A,,...,,,..., Algortm tercjego poszuw rozwąz w bezpośredo z.. W stępującch po sobe roch oreśle jest przblżee olejej zmeej po uwzględeu uzsch przblżeń poprzedch zmech: ,,, / / L / b / L / L / L L L / L b / L. / / L, / b / co może bć zpse w stępującej ogólej postc b j j j j j j. Wru zbeżośc procesu tercjego zwązego z lgortmem Guss- Sedl mogą bć oreśloe podstwe bd rów uzsego z. A A A b. oż pozć ptrz rozdzł dotcząc tercjego rozwązw ułdów rówń elowch, że wrue zbeżośc procesu oreśloego przez. jest oreślo przez wrtośc włse mcerz A A. Dostteczm wstrczjącm wruem zbeżośc metod jest to b moduł wszstch wrtośc włsch tej mcerz bł mejsze od jedośc. Jest to rówowże stępującemu wruow odoszącemu sę do współczów mcerz A > j j j,,...,.4 co ozcz, że rozwąze tercje jest możlwe, jeśl moduł elemetów dgolch są węsze od sum modułów wszstch pozostłch elemetów w werszu mcerz. Węszość zgdeń spotch w techce speł te wrue. Need leż wcześej odpowedo przesztłcć wjścow ułd rówń. Osttecze, metod Guss-Sedl tercjego rozwązw ułdów rówń lowch przber ormę stępującego lgortmu.

20 Lowe ułd rówń. Uporządowć wjścow ułd rówń t, b w mcerz współczów A jwęsze co do modułu elemet zlzł sę przeątej, co jest oreśloe stępującm wruem > j,,,...,, j,,..., j. Przjąć wru początowe {} { L }. Powtrzć proces tercj. dl,, L ż speło zoste wrue m <ε,,..., gdze ε - złożo dołdość oblczeń. etod tercje stosowe są zzwczj do rozwązw dużch ułdów rówń, w tórch wele współczów m wrtość zerową są to t zwe rów z mcerzm rzdm. Wówczs moż oczewć mejszej złożoośc oblczeowej tego podejśc ż stosowe metod sończoch. etod tercje są tże stosowe do poprw zwęsz dołdośc wów uzsch w rezultce stosow metod sończoch.

21 . Rozwązwe rówń elowch.. Zgde jedowmrowe Złóżm, że d jest ucj rzeczwstego rgumetu. Celem szch dzłń jest oreślee rozwąz stępującego rów. to zcz, oreślee wrtośc zmeej, dl tórch speło jest zleżość.. Nleż zuwżć, że w ogólm przpdu zde to e jest proste, gdż ze względu elowość ucj e jest wet wdomo lu rozwązń moż oczewć. Ne m ogólch, jedozczch metod rozwązw tch zdń. Ze są tomst metod przblżoe, tóre operją sę poszuwu rozwązń w drodze olejch tercjch przblżeń. etod prostej tercj Zpszm rówe. w stępującej postc g. Itercje rozwąze rów. poleg wou stępującch dzłń g. prz wruch początowch:. Powstje oczwśce pte, cz cąg wrtośc uzs w wu stosow procedur. prowdz do rozwąz, to zcz, cz metod jest stbl. Dowodz sę, że wrue zbeżośc moż zpsć stępująco. Dl dowole wbrej zmeej ξ zchodz erówość g g ξ K ξ.4 gdze K <. Jeśl wrue.4 jest speło, to lgortm. zw sę odwzorowem zwężjącm, tóre prowdz do rozwąz. Wrue te w welu przpdch e jest speło róże metod tercjego rozwązw rów. borą sę stąd, żeb t wrzć rówe. w orme., b poszerzć obszr zbeżośc rozwąz przśpeszć proces tego rozwąz. W ogólm przpdu odwzorowe. moż zpsć stępująco Φ.5

22 Rozwązwe rówń elowch prz czm, ucj Φ, z jo ucj tercj, jest t dobr, że jeśl ' rozwązem rów., to Φ '. ' jest etod połowe etod połowe metod bsecj wwodz sę z obserwcj, że jeśl grcch przedzłu [, b] ucj m róże z, to wewątrz przedzłu zjduje sę przjmej jedo mejsce zerowe tej ucj. Z ole strteg poszuw olejego, blższego rozwąz poleg wszu w tm celu putu, leżącego w środu tego włśe przedzłu. W te sposób otrzmujem stępując lgortm. {wru początowe} : ; : b ; : ; : ; { orz pow meć róże z } {pętl tercj} whle bs > ε do beg {połowee} ed; z : / ; z : z ; sg z sg the beg p : ; : z ; z : p ; ed; else beg p : ; : z ; z : p ; ed; oż zuwżć, że w przpdu crowej reprezetcj lczb, w żdej tercj połowe dołdość rozwąz wzrst o jede bt. Algortm jest ztem zbeż dosć wolo, chocż prz poprwm wborze początowego przedzłu, zwsze prowdz do rozwąz. Jest o często stosow jo procedur, tór prowdz do rozwąz w srjch stucjch, gd zwodzą e metod.

23 Rozwązwe rówń elowch etod Newto Zcze przspeszee procesu tercjego moż uzsć, jeśl odpowedo doberze sę ucję tercją Φ w.5. W tm celu moż zstąpć elową ucję w poblżu rozwąz to jest w poblżu zer z pomocą jej rozwęc w szereg lor!...! '' ' ξ θ ξ θ ξ ξ ξ.6 Pozostwjąc tlo dw perwsze wrz rozwęc przblżee lowe otrzmujem ' ξ.7 orz ' ξ, jeśl ', co w ogólośc prowdz do stępującej procedur tercjej ',.8 tór jest z jo metod Newto rozwązw rówń elowch. oż pozć, że etod Newto dl perwstów jedorotch m przjmej zbeżość wdrtową, co odos sę do stop przblże do rozwąz w olejch tercjch. etod seczch Jeśl w metodze Newto zstąpć różczowe ucj z pomocą wrże różcowego, to otrzmm przblżee metod Newto, tóre ze względu terpretcję grczą jest ze jo metod seczch. Przblżoe różczowe ucj może bć oreśloe stępująco '.9 co, po podstweu do.9, prowdz do stępującego lgortmu.

24 4 Rozwązwe rówń elowch jeśl tlo. etod seczch jest w welu przpdch wgodejsz do stosow szczególe w tch przpdch, gd e m możlwośc oreśle pochodej ucj, jed jest o słbej zbeż. Zuwżm, że powższe metod mogą bć stosowe jede wówczs, gd speło jest wrue o różej od zer wrtośc mow odpowedego wrże.8 lub.. Poprwe sormułow lgortm powe uwzględć to w przpdu, gd wrtość t jest odpowedo mł, pow bć propoow wersj lgortmu. etod weloroowe: lgortm Ate De jest rówe elowe o postc. etod prostej tercj poszuw wrtośc, dl tórej spełoe jest rówe. poleg przesztłceu go do postc g. dl tórej moż sormułowć stępującą regułę tercją g. z wrum początowm:. Algortm. prowdz do rozwąz, gd proces tercj jest zbeż. Zbeżość jest zpewo, gd speło jest stępując wrue. Dl dowole wbrej zmeej ξ zchodz erówość g g ξ K ξ.4 gdze K <. Ab rozszerzć obszr zbeżośc przspeszć zbeżość procesu tercjego moż stosowć jego orecję według metod Ate. Jej de poleg zstąpeu problemu rozwąz rów. przez zgdee poszuw zer ucj, utworzoej z olejch wów prostej tercj: h.5 gdze zmee oblcz sę według.. Problem sprowdz sę ztem do oreśle sposobu orecj metod prostej tercj w celu uzs rozwąz procesu.5. Poewż ucj h jest dostęp w postc umerczej, węc rozwąz.5 moż poszuwć z pomocą metod seczch: h p Δh,.6 Δ prz czm:

25 Δ h h h h. Rozwązwe rówń elowch 5 Δ Korecj jest ztem doow podstwe trzech olejch wrtośc -,, orz, przblże, uzsch według metod prostej tercj zgode z stępującą regułą: p.7 W tej orecj przjmuje sę w chrterze olejego przblże rozwąz: p, po czm stępują zów dw ro procedur. do olejej orecj.7. W te sposób uzsuje sę lgortm o stępującej postc.. Przjąć wru początowe, - umer rou tercj. Woć dw ro prostej tercj g, z g. Sorgowć w: Δ z Δ 4. Jeśl bs Δ > eps,, przejdź do.. Rozwązwe ułdów rówń elowch Ułd rówń elowch może bć w ogólm przpdu zps stępująco,,...,,,...,.8...,,..., Rozwąze tego ułdu rówń ozcz oreślee wetor [... ] dl tórego spełoe jest rówe.8. etod Newto-Rphso,, etod rozwązw tego zgde powstją przez odpowede rozszerzee metod rozwązw pojedczch rówń. W szczególośc, rówe.7 dl przpdu welowmrowego m stępującą postć ' ξ.9

26 6 Rozwązwe rówń elowch gdze wetor ξ przedstw współrzęde putu, w tórm speło jest wrue.8. cerz oreśljąc pochodą ' jest zw Jobem mcerzą Jobego L ' L J. L L Alogcze do.8, rozwęce.4 prowdz do stępującej tercjej procedur rozwązw ułdu rówń.8 J jeśl det[ J ]. J J, prz czm Algortm. jest z jo metod Newto-Rphso tercjego rozwązw ułdu rówń elowch. W progrmch omputerowch wzór. jest relzow przez stępując lgortm - oblcz, J, ' - oblcz J z - rozwąż ułd rówń lowch - podstw z W chrterze oce zbeżośc procesu tercjego moż przjąć ormę wetor z odesoą do orm wetor z < ε. Ze względu ogrczoą dołdość oblcz ucj orz Jobu J, dołdość cłego lgortmu jest ogrczo. Objw sę to tm, że począwsz od pewej wrtośc mmlej, orm wetor z zcze rstć. Jest to sgł, że leż sończć oblcze. W stąd stępujące rterum zończe oblczeń z > ρ z. gdze ρ jest rzędu jedośc.

27 Rozwązwe rówń elowch 7 etod seczch Róweż metod seczch może bć rozszerzo przpde welowmrow. Łtwo zuwżć, że rówe. moż uogólć stępująco ΔF ΔX.4 przez logę do rozwęc.9 F ΔX ξ Δ.5 gdze Δ X, Δ F są mcerzm o olumch, odpowedo: Δ, j,,...,. j j Δ j orz j Rów.,.4 mją ses wted, gd mcerze Δ X, Δ F są eosoblwe. Jedże zbeżość cągu wmg slej eosoblwośc wszstch mcerz Δ X, co ozcz, że moduł wzcz tej mcerz powe bć dosttecze duż. Z rów. wdć, że w żdm rou metod seczch dl przpdu welowmrowego wmg jest zjomość wrtośc wetor orz tluż wrtośc ucj. Algortm tercj słd sę z stępującch roów - wru początowe: złożć wrtośc wetorów: orz przjąć umer rou tercj - oblczć mcerze Δ X, Δ F - rozwązć ułd rówń lowch Δ F z,,..., - oblczć ową wrtość wetor ΔX z Nleż zuwżć, że ogrcze wruujące stosowe metod seczch mogą uemożlwć woe olejch roów procesu tercjego. rzeb ztem stosowć odpowede rozwąz e metod pomoccze, pozwljące uąć ztrzm oblczeń.

28

29 4. Iterpolcj 4.. Wprowdzee Zde terpolcj odos sę do dzłń zmerzjącch do przedstwe ucj w postc cągłej, gd z jest o w postc dsretej. Jest to ztem zde odwrote do dsretzcj lub próbow welośc cągłej. Złóżm, że dl dego zboru zmech ezleżch z przedzłu < ; b > :,,..., ze są przporządowe m wrtośc ucj:,,...,. Zleżość t jest zzwczj przedstw w postc tbelrczej:,,.... Zdem terpolcj jest wzczee przblżoch wrtośc ucj dl wrtośc zmech ezleżch z przedzłu < ; b >, lecz e będącch putm ze zboru,,...,. Jest to brdzo ogóle sormułowe zd łtwo zuwżć, że steje esończee wele sposobów jego rozwąz, jeśl e jest zd sposób przeprowdze ucj terpolcjej przez zde put rs Rs... Zsd terpolcj ucj dsretej Njczęścej poszuuje sę ucj terpolcjej o ścśle oreśloej postc, t, b zchowwł sę o w oreślo sposób. Są to często welom lgebrcze lub trgoometrcze. Podstwowm celem terpolcj jest oreślee wrtośc ucj dej w postc stbelrzowej dl zmeej meszczącej sę pomędz dm zwrtm w tblc. oż w te sposób zpmętć w omputerze zleżość oreśloą

30 Iterpolcj podstwe pomru. powm przłdm zstosow terpolcj jest oblcze cłe orz pochodch ucj dsretch w czse. W tm przpdu, w celu poprwe dołdośc oblcze cł moż sorzstć z wrtośc ucj prosmującej oreśloej dl dowolch wrtośc rgumetu. 4.. Welom terpolcj Newto Złóżm, że d jest ucj w postc tblc, w tórej putom...,,,, zwm węzłm terpolcj, przporządowe są wrtośc,...,,. Złd sę, że j dl j. Fucj terpolcj może bć oreślo w postc welomu: b b b b P.... Jeśl ucj dsret d jest w dwóch putch, to ucj terpolcj w postc. reduuje sę do prostej. Podobe, przez trz put moż jedozcze poprowdzć prbolę, oreśloą przez welom drugego stop. oż doweść, że w ogólm przpdu, dl putów węzłowch,, steje tlo jede welom P spełjąc wrue [], []: P,,,...,. W przpdu wzoru terpolcjego Newto, poszuw welom terpolcj jest zpsw w postc: b b b b P L. Korzstjąc z włścwośc., powższ zps pozwl psć stępując ułd rówń: P P P.4 co moż zpsć w stępującej postc mcerzowej: X Δ.5 gdze: Δ L X,,

31 Iterpolcj J wdć, mcerz ΔX m dogodą trójątą postć, co pozwl bezpośredo podć rozwąze rów.5, woując podobe dzł, j w procedurze odwrotego podstw lgortmu Guss:....6 Przłd. Iterpolow ucj d jest dl:,, 4, prz czm wrtośc ucj przjmują wrtośc:, 4,. Oreślć ucję terpolcją. Poszuw ucj m postć j w., prz czm współcz są oblcze zgode z.6:, 4, N podstwe., współcz ucj terpolcjej. przjmą stępujące wrtośc: b 6/, b 8, b -5/. Ztem, ucj terpolcj m stępującą postć: P. N rs.. poz jest przebeg uzsej ucj terpolcjej z zzczom wrtoścm dej ucj dsretej. 6 4 P Rs... Przebeg ucj terpolcjej

32 Iterpolcj Powższe zleżośc wgode jest zpsć wprowdzjąc pojęce lorzów różcowch. Ozczm tą różcę h.7 Wrże Δ h.8 zw sę lorzm różcowm perwszego rzędu. Odpowedo tże: Δ Δ Δ h h.9 - lorz drugego rzędu Δ Δ Δ h h h Δ Δ - lorz trzecego rzędu. ogóle: Δ Δ Δ Dl zboru pr dl,,...,,,,...,. moż utworzć tblcę lorzów różcowch, zwą, schemtem lorzów różcowch ptrz blc. Welom terpolcj Newto m stępującą postć: Δ... Δ P. Δ... Wdć, że w postc welomu P wstępują współcz z górej przeątej schemtu lorzów różcowch. oż sprwdzć, że P dl,,...,. Algortm terpolcj Newto sprowdz sę węc do oblcze lorzów różcowch orz oreśle wrtośc welomu dl oretej wrtośc zmeej. Wże zczee m przpde, gd wszste put stłe węzł są jedowo od sebe oddloe. Wówczs mm: h h cost orz

33 Iterpolcj Ilorz różcowe I rząd II rząd III rząd IV rząd V rząd Δ Δ Δ Δ 4 Δ 5 Δ Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ 4 Δ 4 Δ 5 Δ Δ Δ Δ, h h h Δ, Δ Δ Δ dl,,...,,,,..., h dzę czemu uprszcz sę reprezetcj ucj terpolcjej., gdż: h, h,,,...,. Wprowdzjąc ową zmeą q, ztem: q h h, q h h otrzmm z 4.6 q h Δ P q.4 qδ q q h Δ... q q h... Ne m węc potrzeb oblcz współczów welomu.. Przłd. Oreślć ogólą postć welomu terpolcjego Newto dl ucj dsretej reprezetowej przez trz oleje rówooddloe put. W tm przpdu welom terpolcj.4 jest ogrczo do trzech wrzów: P q qδ q q h Δ, co, po podstweu odpowedch wrtośc, przjmuje stępującą postć: P q q q q h h h Podstwjąc d q / h d jest w te sposób względą odległoścą od początu przedzłu, otrzmm:

34 Iterpolcj 4 d d d d P Po uporządowu otrzmm: 4 d d d P W te sposób, przłd, wrtość ucj w środu drugego 5, d odc moż oszcowć stępująco: P 4.. Numercze różczowe ucj dsretej Fucję terpolującą moż worzstć do oreśle lgortmu umerczego różczow ucj dsretej. Odpowedą ormułę uzsuje sę przez różczowe ucj terpolującej: P d d D N przłd, dl prosmcj -putowej j w Przłdze 4., otrzmm: h d h h d h d P dd d 4 Dl różczow ońcu przedzłu d otrzmm: h D 4 Podobe, w środu przedzłu: h D.

35 5. Aprosmcj 5.. Wprowdzee Zde prosmcj poleg przblżeu ucj Y z pomocą ej ucj, tór odos sę do tego smego obszru. W prtczch zstosowch żersch Y jest jczęścej ucją dsretą Y Y,,,...,, reprezetującą de pomrowe ze dl różch wrtośc zmeej ezleżej, przedstw model wzorzec obserwowego procesu. Zleżość Y jest zw ucją prosmową, tomst jest ucją prosmującą. Złd sę, że dostępe prób obrczoe są błędm, ztem prosmcj m celu jlepsze przblżee dch z pomocą ucj prosmującej zgode z przjętm rterum. Fucję wgode jest przedstwć w stępującej postc: ϕ ϕ... ϕ. N N gdze ϕ,,,..., N są ucjm bzowm, tomst,,,..., N przedstwją poszuwe prmetr ucj. oż zuwżć, że ucj jest low względem ezch prmetrów Problem te lustruje rs...,5 ucj prosmując,5 ucj prosmow Y -,5-5 Rs... Ilustrcj zsd prosmcj ucj Prmetr ucj prosmującej są oreśle podstwe przjętego rterum. N przłd, żąd sę, b spełoe bło mmum orm różc obu

36 Aprosmcj 6 ucj: m Y. W przpdu ucj dsretej wrue te jest rówowż rterum jmejszch wdrtów: Y Y S. Ie rterum prosmcj jest sormułowe z pomocą zleżośc: sup, Y S b. co ozcz, że poszuw ucj pow dć jmejsze msmum różc pomędz dą ucją jej prosmcją. Jest oo ze jo rterum prosmcj jedostjej. Njszersze zstosowe prtcze zlzł prosmcj według metod jmejszch wdrtów NK. Jest to zwąze z steem brdzo eetwch oblczeowo lgortmów, tóre wwodzą sę z rterum mmlzcj ucj Aprosmcj średowdrtow Złóżm, że z jest ucj Y zborze dsretm,,.., w przedzle > < b,. Chcem, b wrtośc ucj bł przblżoe przez ucję o postc. w tm smm przedzle. Jeśl odwołć sę do terpretcj pomrowej, to,,,.. przedstw zbór pomrów, w stosuu do tórch złdm, że spełoe są stępujące zleżośc: N N N N N N v v v ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L L L.4 gdze welośc v,,,.., przedstwją odchł błęd pomędz postulową wrtoścą ucj prosmującej, dsretm wrtoścm ucj prosmowej zmerzom wrtoścm, N jest lczbą słdów ucj prosmującej ztem, lczbą ezch współczów,,,..,n-. Dlsze rozwż wgode jest prowdzć, orzstjąc z zpsu mcerzowego. Ułd rówń.4 przjme stępującą ormę: N N N N v v v L L L ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.5 co w ogólm zpse wgląd stępująco:

37 Aprosmcj 7 H v.6 gdze: [ K ] - wetor reprezetując prosmową ucję dsretą, H [ h h K h -] - mcerz modelu oreśloego przez ucje bzowe: h [ ϕ ϕ L ϕ ],,,.. N [ v vkv ], v - wetor błędów pomrowch, [ L ] N - wetor estmowch prmetrów. oż zuwżć, że odchł pomędz dm wrtoścm prosmowej ucj Y, wrtoścm postulowej ucj prosmującej moż oreślć stępująco: v F - h,,.., -.7 Fucj rterl S S. jest oreślo, jo sum wdrtów odchłe błędów.7, co moż zpsć w stępującej postc: F - v v S v,.8 prz czm, podstwe 6: v H Fucj.8 osąg mmum, gd jej pochode względem prmetrów, oreśloch przez wetor współczów, przjmują zerowe wrtośc: S S S N F - F - L N F - co moż zpsć w postc wetorowej: H H H H - H S Korzst sę tu z zleżośc: H H H H H H H H H H H.9..

38 8 Aprosmcj Ostt rówość w z tu, że welość S jest slrem, węc tże: H H p, węc: H H H H p welość slr. Podobe, różczując ostt słd w., otrzmm: H H H H H H H H. Ztem, z. uzsuje sę stępującą rówość: H H H. Zuwżm, że mcerz H jest wdrtow o wmrze N, wrżee z prwej stro. jest wetorem o długośc N, N -elemetow wetor zwer poszuwe współcz prosmującej ucj.. Rówe. przedstw ztem lscz low ułd rówń z N ewdomm. oż go rozwązć jedą ze zch metod. Rówe w postc. jest zwe rówem ormlm. Formle, dl wruu N, jego rozwąze moż zpsć w postc: H H H H. gdze: mcerz prostoąt H H H H jest zw mcerzą pseudoodwrotą mcerzą oore -Perose. W przpdu, gd N, mcerz pseudo-odwrot H w. odpowd mcerz odwrotej H jeśl mcerz H jest eosoblw. Netóre włścwośc mcerz pseudo-odwrotej: H H H H, HH HH, H HH H, HH H H Przłd. De są czter put płszczźe,: -,,,,, 7,, rs. 5.. Oreślć prbolę, tór jlepej, w sese rterum jmejszch wdrtów, prosmuje podą ucję dsretą. Fucj prosmując jest oreślo w postc welomu drugego stop: b c Podstwjąc oleje put do powższego rów, otrzmm stępując doreślo ułd rówń: 4 b c b c 4 b c 7 9 b c tórego postć mcerzow jest stępując:

39 Aprosmcj c b Stosując zleżość. otrzmm: c b ,84,569,97 Przebeg uzsej ucj prosmującej jest poz rs Rs... Aprosmcj ucj z pomocą prbol W ogólm przpdu, etóre pomr reprezetowe przez prosmową ucję mogą bć brdzej wrgode od ch. Wówczs ch wpłw przebeg oblczej ucj prosmującej powe bć węsz. oż to uwzględć przez wprowdzee współczów wgowch w do ucj rterlej.8: Wv v - F w w v S,.4 gdze: W jest wgową mcerzą wdrtową dgolą o wmrch ; jej przeątej leżą współcz w, tórch wrtośc są zwle ormlzowe:

40 4 Aprosmcj w. Prz bru ormcj o wspomej wrgodośc pomrów, współcz wgowe przjmują wrtość W jest wówczs mcerzą jedostową. Uwzględee mcerz wgowej w.4 prowdz do stępującej postc rów.: H WH H W.5 orz, odpowedo: - H WH H W.6 etod jmejszch wdrtów, zgode z tórą współcz ucj prosmującej są oreśle według. lub.6, jest brdzo użteczm prtczm rzędzem w welu zstosowch. Netóre z ch są rozptrwe pożej. 5.. Fltr wgłdzjąc Problem wgłdz dch pomrowch poleg przblżeu obserwowch merzoch prmetrów procesu z pomocą przjętch zleżośc, tóre stową model tego procesu. Odchle od modelu są trtowe jo złóce. Ab uzsć poprwe wgłdze dch pomrowch, przjęt model powe bć zblżo do przebegu obserwowego procesu ucj prosmując pow meć dosttecze dużo stop swobod, jedocześe e powe o bć ścśle dopsow do dch emprczch złóce e pow bć odzwercedloe w modelu. Złóżm, że ucj Y przedstw proces, tór jest obserwow poprzez próbowe oreśloego prmetru dostępch jest osttch jego próbe: Y,,,...,. Proces te jest reprezetow modelow z pomocą ucj prosmującej w postc welomu stop N < :... N N.7 Dl uproszcze złóżm, że próbowe odbw sę ze stłm oresem. Poewż dostępe są prób w oe pomrowm o szeroośc, węc prosmcj jest rówowż ltrcj ereurswej w tm włśe oe. Odpowed ltr jest oreślo stępującm rówem: g m h h.8 gdze m ozcz wrtość zmeej ezleżej względem tórej oreślo jest -t prób odpowedz ltru, m h h h... h - wetor ; [ ] współczów ltru; [... ] - wetor zwerjąc ostte próbe sgłu wejścowego.

41 Aprosmcj 4 Współcz ltru.8 leż t dobrć, b ucj g m prosmowł przebeg dsret oreślo przez wetor w puce m, lcząc od początu przedzłu, zgode z modelem.7 według rterum jmejszch wdrtów. Zgode z przedstwom opsem ucj prosmuje merzo dsret przebeg według stępującej relcj: v - w putch odpowdjącch olejm próbom..9 Złd sę ztem, że ucj będze prosmow tlo w węzłch odpowdjącch putom próbow. Stosowe zleżośc dl metod jmejszch wdrtów moż psć prz złożeu, że put odpowdjąc zmeej m zjduje sę w początu ułdu współrzędch. Wówczs dl jedego zboru próbe otrzmm: m N m m... N m N m m... N m... N m m m m... N m m m. N... N m... N m m... N m W puce odese rówe modelu m ztem stępującą postć: m. Jest to wem odpowedego przesuęc os czsu, jed te złożee jest pomoce dl uproszcze olejch roów procedur stez ltru. Rów. moż zpsć w postc mcerzowej: A. gdze, jeśl dl uproszcze przjąć : m... m N m N m m... m A,,... m N N N m N m... N m Zgode z przjętm złożem, prosmcj odbw sę w odeseu do m -tej prób w oe pomrowm m..., co ozcz, że z lewej stro tej prób zjduje sę L m próbe, z prwej: P m próbe. Welość P oreśl opóźee odpowedz lgortmu sgł wejścow jest zwe opóźeem grupowm []. Wetor poszuwch współczów welomu jest oreślo stępująco:

42 4 Aprosmcj A A A.. cerz A e zleż od pomrów, ztem część powższego rów może bć oreślo przed rozpoczęcem oblczeń. Łtwo zuwżć, że []: P P { j} { A} A Aj j A,, j,,..., N L L.. Wrcjąc do problemu stez ltru.8 moż zuwżć, że sgł wjścow g m gm jest estmtą prób m co w ze strutur rów.6. Ztem, rówe. przedstw ltr.8, jeśl oblczć w m tlo współcz. Koleje współcz ltru są utworzoe przez perwsz wersz A A A mcerz h. oż je oreślć zgode z stępującm zleżoścm: A A A v, h A A A v, h A A v A.4 gdze: v [ L ], v [ L ], [ L ] v. Oblcze współczów ltru.4 moż uproścć, jeśl zuwżć, że []: N A A v l A A h l A l.5 Utworzo w te sposób ltr ereursw.8 prosmuje zbór olejch dch pomrowch, uzsch w rówch odstępch czsu, według prosmującej ucj włdczej Fltr różczując Fltr służąc do oreśl perwszej pochodej ucj dsretej może bć łtwo utworzo podstwe przedstwoego powżej lgortmu. oż zuwżć, że pochod ucj prosmującej.7 m stępującą postć: d d N... N N Współcz poszuwego ltru różczującego:.6 d m d d.7 są ztem oreśloe przez zbór współczów ucj.6. oż je oblczć zgode z.5, prz czm, leż wząć drug wersz mcerz ozczo desem : N A A v l A A d l A l.8 A A A

43 Aprosmcj 4 W celu uzs węszej dołdośc ltrcj mejsz wrcj wów, w chrterze putu odese leż brć put, leżąc jblżej środ o pomrowego. Nleż zuwżć, że zrówo ltr wgłdzjąc, j różczując, pozwlją prosmowć wejścową ucję dsretą lub jej pochodą tlo w putch, odpowdjącch mometom próbow. Jeśl ucj prosmując pow bć oreślo dl dowolch wrtośc rgumetu, to leż stosowć postć.7, w zwązu z tm, pow bć wzczoe wszste współcz ucj,,,..., N Przłd oblczeow Rozwżm problem wgłdz dch pomrowch oreśl pochodej ucj reprezetowej tm dm z pomocą odpowedch ltrów reurswch. Zrejestrow przebeg jest przedstwo rs. 5., rzw. Próbowe odbw sę ze stłą częstotlwoścą. Do wgłdz tego przebegu zstosowo ltr.8, tór zostł zprojetow podstwe ucj prosmcjej.7 -go rzędu. Złożoo, że w oe przetwrz ltru zjduje sę 9 próbe. Fltrcj jest prowdzo w odeseu do środowej prób w oe pomrowm, węc m 5. Po zstosowu przedstwoej powżej procedur uzsuje sę stępującą ucję mpulsową ltru wgłdzjącego różczującego: b h Rs... [ ] d 6 [ 4 4] W wu ltrcj.8 orz.7 otrzmuje sę przebeg wjścowe rs. 5.: wgłdzoch dch rzw orz estmt pochodej rs. 5.b. W celu lepszego porów przebegu orglego z wgłdzom prosmowm,

44 44 Aprosmcj te ostt zostł przesuęt o lczbę próbe stowącch opóźee grupowe 4 prób, rzw. N zończee l uwg prtczch dotczącch problemu prosmcj. - Prz wborze ucj bzowch leż sę erowć podobeństwem pomędz prosmową ucją jej reprezetcją wgłdzoą ; w chrterze ucj bzowch jczęścej wber sę szereg potęgow lub trgoometrcz. - Lczb wrzów w ucj prosmcjej decduje o dołdośc odwzorow orglego przebegu; s rząd tej ucj powoduje zgrube przblżee, dzę czemu eet ltrcj jest brdzej wrzst. - Kwest t łącz sę róweż z szerooścą o przetwrz lczb jedocześe brch pod uwgę próbe ucj orglej: m szersze jest oo pomrowe, tm lepsze jest wgłdze dch. Prz szerom oe pomrowm moż tże stosowć ucje prosmujące wższego rzędu z zchowem werośc odtwrz. Nestet, zwęszee długośc o pomrowego prowdz do zwęsze opóźe grupowego, co m stote zczee wówczs, gd prosmcj odbw sę bezpośredo w czse pomrów. Zwąz z tm zwło czsow sprw, że ormcj o ste dzorowego procesu jest dostęp z oreślom opóźeem. W przpdu ltrcj sgłów, model użt do projetow ltrów wgode jest tworzć bze ucj trgoometrczch sus/osus. oż wówczs łtwo uzsć procedur do pomru mpltud z merzoch sgłów lub ch hrmoczch [] etod Njmejszch Kwdrtów z worzstem rozłdu mcerz według wrtośc szczególch SVD Dowol mcerz A m może bć przedstwo w stępującej postc: A UWV.9 gdze: U - mcerz m m, tórej olum spełją stępującą zleżość: m u u j,, j, to zcz, są wzjeme ortogole; Σ W - mcerz m wrtośc szczególch, prz czm: σ σ Σ, σ σ L σ r, r rząd mcerz A * ;. L σ r V - mcerz wdrtow, tórej olum spełją stępującą zleżość: * Rząd mcerz r jest jwęszą lczbą ezleżch wersz lub olum mcerz.

45 Aprosmcj 45 v v j,, j, węc są róweż wzjeme ortogole. Z powższego opsu w, że: U U V V VV. Kolum mcerz U są wetorm włsm mcerz wdrtowej AA, tomst olum mcerz V są wetorm włsm mcerz A A. Wrtośc szczególe rozłdu.9 węc elemet dgole mcerz Σ - są tomst perwstm wdrtowm wrtośc włsch mcerz AA lub A A. Zleżość.9 jest zw rozłdem mcerz A według wrtośc szczególch g. SVD Sgulr Vlue Decomposto. W stąd sposób oblcz mcerz rozłdu.9. Wetor włs mcerz H speł stępujące rówe: H λ. prz czm λ jest wrtoścą włsą mcerz H. W tm przpdu mów sę, że wetor jest sojrzo w wrtoścą włsą λ. W celu oreśle wrtośc włsch λ orz odpowdjącch m wetorów włsch leż rozwązć rówe., co jest rówowże stępującej zleżośc: H λ. Jedozcze rozwąze. uzsuje sę wówczs, gd speło jest wrue: h λ h h λ L hm det H λ.4 L h h L hw λ m h m L h m mm Rozwąze rów.4 jest rówowże zlezeu perwstów welomu m-tego stop względem λ. W ogólm przpdu jest ztem m wrtośc włsch: λ, λ,.. λm. Podstwjąc olejo te wrtośc włse do. otrzmuje sę m rówń: h h h λ m h h h λ m L L L L h m h m,,,.., m,.5 hmm λ m po rozwązu tórch uzsuje sę m wetorów włsch: [ L ],,..,m. W rozptrwm przpdu mcerz, H AA jeśl oblcz jest mcerz U lub H A A jeśl oblcz jest mcerz V. cerz Σ. powstje przez uporządowe perwstów z wrtośc włsch mcerz H. W stdrdowch progrmch do rozłdu mcerz według wrtośc szczególch stosowe są m

46 46 Aprosmcj zzwczj e, brdzej eetwe lgortm w stosuu do przedstwoego powżej. Włścwośc rozłdu SVD: A UWV, A VW U.6 A A VW U UWV VW WV, AA UWW U.7 A A A A VW U # gdze - mcerz pseudo-odwrot.8 W W # Σ m ; elemet dgole mcerz Σ moż oblczć jo odwrotośc odpowedch elemetów dgolch mcerz Σ. Osttą zleżość moż bezpośredo worzstć do rozwązw zdń NK: # # H VW U.9 gdze: - wetor pomrów, - wetor poszuwch prmetrów ucj prosmującej. Zstosowe z użcem progrmu ALAB: [U,W,V]svdA; rozłd mcerz A według wrtośc szczególch, [C,D]egA*A'; wrtośc włse mcerz A*A'.

47 6. Cłowe umercze 6.. Wprowdzee Złóżm, że leż oblczć przblżoą wrtość cł ozczoej: b I d. odcu <, b >. W celu wprowdze odpowedej ormuł oblczeowej przjmjm, że odce <, b > jest podzelo przedzłów elemetrch <, >,,,...,, prz czm, b orz < <... <. Długość -tego odc ozczm przez h : h. Wrtość cł. moż przedstwć w postc sum cłe elemetrch odcch: I I. prz czm I I d Numercze przblże wrtośc cłe dm odcu zw sę wdrturą. 6.. etod Smpso Njprostsz wdrtur powstje przez przjęce, że cł elemetrm odcu <, > jest rów polu trójąt wzczoego przez bo: h orz wrtośc ucj w środu przedzłu: Ztem: I h h.4

48 48 Cłowe umercze lub h I h.5 Jeśl ucj podcłow d jest tlo w węzłch, to wówczs leż stosowć ormułę: I h.6 P Zwęszee dołdośc oblczeń moż uzsć przez prostą opercję zm prostoąt do oblcz pol pod rzwą trpez. Uzsuje sę wówczs stępującą zleżość: I h.7 etodą ombcj lowej obu metod otrzmuje sę zcze brdzej dołdą metodę Smpso: I S I P I h 4.8 Dl przpdu, gd ucj jest dostęp tlo w węzłch powższ ormuł przjmuje stępującą postć: I S h 4.9

49 7. Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch 7.. Wprowdzee Numercze metod rozwązw rówń różczowch są stosowe w tch przpdch, gd rozwąz w postc ltczej e są ze. Poewż jed tlo dl elczch rówń moż podć ltcze rozwąze, węc metod umercze są w tch przpdch brdzo pomocm rzędzem poszuw rozwąz. Wżm obszrem zstosow tch metod są umercze modele ułdów zjws dmczch, tóre służą do ch omputerowej smulcj. W odróżeu jed od metod ltczch, w metodch umerczch złd sę, że zme ezleż dostęp jest tlo w wbrch, dsretch wrtoścch. Kosewecją tego jest euchroe przblżee rozwąz. Rozptrzm rówe różczowe perwszego rzędu: ' d t, t. dt Rówe tego tpu m, w ogólm przpdu, rodzę rozwązń. N przłd, rówe: ' t t m stępujące rozwąze ogóle t t Ce, gdze C jest dowolą stłą. Korete rozwąze jest zwąze z tą trjetorą, tórej zjduje sę jeś rozwąze, spełjące oreśloe wmg, przłd, wru początowe: rs... oż wówczs wzczć stłą C : t Ce C, ztem: C. t W welu przpdch obet zjwso jest opswe z pomocą węszej lczb rówń różczowch. Wówczs do jedozczego oreśle trjetor rozwąz potrzebe są odpowede wru dl żdego z rówń. Jedozcze rozwąz moż uzsć, jeśl wru te są de dl tej smej wrtośc zmeej ezleżej t. N przłd, dl ułdu dwóch rówń różczowch:, z, t z ' ' g, z, t

50 5 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch potrzebe są dw wru początowe: t, z t. t t Rs... Ułd rówń różczowch moż zpsć w postc mcerzowej: d F, t. dt gdze dl przpdu dwóch rówń: t, z, t, F, t z t g, z, t Łtwo moż pozć, że rówe -tego rzędu moż sprowdzć do rówń perwszego rzędu. N przłd d u ' rówe: g u, u, t moż zpsć w postc stępującch rówń: dt z ' ' g u, z, t, u z. Podstwow sposób umerczego rozwązw rówń różczowch poleg zstosowe jejś umerczej procedur cłow obu stro tego rów. W tm celu, dl rów o postc., ucj wmuszjąc, t prw stro rów pow zostć podd dsretzcj, co ozcz, że zme ezleż t przjmuje wrtośc dsrete t, t, t,... W zleżośc od sposobu dsretej reprezetcj ucj wmuszjącej może tu bć zstosow terpolcj lub prosmcj, powstją róże metod rozwązw rówń różczowch. Ogóle, metod te dzelą sę jedoroowe weloroowe w zleżośc od tego, cz do oblcz beżącej prób rozwąz orzst sę z wrtośc ucj rozwąz odległch o jede ro do tłu metod jedoroowe, cz też z hstor odległej o węszą lczbę roów metod weloroowe.

51 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch 5,t t t t t t - t - t t Rs etod jedoroowe etod Euler Rozptrzm rówe. dl wruów początowch t. Złóżm, że poszuwe jest rozwąze tego rów dl t t, prz czm: t t. Poszuwe rozwąze moż przedstwć, orzstjąc z jej rozwęc w szereg lor w poblżu putu początowego t : ' '' t t t t....! Poewż, w dm przpdu, dostęp jest tlo perwsz pochod poszuwej ucj, węc do przblże wrtośc t moż worzstć perwsze dw słd rozwęc.: ' t t.4 Zgode z., w mejsce pochodej moż podstwć prwą stroę rów różczowego ucję wmuszjącą, co prowdz do stępującej zleżośc: t t t.5, Powtrzjąc te wwód dl olejch roów otrzmm ogólą zleżość:.6 tór jest z jo jw metod Euler.

52 5 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch Oreślee jw berze sę stąd, że do oreśle olejej wrtośc rozwąz worzstuje sę ze wrtośc z poprzedego oresu próbow dsretzcj. Ilustrcj tej metod jest poz rs... Wdć tm błąd wjąc z obcęc szeregu lor: rzeczwst wrtość ucj dl t t jest rów, podczs gd jej prosmcj według perwszej pochodej wos.,t t t t Rs... Zleżość.6 moż tże uzsć orzstjąc ze wspomej metod obustroego cłow wjścowego rów.. Wrtość rozwąz dl t t moż wówczs oreślć stępująco: t t dt t dt t t dt.7 t t t t Poewż rozwąze jest ze gdż wcześejsze ro: t, t,.., t, zostł już woe, wrtość początow tże jest z, to: t t t dt Pozostje węc wzczć drugą cłę w.7. Przblżjąc ją metodą prostoątów w tórm jede bo jest utworzo przez odce, drug przez odce, otrzmm zleżość.6. terpretcj wjś drugą zwę rozptrwego lgortmu: metod prostoątów w tm przpdu jw, estrpolcj. Wrtość cł odcu t t moż tże przblżć prostoątem o bou oreślom przez wrtość ucj w beżącm puce t :. Wówczs, zleżość.6 przjme zstępującą postć:.8 '

53 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch 5 tór jest z jo ejw metod Euler prostoątów. J wdć, zw jest uzsdo tm, że postć ucj.7 jest uwł, gdż z obu stro zu rówośc wstępuje odwołe do wrtośc ucj lub jej pochodej dl tej smej wrtośc zmeej ezleżej czsu. Spot jest tże zw: ormuł terpolcj Euler prostoątów. etod trpezów oż zuwżć, że z błędów w obu powższch metodch jwej ejwej są przecwe ezleże od przebegu ucj. oż to worzstć w celu zwęsze dołdośc przblże rozwąz: uzsuje sę to przez oblczee średej z wów uzsch obem metodm: ' '.9 W te sposób, cł odcu t t jest oreślo przez pole trpezu wzczoego przez bo orz. oż zuwżć, że metod trpezów jest tże ejw. etod Rugego-Kutt W odróżeu od przedstwoch powżej metod jedoroowch, w metodch Rugego Kutt e m odwoł do pochodej ucj, wstępującej w rówu różczowm. W jej mejsce wstępuje odpowed ombcj wrtośc smej ucj, oblczej w stosowch mejscch. W przpdu jbrdzej zej metod Rugego-Kutt czwrtego rzędu, oleje przblżee rozwąz jest oreśle według stępującego wzoru: F F 6 F F gdze: F,, F F /, t /, 4. t F F /, t /, F4 F, t. Jest to metod 4 rzędu, gdż błąd przblżoego wzoru. wos O 5. etod m chrter jw, gdż oblcz wrtość e wstępuje po prwej stroe ormuł.. Relzcj tej metod wmg wo w żdm rou czsowm oblczeń czterech wrtośc ucj prwej stro rów różczowego, t, węc, ucj t mus bć dostęp w jwej orme. Prz spełeu tch wmgń, omw metod jest prost w relzcj zpew dużą dołdość rozwąz. Jest jczęścej stosową metodą w zstosowch żersch uowch. Bez żdch dodtowch ogrczeń może bć stosow do rozwązw ułdów rówń różczowch, róweż elowch. Proesjole progrm z tą metodą rozwązw rówń różczowch są jczęścej wposżoe w mechzm utomtczego doboru długośc rou cłow, co może przśpeszć czs

54 54 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch oblczeń prz zchowu złożoej dołdośc. Nestet, prz stosowu tej metod mogą wstąpć problem ze stbloścą w przpdu ułdów sztwch gd w modelowm ssteme wstępują zcze różące sę stłe czsowe. Dołdość metod Omówoe powżej metod moż zpsć stępująco: ' jw metod prostoątów, ' ejw metod prostoątów, ' ' metod trpezów jest to tże metod ejw. Ogól postć tch zwązów przber stępującą ormę: ' ' b b. Współcz tego rów oreślją odpowed lgortm:, - dl wszstch metod, b, b - jw metod prostoątów, b, b - ejw metod prostoątów, b b - metod trpezów. N podstwe rów. moż przeprowdzć dsusję dołdośc rozptrwch metod. Alogcze do. pszem: ' '' ''' t t t t t....!! Po zróżczowu: ' ' ' '' ''' '''' t t t t t....!! Podstwjąc powższe zleżośc do ormuł. otrzmm:... 6 sąd: ' '' ''' ' '' ''' '... b b.4 ' '' ''' b b b b

55 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch 55 Rówe.5 jest spełoe dl dowolch wrtośc ucj jej pochodch wted, gd współcz oreśloe przez,, b, b będą rówe zero, węc: b b b b 6 Dl metod prostoątów orz b lub b, perwsz ezerow współcz sto prz drugej pochodej ucj: '' '' C, sąd: C lub C. Podobe, dl metod trpezów, orz współcz sto prz trzecej pochodej ucj: b b perwsz ezerow ''' ''' ''... C '... 6 sąd: C. Powższe zwąz chrterzują dołdość metod zgode z stępującm regułm. - Rząd metod p oreśl sę rzędem pochodej p, dl tórej perwsz współcz jest róż od zer. Ztem: dl metod prostoątów p; dl metod trpezów p; - Błąd odcęc jest zwąz z wrtoścm wrzów, tóre e spełją rówośc.5. Współcz stojąc prz jższej pochodej, tór e speł tego rów jest włśe błędem odcęc. Dl metod trpezów jest o rów: C /. Stblość metod C p Do bd stblośc oreśloego lgortmu umerczego rozwązw rówń różczowch wgode jest posługwć sę wbrm rówem modelowm. Rozptrzm rówe o postc: ' t λ t.6 z wruem początowm, prz czm, współcz λ jest w ogólm przpdu zespolo: λ u jw, Rozwązem rów.6 jest ucj włdcz: t e λ ut jwt t e e.

56 56 Numercze rozwązwe rówń różczowch zwczjch. Zstosujm do rozwąz rów.6 jwą metodę prostoątów. Złóżm, że dsret postć zmeej ezleżej t dostęp jest ze stłm przedzłem. Rozwąze w olejch roch przber stępujące wrtośc: λ λ λ λ λ λ λ λ, ' ogóle: ' λ..7 Jeśl wjścowe rówe cągłe jest stble u Re λ <, to uzs prosmcj dsret rozwąz tże pow bć stbl. W odeseu do.7 jest to rówowże wruow: λ.8 Ztem: u jw, czl: u w. Rówe powższe przedstw orąg płszczźe zespoloej o promeu jedostowm o środu leżącm w puce -, jeśl współrzęde są przeslowe: u, w. Obszr stblośc leż wewątrz oręgu rs..4. oż zuwżć, że prz dej wrtośc λ obszr stblośc zleż od długośc przedzłu : m węsz jest wrtość tm mejsz obszr stblośc grc stblośc: uw.,... Reλ w - Reλ u Rs..4.. Powtórzm powższe rozwż dl ejwej metod prostoątów. m rzem, rozwąze w olejch roch jest oreśloe stępująco: '. Stąd: λ ' λ. Stąd: ogóle: λ λ..9 λ Cąg te jest ogrczo dl: