Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik"

Transkrypt

1 Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik

2 .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków ograniczających Decyzje dopuszczalne Decyzje optymalna Zadanie programowania liniowego T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

3 .. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Metoda geometryczna Metoda simpleks Zmienne bilansujące Postać bazowa Zmienne bazowe Zmienne niebazowe Kryterium optymalności Kryterium wejścia Kryterium wyjścia Zmienna sztuczna Analiza wrażliwości T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

4 .. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Zadanie prymalne Zadanie dualne Prymalna metoda simpleks Dualna metoda simpleks Parametryczne programowan Wektor funkcji celu zależny od parametru Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

5 .. Metoda geometryczna... Model matematyczny (/) Przykład. Zadanie programowania produkcji Środki produkcji S S S 3 Produkty Zasoby P P Zyski Należy zaplanować produkcję zakładu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

6 .. Metoda geometryczna... Model matematyczny (/) Składowe modelu Zmienne decyzyjne x - planowany rozmiar produkcji produktu P, x - planowany rozmiar produkcji produktu P. Funkcja celu f(x,x ) Warunki ograniczające = x + 3x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

7 .. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/6) Pierwszy warunek ograniczający x + x 4 x + x < 4 x (,7) x + x > 4 x + x = 4 (,) (7,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

8 .. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/6) Drugi warunek ograniczający x + x 8 x x + x < 8 (,4) x + x = 8 x + x > 8 (,) (8,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

9 .. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (3/6) Trzeci warunek ograniczający 4x 6 4x < 6 4x = 6 4x > 6 (,) (4,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

10 .. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (4/6) Warunki nieujemności x x x (,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

11 .. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (5/6) Warunki nieujemności (c.d.) x x x (,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

12 .. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (6/6) Część wspólna x D A E B F O C G H x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

13 .. Metoda geometryczna..3. Warstwice funkcji celu (/) Rozwiązanie optymalne x x + 3x = 6 A O x + 3x = 8 B (4, ) C x + 3x = 4 x + 3x = x Rozwiązanie optymalne: x = 4 planujemy wytworzenie 4 jednostek produktu P x = planujemy wytworzenie jednostek produktu P f(4,) = 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

14 .. Metoda geometryczna..4. Gradient funkcji celu (/) Rozwiązanie optymalne f x = f x = 3 x A B (4, ) x + 3x = 4 O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

15 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (/7) Zmienne bilansujące Środek S x + x 4 x + x + x 3 = 4 x 3 = 4 x x x 3 - niewykorzystana ilość środka S T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

16 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (/7) Zmienne bilansujące (c.d.) Środek S x + x 8 x + x + x 4 = 8 x 4 = 8 x x x 4 - niewykorzystana ilość środka S T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

17 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (3/7) Zmienne bilansujące (c.d.) Środek S 3 4x 6 4x + x 5 = 6 x 5 = 6 4x x 5 - niewykorzystana ilość środka S 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

18 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (4/7) Postać standardowa f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

19 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (5/7) Postać macierzowa c c - wektor funkcji celu, A - macierz współczynników, b - wektor warunków ograniczających, x - wektor zmiennych. f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = x + 3x max = [ x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5, 3 ] A = 4 4 b = 8 6 cx max Ax = b x x x x = x3 x4 x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

20 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (6/7) Postać bazowa A = x x 4 x 3 x 4 x 5 x 3, x 4, x 5 - zmienne bazowe x, x - zmienne niebazowe x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 Bazowe rozwiązanie dopuszczalne x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 8, x 5 = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

21 .3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (7/7) Tablica simpleksowa cx max Ax = b x cx max Baza c B x 3 x 4 3 x x x 3 x 4 x 5 b 4 8 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

22 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (/7) Jeden krok algorytmu metody simpleks Należy: stwierdzić, czy rozpatrywane rozwiązanie bazowe jest optymalne, czy też nie, w przypadku, gdy nie jest optymalne, wyznaczyć nową bazę sąsiednią, przekształcić za pomocą przekształceń elementarnych macierz warunków ograniczających do postaci bazowej względem bazy sąsiedniej, jeżeli rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne, zakończyć postępowanie. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

23 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (/7) Pierwszy warunek ograniczający x : x + x + x 3 = 4 Ponieważ x = oraz x =, mamy: stąd + x 3 = 4 x 3 = Każdej dodanej jednostce zmiennej x odpowiada spadek wartości zmiennej bazowej x 3 i zmianę tą opisuje wartość współczynnika a =. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

24 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (3/7) Drugi warunek ograniczający x : x + x + x 4 = 8 Ponieważ x = oraz x =, mamy: stąd + x 4 = 8 x 4 = 7 Każdej dodanej jednostce zmiennej x odpowiada spadek wartości zmiennej bazowej x 4 i zmianę tą opisuje wartość współczynnika a =. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

25 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (4/7) Trzeci warunek ograniczający x : 4x + x 5 = 6 Ponieważ x = oraz x =, mamy: stąd 4 + x 5 = 6 x 5 = Każdej dodanej jednostce zmiennej x odpowiada spadek wartości zmiennej bazowej x 5 i zmianę tą opisuje wartość współczynnika a 3 = 4. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

