Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Transkrypt

1 Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego z ograniczeniami chwilowymi sterowania i z uwik lanym sterowaniem w równaniach stanu Rozważmy zadanie optymalnego sterowania docelowego z uwik lanym sterowaniem w równaniach stanu i z ograniczeniami chwilowymi sterowania: zminimalizować wskaźnik jakości G(x, u) = uwzglȩdniaj ac równanie stanu warunki graniczne t1 oraz ograniczenia chwilowe sterowania t 0 g(x(t), u(t), t)dt ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t 0, t 1 ], x(t 0 ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 u(t) U, t [t 0, t 1 ]. Za lóżmy chwilowe ograniczenia w postaci u(t) u max, t [t 0, t 1 ]. Wprowadzamy kwadratow a funkcjȩ kary za przekroczenie ograniczeń chwilowych K j (u j (t)) = { 0 gdy u j (t) u max j, ρ j ( u j (t) u max j ) gdy u j (t) > u max j, gdzie ρ j > 0 jest wspó lczynnikiem kary. Wraz ze wzrostem wspó lczynnika kary ρ j + funkcja kary staje siȩ coraz bardziej stroma i tym samym coraz dok ladniejsza. 1

2 Stosuj ac metodȩ funkcyjnych mnożników Lagrange a λ(t) dla równań stanu i funkcjȩ kary K(u(t)). = m j=1 K j(u j (t)) dla ograniczeń chwilowych sterowania w l aczamy te ograniczenia do wskaźnika jakości G(x, λ, u). = t1 t 0 ( g(x(t), u(t), t) + λ T (t)(ẋ(t) f(x(t), u(t), t)) + K(u(t)) ) dt minimalizowanego przy jedynych pozosta lych ograniczeniach jakimi s a warunki graniczne x(t 0 ) = x 0, x(t 1 ) = x 1. Tak wiȩc rozszerzamy zakres zmiennych do postaci wektora zmiennych funkcyjnych (x, λ, u) traktuj ac je jako równoprawne zmienne optymalizacyjne z przestrzeni C 1. Warunki konieczne optymalności określimy definiuj ac funkcjȩ g jak nastȩpuje g(x(t), ẋ(t), λ(t), λ(t), u(t), u(t), t) = g(x(t), u(t), t) + λ T (t)(ẋ(t) f(x(t), u(t), t)) + K(u(t)) i zapisujemy warunki konieczne optymalności w postaci nastȩpuj acego uk ladu równań Eulera-Lagrange a równanie optymalnego kostanu (równanie sprzȩżone) równanie optymalnego stanu g o x(t) d dt gȯ x(t) = 0, t [t 0, t 1 ], ( ) g o λ(t) d dt gȯ λ (t) = 0, t [t 0, t 1 ], ( ) równanie optymalnego sterowania g u(t) o d dt gȯ u(t) = 0, t [t 0, t 1 ], ( ). Jest to uk lad n + m równań różniczkowych dla n + m zmiennych funkcyjnych. Mnożnik funkcyjny λ(t) nazywany jest w zadaniach sterowania optymalnego zmienn a kostanu (wektorem kostanu) lub zmienn a sprzȩżon a (wektorem zmiennych sprzȩżonych). Uk lad tych równań pozwala dla niektórych klas problemów sterowania optymalnego efektywnie sparametryzować sterowanie

3 optymalne, co u latwia jego dookreślenie za pomoc a prostego dodatkowego algorytmu obliczeniowego. Minimalnoczasowe sterowanie docelowe dla uk ladów liniowych Zadanie polega na minimalizacji czasu realizacji procesu docelowego G(x, u) = t1 t 0 dt = t 1 t 0 z uwzglȩdnieniem liniowego stacjonarnego równania stanu uk ladu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t 0, t 1 ], warunków dwugranicznych x(t 0 ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) u max, t [t 0, t 1 ]. Rozszerzamy zestaw zmiennych i zapisujemy zmodyfikowany wskaźnik jakości G(x, λ, u) = t1 t 0 ( 1 + λ T (t)(ẋ(t) Ax(t) Bu(t)) + K(u(t)) ) dt. W tym przypadku funkcja g przybiera postać g(x(t), ẋ(t), λ(t), λ(t), u(t), u(t), t) = 1+λ T (t)(ẋ(t) Ax(t) Bu(t))+K(u(t)). Obliczamy pochodne funkcji g g x = λ T (t)a, gẋ = λ T (t), g λ = (ẋ(t) Ax(t) Bu(t)) T, g λ = 0, g u = λ T (t)b + K u (u(t)), g u = 0. Zapisujemy uk lad równań Eulera-Lagrange a 3

4 równanie optymalnego kostanu równanie optymalnego stanu λ T (t)a λ T (t) = 0, ẋ(t) Ax(t) Bu(t) = 0, równanie optymalnego sterowania λ T (t)b + K u (u(t)) = 0. Ostatnie równanie można przepisać w postaci uk ladu równań skalarnych dla poszczególnych zmiennych steruj acych K j,uj (u j (t)) = n λ i (t)b ij, j = 1,..., m. i=1 Tak wiȩc optymalne przebiegi zmiennych steruj acych określone s a dla zależnościami u o j(t) = u max j sign( n λ i (t)b ij ), j = 1,..., m. Ponieważ charakter rozwi azania równania sprzȩżonego i=1 λ(t) = A T λ(t) zależy od charakteru wartości w lasnych macierzy stanu A, wiȩc również i postać sterowania optymalnego zależy od tych wartości. Jeśli wartości w lasne s 1, s,..., s n macierzy stanu A s a rzeczywiste jednokrotne, to zmienne sprzȩżone s a sumami eksponent λ i (t) = C i1 e s 1t + C i e s t C in e snt, t [t 0, t 1 ], i = 1,..., n. Lemat: Suma n eksponent może zmieniać znak w przedziale [t 0, t 1 ] nie wiȩcej niż n 1 razy. Wniosek: Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladu liniowego, którego macierz stanu posiada wartości w lasne rzeczywiste jednokrotne, przyjmuje wartości +u max j lub u max j i zmienia znak w przedziale [t 0, t 1 ] nie wiȩcej niż n 1 razy. Mówimy, że sterowanie optymalne jest w tym przypadku typu przekaźnikowego lub typu bang- bang. 4

5 Wniosek ten obowi azuje także dla przypadku wielokrotnych rzeczywistych wartości w lasnych macierzy stanu A, gdyż suma n eksponent mnożonych przez funkcje potȩgowe również zmienia znak w przedziale [t 0, t 1 ] nie wiȩcej niż n 1 razy. Przyk lad: Minimalnoczasowe sterowanie tarcz a obrotow a tarcza obrotowa θ(t), Ω(t) U(t) silnik rewersyjny przek ladnia zmienna steruj aca - napiȩcie obwodu steruj acego silnika u(t) = U(t), zmienne stanu - po lożenie k atowe tarczy x 1 (t) = θ(t), prȩdkość k atowa tarczy x (t) = Ω(t). Zadanie minimalnoczasowego sterowania docelowego tarcz a obrotow a polega na minimalizacji wskaźnika jakości G(x, u) = z uwzglȩdnieniem równań stanu ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = bu(t), t [0, t 1 ], warunków dwugranicznych x i (0) = x i0, x i (t 1 ) = x i1, oraz ograniczeń amplitudy sterowania u(t) 1, t [0, t 1 ]. W tym przypadku równanie wartości w lasnych det(si A) = 0 przyjmuje postać s = 0, a zatem macierz stanu posiada podwójn a zerow a wartość w lasn a. oznacza to, że sterowanie minimalnoczasowe tarcz a obrotow a jest typu przekaźnikowego i zmienia znak nie wiȩcej niż 1 raz w przedziale [0, t 1 ]. Aby przedstawić algorytm wyznaczania konkretnego przebiegu sterowania minimalnoczasowego dla rozważanego obiektu określimy postać trajektorii stanu dla sterowania optymalnego u o (t) = ±1 przy dowolnych warunkach 5 t1 0 dt

6 pocz atkowych x 1 (0) = x 10, x (0) = x 0 i zerowych warunkach końcowych x 1 (t 1 ) = 0, x (t 1 ) = 0. Ca lkuj ac równania stanu ze sterowaniem u o (t) = ±1 uzyskujemy x (t) = C 1 ± t, x 1 (t) = C + C 1 t ± 0.5t. Z warunków pocz atkowych wynika, że x (0) = C 1 C 1 = x 0, x 1 (0) = C C = x 10. Przebiegi wspó lrzȩdnych stanu w funkcji czasu można zapisać jak nastȩpuje x 1 (t) = 0.5t + x 0 t + x 10, x (t) = ±t + x 0. Eliminujemy czas z tych zależności 0.5x (t) = 0.5(x 0 ± t) = 0.5(x 0 ± x 0 t + t ) = 0.5x 0 ± x 0 t + 0.5t czyli 0.5x (t) 0.5x 0 = 0.5t ± x 0 t i Ponieważ ±0.5x 0.5x 0 = ±0.5t + x 0 t. x 1 (t) x 10 = ±0.5t + x 0 t, wiȩc miȩdzy wspó lrzȩdnymi stanu x 1 i x zachodzi zwi azek x 1 = ±0.5x 0.5x 0 + x 10. Oznacza to, że trajektorie stanu uk ladu ze sterowaniem optymalnym s a parabolami jako funkcje x 1 (x ), przy czym dla sterowania u o (t) = +1 mamy x 1 = 0.5x 0.5x 0 + x 10, a dla sterowania u o (t) = 1 mamy x 1 = 0.5x + 0.5x 0 + x 10. 6

7 Punkt pocz atkowy trajektorii stanu określony jest przez warunki pocz atkowe (x 10, x 0 ). Wyróżnimy nastȩpuj ace trzy charakterystyczne obszary p laszczyzny stanu: krzywa prze l aczeń P jest zbiorem punktów (x 1, x ) spe lniaj acych równanie x 1 = 0.5x sign(x ), obszar nad krzyw a prze l aczeń S jest zbiorem punktów (x 1, x ) spe lniaj acych nierówność x 1 > 0.5x sign(x ), obszar pod krzyw a prze l aczeń S + jest zbiorem punktów (x 1, x ) spe lniaj acych nierówność x 1 < 0.5x sign(x ). Sterowanie minimalnoczasowe w uk ladzie otwartym określane jest w nastȩpuj acy sposób: jeśli punkt pocz atkowy trajektorii stanu znajduje siȩ na krzywej prze l aczeń, to u o (t) = +1, t [0, t 1 ] jeśli x 0 i u o (t) = 1, t [t 0, t 1 ] jeśli x 0, jeśli punkt pocz atkowy trajektorii stanu znajduje siȩ nad krzyw a prze l aczeń, to u o (t) = 1, t [0, t) aż do momentu t osi agniȩcia krzywej prze l aczeń - wtedy nastȩpuje prze l aczenie na u o (t) = +1, t [ t, t 1 ], jeśli punkt pocz atkowy trajektorii stanu znajduje siȩ pod krzyw a prze l aczeń, to u o (t) = +1, t [0, t) aż do momentu t osi agniȩcia krzywej prze l aczeń - wtedy nastȩpuje prze l aczenie na u o (t) = 1, t [ t, t 1 ]. Prosta postać analityczna krzywej prze l aczeń pozwala latwo określić sterowanie minimalnoczasowe w uk ladzie zamkniȩtym jeśli ϑ(x 1, x ) 0, ϑ(x 1, x ) trajektorii stanu znajduje siȩ poza krzyw a prze l aczeń), to. = x x sign(x ) (punkt bież acy u o (x 1, x ) = sign(ϑ(x 1, x )), jeśli ϑ(x 1, x ) = 0 (punkt bież acy trajektorii stanu znajduje siȩ na krzywej 7

8 prze l aczeń), to u o (x 1, x ) = sign(x ). Sterowanie minimalnoczasowe w rozważanym uk ladzie może być realizowane z użyciem programowalnej karty szybkiego przetwarzania (fast processing programmable cards - Industrial Instruments) implementuj acej algorytm sprzȩżenia zwrotnego. Programowalna karta szybkiego przetwarzania sterowanie Obiekt sterowania wyjście US OS 8

9 Jeśli wartości w lasne s 1, s,..., s n macierzy stanu A s a zespolone, to zmienne sprzȩżone s a funkcjami oscylacyjnymi i w zwi azku z tym sterowanie minimalnoczasowe może mieć wiȩcej niż n 1 prze l aczeń. Przyk lad: minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora idealnego do po lożenia równowagi. ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Obiekt sterowania M si la stabilizuj aca Uk lad o charakterze oscylatora idealnego jest opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = a 1 x 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ), i = 1, i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1, gdzie a 1 jest wspó lczynnikiem amortyzatora sprȩżynowego. Dla celów analizy w lasności matematycznych modelu uk ladu użyteczna jest symetryzacja równań stanu uzyskiwana przez podstawienia ω = a 1, x 1 (t) := x 1 (t)/ω. Równania stanu oscylatora idealnego ze sterowaniem po symetryzacji przybieraj a postać ẋ 1 (t) = ωx (t), ẋ = ωx 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ]. W tym przypadku macierze stanu, kostanu i sterowania można zapisać nastȩpuj aco: ( ) ( ) ( ) 0 ω A =, A T 0 ω 0 =, B = ω 0 ω 0 1 9

10 Równanie optymalnego kostanu λ(t) = A T λ T (t) implikuje dla zmiennych sprzȩżonych równania λ 1 (t) = ωλ (t), λ (t) = ωλ 1 (t). Uk lad ten można zredukować do pojedynczego równania drugiego rzȩdu z równaniem charakterystycznym λ 1 (t) = ω λ 1 (t) r = ω, r 1, = ±jω. Oznacza to, że zmienne sprzȩżone s a w tym przypadku okresowymi funkcjami czasu i w szczególności λ (t) = αsin(ωt + β). Z równania optymalnego sterowania uzyskujemy K u (u(t)) = λ (t). Wynika st ad, że przebieg sterowania minimalnoczasowego jest określony zależności a u o (t) = sign(αsin(ωt + β)). Wnioski z równania sterowania minimalnoczasowego: Sterowanie minimalnoczasowe oscylatora idealnego przyjmuje wartości +1 lub 1 (jest typu bang-bang). Czas sta lości sterowania minimalnoczasowego na poziomie +1 lub 1 nie może być d luższy niż π/ω jednostek czasu (okres drgań badanego oscylatora wynosi π/ω, a czas przebiegu po lowy okrȩgu wynosi π/ω). Tylko pierwszy i ostatni przedzia l sta lości sterowania może być mniejszy od π/ω, a wszystkie pośrednie przedzia ly (jeśli wszystkich przedzia lów sta lości sterowania jest wiȩcej niż dwa) musz a być równe π/ω. Liczba prze l aczeń sterowania minimalnoczasowego może nieograniczenie narastać wraz ze wzrostem czȩstotliwości sterowania. 10

11 Kszta lt trajektorii stanu oscylatora idealnego ze sterowaniem u = +1: ẋ 1 (t) = ωx (t), ẋ (t) = ωx 1 (t) + 1 ẍ 1 (t) = ω x 1 (t) + ω x 1 (t) = 1/ω + c 1 cos ωt + (c /ω)sin ωt, x (t) = c 1 ωsin ωt + c cos ωt x 10 = c 1 + 1/ω; x 0 = c ω x 1 (t) = 1/ω + (x 10 1/ω)cos ωt + x 0 sin ωt, x (t) = (x 10 1/ω)sin ωt + x 0 cos ωt ωx 1 (t) 1 = (ωx 10 1)cos ωt + ωx 0 sin ωt, ωx (t) = (ωx 1 (t) 1)sin ωt + ωx 0 cos ωt. Na tej podstawie ustalamy zwi azek miȩdzy zmiennymi x 1 (t) i x (t) podnosz ac do kwadratu ostatnie zależności (ωx 1 1) + (ωx ) = (ωx 10 1) + (ωx 0 ). Stosuj ac analogiczne przekszta lcenia uzyskujemy dla sterowania u = 1 (ωx 1 + 1) + (ωx ) = (ωx 10 1) + (ωx 0 ). Tak wiȩc trajektorie stanu oscylatora idealnego s a, we wspó lrzȩdnych (ωx 1, ωx ), okrȩgami o środku (1, 0) dla sterowania u = +1 i okrȩgami o środku ( 1, 0) dla sterowania u = 1. Promień okrȩgu jest równy ρ = ((ωx10 1) + (ωx 0 ) ). 11

12 ωx ωx 1 ωx ωx 1 1

13 Przyk lad: minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora z t lumieniem w lasnym do po lożenia równowagi. ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Obiekt sterowania M si la stabilizuj aca t lumik Uk lad o charakterze oscylatora z t lumieniem w lasnym jest opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = x 1 (t) ξx (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ), i = 1, i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1, gdzie ξ (0, 1) jest wspó lczynnikiem t lumienia oscylatora. Dla celów analizy w lasności matematycznych modelu uk ladu dokonujemy symetryzacji równań stanu wprowadzaj ac nowe wspó lrzȩdne stanu za pomoc a przekszta lcenia ( x 1 x ) = ξ 1 ξ ξ 1 ( z 1 z ) czyli ( z 1 z ) = ( ) ( 1 ξ 0 ξ 1 x 1 x ) 13

14 Równania stanu w nowych wspó lrzȩdnych przybior a postać ( ) ( ) ( ) ż 1 (t) 1 ξ = ż (t) ξ 1 1 ξ ξ 1 ξ ξ 1 ( ) ( ) z 1 (t) 0 + u(t) z (t) 1 czyli ( ) ( ) ( ) ( ) ż 1 (t) ξ 1 ξ = ż (t) z 1 (t) 0 + u(t). 1 ξ ξ z (t) 1 Zadanie minimalnoczasowego sterowania dla oscylatora z t lumieniem w lasnym w nowych wspó lrzȩdnych stanu przybierze postać: zminimalizować wskaźnik jakości G(z, u) = t1 uwzglȩdniaj ac ograniczenia w postaci przekszta lconych równań stanu 0 dt ż(t) = Az(t) + Bu(t), t [0, t 1 ], z(0) = z 0, z(t 1 ) = z 1 oraz w postaci maksymalnej dopuszczalnej amplitudy sterowania u(t) 1, t [0, t 1 ], gdzie ( ) ( ) ξ 1 ξ A = 0, B = u(t). 1 ξ ξ 1 Zapisujemy zmodyfikowany funkcjona l Lagrange a G(z, λ, u) = t1 0 oraz równania Eulera-Lagrange a ( 1 + λ T (t)(ż(t) Az(t) Bu(t)) + K(u(t)) ) dt λ(t) = A T λ(t), ż(t) = Az(t) + Bu(t), K u (u(t)) = λ T (t)b, gdzie ( A T ξ = 1 ξ ) 1 ξ ξ 14

15 Z równania optymalnego sterowania wynika, że u o (t) = sign(λ (t)). W zwi azku z tym analizujemy rozwi azanie równań sprzȩżonych przyjmuj acych w zapisie skalarnym postać λ 1 (t) = ξλ 1 (t) + 1 ξ λ (t), λ (t) = 1 ξ λ 1 (t) + ξλ (t). Wyznaczamy rozwi azanie uk ladu równań sprzȩżonych jako uk ladu stacjonarnych jednorodnych równań różniczkowych λ 1 (t) = C 1 e ξt sin( 1 ξ t + C, λ (t) = C 1 e ξt cos( 1 ξ t + C. Tak wiȩc sterowanie minimalnoczasowe określone jest przez znak funkcji typu cosαt (modulowanej przez eksponentȩ) u o (t) = sign(c 1 e ξt cos( 1 ξ t + C ). Wynika st ad, że sterowanie minimalnoczasowe dla oscylatora z t lumieniem w lasnym przyjmuje wartości +1 lub -1 i zachowuje sta l awartość nie d lużej niż π 1 ξ jednostek czasu. Aby określić krzyw a prze l aczeń sterowania minimalnoczasowego zapisujemy równania stanu dla u(t) = ±1: i ich rozwi azanie dla u o = +1 ż 1 (t) = ξz 1 (t) + 1 ξ z (t), ż (t) = ξz 1 (t) ξz (t) ± 1. oraz dla u o = 1 z 1 (t) = 1 ξ + C 1 e ξt cos( 1 ξ t + C ), z (t) = ξ C 1 e ξt sin( 1 ξ t + C ) z 1 (t) = 1 ξ + C 1 e ξt cos( 1 ξ t + C ), 15

16 z (t) = ξ C 1 e ξt sin( 1 ξ t + C ). Wprowadzaj ac wspó lrzȩdna biegunowe uzyskujemy dla u o = +1 ρ(t). = C 1 e ξt, ϕ(t). = 1 ξ t C z 1 (t) 1 ξ = ρ(t)cos ϕ(t), z (t) ξ = ρ(t)sin ϕ(t). Trajektoria stanu opisywana tymi równaniami jest spiral a logarytmiczn a o środku ( 1 ξ, ξ). Natomiast dla u o = 1 uzyskujemy z 1 (t) + 1 ξ = ρ(t)cos ϕ(t), z (t) + ξ = ρ(t)sin ϕ(t). Trajektoria stanu opisywana tymi równaniami jest spiral a logarytmiczn a o środku ( 1 ξ, ξ). Po lowa zwoju każdej ze wskazanych spirali odpowiada π 1 ξ jednostkom czasu. Pierwsze dwa kawa lki krzywej prze l aczeń określone s a spiralami przechodz acymi przez pocz atek uk ladu wspó lrzȩdnych. Kolejne kawa lki krzywej prze l aczeń określane s a przez osi aganie tych pierwszych kawa lków za pomoc a po lowy zwoju spirali jako przebiegu trajektorii stanu uk ladu odpowiadaj acego π 1 ξ jednostkom czasu. Każdemu stanowi pocz atkowemu po lożonemu nad krzyw a prze l aczeń odpowiada sterowanie optymalne u o = 1, a pod krzyw a - sterowanie optymalne u o =