Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Transkrypt

1 Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa sę węzłam lub puktam aproksmac Poszukam welomau P stopa e wększego ż pewe, któr w węźle terpolac przme take wartośc ak fukca przblżoa Weloma tak azwam welomaem terpoluącm określaącm fukcę f ma postać astępuącą: P a a a a L Zagadee sprowadza sę do wzaczea współczków welomau terpoluącego poprzez rozwązae układu rówań : a a a L a f a a a L a f LL a a a L a f Jeżel: m> układ te e ma rozwązań m edo rozwązae m< eskończee wele rozwązań Dla m weloma P est welomaem terpolacm Weloma terpoluąc Lagrage a Poszukue sę welomau P stopa, któr przme detcze wartośc ak pewa fukca f w puktac,, L, Poszukwa weloma moża zapsać w postac:

2 P L f L f L L f L L f L weloma stopa ższego lub rówego, któr speła waruek: L δ 4 gdze: δ est fukcą Kroeckera przmuącą dwe wartośc: δ dla dla L est welomaem zeruącm sę dla,, K,, K wted: Jeśl K K L c 5 Wem poadto, że L Zatem: c L Dla,, L,,, L, z wątkem -smbol loczu Weloma P moża uwzględaąc 4, 5 zapsać w postac:

3 P f Jest to formuła terpolaca Lagrage a Formułę tą moża zapsać stosuąc otace macerzową: Ozaczaąc: L B B B B 4 B B B { f } L B B B B B B f f f { } X,, K, 5 Weloma terpoluąc P moża zapsać w postac: P { X} L { f } Ozaczaąc dale: { } L { f } 7 oża weloma terpoluąc zapsać w postac: { }{ } P X K 8 acerz L azwa sę macerzą Lagrage a Przkład lczbow:

4 Rozważm zbór puktów gdze odcęte są rówe: a odcęte odpowedo: f f f 7 Zadźm weloma terpoluąc L,,, Korzstaąc ze wzoru oblczm wartośc składowc wektora L L L L acerz Lagrage a przmue postać: L 4

5 7 { } L { f } Węc weloma terpoluąc będze mał postać: P etoda terpolac prz wkorzstau welomau Lagrage a pozwala określć weloma bez koeczośc rozwązwaa układu rówań, co ma duże zaczee, gd lczba puktów est bardzo duża PLINY KLEJNE Napopulareszą metodą terpolacą est metoda oparta o skleae welomaów określaa ako metoda sple Iterpolacę tego tpu stosue sę główe w celu połączea puktów fukc zadae dskrete krzwą możlwe gładką arą gładkośc est wartość krzwz całkowte rozumae ako: b a [ f ] d m 9 Jest to wzór określaąc gładkość fukc Krzwą agładszą będze ta krzwa, która da mmalą wartość krzwz całkowte Fukca sple est cągła est fukcą rzeczwstą aczęśce trzecego rzędu dla każdego,, eśl w każdm przedzale,,,,,,,, k est welomaem stopa k, posada cągłe pocode stopa k- włącze, 5

6 Da est przedzał a, b Przedzał te podzelo est a podprzedzał, za pomocą puktów leżącc wewątrz przedzału tak, że; a < < K < < b W każdm pukce podzeloego przedzału zae są wartośc fukc f czl : Będą to weloma take, że f f f f f w przedzale [ a, b] muszą meć sobe rówe pocode lewostroe prawostroe wted stcza est acloa pod takm samm kątem weloma sę łączą W przpadku welomau perwszego rzędu, waruek te est e speło dla perwsze pocode Poszukuem fukc f spełaące powższe założea Ozaczm:

7 Y Y X X X X Rs cemat dla wbraego przedzału [, ] Rówae a drugą pocodą f fukc f Ozaczaąc f f f możem dla dowolego apsać: Z twerdzea Talesa: tąd 44 Druga pocoda poszukwae fukc splów wraz sę wzorem: Co moża zapsać acze: 7

8 8 b zaleźć wartość całkuem podwóe,, : B Zaąc wartośc fukc splów a brzegac przedzału, : Oblczam ezae wartośc B Podstawaąc za dostaem: B B 4 Podstawaąc astępe za mam: B 5 Uwzględaąc rówaa 7 otrzmuem układ rówań: B B Po odęcu stroam rówań otrzmuem:

9 9 B 7 Po podstaweu stałc do rówaa otrzmuem: Powższe rozwązae możem przedstawć w postac szeregu Talora:!!!! Wartość fukc e pocodc w pukce ma wartość: tąd: γ β α gdze: α 8 γ β 9 Perwsza pocoda fukc : γ β α

10 Pocoda z prawe stro: Pocoda z lewe stro: _ Węc Ostatecza postać: 4 Użwaąc współczków, d µ λ : d λ µ 5 gdze: µ λ λ 7 d 8 Zadae sprowadza sę do rozwązaa układu rówań przedstawoego poże:

11 [ ] { } { d} 9 λ µ λ * * * * µ a b : Korzstaąc z waruku, że d d d d d oraz z waruku geometrczego: λ ; µ ; d ; d Dostaem ostatecze - rówań z - ewadomm Układ rówań est węc dobrze uwarukowa ma edo rozwązae Powższe rozumowae moża przeprowadzć dla welomaów wższc stop Profesoale program tpu CD program matematcze posadaą opce wgładzaa krzwc powerzc splam drugego wższc rzędów