26 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (5/7) Zmiany wartości funkcji celu Wzrost wartości funkcji celu c = Spadek wartości funkcji celu związany z obniżeniem dotychczasowych wartości przez zmienne bazowe zmienna x 3 : c 3 a = = zmienna x 4 : c 4 a = = zmienna x 5 : c 5 a 3 = 4 = czyli z = = Zmiana netto: c z = = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

27 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (6/7) Wskaźniki optymalności cx max Baza c B 3 x x x 3 x 4 x 5 x 3 4 x 4 x 5 4 c j z j 3 b 8 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

28 .3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (7/7) Kryterium optymalności Jeżeli w zadaniu maksymalizacji wartości wszystkich wskaźników optymalności są niedodatnie, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli choć jeden ze wskaźników optymalności jest dodatni, wtedy istnieje możliwość poprawy tego rozwiązania. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

29 .3. Metoda simpleks.3.3. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy (/) Kryterium wejścia Wybieramy największą wartość wskaźnika optymalności. Odpowiadającą mu zmienną wprowadzamy do nowej bazy. Jeżeli największej wartości wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jedna zmienna, do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

30 .3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/5) Pierwszy warunek ograniczający Do nowej bazy wprowadzamy zmienną x x + x + x 3 = 4 Zmienna x jako niebazowa jest równa, czyli: x + x 3 = 4 Kiedy zmienna x 3 przyjmuje wartość? x = 4, czyli x = 7 (b : a = 7) Największa dopuszczalna wartość zmiennej x warunku ograniczającego jest równa 7. dla pierwszego T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

31 .3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/5) Drugi warunek ograniczający Do nowej bazy wprowadzamy zmienną x x + x + x 4 = 8 Zmienna x jako niebazowa jest równa, czyli: x + x 4 = 8 Kiedy zmienna x 4 przyjmuje wartość? x = 8, czyli x = 4 (b : a = 4) Największa dopuszczalna wartość zmiennej x dla drugiego warunku ograniczającego jest równa 4. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

32 .3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (3/5) Trzeci warunek ograniczający Do nowej bazy wprowadzamy zmienną x 4x + x + x 5 = 6 Zmienna x jako niebazowa jest równa, czyli: x + x 5 = 6 Kiedy zmienna x 5 przyjmuje wartość? Ponieważ współczynnik przy x jest równy zmiennej x 5 nie można wyprowadzić z bazy przez wprowadzenie do bazy zmiennej x. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

33 .3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (4/5) Kryterium wyjścia Obliczamy ilorazy kolejnych wyrazów wolnych przez odpowiadające im elementy kolumny wchodzącej do bazy dla tych elementów kolumny wprowadzanej do bazy, które są dodatnie. Bazę opuszcza zmienna, dla której odpowiadający iloraz jest najmniejszy. Jeżeli minimum jest przyjmowane więcej niż jeden raz, wtedy jako zmienną opuszczającą bazę wybieramy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33

34 .3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (5/5) Zastosowanie kryterium wyjścia cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b b/a x x x c j z j 3 Z bazy usuwamy zmienną x 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34

35 .3. Metoda simpleks.3.5. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Przekształcenia elementarne.. Podzielenie obydwu stron dowolnie wybranego warunku ograniczającego przez dowolną liczbę różną od zera. Dodanie stronami do dowolnie wybranego warunku ograniczającego pomnożonego przez dowolną liczbę różną od zera innego warunku pomnożonego przez dowolną liczbę różną od zera. Przekształcenia elementarne stosujemy dla warunków ograniczających w postaci równości. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35

36 .3. Metoda simpleks.3.5. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Tablice simpleksowe cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 8 x c j z j 3 cx max 3 Baza Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x 5 c j z j,5,5 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36 b 4 b 6 4 6

37 .3. Metoda simpleks.3.6. Kolejne iteracje (/) Iteracja cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b b/a x x 3,5,5 4 8 x c j z j,5,5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 37

38 .3. Metoda simpleks.3.6. Kolejne iteracje (/) Iteracja 3 cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x c j z j,5,5,5,5,5,5 Ponieważ wszystkie wskaźniki optymalności są niedodatnie, zgodnie z kryterium optymalności rozwiązanie: 4 4 jest optymalne. x = 4, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38

39 .3. Metoda simpleks.3.7. Interpretacja geometryczna (/) Kolejne iteracje x D A P E B F O P C G H x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39

40 .3. Metoda simpleks.3.8. Macierz odwrotna do postaci bazowej (/) Tablice simpleksowe w pierwszej i drugiej iteracji x B = A B - b Pierwsza iteracja Baza x x x 3 x 4 x 5 b x 3 4 Druga iteracja 3 x 4 x 5 4 Baza x 3 x x 5 x x x 3 x 4 x 5 -,5, b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

41 .3. Metoda simpleks.3.8. Macierz odwrotna do postaci bazowej (/) Rozwiązanie bazowe w drugiej iteracji = A B =,5 A B T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4 = =,5 A A B B = = ,5 x B

42 .3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (/5) Przykład. W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji łączny rozmiar produkcji ma być nie mniejszy niż 3 jednostki Model matematyczny: Funkcja celu Warunki ograniczające f(x,x ) = x + 3x x + x 4 x + x 8 4x 6 x + x 3 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

43 .3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (/5) Metoda geometryczna x A W B O W C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43

44 .3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (3/5) Zmienne bilansujące f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x + x x 6 = 3 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, Rozwiązanie bazowe: x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 8, x 5 =6, x 6 = 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44

45 .3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (4/5) Zmienna sztuczna f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) = x + 3x 3x 7 max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x + x x 6 + x 7 = 3 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45

46 .3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (5/5) Tablice simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 x 4 x 5 4 x 7 3 c j z j Ostatnia tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3,5 x 6,5,5 x,5 x 3,5,5 c j z j,5,5 33 b b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46

47 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (/4) Przykład.3 W rozpatrywanym w przykładzie.. zadaniu programowania produkcji łączny rozmiar produkcji ma być nie mniejszy niż 8 jednostek. Model matematyczny: Funkcja celu Warunki ograniczające f(x,x ) = x + 3x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x + x 8 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47

48 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (/4) Metoda geometryczna x x + x = 4 4x = 6 O x + x = 8 x + x = 8 x Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 48

49 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (3/4) Pierwsza dopuszczalna postać bazowa Funkcja celu: f(x, x ) = x + 3x 3x 7 max Warunki ograniczające: x + x + x 3 = 4 x + x +x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x + x x 6 + x 7 = 8 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 49

50 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (4/4) Tablice simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 x 4 x 5 4 x 7 3 c j z j Ostatnia tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3,5 x 3,5,5 x,5 x 7 3,5,5 c j z j 5,5 37,65 3 b b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

51 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (/4) Przykład.4 W rozpatrywanym przykładzie. zadaniu programowania produkcji zysk jednostkowy dla produktu P zwiększa się z 3 do 4 jednostek. Model matematyczny: Funkcja celu f(x,x ) = x + 4x max Warunki ograniczające x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

52 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (/4) Metoda geometryczna x A B x + 4x = 6 O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

53 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (3/4) Pierwsza dopuszczalna postać bazowa Funkcja celu: Warunki ograniczające: Pierwsza tablica simpleksowa: f(x,x ) = x + 4x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x +x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 cx max 4 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 4 c z 4 b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 53

54 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (4/4) Tablice simpleksowe Ostatnia tablica simpleksowa cx max 4 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b b/a x x 4,5,5 4 8 x c j z j 6 Rozwiązanie alternatywne cx max Baza c B x 3 x 4 x 4 x x x 3 x 4 x 5,5,5,5,5 c j z j 6 b 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 54

55 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/) Przykład.5 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji występują jedynie ograniczenia dotycząceśrodka S 3. Całkowity rozmiar produkcji nie może być mniejszy niż 3 jednostki. Model matematyczny: Funkcja celu Warunki ograniczające f(x,x ) = x + 3x max 4x 6 x + x 3 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 55

56 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/) Metoda geometryczna x W max x + 3x = O W D x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 56

57 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (3/) Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Funkcja celu: f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = x + 3x max Warunki ograniczające: 4x + x 3 = 6 x + x x 4 = 3 x, x, x 3, x 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 57

58 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (4/) Pierwsza tablica simpleksowa cx max Baza c B x 3 x 3 3 x x x 3 x 4 c z 3 b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 58

59 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (5/) Zadanie minimalizacji x W min x + 3x = 6 O W D x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 59

60 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (6/) Przykład.6 Zużycie środka S 3 nie może przekraczać 6 jednostek, łączna wielkość produkcji nie może być mniejsza od 3 jednostek. Koszty jednostkowe, związane z wytwarzanie zarówno produktu P, jak i P wynoszą. Znaleźć plan produkcji, minimalizujący koszty. x + x min 4x 6 x + x 3 x, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

61 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (7/) Metoda geometryczna x W O W x W i W - Alternatywne bazowe rozwiązania optymalne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

62 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (8/) Postać bazowa i tablica simpleksowa x + x min 4x + x 3 6 x + x x 4 3 x, x W cx max Baza c B x 3 x x x x 3 x 4 4 b 6 3 c z 6 Wprowadzając do bazy x otrzymamy W T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

63 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (9/) Przykład.7 x x x max x x x x, x O W x Nieograniczona krawędź optymalna T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 63

64 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/) Postać bazowa i tablica simpleksowa f(x, x, x 3, x 4 ) = x x max x x x 3 = x x 4 = x, x, x 3, x 4 Dodając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy: f(x, x, x 3, x 4 ) = x x max x x 3 x 4 = 4 x x 4 = x, x, x 3, x 4 cx max Baza c B x x x x x 3 x 4 c z b 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 64

65 .4. Przegląd szczególnych przypadków.4.4. Reguły postępowania w metodzie simpleks (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego.. Ocena optymalności rozwiązania. 3. Badanie niesprzeczności zadania. 4. Identyfikacja rozwiązań alternatywnych. 5. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 6. Badanie nieograniczoności funkcji celu i istnienia krawędzi sprawnej. 7. Wybór zmiennej usuwanej z bazy. 8. Sprowadzenie warunków ograniczających do postaci bazowej względem nowej bazy. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 65

66 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (/4) Przykład.8 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji zysk z wytworzenia jednostki P wynosi c. Model matematyczny: Funkcja celu: c x + 3x max Warunki ograniczające: x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 66

67 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (/4) Ostatnia tablica simpleksowa cx max c 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x 3,5,5 x c,5 4 c z,5,5c +,375 4c +6,5c +,375 czyli c,5 x A B O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 67

68 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (3/4) Przykład.9 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji zysk z wytworzenia jednostki P wynosi c. Ostatnia tablica simpleksowa cx max c Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3,5 x c,5,5 x,5 c z,5c,5c,5 b c,5c i,5c,5 c [, 4] T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 68

69 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (4/4) Przykład. Łączna analiza wrażliwości dla produktów P i P. cx max c c Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x c,5,5 x c,5 4 c z,5c,5c,5c 8 + 3c,5c,5c,5c P c (4, 8) P 3 (, 4) c = c P (, 5, 3) c, i c c O P (, ) c T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 69

70 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (/4) Przykład. Po znalezieniu rozwiązania optymalnego zadania z przykładu. okazało się, że dostępna ilość jednego ze środków uległa zmianie. W jakim przedziale powinna się znajdować ta wartość, by znaleziona uprzednio baza optymalna generowała rozwiązanie dopuszczalne? cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x,5,5,5,5 c j z j,5,5 4 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

71 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (/4) Środek S b A B b = = 8 6 A B,5,5,5,5 x B = A B b,5 b b =,5,5 8,5 6 b 8 4, czylib. Wymagana ilość środka S jest z przedziału [, ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

72 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (3/4) Środek S stąd A B b = 4 = b 6 A B b,5 = 4 b,5b,5,5,5 x B = A B b,5 4,5,5 b,5 6 4, czylib, czylib 4 4 b. Wymagana ilość środka S jest z przedziału [4, ]. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

73 .5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (4/4) Środek S3 stąd A B = 4 b = 8 b 3 A B b,5 =,5b 4,5b,5,5,5 4 8,5b 3 3 3, czylib,5, czyli b, czylib x B = A B b,5 4,5 8,5 b 3 4 b3 4 Wymagana ilość środka S3 jest z przedziału [, 4]. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 73

74 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (/) Przykład. Środki produkcji Produkty Zasoby P P S 4 S S 3 4 Zyski 3 Zminimalizować wartość posiadanych zasobów środków, przy czym wartość środków potrzebnych na wytworzenie jednostki każdego z produktów jest nie mniejsza od zysku jednostkowego dla tego produktu. 8 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 74

75 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (/) Model matematyczny Zmienne decyzyjne Funkcja celu Warunki ograniczające y - cena środka S y - cena środka S y 3 - cena środka S 3 4y + 8y + 6y 3 min y + y + 4y 3 y + y 3 y, y, y 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 75

76 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (3/) Związki między zadaniem prymalnym i dualnym x + 3x max 4y + 8y + 6y 3 min x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x cx max Ax b x y + y + 4y 3 y + y 3 y, y, y 3 4 x c = x b A y x 6 4 [, 3] = = 8 = = yb min ya c y [ ] y, y, y 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 76

77 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (4/) Związki między zadaniem prymalnym i dualnym (c.d.) Każdemu warunkowi ograniczającemu jednego z problemów odpowiada zmienna decyzyjna drugiego. Zmienną tę nazwiemy zmienną komplementarną do danego warunku ograniczającego. Każdej nieujemnej zmiennej decyzyjnej jednego z problemów odpowiada warunek ograniczający drugiego. Warunek ten nazwiemy warunkiem komplementarnym do danej zmiennej decyzyjnej. Wektor współczynników funkcji celu w jednym zadaniu staje się wektorem wyrazów wolnych w drugim i odwrotnie, wektor wyrazów wolnych w jednym zadaniu jest wektorem współczynników funkcji celu w drugim z nich. Kierunki optymalizacji dla zadań: prymalnego i dualnego są przeciwne. O ile zadanie prymalne jest zadaniem maksymalizacji, to w zadaniu dualnym funkcję celu minimalizujemy. Zwroty nierówności w warunkach ograniczających zadania prymalnego są przeciwne do zwrotów nierówności warunków ograniczających zadania dualnego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 77

78 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (5/) Twierdzenia o dualności Twierdzenie Jeżeli x i y są dowolnymi rozwiązaniami dopuszczalnymi odpowiednio zadania prymalnego i dualnego, to wartości funkcji celu w tych zadaniach spełniają związek: cx yb Twierdzenie (o o komplementarności) Jeżeli x i y są rozwiązaniami optymalnymi odpowiednio zadania prymalnego i dualnego, wówczas zachodzą związki: y(b Ax) = (ya c)x = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 78

79 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (6/) Twierdzenia o dualności (c.d.) Twierdzenie 3 Dla rozwiązań optymalnych x, y odpowiednio zadania prymalnego i dualnego zachodzi związek: cx = yb Twierdzenie 4 Optymalne rozwiązanie zadania dualnego otrzymujemy ze wzoru: y = c B A - B gdzie A - B - macierz odwrotna do macierzy bazowej A B dla rozwiązania optymalnego zadania prymalnego, c B - wektor współczynników funkcji celu zadania prymalnego stojących przy zmiennych bazowych w bazie A B. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 79

80 [ ] = x x y, y, y y(b Ax) 4 x x =.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (7/) Zastosowanie twierdzenia o komplementarności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 y (4 x x ) = y ( 8 x x ) = y 3 (6 4x ) = [ ] = x x x x x y, y, y ( ) ( ) ( ) = + + = x y x x y x x y =

81 [ ] [ ] = x x y, y, y (ya c)x =.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (8/) Zastosowanie twierdzenia o komplementarności (c.d.) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 (y + y 4y 3 )x = (y + y 3)x = [ ] = x x y y y y y ( ) ( ) = = x y y x y y y =

82 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (9/) Przykład.3 Dane jest rozwiązanie optymalne zadania prymalnego x =4, x =. Znaleźć rozwiązanie optymalne zadania dualnego. Warunki ograniczające zadania prymalnego 4 + < = = 6 y = Warunki ograniczające zadania dualnego y + y + 4y 3 = y + y = 3 y + 4y 3 = y = 3 y =, y =.5, y 3 =.5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

83 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (/) Przykład.4 Zadanie prymalne Zadanie dualne 3x + x + 4x 3 max x x + 3x 3 5 x x + 3x 3 8 x x + x 3 = 5 x, x, x 3 dowolne 5y + 8y + 5y 3 min y + y y 3 3 y y y 3 3y + 3y + y 3 = 4 y, y, y 3 dowolne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 83

84 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Ceny dualne i analiza wrażliwości w kształtowaniu optymalnych planów produkcji (/) Przykład.5 Zaistniały możliwości zwiększenia dostępności jednego ze środków produkcji: S, S lub S 3. Która z nich jest najkorzystniejsza przy założeniu, że będziemy wytwarzać zarówno produkt P, jak i P? Dla rozwiązania bazowego o zmiennych bazowych x, x i x 3 zwiększenie limitu środka S nie wpływa na wielkość zysku. Maksymalne możliwe, wynikające z analizy wrażliwości zwiększenie limitu środka S lub S 3 pozwoli na zwiększenie zysku odpowiednio o 3 jednostki lub jednostkę. Korzystniejsze jest zwiększenie limitu środka S do poziomu jednostek. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 84

85 .6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Ceny dualne i analiza wrażliwości w kształtowaniu optymalnych planów produkcji (/) Przykład.6 Mamy c = 4. Zaistniała ponownie możliwość zwiększenia dostępności jednego ze środków produkcji S, S lub S 3. Którą z nich wybrać, jeżeli chcemy wytwarzać zarówno produkt P, jak i P? y =,5 4,5,5 =,5 [ ] [ ] Jedynie zwiększenie limituśrodka S pozwala na zwiększenie zysku. Maksymalne zwiększenie wykorzystaniaśrodka S pozwala na uzyskanie zysku na poziomie = jednostek. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 85

86 .7. Dualna metoda simpleks Przykład.7 4y + 8y + 6y 3 min y + y + 4y 3 y + y 3 y, y, y 3 cx min Baza c B y 4 y 5 4y + 8y + 6y 3 min y y 4y 3 + y 4 = y y + y 5 = 3 y, y, y 3, y 4, y 5 4y + 8y + 6y 3 min y + y + 4y 3 y 4 = y + y y 5 = 3 y, y, y 3, y 4, y y y y 3 y 4 y 5 4 c z b 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 86

87 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (/8) Kryterium dopuszczalności Jeżeli wartości wszystkich wyrazów wolnych są nieujemne, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest dopuszczalne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 87

88 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (/8) Kryterium wyjścia Ze wszystkich wyrazów wolnych wybieramy najmniejszy. Odpowiadająca mu zmienna jest zmienną opuszczającą bazę. Jeżeli jest więcej niż jedna najmniejsza wartość, wtedy wybieramy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 88

89 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (3/8) Kryterium wejścia Obliczamy ilorazy wartości wskaźników optymalności przez odpowiadające im elementy wiersza dla zmiennej opuszczającej bazę ((c j z j ) : a ij ) dla tych elementów rozpatrywanego wiersza, które są ujemne. Do bazy wchodzi ta zmienna, dla której wartość bezwzględna odpowiadającego jej ilorazu jest najmniejsza. Jeżeli jest więcej niż jedna najmniejsza wartość tego ilorazu, wtedy wybieramy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 89

90 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (4/8) Iteracja cx min Baza c B y y y y 3 y 4 y 5 y 4 y 5 3 Kryterium wyjścia y 5 Kryterium wejścia c z b dla zmiennej y 4 : ( ) = 7 dla zmiennej y 8 : ( ) = 4 min T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

91 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (5/8) Iteracja cx min Baza c B y 3 y y y 3 y 4 y 5 y 4 4,5,5 y 8,5,5 c z Kryterium wyjścia y 4 Kryterium wejścia dla zmiennej y 6 : ( ) = 6 b dla zmiennej y 3 6 : ( 4) = 4 min dla zmiennej y 5 4 : (,5) = 8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

92 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (6/8) Iteracja 3 cx min y 3 6 y Baza c B y y y 3 y 4 y 5,5,5,5 b,5,5 c z 4 4 Rozwiązanie optymalne y = y =,5 y 3 =,5 y 4 = y 5 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

93 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (7/8) Zmienne komplementarne ZP - zadanie prymalne ZD - zadanie dualne x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x Pary zmiennych komplementarnych x y 4 x y 5 4y + 8y + 6y 3 min y y 4y 3 + y 4 = y y + y 5 = 3 y, y, y 3 y x 3 y x 4 y 3 x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 93

94 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (8/8) Zmienne komplementarne (c.d.) Zadanie prymalne Zadanie dualne cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x 3,5,5 x,5 4 c j z j,5,5 4 cx min Baza c B y 3 6 y y y y 3 y 4 y 5,5,5,5 b,5,5 c j z j 4 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 94

95 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (/5) Przykład.8 x + 3x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 4 c j z j 3 b Sztuczne ograniczenie x + x 6 x + x + x 6 = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 95

96 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (/5) Sztuczne ograniczenie cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3 4 x 4 8 x x 6 6 c j z j 3 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x x 4 39 x x 3 6 c j z j 3 48 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 96

97 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (3/5) Iteracja cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x x 4 39 x x 3 6 c j z j 3 48 Kryterium wyjścia x 4 Kryterium wejścia dla zmiennej x ( ) : ( ) = min dla zmiennej x 6 ( 3) : ( ) = 3 / T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 97

98 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (4/5) Iteracja cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x x 39 x x 3 59 c j z j 68 Kryterium wyjścia x 5 Kryterium wejścia dla zmiennej x 6 ( ) : ( 8) =,5 min T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 98

99 .7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (5/5) Iteracja 3 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3,5 x,5 4 x 6,5,3 594 x 3,5,3 c j z j,5,3 4 Ponieważ zmienna bilansująca x 6 sztucznego ograniczenia jest zmienną bazową, otrzymane rozwiązanie jest optymalne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 99

100 .7. Dualna metoda simpleks.7.3. Zadanie sprzeczne (/) Przykład.9 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji łączny rozmiar produkcji nie może być mniejszy niż 8 jednostek. Model matematyczny: Funkcja celu f(x,x ) = x + 3x max Warunki ograniczające x + x 4 x + x 8 4x 6 x + x 8 x, x, Sztuczne ograniczenie x + x 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

101 .7. Dualna metoda simpleks.7.3. Zadanie sprzeczne (/) Tablice simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x x 4 39 x x 6 59 x 3 6 c j z j 3 48 Ostatnia tablica simpleksowa cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3,5 x,5 4 x 7,5,3 594 x 6,5,3 x 3,5,3 c j z j,5,3 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

102 .7. Dualna metoda simpleks.7.4. Nieograniczona funkcja celu (/) Przykład. x + 3x max 4x 6 x + x 3 x, x x + 3x max 4x + x 3 = 6 x x + x 4 = 3 x + x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 cx max Baza x 3 x 3 x 4 c j z j c B x x x 3 x 4 x 5 3 b W bazie dopuszczalnej nie ma zmiennej x 5 dlatego funkcja celu jest nieograniczona. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

103 .7. Dualna metoda simpleks.7.5. Reguły postępowania w dualnej metodzie simpleks (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego.. Badanie dopuszczalności rozwiązania. 3. Badanie nieograniczoności funkcji celu. 4. Identyfikacja rozwiązań alternatywnych. 5. Wybór zmiennej usuwanej z bazy. 6. Badanie niesprzeczności zadania. 7. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 8. Sprowadzenie warunków ograniczających do postaci bazowej względem nowej bazy. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

104 .8. Parametryczne programowan Sformułowanie zadania Wektor funkcji celu zależny od parametru (c + ct)x max Ax = b x c(t)x max A(t)x = b(t) x Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru cx max Ax = b + bt x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

105 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (/7) Przykład. Sprawdzić w jaki sposób wartość parametru t wpływa na rozwiązanie optymalne zadania: t = ( + 3t)x + (3 t)x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

106 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (/7) Przebieg obliczeń t = cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 4 c j z j 3 cx max Baza c B x 3 x 3 3 t x + 3t cj z j + 3t x 3 3 t x x 3 x 4,5,5,5 +,5t x 5,5,5,5,5,5,875t b b t,5 +,5t,5,875t Dla,43 t 3 zmiennymi bazowymi są: x 3, x, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

107 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (3/7) Przebieg obliczeń (c.d.) t = 3 cx max Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3 x,5,5,5 x,5 4 c j z j,75 44 cx max Baza c B x 3 x 4 x + 3t c j z j + 3t x 3 t x 3 t x 3 x 4 x 5,5,5,5,5,75t b t 3 t,5,75t Dla zmiennymi bazowymi są: x 3, x 4, x. t 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

108 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (4/7) Przebieg obliczeń (c.d.) t =,43 cx max,57 3,43 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3 x x 3,43,57,5,5,5,5 4 c j z j,57,57 cx max Baza c B x 3 x 3 t x 5 c j z j + 3t x,5 4,5 + 3,5t 3 t x x 3 x 4,5,5 +,5t x 5 b t,5 + 3,5t,5 +,5t Dla t,43 zmiennymi bazowymi są x 3, x, x 5. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

109 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (5/7) Podział zbioru parametrów na podzbiory I. dla t,43 mamy: x =, x = 4, x 3 = 6, x 4 =, x 5 = 6, ΙΙ. dla t =,43 rozwiązaniami są punkty leżące na odcinku pomiędzy rozwiązaniami I i III. III. dla,43 t 3 mamy: IV. x = 4, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 =, dla t = 3 rozwiązaniami są punkty leżące na odcinku pomiędzy rozwiązaniami III a V. V. dla t 3 mamy: x = 4, x =, x 3 = 6, x 4 = 4, x 5 =. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

110 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (6/7) Ilustracja geometryczna x t = x t = 3 A max f(x, x ) = x + 3x B A O B C max f(x, x ) = x x O A x C max x t = 5 f(x, x ) = 7x - x B O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

111 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (7/7) Ilustracja geometryczna (c.d.) x t =,43 A O x max t = 4 f(x, x ) = x + x B C x A O max f(x, x ) = x + x B C x I II -,43 III IV 3 V t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

112 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Przykład. Sprawdzić w jaki sposób wartość parametru t wpływa na rozwiązanie optymalne zadania: x + 3x max x + x 4 9t x + x 8 4t 4x 6 + 8t x, x b + b( t) = 4 9t 8 4t 6 + 8t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

113 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Przebieg obliczeń t = x + 3x max Pierwsza tablica simpleksowa cx max Baza x 3 x 4 x 5 c j z j c B x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x x 4 3 x 3 x 3 x 4 x 5 b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

114 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (3/) Przebieg obliczeń (c.d.) t = Ostatnia tablica simpleksowa cx max Baza x 3 x 3 x c j z j c B A B = x 4 3 x A B x 3 =,5 x 4,5,5,5,5,5 x 5,5,5,5,5 b 4 4,5 4 9t 7t b( t) = A B ( b + b( t) ) = =,5,5 8 4t 3t, t 4 + t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

115 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (4/) Przebieg obliczeń (c.d.) t = cx max Baza c B x 3 x 3 x c j z j x 3 x x 3 7t 3t 4 + t x 4,5,5 x 5,5,5,5,5 b 7t 3t 4 + t 4 5t Dla t,86 zmiennymi bazowymi są: x 3, x, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

116 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (5/) Przebieg obliczeń (c.d.) t =,86 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x x 3,5,5,5,43 4,57 c j z j,5,5,57 cx max Baza x 5 x 3 x c j z j c B x 3 x x 3 4,5, t +,5t 6 5t Dla,86 t, zmiennymi bazowymi są: x 5, x, x x 4 4 x 5 b 8 + 8t +,5t 6 5t 5 8,5t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

117 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (6/) Przebieg obliczeń (c.d.) t =, cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 5 x x 3 4,5 4 5,6,6 c j z j,5 4,8 cx max Baza c B x x 5 x x 4 c j z j x x 3,5,5 x 4 x 5 b 6 + 8t 7 4,5t 6 + 5t 9-3,5t 6 + 8t 7 4,5t 6 + 5t Dla, t,556 zmiennymi bazowymi są: x 5, x, x 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

118 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (7/) Przebieg obliczeń (c.d.) t =,556 i t = cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 5 x 3 4,5 8,444 x 4,778 c j z j,5 Dla t >,556 zadanie sprzeczne cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 6 x x 3,5,5,5 8 c j z j,5,5 4 Dla t < - zadanie sprzeczne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

119 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (8/) Podział zbioru parametrów na podzbiory I. dla t < zadanie jest sprzeczne. II. III. IV. dla t,86 rozwiązanie jest w postaci: x = 4 + t, x = 3t, x 3 = 7t, x 4 =, x 5 =, dla t =,86 mamy: x = 4,57, x =,43, x 3 =, x 4 =, x 5 =, V. dla t =, mamy: x =, x =,6, x 3 =, x 4 =, x 5 = 5,6, VI. dla,86 t, rozwiązanie jest w postaci: x = 6 5t, x = +,5t, x 3 =, x 4 =, x 5 = 8 + 8t, dla, t,556 rozwiązanie jest w postaci: x =, x = 7 4,5t, x 3 =, x 4 = 6 +5t, x 5 = 6 + 8t, VII. dla t >,556 zadanie jest sprzeczne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

120 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (9/) Ilustracja geometryczna t = () t = x () x + x 4 () x + x 8 (3) (3) 4x 6 (3) x () x + x 3 () O () x O () x (3) () x + x 6 (3) 4x () t =,86 x () x + x () x + x 6 (3) 4x 8 () O x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

121 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Ilustracja geometryczna (c.d.) () O x t = () x + x 5 () x + x 4 (3) 4x 4 () (3) x () O x t =, () x + x 3, () x + x 3, (3) 4x 5,6 (3) () x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

122 .8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Ilustracja geometryczna (c.d.) t = () O t =,556 x () x + x,5 () x + I (3) 4x 8 () (3) x I O x () x + x 4 () x + x (3) 4x 3 () II () IV VI (3) x VII - III,86 V,556 t, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

123 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie rozkroju (/3) Przykład.3 Zamówienie - kompletów zbrojeniowych, Długość kłód - 7,4 m, Rozpatrywane sposoby rozkroju: Liczba desek Sposoby rozkroju Długich (,9 m) Średnich (, m) Krótkich (,5 m) Odpad (w metrach),9 3,,,3 3,7 3, 4,4 W jaki sposób należy rozcinać kłody, by wykonać zamówienie przy minimalnym odpadzie drewna? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

124 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie rozkroju (/3) Model matematyczny Cel Znalezienie takiego sposobu rozkroju, który minimalizuje odpad. Zmienne decyzyjne x liczba kłód pociętych sposobem, x liczba kłód pociętych sposobem, x 3 liczba kłód pociętych sposobem 3, x 4 liczba kłód pociętych sposobem 4, x 5 liczba kłód pociętych sposobem 5, x 6 liczba kłód pociętych sposobem 6, x 7 liczba kłód pociętych sposobem 7, x 8 liczba kłód pociętych sposobem 8, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

125 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie rozkroju (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) =,9x +,x 3 +,x 4 +,3x 5 +,7x 6 +,x 7 +,4x 8 min Warunki ograniczające kłody długie: x + x + x 3 + x 5 = kłody średnie: x + x 4 + x 5 + x 6 + 3x 7 = kłody krótkie: x + 3x + x 3 + x 4 + 3x 6 + 4x 8 = warunki nieujemności: x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 Rozwiązanie optymalne x =, x = 3, x 3 =, x 4 =, x 5 =5, x 6 =, x 7 =, x 8 = Optymalne bazowe rozwiązanie alternatywne: x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 3, x 5 =, x 6 =, x 7 =, x 8 = Minimalna wartość funkcji celu = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

126 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie diety (/3) Przykład.4 Składnik A - co najmniej jednostek, Składnik B - co najmniej 8 jednostek, Składnik C - co najmniej 5 jednostek, co najwyżej 7 jednostek. Zawartość składników w paszach: Rodzaj paszy Składniki A B C Cena Pasza 5 8 Pasza 3 Pasza Pasza 4 5 Paszy dostarczyć nie mniej niż q, Paszy dostarczyć półtora razy więcej niż paszy 3, Nie więcej niż 3 q paszy 3. Jaką ilość pasz zakupić, by zminimalizować koszty wyżywienia sztuki bydła? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

127 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie diety (/3) Model matematyczny Cel Minimalizacja kosztów wyżywienia sztuki bydła rocznie. Zmienne decyzyjne x planowana ilość zakupionej paszy, x planowana ilość zakupionej paszy, x 3 planowana ilość zakupionej paszy 3, x 4 planowana ilość zakupionej paszy 4, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

128 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie diety (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x, x 3, x 4 ) = 8x + x + 3x 3 + 5x 4 min Warunki ograniczające Składnik A: 5x + x + 3x 3 Składnik B: x + + x 3 + x 4 8 Składnik C: x + 3x + x 3 + x 4 5 x + 3x + x 3 + x 4 7 Pasza : x Pasza i 3: x =,5x 3 Pasza 3: x 3 3 Warunki nieujemności: x, x, x 3, x 4 Rozwiązanie optymalne x =, x = 8,33, x 3 = 3,33, x 4 = 3,33. Optymalna wartość funkcji celu jest równa 3666,67 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

129 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (/4) Przykład.5 Środki P S 3 S S 3 S 3 Zysk + t jednostkowy P 3 + t P t Produkty P 4 P t 4 + t P t P t P t Zasoby Należy wyznaczyć optymalny plan produkcji oraz maksymalny łączny zysk dla każdej z możliwych wartości t [ 5; 5] T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

130 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (/4) Model matematyczny Cel Wyznaczenie optymalnego planu produkcji maksymalizującego łączny zysk. Zmienne decyzyjne x planowane rozmiary produkcji produktu P, x planowane rozmiary produkcji produktu P, x 3 planowane rozmiary produkcji produktu P 3, x 4 planowane rozmiary produkcji produktu P 4, x 5 planowane rozmiary produkcji produktu P 5, x 6 planowane rozmiary produkcji produktu P 6, x 7 planowane rozmiary produkcji produktu P 7, x 8 planowane rozmiary produkcji produktu P 8, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

131 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (3/4) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, t) = ( + t)x + ( + t)x + ( + t)x 3 + (3 + t)x 4 + (4 + t)x 5 + (5 + t)x 6 + (3 + t)x 7 + ( + t)x 8 min Warunki ograniczające ce Środek S : 3x + x + 5x 3 + 4x 4 + 3x 5 + 5x 6 + x 7 + 3x 8 5 Środek S : x + 3x + x 3 + 4x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + 3x 8 4 Środek S 3 : x + x + x 3 + 4x 4 + 3x x 7 + 4x 8 35 Środek S 4 : x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 45 Warunki nieujemności: x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

132 .9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (4/4) Rozwiązanie optymalne w zależności od wartości parametru = [-5; -,5] = [-,5: -] 3 = [-;,67] 4 = [,67; 5] Przedział 3 4 x x 78,6 Wartości optymalne Wartość funkcji x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 celu 5 + t 6,7 3 66,7 + 46,7t 3 4, , t 635,7 + 8,6t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

133 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Programowanie liniowe

Wykład 6. Programowanie liniowe Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /

Bardziej szczegółowo

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007 ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

(Dantzig G. B. (1963))

(Dantzig G. B. (1963)) (Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe

Programowanie nieliniowe Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów

Bardziej szczegółowo

Wybrane elementy badań operacyjnych

Wybrane elementy badań operacyjnych Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23

Wykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23 Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo