Stabilność liniowych uk ladów sterowania
|
|
- Andrzej Zych
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje nas czy odchylenie rozwi azania równania zaburzonego od rozwi azania równania pierwotnego bȩdzie zanikać z up lywem czasu (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako stabilny asymptotycznie), czy też odchylenie to bȩdzie pozostawać w pewnym otoczeniu rozwi azania równania pierwotnego (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako stabilny lecz nieasymptotycznie), lub też czy odchylenie to bȩdzie nieograniczenie narastać z up lywem czasu (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako niestabilny). Badanie stabilności może dotyczyć wyróżnionej trajektorii stanu o poż adanym przebiegu np. trajektorii sta lej określaj acej tzw. punkt równowagi uk ladu. Dla uk ladów liniowych obowi azuje nastȩpuj aca Definicja: Punkt przestrzeni stanu x r, dla którego Ax r = 0 dla wszystkich chwil t 0, nazywamy punktem równowagi liniowego autonomicznego uk ladu sterowania opisywanego równaniem ẋ(t) = Ax(t), t 0, x(0) = x 0. Jeżeli deta 0, to liniowy uk lad sterowania ma dok ladnie jeden punkt równowagi w pocz atku uk ladu wspó lrzȩdnych tj. zerowy punkt równowagi. Niech x bȩdzie dowoln a (niezerow a) wyróżnion a sta l a trajektori a stanu liniowego uk ladu sterowania zwi azan a z wyróżnionym sta lym sterowaniem ū. Ten wyróżniony rodzaj ruchu uk ladu sterowania spe lnia równanie stanu x = 0 = A x + Bū, x(t 0 ) = x, t [t 0, + ). Analizȩ warunków stabilności uk ladów sterowania można sprowadzić do badania stabilności zerowego punktu równowagi zredukowanego uk ladu sterowania określonego za pomoc a przekszta lcenia ( x(t) = x(t) x) (x(t) = x(t) + x). Równanie stanu wzglȩdem nowych wspó lrzȩdnych stanu przybierze postać x(t) = A( x(t) + x) + Bū, 1
2 czyli x(t) = A x(t). Rozwi azanie zerowe x(t) = 0 ostatniego równania jest równoważne z wyróżnionym rozwi azaniem niezerowym x równania pierwotnego. Rozwi azanie to jest punktem równowagi uk ladu przekszta lconego, gdyż A x(t) = 0 x(t) = 0. Tak wiȩc badanie stabilności dowolnej wyróżnionej trajektorii stanu liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania można sprowadzić do badania zerowego punktu równowagi zredukowanego uk ladu sterowania z t a sam a macierz a stanu A. Definicja: Punkt równowagi x r = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym, jeżeli dla każdej liczby dodatniej ɛ można dobrać tak a liczbȩ dodatni a η = η(ɛ), że trajektoria rozpoczynaj aca siȩ w punkcie x 0, leż acym wewn atrz kuli o promieniu η, pozostanie wewn atrz kuli o promieniu ɛ dla dowolnej chwili t > 0. Definicja: Punkt równowagi x r = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem asymptotycznie stabilnym, jeżeli punkt ten jest stabilny i ponadto lim t x(t) = 0. Analizuj ac stabilność liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania bierzemy pod uwagȩ sk ladow a swobodn a rozwi azania pochodz ac a od zaburzenia stanu pocz atkowego ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x r + δx 0, t [0, ) x(t) = e At δx 0, t [0, ). Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania sprowadza siȩ do warunku zanikania sk ladowej rozwi azania pochodz acej od zaburzenia stanu pocz atkowego tj. do warunku lim t eat δx 0 = 0 Rozważana sk ladowa przybiera postać e At δx 0 = L 1 {(si A) 1 }δx 0 n = L 1 {( ij (s)δx j0 / (s)) i=1,...,n } = j=1 2
3 L 1 {(X 1 (s, δx 0 ),...X i (s, δx 0 ),..., X n (s, δx 0 )) T } ( ) gdzie ij (s) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy do l aczonej (si A) D, a (s) = det(si A) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia n. Do badania wyrażenia ( ) można zastosować metodȩ rozk ladu na u lamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości w lasne s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A tj. pierwiastki równania det(si A) = 0. W zależności od charakteru tych wartości w lasnych uzyskujemy sk ladowe rozwi azania o różnej postaci. macierzy A s a jednokrotne rzeczy- 1. Wartości w lasne s 1, s 2,..., s n wiste - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s s 1 + c i2(δx 0 ) s s c in(δx 0 ) s s n, gdzie c ij (δx 0 ) s a sta lymi zależnymi od zaburzenia warunku pocz atkowego. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e s 1t + c i2 (δx 0 )e s 2t c in (δx 0 )e snt. 2. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest r-krotna wartość w lasna rzeczywista - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s s 1 + c i2(δx 0 ) (s s 2 ) c ir(δx 0 ) (s s r ) r c in(δx 0 ) s s n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e s 1t +c i2 (δx 0 )te s 2t +...+c ir (δx 0 )t r 1 e srt +...+c in (δx 0 )e snt. 3. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest para wartości zespolonych sprzȩżonych s 1,2 = σ ± jω - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s (σ + jω) + c i2(δx 0 ) s (σ jω) c in(δx 0 ) s s n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e σt cos ωt + c i2 (δx 0 )e σt sin ωt c in (δx 0 )e snt. 4. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest para r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych s 1,2 = σ ± jω - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s (σ + jω) + c i2(δx 0 ) s (σ jω) 3
4 c i1 (δx 0 ) (s (σ + jω)) + c i2 (δx 0 ) r (s (σ jω)) c in(δx 0 ). r s s n W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e σt cos ωt + c i2 (δx 0 )e σt sin ωt c i,2r 1 (δx 0 )t r 1 e σt cos ωt + c i2r (δx 0 )t r 1 e σt sin ωt Bior ac pod uwagȩ zależność c in (δx 0 )e snt. lim t tp e σt = 0, p = 1, 2,...; σ < 0, wnioskujemy, że we wszystkich czterech przypadkach sk ladowe swobodne rozwi azania równania stanu pochodz ace od zaburzenia warunku pocz atkowego zanikaj a wraz z up lywem czasu t. Oznacza to, że warunkiem koniecznym i wystarczaj acym stabilności liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania jest po lożenie wszystkich wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej tj. spe lnienie warunku Re(s i ) < 0, i = 1,..., n. s 4
5 Definicja stabilności eksponencjalnej: Punkt równowagi x = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym eksponencjalnie, jeżeli istniej a dwie liczby η > 0 i λ < 0 takie, że x(t) η x(0) e λt. Dla stabilnego liniowego uk ladu sterowania o pojedynczych wartościach w lasnych s i, i = 1,..., n uzyskuje siȩ λ = max i=1,...,n Re(s i) tj. szybkość stabilności określona jest w tym przypadku przez maksymaln a czȩść rzeczywist a wartości w lasnych macierzy stanu. Jeśli natomiast uk lad posiada wielokrotne wartości w lasne, to zachodzi oszacowanie λ = max i=1,...,n Re(s i) + ɛ, gdzie ɛ jest dowolnie ma l a liczb a dodatni a - tak wiȩc również w tym przypadu wyk ladnik szybkości stabilności jest w przybliżeniu równy maksymalnej czȩści rzeczywistej wartości w lasnych macierzy stanu. s λ 5
6 W przypadku zamkniȩtego uk ladu sterowania ẋ(t) = Ãx(t), à = A + BKC badanie stabilności asymptotycznej sprowadza siȩ do weryfikacji po lożenia wartości w lasnych macierzy stanu à zamkniȩtego uk ladu sterowania. Ponieważ wartości w lasne macierzy A (lub Ã) s a pierwiastkami równania algebraicznego stopnia n, wiȩc zbadać ich po lożenie na p laszczyźnie s można stosuj ac kryterium Hurwitza. W tym celu (a) porz adkujemy równanie wartości w lasnych do postaci (s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 = 0, (b) sprawdzamy, czy wszystkie wspó lczynniki a i s a różne od zera i maj a ten sam znak, (c) sprawdzamy, czy wszystkie minory g lówne i macierzy Hurwitza H s a dodatnie, gdzie a 1 a a 3 a 2 a 1 a 0... H = a 5 a 4 a 3 a n n Inna postać macierzy Hurwitza Przyk lad: a n 1 a n a n 3 a n 2 a n 1 a n H = a n 5 a n 4 a n 3 a n Macierz stanu zredukowanego uk ladu sterowania z czasem ci ag lym ma postać 1 α 0 A = β 1 α, 0 β 1 6 n n
7 przy czym α i β s a parametrami uk ladu. Aby zbadać dla jakich parametrów uk lad sterowania jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości w lasnych macierzy stanu s + 1 α 0 det(si A) = det β s + 1 α = 0. 0 β s + 1 Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu w postaci standardowej (s) = s 3 + 3s 2 + (3 2αβ)s + 1 2αβ = 0 1 2αβ > 0, co oznacza, że a 3 = 1, a 2 = 3, a 1 = 3 2αβ i a 0 = 1 2αβ. Zapisujemy macierz Hurwitza 2 2αβ 1 2αβ 0 A = αβ Kryterium stabilności Hurwitza implikuje warunki a 1 = 3 2αβ > 0 i a 0 = 1 2αβ > 0 (dodatniość wspó lczynników wielomianu charakterystycznego uk ladu), 1 = 3 2αβ > 0, i 2 = 8 4αβ > 0 αβ < 0.5 (dodatniość minorów g lównych macierzy Hurwitza). Tak wiȩc obszar stabilności parametrycznej uk ladu sterowania jest określony przez nierówność αβ <
8 Stabilność liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym sprowadza siȩ do warunku zanikania sk ladowej rozwi azania pochodz acej od zaburzenia stanu pocz atkowego tj. do warunku lim k Ak δx 0 = 0 Rozważana sk ladowa przybiera postać A k δx 0 = Z 1 {(zi A) 1 z}δx 0 n = Z 1 {( ij (z)zδx j0 / (z)) i=1,...,n } = j=1 Z 1 {(X 1 (z, δx 0 ),...X i (z, δx 0 ),..., X n (z, δx 0 )) T } ( ) gdzie ij (z) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy do l aczonej (zi A) D, a (z) = det(zi A) jest wielomianem zmiennej zespolonej z stopnia n. Do badania wyrażenia ( ) można zastosować metodȩ rozk ladu na u lamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości w lasne z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A uk ladu dyskretnego tj. pierwiastki równania det(zi A) = 0. W zależności od charakteru tych wartości w lasnych uzyskujemy sk ladowe rozwi azania o różnej postaci. macierzy A s a jednokrotne rzeczy- 1. Wartości w lasne z 1, z 2,..., z n wiste - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z z 1 + c i2(δx 0 )z z z c in(δx 0 )z z z n, gdzie c ij (δx 0 s a sta lymi zależnymi od zaburzenia warunku pocz atkowego. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )z k 1 + c i2 (δx 0 )z k c in (δx 0 )z k n. 2. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest r-krotna wartość w lasna rzeczywista - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z z 1 + c i2(δx 0 )z (z z 2 ) c ir(δx 0 )z (z z r ) r c in(δx 0 )z z z n. 8
9 W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )z k 1 +c i2 (δx 0 )kz k c ir (δx 0 )k r 1 z k c in (δx 0 )z k n. 3. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest para wartości zespolonych sprzȩżonych z 1,2 = σe ±jω - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z σe jω + c i2(δx 0 ) s σe jω c in(δx 0 )z z z n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )σ k cos ωk + c i2 (δx 0 )σ k sin ωk c in (δx 0 )z k n. 4. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest para r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych z 1,2 = σe ±jω - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) z σe + c i2(δx 0 ) +... jω z σe jω + c i1(δx 0 ) (z σe jω ) r + c i2(δx 0 ) (z σe jω ) r c in(δx 0 ) z z n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )σ k cos ωk + c i2 (δx 0 )σ k sin ωk c i,2r 1 (δx 0 )k r 1 σ k cos ωk + c i2r (δx 0 )k r 1 σ k sin ωk c in (δx 0 )z k n. 9
10 Bior ac pod uwagȩ zależność lim k kp z k = 0, p = 1, 2,...; z < 1, wnioskujemy, że warunkiem koniecznym i wystarczaj acym stabilności liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym jest po lożenie wszystkich wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A uk ladu dyskretnego wewn atrz okȩgu jednostkowego p laszczyzny zmiennej zespolonej z tj. spe lnienie warunku z i < 1, i = 1,..., n. z 1 Lemat: Transformacja z = (s + 1)/(s 1), s 1 przeprowadza ko lo jednostkowe p laszczyzny z w lew a pó lp laszczyznȩ zmiennej zespolonej s. Dowód: Oznaczmy s = a + j b. Z zależności wynika, że z = (a + j b + 1)/(a + j b 1) < 1 ( (a + 1) 2 + b 2 < (a 1) 2 + b 2) (2a < 2a) (4a < 0) (a = Re(s) < 0). 10
11 Tak wiȩc podstawiaj ac z = (s+1)/(s 1) do równania det(zi A) = 0 sprowadzamy badanie stabilności dyskretnych uk ladów sterowania do kryterium Hurwitza. Przyk lad: Macierz stanu zredukowanego uk ladu sterowania z czasem dyskretnym ma postać A = ( α β 2 ) 1, α przy czym α i β s a parametrami uk ladu. Aby zbadać dla jakich parametrów uk lad sterowania z czasem dyskretnym jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości w lasnych macierzy stanu det(zi A) = det ( z + α 1 β 2 z + α ) = 0. Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu w postaci standardowej (z) = z 2 + 2αz + α 2 + β 2 = 0. Dokonujemy podstawienia z = (s + 1)/(s 1) uzyskuj ac ( s + 1 s 1 )2 + 2α s + 1 s 1 + α2 + β 2 = 0/ (s 1) 2. Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu wzglȩdem zmiennej s: ( 1 + 2α + α 2 + β 2) s 2 + (2 2(α 2 + β 2 ))s + 1 2α + α 2 + β 2 = 0. co oznacza, że a 2 = 1 + 2α + α 2 + β 2, a 1 = 2 2(α 2 + β 2 ) i a 0 = 1 2α + α 2 + β 2. Ponieważ a 2 = (1 + α) 2 + β 2 i a 0 = (1 α) 2 + β 2, wiȩc kryterium stabilności Hurwitza określa obszar stabilności parametrycznej jako wnȩtrze ko la α 2 + β 2 < 1. Stabilność dyskretnych liniowych uk ladów sterowania w uk ladzie zamkniȩtym sprowadza siȩ do badania, czy wartości w lasne macierzy stanu zamkniȩtego uk ladu dyskretnego à = A + BKC 11
12 leż a wewn atrz ko la jednostkowego na p laszczyźnie z. Zanikanie sk ladowej swobodnej rozwi azania równania stanu liniowego dyskretnego uk ladu sterowania lim k Ak δx 0 = 0 dla dowolnego zaburzenia stanu pocz atkowego implikuje zbieżność do zera elementów macierzy A k. Praktyczne kryterium badania stabilności dyskretnych uk ladów sterowania uzyskujemy obliczaj ac potȩgi macierzy stanu uk ladu dyskretnego podnosz ac je do kwadratu. A, A 2 = AA, A 4 = A 2 A 2, A 8 = A 4 A 4, A 16 = A 8 A 8... Jeśli elementy potȩgowanych macierzy d aż a do zera, to uk lad dyskretny jest asymptotycznie stabilny. Metoda ta nazywana jest metod a szybkiego potȩgowania macierzy. Wyznacza ona ci ag macierzy A, A 2, A 4, A 8,..., A 2k. Oznaczmy elementy ostatniej macierzy jako (a ij ) 2 k. Warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy dla badania stabilności liniowych dyskretnych uk ladów sterowania przybiera postać (a ij ) 2 k < 1, i, j = 1, 2,..., n, n gdzie n jest wymiarem kwadratowej macierzy stanu A. Jeśli warunek stopu jest spe lniony, to elementy macierzy A 2k spe lniaj a warunki (a ij ) 2 k (c ij) 2 k, i, j = 1, 2,..., n n dla sta lych (c ij ) 2 k < 1. Spe lniaj a one wiȩc warunek (a ij ) 2 k (c) 2 k, i, j = 1, 2,..., n n dla sta lej (c) 2 k = max ij (c ij ) 2 k < 1. Elementy macierzy A 2k+1 spe lniaj a oszacowania (a ij ) 2 k+1 n (c) 2 (c) k 2 k (c) 2k+1 =, n n n gdzie (c) 2 k+1 = (c) 2 k(c) 2 k < (c) 2 k < 1. Oszacowania te d aż a monotonicznie do zera dla k. 12
13 Przyk lad: Niech jednorodne równanie stanu liniowego dyskretnego uk ladu sterowania ma postać x(k + 1) = x(k) Warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy ma w tym przypadku postać (a ij ) 2 k < 1, i, j = 1, 2, 3; (n = 3). 3 Elementy macierzy A (k = 0) nie spe lniaj a warunku stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy, gdyż 1 2 > 1 3. Obliczamy A = = Dla k = 1 warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy jest spe lniony. Oznacza to, że rozpatrywany liniowy dyskretny uk lad sterowania jest asymptotycznie stabilny. 13
14 Stabilność liniowych okresowych uk ladów sterowania Dla niektórych uk ladów sterowania charakterystyczna jest okresowa (cykliczna) zmienność jego parametrów. Wyróżnion a trajektori a stanu może być w tym przypadku krzywa zamkniȩta zwana także cyklem granicznym. Jednorodny liniowy okresowy uk lad sterowania opisywany jest równaniem stanu ẋ(t) = A(t)x(t), gdzie niestacjonarna macierz stanu A(t) jest macierz a okresow a tj. A(t + τ) = A(t). Lemat: Znormalizowana macierz fundamentalna Φ(t) = Φ(t, 0) liniowego okresowego uk ladu sterowania posiada reprezentacjȩ Φ(t) = Γ (t)e Λt, t [0, + ), gdzie Γ (t) jest nieosobliw a macierz a okresow a, zaś Λ jest macierz a sta l a. Dowód: Macierz Φ(t) spe lnia z definicji równanie Φ(t) = A(t)Φ(t), Φ(0) = I. Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że każda macierz fundamentalna Φ(t) może być uzyskana ze znormalizowanej macierzy fundamentalnej Φ(t) za pomoc a nieosobliwego przekszta lcenia liniowego C tj. Φ(t) = Φ(t)C. Ponieważ dla uk ladu okresowego Φ(t + τ) jest jego macierz a fundamentaln a dφ(t + τ) dt = Φ d(t + τ) (t + τ) dt = A(t + τ)φ(t + τ) = A(t)Φ(t + τ), wiȩc Φ(t + τ) = Φ(t)C i Φ(τ) = C (t = 0). Oznacza to, że Φ(t + τ) = Φ(t)Φ(τ). Z teorii macierzy wiadomo, że każda macierz nieosobliwa posiada tzw. reprezentacjȩ logarytmiczn a tj.. Φ(τ) = e Λτ 14
15 Jeśli macierz Φ(τ) posiada jednokrotne wartości w lasne s 1, s 2,..., s n, to reprezentacjȩ tak a można latwo uzyskać stosuj ac nieosobliwe przekszta lcenie diagonalizuj ace P : P 1 Φ(τ)P = diag (s i ). Macierz P jest określona przez wektory w lasne P i, i = 1,..., n macierzy Φ(τ) zwi azane z poszczególnymi wartościami w lasnymi. Wektory te spe lniaj a równania Φ(τ)P i = s i P i, i = 1,..., n i mog a być wyznaczone przez rozwi azanie tych równań. Ponieważ det(s i I Φ(τ)) = 0, wiȩc jedn a wspó lrzȩdn a wektora P i zak ladamy jako dowoln a wartość niezerow a, a pozosta le wspó lrzȩdne tego wektora obliczamy z uk ladu n 1 równań liniowo niezależnych. Wartości w lasne s i przedstawiamy w postaci wyk ladniczej i uzyskujemy zależności s i = e λ iτ, λ i = 1 τ (ln s i + j(arg(s i ) + 2kπ). Φ(τ) = P diag (s i ) P 1 = P diag = P (I + diag (λ i τ) + diag = I + P diag (λ i τ) P ! P diag (e λ iτ ) P 1 ((λ i τ) 2 /2!) +...) P 1 (λ i τ) P 1 P diag (λ i τ) P = e P diag (λ i τ) P 1 = e P diag (λ i ) P 1 τ = e Λτ, Λ = P diag (λ i ) P 1 Z zależności Φ(t) = Φ(t)e Λt e Λt = Γ (t)e Λt, Γ (t) = Φ(t)e Λt, Γ (t + τ) = Φ(t + τ)e Λ(t+τ) = Φ(t)Φ(τ)e Λτ e Λt = Φ(t)e Λt = Γ (t) wynika,że macierz Γ (t) jest macierz a τ-okresow a. Elementy tej macierzy s a jednostajnie ograniczone na osi czasu jako ci ag le funkcje okresowe. 15
16 Definicja: Macierz fundamentalna Φ(τ) liniowego uk ladu okresowego nazywa siȩ macierz a monodromii, a jej wartości w lasne nazywaj a siȩ mnożnikami Floqueta lub multyplikatorami tego uk ladu. Twierdzenie: Liniowy okresowy uk lad sterowania jest stabilny (stabilny asymptotycznie) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie multyplikatory (wartości w lasne macierzy monodromii Φ(τ)) tego uk ladu leż a w domkniȩtym kole jednostkowym s i 1, i = 1,..., n (leż a wewn atrz ko la jednostkowego s i < 1, i = 1,..., n). Dowód: Sk ladowa rozwi azania liniowego uk ladu okresowego pochodz aca od zaburzenia warunku pocz atkowego ma postać x(t) = Γ (t)e Λt δx 0. Ze wzglȩdu na jednostajn a ograniczoność macierzy Γ (t) na osi czasu zachodzi oszacowanie x(t) c e Λt. Oznacza to, że badany uk lad jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wartości w lasne λ i macierzy Λ leż a w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej. Warunek ten jest jednak równoważny z po lożeniem wartości w lasnych macierzy Φ(τ) wewn atrz ko la jednostkowego z uwagi na zwi azek s i = e λiτ. Przyk lad: Niech macierz A(t) bȩdzie określona jak nastȩpuje: ( ) ( ) A(t) t [0,π) = Ā = 0 1 a 1 0, A(t) t [π,2π) = Ā = a 2 Mamy wiȩc ( ) ( ) cos t sin t 1 0 Φ(t) = eāt, Φ(π) =, sin t cos t 0 1 ( ) e a 1π 0 Φ(2π) =. 0 e a 2π St ad wynika, że s i = e a iπ i warunek stabilności uk ladu okresowego przybiera postać a i < 0, i = 1,
17 Stabilność uk ladów zlinearyzowanych Warunki stabilności liniowych uk ladów sterowania można stosować do badania stabilności uk ladów nieliniowych w ma lym otoczeniu wyróżnionej trajektorii stanu. Takimi wyróżnionymi trajektoriami stanu mog a być m.in. trajektorie sta le (np. optymalny statyczny punkt pracy uk ladu) lub trajektorie okresowe (np. optymalna cykliczna trajektoria uk ladu). Za lożenie o funkcjonowaniu procesu w ma lym otoczeniu wymienionych trajektorii pozwala uprościć model matematyczny uk ladu rozwijaj ac nieliniowe funkcje w szereg Taylora pierwszego rzȩdu i przejść do modelu zlinearyzowanego wzglȩdem zmiennych przyrostowych czyli ma lych odchyleń od trajektorii wyróżnionej. Niech δx(t), δu(t) i ȳ bȩd a ma lymi odchyleniami stanu,sterowania i wyjścia od statycznego punktu pracy x, ū iȳ uk ladu. uk ladu ẋ(t) = f(x(t), u(t)), y(t) = g(x(t), u(t)) linearyzujemy w punkcie pracy ( x, ū) d dt f( x, ū) ( x+δx(t)) = f( x, ū)+ δx(t)+ x Nieliniowy opis f( x, ū) δu(t)+r f (δx(t), δu(t)), u g( x, ū) g( x, ū) ȳ + δy(t) = g( x, ū) + δx(t) + δu(t) + r g (δx(t), δu(t)), x u gdzie r f (δx(t), δu(t)) i r g (δx(t), δu(t)) s a nieliniowymi cz lonami rozwiniȩć (resztami z rozwiniȩcia w szereg Taylora w szereg pierwszego rzȩdu) spe lniaj acymi warunki r f (δx(t), δu(t)) lim δx 0 δx r f (δx(t), δu(t)) = 0, lim δu 0 δu = 0. Reszty te s a nieskończenie ma lymi rzȩdu wyższego niż odpowiednio δx i δu. Można je pomin ać dla ma lych odchyleń od punktu pracy i przejść do modelu zlinearyzowanego δẋ(t) = δy(t) = f( x, ū) δx(t) + x g( x, ū) δx(t) + x f( x, ū) δu(t), u g( x, ū) δu(t). u 17
18 Podstaw a do badania stabilności uk ladu zlinearyzowanego jest weryfikacja po lożenia wartości w lasnych macierzy Jacobiego A = f( x, ū) x = ( f i ( x, ū) x j ) i,j=1,...,n. W przypadku wyróżnionego cyklicznego sposobu prowadzenia procesu macierz stanu uk ladu zlinearyzowanego przybiera niestacjonarn a postać okresow a A(t) = f( x(t), ũ(t)) x = ( f i ( x(t), ũ(t)) x j ) i,j=1,...,n, gdzie x(t) jest cykliczn a trajektori a stanu, a ũ(t) jest cyklicznym sterowaniem. 18
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania
Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod sterowania optymalnego
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoProjektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych
Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoMetody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowoZasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowogdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)
5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoRACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ
RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoc n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume
Szeregi Laurenta, punkty osobliwe izolowane, klasyfikacja funkcji ze wzgl edu na osobliwości Dane s dwa szeregi postaci c n (z z 0 ) n i c n (z z 0 ) n. (1) n=1 1 Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowo