Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
|
|
- Daria Pawłowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik
2 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM Metoda kąta północno-zachodniego Metoda potencjałów Bilansowanie zadania niezbilansowanego Fikcyjny dostawca Fikcyjny odbiorca Degeneracja w zadaniu transportowym Problem komiwojażera Algorytm genetyczny T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
3 3.. Wprowadzenie Zadanie transportowe Mamy ustaloną liczbę dostawców i odbiorców, znamy podaż każdego dostawcy i zapotrzebowanie każdego odbiorcy w ustalonym odcinku czasu oraz koszty jednostkowe transportu pomiędzy poszczególnymi dostawcami i odbiorcami, proporcjonalnie do ilości przewiezionego towaru. Należy znaleźć taki plan przewozów, który minimalizuje łączny ich koszt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
4 3.. Wprowadzenie Problem komiwojażera Mamy n miast, które należy odwiedzić w dowolnej kolejności, rozpoczynając podróż z miasta o numerze i wracając c do niego, przy czym każde z miast można odwiedzić dokładnie jeden raz. Znając wszystkie odległości miedzy miastami należy znaleźć trasę przejazdu o minimalnej długości. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
5 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (/3) Przykład 3. Miejscowość O O 2 O D D D D D 2 D O O 2 5 O 3 45 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
6 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (2/3) Model matematyczny Cel Określenie planu przewozów, który minimalizuje łączny koszt. Zmienne decyzyjne x - planowany przewóz na trasie od D do O x 2 - planowany przewóz na trasie od D do O2 x 3 - planowany przewóz na trasie od D do O3 x 2 - planowany przewóz na trasie od D2 do O x 22 - planowany przewóz na trasie od D2 do O2 x 23 - planowany przewóz na trasie od D2 do O3 x 3 - planowany przewóz na trasie od D3 do O x 32 - planowany przewóz na trasie od D3 do O2 x 33 - planowany przewóz na trasie od D3 do O3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
7 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f (x, x 2, x 3, x 2, x 22, x 23, x 3,x 32, x 33 ) = x +4x 2 +7x x 2 +5x 22 +x 23 +6x 3 +7x 32 +9x 33 min Ograniczenia x +x 2 +x 3 = 2 x 2 +x 22 +x 23 = 2 x 3 +x 32 +x 33 = 3 Rozwiązanie optymalne x,..., x 33 x +x 2 +x 3 = x 2 +x 22 +x 32 = 5 x 3 +x 23 +x 33 = 45 x = 5 x 2 = x 3 = 5 x 2 = 5 x 22 = 5 x 23 = x 3 = x 32 = x 33 = 3 Minimalny koszt transportu wynosi 47. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
8 oblem komiwojażera c - wektor funkcji celu, A - macierz współczynników, b - wektor warunków ograniczających, x - wektor zmiennych. min = x b Ax cx c c x b Ax cx = = przy czym max 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (/7) Postać macierzowa zadania prymalnego 3. Zadanie transportowe i pro T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 x - wektor zmiennych. = x x x x x x x x x x [ ] = c = A = b
9 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (2/7) Zasady tworzenia zadania dualnego Zadanie prymalne (ZP) Zadanie dualne (ZD) cx max yb min Ax = b ya c x y dowolne y = [ y y y y y ] y6 Przyjmujemy, że y = [u, v] u wektor zmiennych ZD odpowiadających dostawcom, v wektor zmiennych ZD odpowiadających odbiorcom. u = [ u u ] 2 u3 y = v [ v v ] 2 v3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9 = [ u u u v v ] v3
10 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (3/7) Postać zadania dualnego yb = [ u u2 u3 v v2 v3] 2 = 2u + 2u2 + 3u3 + v + 5v2 + 45v3 min ya = [ u u2 u3 v v2 v3 ] = c u u u + v 2 + v 3 + v 3 6 u u u + v2 2 + v2 3 + v v3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem u u u 2 + v3 3 + v3 7 9
11 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (4/7) Zadanie prymalne i dualne zestawienie Zadanie prymalne x 4x 2 7x 3 3x 2 5x 22 x 23 6x 3 7x 32 9x 33 max Zadanie dualne x +x 2 +x 3 = 2 x +x 2 +x 3 = x 2 +x 22 +x 23 = 2 x 2 +x 22 +x 32 = 5 x 3 +x 32 +x 33 = 3 x 3 +x 23 +x 33 = 45 x,..., x 33 2u + 2u 2 + 3u 3 + v + 5v v 3 min u + v + u + v u + v u 2 + v + 3 u 2 + v u 2 + v 3 + u 3 + v + 6 u 3 + v u 3 + v u, u 2, u 3, v, v 2, v 3 - dowolne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
12 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (5/7) Zależności między zmiennymi i warunkami ograniczającymi x odpowiada warunkowi u + v + x 2 odpowiada warunkowi u + v x 3 odpowiada warunkowi u + v x 2 odpowiada warunkowi u 2 + v + 3 x 22 odpowiada warunkowi u 2 + v x 23 odpowiada warunkowi u 2 + v 3 + x 3 odpowiada warunkowi u 3 + v + 6 x 32 odpowiada warunkowi u 3 + v x 33 odpowiada warunkowi u 3 + v T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
13 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (6/7) Twierdzenie o komplementarności czyli: stąd: (u + v + ) x = (u 2 + v + 3) x 2 = (u 3 + v + 6) x 3 = (ya c) = ([u, v] A c) x = (u + v 3 + 7) x 3 = (u 2 + v 3 + ) x 23 = (u 3 + v 3 + 9) x 33 = (u + v 2 + 4) x 2 = (u 2 + v 2 + 5) x 22 = (u 3 + v 2 + 7) x 32 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
14 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (7/7) Wnioski z twierdzenia o komplementarności Jeżeli x >, to u + v + = Jeżeli x 2 >, to u + v = Jeżeli x 3 >, to u + v = Jeżeli x 2 >, to u 2 + v + 3 = Jeżeli x 22 >, to u 2 + v = Jeżeli x 23 >, to u 2 + v 3 + = Jeżeli x 3 >, to u 3 + v + 6 = Jeżeli x 32 >, to u 3 + v = Jeżeli x 33 >, to u 3 + v = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
15 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Sformułowanie zadania transportowego (/) Zbilansowane zadanie transportowe Oznaczenia m - liczba dostawców, n - liczba odbiorców, a i - podaż i -tego dostawcy (i =,...,m), b j - popyt j -tego odbiorcy (j =,...,n), x ij - ilość towaru przewieziona od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, c ij - koszt przewozu jednostki towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Sformułowanie zadania n x = a ij j= m x ij = i= b i j m m i= n i= j= n a i = b j= c ij x ij min dla i =,...,m dla j =,...,n j x ij T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
16 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (/7) Definicje X = Rozwiązanie bazowe Węzły bazowe Linia Wielkość przewozu Macierz przewozów Podaż i popyt po modyfikacji _ Macierz kosztów C = zawiera n + m - zmiennych bazowych - odpowiadają zmiennym bazowym - węzły ustalonego wiersza lub ustalonej kolumny x ij = min (a i,b j ) a i = a i x ij b j = b j x ij T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
17 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (2/7) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
18 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (3/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
19 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (4/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
20 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (5/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
21 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (6/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
22 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (7/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Macierz kosztów jednostkowych Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 22
23 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda VAM (/3) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych Różnice w wierszach Różnice w kolumnach T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
24 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda VAM (2/3) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Macierz kosztów jednostkowych Popyt Różnice w wierszach Różnice w kolumnach T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
25 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda VAM (3/3) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Macierz kosztów jednostkowych Podaż 5 Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 25 3 Różnice w wierszach Różnice w kolumnach
26 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda kąta północno-zachodniego (/) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż (metoda kąta północno-zachodniego) Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 26
27 3.4. Metoda potencjałów Szkic algorytmu. Znaleźć pierwsze, dopuszczalne rozwiązanie bazowe. 2. Ocenić, czy jest ono optymalne, czy też nie. 3. Jeżeli nie jest optymalne, wyznaczyć nowe sąsiednie rozwiązanie bazowe. W tym celu należy: - wybrać zmienną wchodzącą do bazy, - wybrać zmienną usuwaną z bazy, - znaleźć rozwiązanie bazowe odpowiadające bazie sąsiedniej 4. Jeżeli otrzymane rozwiązanie jest optymalne, zakończyć postępowanie. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 27
28 3.4. Metoda potencjałów Badanie optymalności rozwiązania (/3) Konstrukcja układu równań Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Podaż Popyt Ponieważ x >, więc u + v + = Ponieważ x 2 >, więc u + v = Ponieważ x 22 >, więc u 2 + v = Ponieważ x 23 >, więc u 2 + v 3 + = Ponieważ x 33 >, więc u 3 + v = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 28 u = a, v = a u 2 = + a, v 2 = 4 a u 3 = + a, v 3 = a
29 3.4. Metoda potencjałów Badanie optymalności rozwiązania (2/3) Wskaźniki optymalności C = c ij = u i + v j + c ij c = u + v + = a + ( a) + = c 2 = u + v = a + ( 4 a) + 4 = c 3 = u + v = a + ( a) + 7 = 3 c 2 = u 2 + v + 3 = ( + a) + ( a) + 3 = c 22 = u 2 + v = ( + a) + ( 4 a) + 5 = c 23 = u 2 + v 3 + = ( + a) + ( a) + = c 3 = u 3 + v + 6 = ( + a) + ( a) + 6 = 6 c 32 = u 3 + v = ( + a) + ( 4 a) + 7 = 4 c 33 = u 3 + v = ( + a) + ( a) + 9 = u = a, v = a u 2 = + a, v 2 = 4 a u 3 = + a, v 3 = a 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 29 C' = 6 4
30 3.4. Metoda potencjałów Badanie optymalności rozwiązania (3/3) Kryterium optymalności Jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są dodatnie lub równe zeru, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli choć jeden ze wskaźników optymalności jest ujemny, wtedy istnieje możliwość poprawy tego rozwiązania. C' = Istnieje możliwość poprawy rozwiązania początkowego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
31 3.4. Metoda potencjałów Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy (/) Kryterium wejścia W macierzy wskaźników optymalności znajdujemy element najmniejszy. Odpowiadającą mu zmienną wprowadzamy do nowej bazy. Jeżeli najmniejszej wartości wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jedna zmienna, to do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze wiersza, a gdy numer wiersza dla dwóch zmiennych jest taki sam, wówczas do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze kolumny. C' = Do bazy wprowadzamy zmienną x 3. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
32 3.4. Metoda potencjałów Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/) Kryterium wyjścia Półcykl dodatni: węzły (2, 2), (, 3) Półcykl ujemny: węzły (, 2), (2, 3) Bazę opuszcza ta zmienna należąca do półcyklu ujemnego, dla której wielkość przewozu w dotychczasowym rozwiązaniu jest minimalna. W przypadku niejednoznaczności postępujemy tak samo, jak w przypadku wystąpienia niejednoznaczności w kryterium wejścia. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 32
33 3.4. Metoda potencjałów Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Wyznaczenie cyklu Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Nowe rozwiązanie dopuszczalne (iteracja ) Wartość funkcji celu 5 Wartość funkcji celu 48 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33
34 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (/6) Iteracja 2 Macierz wskaźników optymalności Układ równań: u + v = u + v 3 3 = u 2 + v 2 = u 2 + v 3 = u 3 + v 3 = Rozwiązanie: u =, v =, u 2 = 3, v 2 = 3, u 3 = 3, v 3 = 3. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34
35 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (2/6) Iteracja 2 (c.d.) Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35 u i 3 3 v j
36 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (3/6) Iteracja 2 (c.d.) Rozwiązanie dopuszczalne Podaż Popyt Macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36
37 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (4/6) Iteracja 2 (c.d.) Dotychczasowe rozwiązanie dopuszczalne Nowe rozwiązanie dopuszczalne Podaż T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Popyt Wartość funkcji celu (iteracja 2) 47
38 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (5/6) Iteracja 3 Macierz wskaźników optymalności Układ równań u + v = u + v 3 = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 = u 3 + v 3 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38 Rozwiązanie: u =, v =, u 2 = 2, v 2 = 2, u 3 =, v 3 =.
39 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (6/6) Iteracja 3 (c.d.) Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39 u i 2 v j
40 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (/9) Przykład 3.2 a =, a 2 =2, a 3 =3 b =, b 2 =2, b 3 =3 Rozwiązanie początkowe (metoda kąta północno-zachodniego) C 3 = Podaż T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Popyt
41 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (2/9) Rozwiązania początkowe T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
42 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (3/9) Iteracja u + v + 7 = u + v = u 2 + v = u 2 + v 3 + = u 3 + v = Macierz kosztów jednostkowych u =, v = 7 u 2 = 2, v 2 = 4 u 3 = 6, v 3 = 7 4 v j Macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 42 u i 2 6
43 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (4/9) Iteracja (c.d.) Rozwiązanie początkowe Początkowa + wartość funkcji 2 + celu Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 Wartość funkcji celu (iteracja ) 23 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43
44 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (5/9) Iteracja 2 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44 u i v j
45 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (6/9) Iteracja 2 (c.d.) Rozwiązanie początkowe Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 Początkowa wartość funkcji celu 23 Wartość funkcji celu (iteracja 2) 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45
46 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (7/9) Iteracja 3 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46 u i 7 7 v j
47 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (8/9) Iteracja 3 (c.d.) Rozwiązanie początkowe Nowe rozwiązanie dopuszczalne Początkowa wartość funkcji celu 6 Wartość funkcji celu (iteracja 3) 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47
48 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (9/9) Iteracja 4 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 48 u i 2 2 v j
49 3.4. Metoda potencjałów Reguły postępowania w rozwiązywaniu zadania transportowego (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego. 2. Wyznaczenie wskaźników optymalności. 3. Badanie optymalności rozwiązania. 4. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 5. Konstrukcja cyklu. 6. Wybór zmiennej opuszczającej bazę. 7. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 49
50 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Podaż przewyższa popyt (/2) Fikcyjny odbiorca m i= n a i > b j= a = 25, a 2 = 2, a 3 = 3 b =, b 2 = 5, b 3 = C = b 4 = (a + a 2 + a 3 ) (b + b 2 + b 3 ) = ( ) ( ) = 5 j T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
51 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Podaż przewyższa popyt (2/2) Fikcyjny odbiorca (c.d.) Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Macierz kosztów jednostkowych Rozwiązanie optymalne 5 x = x 2 = x 3 = 5 x 4 = x 2 = x 22 = 5 x 23 = x 24 = 5 x 3 = x 32 = x 33 = 3 x 34 = Optymalna wartość funkcji celu jest równa Podaż Popyt Wartość funkcji celu 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
52 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Popyt przewyższa podaż (/2) Fikcyjny dostawca m i= n a i < b j= a = 2, a 2 = 2, a 3 = 3 b =, b 2 = 5, b 3 = C = a 4 = (b + b 2 + b 3 ) (a + a 2 + a 3 ) = ( ) ( ) = 5 j T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 52
53 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Popyt przewyższa podaż (2/2) Fikcyjny dostawca (c.d.) Rozwiązanie początkowe Rozwiązanie początkowe (metoda VAM) Podaż Popyt Nowa macierz wskaźników optymalności Rozwiązanie optymalne x = x 2 = x 3 = x 2 = x 22 = 5 x 23 = 5 x 3 = x 32 = x 33 = 3 x 4 = x 42 = x 43 = 5 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 47. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 53
54 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (/4) Przykład 3.5 Komiwojażer wyjeżdża z miasta i ma odwiedzić miasta o numerach 2, 3, 4 i 5, Do każdego z nich przyjeżdża dokładnie jeden raz, po czym wraca do miasta. Szukamy trasy najkrótszej. Miasto T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 54
55 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (2/4) Modelowanie trasy przejazdu x ij = gdy planowany jest przejazd na trasie od i do j w przeciwnym przypadku Trasa przejazdu x 2 =, x 23 =, x 34 =, x 45 =, x 5 =, pozostałe x ij = Miasto T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 55
56 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (3/4) Model transportowy Zadanie o 5 dostawcach i 5 odbiorcach Miasto Podaż Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 56
57 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (4/4) Model transportowy (c.d.) Rozwiązanie: x 2 =, x 25 =, x 34 =, x 43 =, x 5 = ; pozostałe zmienne są równe. Optymalna wartość funkcji celu wynosi T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 57
58 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (/5) Model matematyczny Funkcja celu: f(x 2,x 3,x 4,x 5,x 2,x 23,x 24,x 25,x 3,x 32,x 34,x 35,x 4,x 42,x 43,x 45,x 5,x 52,x 53,x 54 ) = = x 2 + 2x 3 + 5x 4 + x 5 + x 2 + 9x 23 + x 24 + x x 3 + 9x x x x 4 + x 42 + x x 45 + x 5 + x x x 54 min Warunki ograniczające jednokrotny wyjazd z każdego miasta (3.) (3-5) jednokrotny wjazd do każdego miasta (3.6) (3.2) eliminacja cyklów między miastami (3.2) (3.3) wszystkie zmienne x ij są zmiennymi binarnymi x ij {;} dla i,j =,...,5. (3.3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 58
59 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (2/5) Jednokrotny wyjazd z miasta i Miasto x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (3.) Miasto 2 x 2 + x 23 + x 24 + x 25 = (3.2) Miasto 3 x 3 + x 32 + x 34 + x 35 = (3.3) Miasto 4 x 4 + x 42 + x 43 + x 45 = (3.4) Miasto 5 x 5 + x 52 +x 53 + x 54 = (3.5) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 59
60 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (3/5) Jednokrotny wjazd do miasta i Miasto x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (3.6) Miasto 2 x 2 + x 32 + x 42 + x 52 = (3.7) Miasto 3 x 3 + x 23 + x 43 + x 53 = (3.8) Miasto 4 x 4 + x 24 + x 34 + x 54 = (3.9) Miasto 5 x 5 + x 25 + x 35 + x 45 = (3.2) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
61 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (4/5) Eliminacja cyklów pomiędzy miastami Miasta i 2: x 2 + x 2 (3.2) Miasta i 3: x 3 + x 3 (3.22) Miasta i 4: x 4 + x 4 (3.23) Miasta i 5: x 5 + x 5 (3.24) Miasta 2 i 3: x 23 + x 32 (3.25) Miasta 2 i 4 x 24 + x 42 (3.26) Miasta 2 i 5 x 25 + x 52 (3.27) Miasta 3 i 4 x 34 + x 43 (3.28) Miasta 3 i 5 x 35 + x 53 (3.29) Miasta 4 i 5 x 45 + x 54 (3.3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
62 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (5/5) Rozwiązanie optymalne x 5 =, x 2 =, x 34 =, x 42 =, x 53 =, pozostałe zmiennych x ij =. Optymalna wartość funkcji celu jest równa 53. Zapis tabelaryczny x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 62
63 3.6. Problem komiwojażera Mechanizmy działania algorytmu genetycznego (/) Podstawowe pojęcia populacja populacja początkowa chromosom gen funkcja przystosowania selekcja krzyżowanie mutacja warunek końca algorytmu T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 63
64 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (/9) Populacja początkowa Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C C 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
65 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (2/9) Populacja początkowa (c.d.) C C 2 C C 4 C 5 C 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 65
66 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (3/9) Wartości funkcji przystosowania Chromosom Numery naruszonych ograniczeń C (3.2), (3.3), (3.4), (3.7), (3.8), (3.9), (3.2), (3.25), (3.27) Długość Odcinków Kara Wartość funkcji przystosowania 9 9 C 2 (3.4), (3.2) C 3 (3.6), (3.7) C 4 (3.3), (3.6), (3.8), (3.9), (3.26) C 5 (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), (3.7), (3.2), (3.24) C 6 (3.3), (3.6), (3.9), (3.2) Suma 3428 Średnia wartość funkcji przystosowania wynosi 3428 : 6 = 57,33. Najlepsza wartość funkcji przystosowania w tej populacji wynosi 25. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 66
67 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (4/9) Prawdopodobieństwo selekcji Chromosom Wartość funkcji przystosowania Odwrotność wartości funkcji przystosowania Suma odwrotności funkcji przystosowania Prawdopodobieństwo selekcji C 9,97,3863,6544 7% C 2 25,4, % C 3 269,3775, % C 4 55,849,395 3% C 5 785,2739,989 9% C 6 464,2552,5546 5% T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 67
68 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (5/9) Selekcja i krzyżowanie Wylosowane chromosomy Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 PK C 5 C 2 C 6 C 2 3 C 4 C 3 7 Nowa populacja po krzyżowaniu Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 68
69 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (6/9) Mutacja Prawdopodobieństwo mutacji = /. Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 24 C 24 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 69
70 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (7/9) Populacja początkowa dla następnej iteracji Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 2 C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
71 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (8/9) Populacja początkowa dla następnej iteracji (c.d.) C 2 C 22 C C 24 C 25 C 26 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
72 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (9/9) Wartości funkcji przystawania Chromosom Numery naruszonych ograniczeń Długość trasy Kara Wartość funkcji przystosowania C C 22 (3.4), (3.5), (3.7), (3.9) C 23 (3.4), (3.2) C 24 (3.2), (3.4), (3.8), (3.2) C 25 (3.3), (3.6), (3.26) C 26 (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.3) Średnia wartość funkcji przystosowania wynosi 358,33 Suma 25 Najlepsza wartość funkcji przystosowania w tej populacji wynosi 72 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 72
73 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (/7) Przykład 3.6 Mamy układ ośmiu miast, między którymi istnieją połączenia komunikacyjne. Z każdego z nich wywozi się i do każdego przywozi określoną masę towarową wykorzystując do przewozu samochody o tej samej ładowności. Odległości między miastami: T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 73
74 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (2/7) Przykład 3.6 (c.d.) Przewidywany przewóz masy towaru, mierzony liczbą samochodów: Przywóz do mias sta i w i Wywóz z miasta i Znaleźć plan przewozów minimalizujących puste przebiegi. p i T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 74
75 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (3/7) Nadwyżka/niedobór samochodów w kolejnych miastach p i w i w i a nadwyżka samochodów w mieście (dostawca pierwszy), a 2 nadwyżka samochodów w mieście 3 (dostawca drugi), a 3 nadwyżka samochodów w mieście 5, (dostawca trzeci), a 4 nadwyżka samochodów w mieście 7 (dostawca czwarty), b niedobór samochodów w mieście 2 (odbiorca pierwszy), b 2 niedobór samochodów w mieście 4 (odbiorca drugi), b 3 niedobór samochodów w mieście 6 (odbiorca trzeci), b 4 niedobór samochodów w mieście 8 (odbiorca czwarty). T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 75
76 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (4/7) Podaż i popyt na puste samochody dostawca b a 35 odbiorca b 2 b 3 b a a a 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 76
77 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (5/7) Model matematyczny Cel określenie takiego planu przewozów, który minimalizuje łączną liczbę kilometrów pustych przebiegów. Zmienne decyzyjne Liczba pustych przebiegów: x z miasta do miasta 2, x 2 z miasta do miasta 4, x 3 z miasta do miasta 6, x 4 z miasta do miasta 8, x 2 z miasta 2 do miasta 2, x 22 z miasta 2 do miasta 4, x 23 z miasta 2 do miasta 6, x 24 z miasta 2 do miasta 8, x 3 z miasta 3 do miasta 2, x 32 z miasta 3 do miasta 4, x 33 z miasta 3 do miasta 6, x 34 z miasta 3 do miasta 8, x 4 z miasta 4 do miasta 2, x 42 z miasta 4 do miasta 4, x 43 z miasta 4 do miasta 6, x 44 z miasta 4 do miasta 8. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 77
78 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (6/7) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33, x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 )= = 35x + 9x 2 + 8x x x x x x x x x x x x x x 44 min Ograniczenia dostawca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 9 dostawca 2: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 7 dostawca 3: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = dostawca 4: x 4 + x 42 + x 43 + x 44 = 5 Warunki nieujemności odbiorca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 odbiorca 2: x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = 9 odbiorca 3: x 3 + x 23 + x 33 + x 43 = 2 odbiorca 4: x 4 + x 24 + x 34 + x 44 = 6 x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33,x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 78
79 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (7/7) Rozwiązanie optymalne x = 2 x 2 = 5 x 3 = 2 x 4 = x 2 = 7 x 22 = x 23 = x 24 = x 3 = x 32 = 4 x 33 = x 34 = 6 x 4 = 5 x 42 = x 43 = x 44 = Optymalna wartość funkcji celu : 69 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 79
80 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (/4) Przykład 3.7 Zdolności produkcyjne zakładów: 4, 5, 3 Zapotrzebowanie odbiorców: 45,, 3, 35 Jednostkowe koszty produkcji: 4, 3, Jednostkowe koszty transportu 4 C = Jednostkowe koszty produkcji i transportu Znaleźć taki plan produkcji, by zminimalizować łączne koszty produkcji i transportu. J = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
81 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (2/4) Model matematyczny Cel Minimalizacja łącznych kosztów produkcji i transportu. Zmienne decyzyjne Ilość produktu wytworzona: x - przez zakład dla odbiorcy x 2 - przez zakład dla odbiorcy 2 x 3 - przez zakład dla odbiorcy 3 x 4 - przez zakład dla odbiorcy 4 x 2 - przez zakład 2 dla odbiorcy x 22 - przez zakład 2 dla odbiorcy 2 x 23 - przez zakład 2 dla odbiorcy 3 x 24 - przez zakład 2 dla odbiorcy 4 x 3 - przez zakład 3 dla odbiorcy x 32 - przez zakład 3 dla odbiorcy 2 x 33 - przez zakład 3 dla odbiorcy 3 x 34 - przez zakład 3 dla odbiorcy 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
82 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (3/4) Model matematyczny Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33, x 34 ) = = 8x + 7x 2 + 6x 3 + 5x x 2 + 4x 22 + x x x 3 + 4x 32 + x x 34 min Ograniczenia zakład : x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 zakład 2: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 5 zakład 3: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = 3 Warunki nieujemności odbiorca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 45 odbiorca 2: x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = odbiorca 3: x 3 + x 23 + x 33 + x 43 = 3 odbiorca 4: x 4 + x 24 + x 34 + x 44 = 35 x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33,x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 82
83 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (4/4) Rozwiązanie optymalne x = x 2 = x 3 = 3 x 4 = x 2 = 45 x 22 = 5 x 23 = x 24 = x 3 = x 32 = 5 x 33 = x 34 = 25 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 665 Plan przewozów odbiorca odbiorca 2 odbiorca 3 odbiorca Produkcja zakład zakład 2 zakład 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
84 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (/5) Przykład 3.8 Czas pracy doradców firmy consultingowej : X - 4 godz., Y - 4 godz., Z - 2 godz. Wymagania czasowe nowych kontraktów: Klient Liczba godzin A 65 B 5 C 8 D 7 Stawki godzinowe: Doradca X Y Z Klient A 9 5 Klient B,5 3 4,5 Klient C 2,5 4 Klient D 2 3 W jaki sposób przydzielić doradcom kontrakty tak, by łączny koszt ich realizacji był najmniejszy? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 84
85 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (2/5) Model matematyczny Cel Minimalizacja kosztów wynagrodzenia doradców. Zmienne decyzyjne Liczba godzin pracy: x - doradcy X dla klienta A, x 2 - doradcy X dla klienta B, x 3 - doradcy X dla klienta C, x 4 - doradcy X dla klienta D, x 5 - doradcy X dla fikcyjnego klienta E, x 2 - doradcy Y dla klienta A, x 22 - doradcy Y dla klienta B, x 23 - doradcy Y dla klienta C, x 24 - doradcy Y dla klienta D, x 25 - doradcy Y dla fikcyjnego klienta E, x 3 - doradcy Z dla klienta A, x 32 - doradcy Z dla klienta B, x 33 - doradcy Z dla klienta C, x 34 - doradcy Z dla klienta D, x 35 - doradcy Z dla fikcyjnego klienta E. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 85
86 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (3/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 2, x 22, x 23, x 24, x 25, x 3, x 32, x 33, x 34, x 35 ) = = 9x + 5x 2 + 2x 3 + x 4 + x x 2 + 3x x x 24 + x x x x x 34 + x 35 min Ograniczenia dla doradcy X: x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 4 dla doradcy Y: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 4 dla doradcy Z: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 2 Warunki nieujemności dla zmiennych decyzyjnych dla klienta A: x + x 2 + x 3 = 65 dla klienta B: x 2 + x 22 + x 32 = 5 dla klienta C: x 3 + x 23 + x 33 = 8 dla klienta D: x 4 + x 24 + x 34 = 7 dla klienta E: x 5 + x 25 + x 35 = 35 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 2, x 22, x 23, x 24, x 25, x 3, x 32, x 33, x 34, x 35 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 86
87 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (5/5) Rozwiązanie optymalne x = 4 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 2 = 25 x 22 = 35 x 23 = 8 x 24 = x 25 = x 3 = x 32 = 5 x 33 = x 34 = 7 x 35 = 35 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 437,5 Doradca X Y Z Klient A 4 25 Klient B 35 5 Klient C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 87 8 Klient D 7
88 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Zadanie transportowe i problem komiwojażera
Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe
Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoZadanie niezbilansowane. Gliwice 1
Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).
KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba
Bardziej szczegółowoMetody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 2 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie transportowe z kryterium czasu I rodzaju () Jeżeli w modelu klasycznego zagadnienia transportowego
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoProgramowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoRozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego
Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoPodejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki. Adam Żychowski
Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki Adam Żychowski Na podstawie prac X. S. Chen, L. Feng, Y. S. Ong A Self-Adaptive Memeplexes Robust Search Scheme for solving Stochastic Demands Vehicle
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia
SZKUTNIK Joanna 1 ZIÓŁKOWSKI Jarosław 2 Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia WSTĘP Zagadnienie transportowe jest szczególnym rodzajem zadania programowania liniowego. Polega
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoModele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP)
& Zagadnienie komowojażera 1 Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) Danych jest miast oraz macierz odległości pomiędzy każdą parą miast. Komiwojażer wyjeżdża z miasta o numerze 1 chce
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowo4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia stacjonarne i niestacjonarne
Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia stacjonarne i niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału
Temat: Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału Zadanie 1 Trzy piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z trzech magazynów znajdujących się na peryferiach. Zasoby mąki
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia niestacjonarne
Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki, pojęć
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoRozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz
Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM dr inż. Władysław Wornalkiewicz Występuje wiele metod rozwiązywania optymalizacyjnego zagadnienia transportowego. Jedną z nich jest VAM (Vogel s approximation
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoStatystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda
Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów
Bardziej szczegółowo1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11
Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoRozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoDualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoIwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ
1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia
Bardziej szczegółowoAlgorytm genetyczny (genetic algorithm)-
Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie
Bardziej szczegółowoWieloetapowe zagadnienia transportowe
Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)
Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoNarzędzia wspomagania decyzji logistycznych
Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowo[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.
Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe
Bardziej szczegółowoZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowo