Programowanie liniowe
|
|
- Aneta Czerwińska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować (1) Przy ograniczeniach (2) (3) (4) 1, 2, 3 0 (5) Algorytm simple Metoda Chaczijana Algorytm programowania dynamicznego 8 Programowanie liniowe Algorytm sympleks 9 1
2 Plan wykładu Problem programowania liniowego Postać kanoniczna Postać standardowa Algorytm sympleks Początkowa baza dopuszczalna Tablica sympleks Warunek optymalności rozwiązania Zmiana bazy Transformacja tablicy Metoda sztucznej bazy Metoda graficzna 10 Przykład zastosowania PL Mały warsztat naprawia trzy rodzaje urządzeń B1, B2, B3. Każde urządzenie zawiera trzy podstawowe elementy: E 1, E 2, E 3. Naprawa polega na demontażu i/lub montażu elementów E 1,E 2,E 3 według określonej technologii. Tabela przedstawia przebieg każdej naprawy, zysk z naprawy urządzenia określonego typu oraz zapas elementów E 1,E 2, E 3 w firmie. 11 2
3 Przykład zastosowania PL Element Urządzenie E1 E2 E3 zysk [$/szt] B B B Zapas [szt.] Aby określić optymalny z punktu widzenia maksymalizacji zysku zakres napraw budujemy model liniowy problemu. 12 Sformułowanie problemu Niech 1 oznacza planowaną liczbę sztuk urządzenia B1 2 oznacza planowaną liczbę sztuk urządzenia B2 oznacza planowaną liczbę sztuk urządzenia B3 3 Całkowity zysk z naprawy urządzeń: Zakład ma zapas 7 sztuk elementu E1 Liczba sztuk elementu E1 potrzebna do realizacji produkcji: Podobnie dla elementów E2 i E3:
4 Sformułowanie problemu Zmaksymalizować (1) Przy ograniczeniach (2) (3) (4) 1, 2, 3 0 (5) 14 Model liniowy zmaksymalizować n j= 1 j= 1 c przy ograniczeniach a b, i = 1, K,m ograniczenia n j j ij j i 0, j = 1, K,n j funkcja celu (kryterium) 15 4
5 Model liniowy zmaksymalizować n j= 1 n j= 1 c przy ograniczeniach a b, i = 1, K,m parametry j j ij j i 0, j = 1, K,n j zmienna decyzyjna (i) (ii) (iii) 16 Model liniowy postać kanoniczna zmaksymalizować n j= 1 j= 1 c przy ograniczeniach a b, i = 1, K,m n j j ij j i 0, j = 1, K,n j 17 5
6 Model liniowy zminimalizować n j= 1 j= 1 c przy ograniczeniach a b, i = 1, K,m n j j ij j i 0, j = 1, K,n j 18 c = Model liniowy postać standardowa zmaksymalizować przy ograniczeniach [ c,c, K,c ] 1 2 n 1 2 = K n c A = b 0 a11 K a1n A = K K K am1 K amn b1 b 2 b = K bm 19 6
7 Podstawowe definicje Rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego jest wektor =( 1, 2,..., n ), spełniający warunki (ii) oraz (iii). Rozwiązaniem bazowym układu równań (ii) nazywamy rozwiązanie układu powstałego przez przyrównanie do zera n m zmiennych przy założeniu, że wyznacznik współczynników pozostałych m zmiennych jest niezerowy. Te m zmiennych nazywamy zmiennymi bazowymi. Niezdegenerowanym rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym nazywamy bazowe rozwiązanie dopuszczalne, w którym wszystkie zmienne bazowe są dodatnie. Maksymalnym (minimalnym) rozwiązaniem dopuszczalnym jest rozwiązanie dopuszczalne, które maksymalizuje (minimalizuje) funkcję celu (i). 20 Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik >0, i B; b. przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk 21 7
8 Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk 22 Postać kanoniczna problemu PL Zmaksymalizować: Przy ograniczeniach: , 2,
9 Postać standardowa problemu PL Wszystkie ograniczenia mają postać równań dodajemy zmienne osłabiające (s i 0), z Jak to zrobić? zerowymi współczynnikami w funkcji celu Wektor prawych stron ograniczeń jest nieujemny (b 0) mnożymy obustronnie równanie przez ( 1) Funkcja celu jest maksymalizowana Jak to zrobić? mnożymy funkcję celu przez ( 1) Jak to zrobić? 24 Sprowadzenie ograniczeń do postaci równań Funkcja celu jest maksymalizowana Zmaksymalizować: s 1 + 0s 2 + 0s 3 Przy ograniczeniach: s 1 = s 2 = s 3 10 = 10 Wektor prawych stron ograniczeń jest dodatni 1, 12, 23, s 31, s 2 0, s
10 Problem w postaci standardowej Zmaksymalizować: s 1 + 0s 2 + 0s 3 Przy ograniczeniach: s 1 = s 2 = s 3 = 10 1, 2, 3, s 1, s 2, s Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. Wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk 27 10
11 Dopuszczalne rozwiązanie bazowe Rozwiązaniem bazowym jest rozwiązanie, które powstaje przez przyrównanie do zera n m zmiennych i rozwiązanie powstałego układu równań. Jeżeli w rozwiązaniu bazowym Uwaga: wartości w postaci standardowej zawsze n>m wszystkich zmiennych są nieujemne, to jest ono rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym. 28 Znalezienie bazy początkowej Zmaksymalizować: Przy ograniczeniach: s 1 = s 2 = s 3 = 10 Niech 1 = 2 = 3 = 0 1, 12, 23, s 13, s 2 0, s
12 Znalezienie bazy początkowej Niech 1 = 2 = 3 = s 1 = s 2 = s 3 = 10 Jest to rozwiązanie bazowe dopuszczalne 30 Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. Wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk 31 12
13 i i Numer wiersza tablicy. Liczba wierszy: m
14 i B Nazwy wektorów tworzących bazę. 1 s 1 2 s 2 3 s i B c B 1 s 1 0 Współczynniki przy zmiennych bazowych w funkcji celu. 2 s s
15 i B c B Wartości zmiennych RHS bazowych w bieżącym rozwiązaniu. 1 s s s i B c B RHS s 1 s 2 s 3 1 s s s Nazwy wszystkich zmiennych
16 Współczynniki przy zmiennych w funkcji celu s 1 s 2 s 3 1 s s s Współczynniki przy zmiennych w ograniczeniach s 1 s 2 s 3 1 s s s
17 j i B z = c s 1 s 2 s 3 i ij 1 s s s Wiersz wskaźnikowy. Wartości c j -z j 40 j i B z = c s 1 s 2 s 3 i ij 1 s s s Wiersz wskaźnikowy. Wartości c j -z j 41 17
18 1 2 3 s 1 s 2 s 3 1 s s s Wartość funkcji celu w bieżącym rozwiązaniu s 1 s 2 s 3 1 s s s
19 Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. Wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk s 1 s 2 s 3 1 s s s
20 1 2 3 s 1 s 2 s 3 1 s s s Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. Wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik >0, i B; b. Przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: Jeżeli ' wszystkie = ik ij ij ik 0, i B, to funkcja celu może lk przyjmować dowolnie duże c. wrócić wartości do kroku (rozwiązanie 4. nieograniczone). ' = lk 47 20
21 kolumna k s 1 s 2 s 3 1 s s s kolumna k s 1 s 2 s 3 1 s s s /4 < 10/
22 kolumna k s 1 s 2 s 3 1 s s wiersz l 3 s element centralny przekształcenia 50 kolumna k s 1 s 2 s 3 wiersz l 1 s s zmienna 2 (z kolumny k) zastępuje w bazie zmienną s 2 (z wiersza l) 51 22
23 Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. Wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk 52 kolumna j kolumna k s 1 s 2 s 3 wiersz i wiersz l 1 s s
24 kolumna j kolumna k s 1 s 2 s 3 1 s wiersz i wiersz l 3 s * =2,5 54 kolumna k s 1 s 2 s 3 1 s 1 0 5/ / wiersz l 3 s 3 0 5/ / / /
25 kolumna k s 1 s 2 s 3 1 s 1 0 5/ / / /4 0 3 wiersz l 3 s 3 0 5/ / / / Algorytm sympleks 1. sprowadzić problem do postaci standardowej; 2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe; 3. zbudować początkową tablicę sympleks; 4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego ( m+1,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatnia, to a. Wyznaczyć element lk o najmniejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę sympleks przyjmując element lk za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory: ' = ik ij ij c. wrócić do kroku 4. lk ' = lk 57 25
26 Tablica sympleks s 1 s 2 s 3 1 s 1 0 5/ / / / s 3 0 5/ / / / Tablica sympleks s 1 s 2 s 3 1 s 1 0 5/ / / / s 3 0 5/ / / /
27 Tablica sympleks s 1 s 2 s 3 1 s 1 0 5/ / / / s 3 0 5/ / / / Tablica sympleks s 1 s 2 s 3 1 s 1 0 5/ / / / s 3 0 5/ / / /
28 Końcowa tablica sympleks s 1 s 2 s /5 2/5 1/ /5 1/5 3/ s / /5-1/5-4/ =4 Rozwiązanie 2 =5 optymalne 3 =0 z=11 s 1 i=0 B c B RHS s 2 =0 s 3 = s 1 s 2 s /5 2/5 1/ /5 1/5 3/ s / /5-1/5-4/
29 Interpretacja rozwiązania Maksymalny zysk to 11$. Należy naprawić 4 szt. urządzenia B1 i 5 szt. urządzenia B2, natomiast nie należy przyjmować zleceń na naprawę urządzenia B3. Wartości zmiennych uzupełniających oznaczają zapas części, który pozostanie w magazynie po zakończeniu produkcji. Elementy E1 i E2 zostaną zużyte, natomiast pozostanie 11 szt. Elementu E3. 64 Problem w postaci standardowej Zmaksymalizować: s 1 + 0s 2 + 0s 3 Przy ograniczeniach: s 1 = s 2 = s 3 = 10 1, 2, 3, s 1, s 2, s
30 Przykład 2 Zminimalizować: Przy ograniczeniach: , 2, Postać standardowa Zmaksymalizować: - ( ) Przy ograniczeniach: s 1 = s 2 = 5 Baza dopuszczalna? s 3 = 2 1, 2,
31 Metoda sztucznej bazy Algorytm sympleks 68 Metoda sztucznej bazy I. Wprowadzamy k m zmiennych sztucznych. Zmienne te są nieujemne, a ich współczynniki w funkcji celu przyjmują wartość ( M), gdzie M jest dużą liczbą dodatnią. II. Tablicę sympleks ze sztucznymi wektorami przekształcamy jak zwykłą tablicę, dopóki: 1. wszystkie sztuczne wektory zostaną wyeliminowane z bazy, tj. mamy bazę dopuszczalną pierwotnego zagadnienia; 2. brak dodatnich współczynników przy M w wierszu wskaźnikowym a. jeżeli sztuczna część funkcji celu jest dodatnia, to zagadnienie nie ma rozwiązania dopuszczalnego; b. jeśli sztuczna część funkcji celu jest równa zero, to mamy zdegenerowane rozwiązanie dopuszczalne pierwotnego zagadnienia, które zawiera co najwyżej jeden sztuczny wektor. Przekształcamy tablicę sympleks wprowadzając do bazy wektor, który odpowiada największemu dodatniemu elementowi wiersza wskaźnikowego przy zerowej wartości współczynnika przy M. III. Kolumny odpowiadające zmiennym sztucznym, które opuściły bazę można eliminować z obliczeń. IV. Po otrzymaniu bazy dopuszczalnej zagadnienia pierwotnego kontynuujemy realizację algorytmu sympleks aż do otrzymania rozwiązania problemu pierwotnego
32 Sztuczna baza Zmaksymalizować: -( ) Ma 1 Ma 3 Przy ograniczeniach: s 1 + a 1 = s 2 = s 3 + a 3 = 2 1, 2, 3, s 1, s 2, s 3, a 1, a = 2 = 3 = s 1 = s 3 = 0 70 Sztuczna baza Zmaksymalizować: Ma 1 Ma 3 Przy ograniczeniach: a 1 = 3 s 2 = 5 a 3 = 2 1 = 2 = 3 = s 1 = s 3 =
33 i B c B M -M RHS s 1 s 2 s 3 a 1 a 3 1 a 1 -M s a 3 -M M 1+5M 1+2M -M 0 -M 0 0-5M 72 Rozwiązanie EploreLP.ee 73 33
34 Przykład 3 Zminimalizować: Przy ograniczeniach: , Rozwiązanie EploreLP.ee 75 34
35 Podsumowanie Sformułowanie problemu PL w postaci standardowej Algorytm sympleks Metoda sztucznej bazy Metoda graficzna 76 35
Dualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowo(Dantzig G. B. (1963))
(Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne egzamin
Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe
Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoMetody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoIwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ
1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoWspomaganie Decyzji. Roman Słowiński. Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji. Instytut Informatyki. Politechniki Poznańskiej
Wspomaganie Decyzji Roman Słowiński Zakład Inteligentnyc Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politecniki Poznańskiej Roman Słowiński Problem decyzyjny Istnieje cel lub cele do osiągnięcia
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowo