Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Transkrypt

1 Maeriał dla sudeów Niesacjoare ziee czasowe własości i esowaie (sudiu przypadku) Część : Przypoieie eorii Nazwa przediou: ekooeria fiasowa I (04), aaliza szeregów czasowych i progozowaie (1301); Kieruek sudiów: Fiase i rachukowość, Meody ilościowe w ekooii i sysey iforacyje Sudia I sopia/sudia II sopia Opracowała: dr hab. Ewa M. Syczewska, Isyu Ekooerii, Kolegiu Aaliz Ekooiczych SGH Warszawa, 011

2 SPza Maeriał dla sudeów przypoieie eorii Maeriał dla sudeów przypoieie eorii Niesacjoarość szeregów czasowych Jedy z ajprosszych przykładów procesu iesacjoarego jes proces błądzeia losowego (auoregresyjy sopia 1, o paraerze przy zieej opóźioej rówy 1). Jego wykres przypoia zachowaie ideksów giełdowych lub kursów waluowych, są oe bowie rówież zieyi iesacjoaryi. Posać rówaia opisującego proces błądzeia losowego asuęła ideę esowaia iesacjoarości Rys. 1. Przykład zieej iesacjoarej oowaia ideksu SP500, źródło: sooq.pl Najprosszy ese iesacjoarości, ożliwy do przeprowadzeia awe w arkuszu kalkulacyjy, pod warukie posłużeia się odpowiedii ablicai warości kryyczych, jes es Dickeya-Fullera. Hipoeza zerowa zakłada iesacjoarość szeregu, hipoeza aleraywa jego sacjoarość. Sposób przeprowadzeia esu polega a oszacowaiu regresji zieej względe zieej opóźioej i porówaiu obliczoej saysyki z warościai kryyczyi z odpowiedich ablic. Mio iż saysyka esu Dickeya-Fullera jes rówa ilorazowi ocey paraeru przez błąd szacuku, ależy paięać, że jej rozkład jes ieypowy, asyeryczy; warości kryycze (p. dla poziou isoości 0,05) są ujee. Trzeba sięgać do odpowiedich ablic warości kryyczych. Iy ese jes es Kwiakowskiego-Phillipsa-Schida-Shia (w skrócie KPSS), kóry a odwroy układ hipoez: hipoeza zerowa zakłada sacjoarość szeregu, aleraywa jego iesacjoarość. R.Egle i C.W.J. Grager wprowadzili defiicję zieej ziegrowaej oraz koiegracji. Ziea jes ziegrowaa, jeśli jes iesacjoara, ale oża ją sprowadzić do zieej sacjoarej poprzez wyzaczaie jej przyrosów. Sopień (lub rząd) iegracji o liczba przyrosów porzebych do uzyskaia sacjoarości. Ziea jes ziegrowaa rzędu 1, jeśli jes iesacjoara ale jej pierwsze przyrosy są sacjoare. Przykłade oże być dochód do dyspozycji gospodarsw doowych, dla kórego dae dosępe są w pliku greee5_1.gd dołączoy do grel: sa dochód jes iesacjoary, bo podlega redowi wzrosoweu. Naoias jego przyrosy ają iej więcej sałą warość oczekiwaą.

3 d_realdpi realdpi Maeriał dla sudeów przypoieie eorii Rys.. Wykres dochodu do dyspozycji gospodarsw doowych, dae z podręczika Greee a dołączoe do pakieu grel Rys. 3. Wykres przyrosów dochodu do dyspozycji gospodarsw doowych. Jeśli sprawdziy warości współczyików korelacji zieej z jej warościai opóźioyi o 1,,3, id., o dla zieej iesacjoarej okaże się, że korelacja jes sila awe dla zaczej liczby opóźień. A jeśli ziea jes sacjoara, współczyiki korelacji aleją w iarę wzrosu liczby opóźień. Koiegracja zieych iesacjoarych obiżeie sopia iegracji dzięki dobraiu odpowiediej kobiacji liiowej zieych Jeśli chcey zbudować sesowy jedorówaiowy odel ekooeryczy, a ziee objaśiaa i objaśiające są iesacjoare, ziegrowae, o oża poszukać zw. relacji koiegrującej iędzy ii. Jes o dla zieych ziegrowaych pierwszego sopia aka kobiacja liiowa zieych iesacjoarych, kóra jes sacjoara. Jeśli sopień 3

4 Maeriał dla sudeów przypoieie eorii iegracji zieych jes wyższy, za skoiegrowae uzajey ziee, dla kórych isieje kobiacja liiowa, kóra a iższy sopień iegracji iż poszczególe ziee. Relacja koiegrująca odpowiada rówowadze dyaiczej iędzy badayi zieyi iesacjoaryi. Najprossza eoda badaia koiegracji polega a oszacowaiu regresji zieej y względe pozosałych zieych, i, i = 1,,,k, wyzaczeiu resz regresji i sprawdzeiu, czy są sacjoare (jedy z wyieioych esów ADF lub KPSS). Jeśli ak, ozacza o że wekor MNK oce paraerów jes wekore koiegrujący. Jeśli ie, e wekor ie jes wekore koiegrujący, ale ziee ogą być skoiegrowae ogą isieć ie wekory koiegrujące. Meodą uożliwiającą ich zalezieie jes eoda Johasea. Wyzacza oa bazę przesrzei wekorów koiegrujących dla daego zesawu zieych. Wysępowaie relacji koiegrującej jes rówoważe isieiu zapisu odelu dla badaych zieych w posaci odelu z echaize koreky błędu (ECM, error correcio echais), łączącego opis króko- i długookresowych zależości zieych. Ujęcie forale defiicji i esów Przypoiy eraz porzebe pojęcia i wzory. Zakładay, że szereg czasowy obserwacji zieej jes realizacją pewego procesu sochasyczego. Proces sochasyczy jes ciągie zieych losowych, ideksowaych idekse. Poieważ większość zieych ekooiczych jes obserwowaa w odrębych oeach więc zajiey się u procesai z czase dyskrey. 1. Defiicja procesu sacjoarego według oeów do drugiego rzędu włączie: Proces jes sacjoary (według oeów do rzędu drugiego włączie), jeśli są spełioe jedocześie rzy waruki: a) Warość oczekiwaa procesu jes sała w czasie: E( X ) cos b) Wariacja procesu jes sała w czasie: D ( X ) cos c) Kowariacja zieych pochodzących z różych okresów zależy ylko od odległości iędzy oeai obserwacji i jes iezależa od czasu: Cov ( X, X s ) s Niespełieie kóregoś lub wszyskich waruków ozacza iesacjoarość procesu sochasyczego (a zae szeregu czasowego obserwacji zieej). Zachowaie procesów, kóre ie są sacjoare, oże być bardzo zróżicowae: Przykład 1: Dochód do dyspozycji gospodarsw doowych oraz kosupcja zagregowaa są zieyi iesacjoaryi ze względu a wysępowaie redu rosącego. Nie spełiają więc pierwszego waruku. Przykład : Składik losowy regresji liiowej, kórego wariacja ie jes sała w czasie, a sałą warość oczekiwaą (rówą zeru), czyli spełia pierwszy waruek, ale a wariację zieą w czasie, czyli ie spełia drugiego waruku. 4

5 Maeriał dla sudeów przypoieie eorii. Charakerysyki procesu sacjoarego 1 : a) Średia z próby dla procesu sacjoarego: b) Kowariacja procesu: C c) Fukcja auokorelacji: R C ( )( ) 1 C 0 Fukcja auokorelacji i auokorelacji cząskowej z próby: Powiedzieliśy wcześiej, że zachowaie jakościowe auokorelacji szeregu sacjoarego i iesacjoarego jes róże fukcja auokorelacji zieej sacjoarej dość szybko wygasa. Niezaa warość oczekiwaa i wariacja sacjoarego procesu oże być szacowaa a podsawie wzorów:. Ocea współczyika korelacji zieych jes rówa, k=1,, ; T liczba obserwacji. Współczyiki korelacji z próby worzą fukcję auokorelacji z próby, ACF (ag. auocorrelaio fucio). Współczyik korelacji większy co do odułu od jes saysyczie isoy. Współczyiki korelacji cząskowej ierzy korelację zieych bez wpływu korelacji zieych pośredich. Wyzaczay jes a podsawie regresji zieej względe jej opóźień do rzędu k włączie, ocea paraeru przy zieej opóźioej o k jes rówa oceie współczyika korelacji cząskowej rzędu k. Współczyiki korelacji cząskowej worzą fukcję auokorelacji cząskowej z próby (ag. parial auocorrelaio fucio, PACF). 3. Tes Dickeya-Fullera Hipoeza zerowa zakłada, że szereg jes iesacjoary z powodu wysępowaia pierwiaska jedoskowego, hipoeza aleraywa zakłada sacjoarość szeregu. Sposób przeprowadzeia esu jes asępujący. A) Szacujey regresję posaci y y y u, (1) 1 j j Wyzaczay warość saysyki esu ADF = / s, gdzie ocea paraeru, s błąd szacuku paraeru. Rozkład saysyki jes iesadardowy, asyeryczy i przesuięy w lewo ależy sięgąć do odpowiedich ablic warości kryyczych. Jeśli obliczoa warość saysyki jes większa iż warość kryycza, ie a podsaw do odrzuceia hipoezy zerowej szereg jes iesacjoary. 1 T. Kufel, Ekooeria. Rozwiązywaie probleów z wykorzysaie prograu GRETL, PWN, Warszawa 004, sr Warości kryycze p. w książce Nowa ekooeria Charezy i Deadaa, z kórej zaczerpięo przykładowy frage ablic. Warości kryycze wbudowae w pakieach ekooeryczych są opare a ablicach warości asypoyczych Davidsoa i MacKioa. 5

6 Maeriał dla sudeów przypoieie eorii Jeśli obliczoa warość saysyki ADF jes iejsza iż warość kryycza, hipoezę zerową odrzucay a rzecz sacjoarości zieej. Moża rówież zasosować wariay regresji: z wyraze woly y y y u, () 1 j j Oraz z wyraze woly i rede: y y y u, (3) 1 j j Tesowaie przebiega podobie, rzeba jeszcze sprawdzić isoość wyrazu wolego (ese Sudea) lub łączą isoość obu paraerów dla redu (ese F). Liczba opóźioych przyrosów zieej w każdej z ych regresji jes ak dobraa, aby składiki losowe ie wykazywały auokorelacji. B) Jeśli ie a podsaw do odrzuceia hipoezy o iesacjoarości zieej, przechodziy do esowaia iesacjoarości przyrosów. Odpowiedia regresja jes aalogicza do (1), orzyujey ją po podsawieiu przyrosów zieej zaias y, więc a posać: y y y u, (1a) 1 j j Na ogół obliczoa warość saysyki esu jes iejsza iż warość kryycza, zae hipoezę o iesacjoarości przyrosów ależy odrzucić. Jeżeli ak jes, o zgodie z defiicją iegracji zieych (por. arykuł Egle a i Gragera) ziea jes iesacjoara, ale jej pierwsze przyrosy są sacjoare, więc ówiy, że ziea jes ziegrowaa sopia 1, co ozaczay y ~ I(1) 4. Tes Kwiakowskiego, Phillipsa, Schida, Shia. Tes zway w skrócie ese KPSS a jako hipoezę zerową sacjoarość szeregu, jako hipoezę aleraywą jego iesacjoarość. 5. Meoda Egle a-gragera badaia koiegracji. Pierwsza, ajprossza eoda esowaia koiegracji zosała opisaa przez Egle'a i Gragera (zob. arykuł w Ecooerice z1987 roku). Załóży, że ziee Y, X 1, X,...,X k są wszyskie ziegrowae sopia 1 i podejrzeway, że ogą być skoiegrowae. Idea eody Egle'a-Gragera polega a y, żeby 1. oszacować eodą ajiejszych kwadraów rówaie regresji zieej Y względe zieych X i, i=1,,...,k; po oszacowaiu orzyujey: y k k e. do resz e ej regresji zasosować es Dickeya Fullera (lub es ADF): 6

7 Maeriał dla sudeów przypoieie eorii e e e u, (4) 1 j j Sposób obliczaia saysyki esu aalogiczy jak dla (1). Hipoeza zerowa: reszy e są iesacjoare, ozacza, że wekor [1, -bea] orzyay a podsawie oce paraerów regresji, ie jes wekore koiegrujący dla zieych Y, X 1, X,...,X k. Hipoeza aleraywa: reszy e są sacjoare, ozacza, że ziee Y, X 1, X,...,X k są skoiegrowae, a wekor [1, -bea] jes dla ich wekore koiegrujący. Zaleą eody Egle'a-Gragera jes jej prosoa. Wadą jes o, że a) ie ay pewości, że oszacowaia paraerów regresji rzeczywiście wyzaczą a wekor koiegrujący dla badaych zieych, b) awe jeśli ak się saie, orzyay wekor koiegrujący oże być jedy z ożliwych wekorów (z. będzie eleee przesrzei koiegrującej, czyli podprzesrzei liiowej geerowaej przez wszyskie ożliwe wekory koiegrujące). Nie zay liczby wszyskich akich liiowo iezależych wekorów koiegrujących dla badaych zieych. Lepsza jes eoda Johasea. Po pierwsze, pozwala a przeesowaie liczby (liiowo iezależych) wekorów koiegrujących dla daego zesawu zieych, po drugie, jeśli wekory koiegrujące isieją, w eodzie Johasea orzyujey wszyskie akie wekory. 6. Model z echaize koreky błędu Jeśli ziee y, y, i, i 1,,..., k są ziegrowae sopia 1 i skoiegrowae, o oża dla ich zbudować odel łączący opis zależości króko- i długookresowych: zw. odel z echaize koreky błędu (ECM Error Correcio Mechais), posaci: y c c... ck k ( y... k k ) u (5) , 1, 1, 1 Gdzie wyrażeie w awiasie (ozaczae jako ECM) jes odchyleie układu od ścieżki rówowagi w poprzedi okresie. Jeśli relacja rówowagi jes sabila, z. układ wyrącoy z rówowagi powraca a ę ścieżkę, o po oszacowaiu regresji (5) eodą ajiejszych kwadraów powiiśy orzyać oceę paraeru ze zakie (ius). 7