Liniowe uk lady sterowania.
|
|
- Bogumił Kowalczyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa θt Ωt Ut przek ladnia silnik rewersyjny zmienna steruj aca ut = Ut - napiȩcie obwodu steruj acego silnika zmienne stanu x 1 t = θt - po lożenie k atowe tarczy x 2 t = Ωt - prȩdkość k atowa tarczy zmienne wyjściowe y 1 t = c 1 θt - pomiar po lożenia k atowego za pomoc a uk ladu mostkowego y 2 t = c 2 Ωt - pomiar prȩdkości k atowej za pomoc a pr adnicy tachometrycznej Równania stanu obiektu ẋ 1 t = x 2 t x 1 t = x 1 ẋ 2 t = a 1 x 1 t a 2 x 2 t + but x 2 t = x 2 gdzie a 1 - wspó lczynnik si ly sprȩżystości prȩta a 1 = oznacza brak si ly skrȩcaj acej a 2 -wspó lczynnik tarcia uk ladu a 2 = oznacza brak si l tarcia b -wspó lczynnik proporcjonalności obwodu steruj acego silnika 1
2 Równania wyjścia Równanie sprzȩżenia zwrotnego y 1 t = c 1 x 1 t y 2 t = c 2 x 1 2 ut = k 1 y 1 t + k 2 y 2 t Wskaźniki jakości procesu sterowania docelowego tarcz a obrotow a: sterowanie minimalnoczasowe Q = 1 t dt = t 1 t sterowanie minimalnoenergetyczne Q = 1 t u 2 tdt Wektorowo-macierzowy opis ukladu sterowania: wektorowo-macierzowe równanie stanu ẋt = Axt + But xt = x gdzie wielkości x 1 t 1 xt = A = B = x 2 t a 1 a 2 b oznaczaj a wektor zmiennych stanu macierz stanu i macierz sterowania wektorowo-macierzowe równanie wyjścia gdzie wielkości yt = Cxt y 1 t c 1 yt = C = y 2 t c 2 oznaczaj a wektor zmiennych wyjściowych i macierz wyjścia gdzie wektorowo-macierzowe równanie sprzȩżenia zwrotnego oznacza macierz sprzȩżenia zwrotnego ut = Kyt K = k 1 k 2 wektorowo-macierzowe równanie uk ladu zamkniȩtego lub inaczej ẋt = A + BKCxt ẋt = Ãxt à = A + BKC 2
3 Rozwi azanie wektorowo-macierzowego równania stanu określone jest przez macierzow a funkcjȩ wyk ladnicz a eksponentȩ macierzow a zdefiniowan a za pomoc a szeregu macierzowego e At = I + At + A 2 t 2 + A3 t 3 + Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem skalarnej funkcji wyk ladniczej eksponenty skalarnej zdefiniowanej za pomoc a szeregu skalarnego e at = 1 + at + a 2 t 2 + a3 t 3 + Inaczej mówi ac eksponenta macierzowa jest sum a szeregu macierzowego e At = At κ κ! κ= Podstawowe w lasności eksponenty macierzowej przemienność macierzy e At i macierzy A e At A = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + A = A + A 2 t + A3 t 2 = AI + At + A2 t 2 + A3 t 3 + = Ae At przemienność macierzy e At i A 1 + A4 t 3 + Ae At = e At A e At = A 1 e At A e At A 1 = A 1 e At różniczkowanie eksponenty macierzowej określone jest przez różniczkowanie szeregu macierzowego wyraz po wyrazie d dt eat = d dt I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + = A + 2A2 t + 3A3 t 2 + = AI + At + A2 t 2 + = Ae At = e At A Podstawienie t t w miejsce t w powyższym wyprowadzeniu daje w wyniku wzór d dt eat t = Ae At t = e At t A a wielokrotne różniczkowanie szeregu macierzowego pozwala uzyskać wzory d k dt k eat = A k e At = e At A k 3
4 d k dt k eat t = A k e At t = e At t A k ca lkowanie eksponenty macierzowej określone jest przez ca lkowanie szeregu macierzowego wyraz po wyrazie It + At2 A 1 At + A2 t 2 e Aθ dθ = + A2 t 3 + A3 t 3 + A3 t 4 4! I + Aθ + A2 θ 2 + A4 t 4 4! + A3 θ 3 + = A 1 AIt + At2 + dθ = + A2 t 3 + = + = A 1 e At I = e At IA 1 Wzór ten obowi azuje jeśli macierz A jest nieosobliwa tj deta Ca lkȩ osobliwej macierzy oblicza siȩ ca lkuj ac wszystkie elementy macierzy aij θ ij=1n dθ = a ij θdθ ij=1n Rozwi azywanie jednorodnego liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt = Axt xt = x t [t + Rozwi azanie przewidywane jest w postaci xt = e At t x Weryfikacja przewidywanego rozwi azania d dt eat t xt = Ae At t x ẋt = Axt Weryfikacja warunku pocz atkowego xt = e At t x = e A x = Ix = x 4
5 Rozwi azywanie niejednorodnego liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt = Axt + But xt = x t [t + Rozwi azanie przewidywane jest w postaci xt = e At t x + Weryfikacja przewidywanego rozwi azania Ae At t x + A e At θ Buθdθ d t e At t xt + e At θ Buθdθ = dt e At θ Buθdθ + e At t But ẋt = Axt + But Wyznaczanie eksponenty macierzowej za pomoc a metod rachunku operatorowego - porównanie rozwi azań w dziedzinie czasowej i operatorowej Zastosowanie przekszta lcenia Laplace a Xs = xte st dt do jednorodnego równania stanu ẋt = Axt x = x sxs x = AXs prowadzi do zależności si AXs = x tj Xs = si A 1 x Ponieważ xt = e At x wiȩc zachodzi równość e At = L 1 {si A 1 } Dla rozważanego przyk ladu uzyskuje siȩ przyjmuj ac a 1 = 2 a 2 = 2 1 s 1 A = si A = s + 2 si A 1 = 1 s s 2 + 2s s 5 = s+2 s s s s s
6 e At = e t cost + sint 2e t sint e t sint e t cost sint Korzystaj ac z eksponenty macierzowej można latwo wyznaczyć odpowiedzi liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania na podstawowe przebiegi sterowania t = : odpowiedź impulsowa tj odpowiedź na sterowanie ut = ūδt gdzie ū R m jest wektorem sta lym bierzemy pod uwagȩ w lasność filtruj ac a δ- funkcji x im t = e At x + e Aθ Būδθdθ = e At x + e A Bū = e At x + Bū odpowiedź skokowa tj odpowiedź na sterowania ut = ū1t stosujemy wzór na ca lkowanie eksponenty macierzowej x sk t = e At x + e Aθ Būdθ = e At x + e Aθ dθbū = e At x + A 1 e At IBū = e At x + A 1 e At IBū odpowiedź liniowa tj odpowiedź na sterowanie ut = ūt stosujemy wzór na ca lkowanie przez czȩści i wzór na ca lkowanie eksponenty macierzowej x li t = e At x + e Aθ Būθdθ = e At x + A 1 e At x A 1 e At Būt e Aθ Bū = d dθ e Aθ Būθdθ = e At x A 1 e At Būt A 1 e At IBū = e At x +A 2 e At I A 1 tbū Dla rozważanego przykladu uzyskuje siȩ x = 1 T b = 1 ū = 1 e At = e t cost + sint 2e t sint 6 e t sint e t cost sint
7 A = A 2 = 1 2e t x im t = 2e t cost sint x sk t = 5cost + sint + 5 e t sint x li t = e t cost + sint 5t 5e t cost 15sint 5 Algorytm sterowania docelowego dla uk ladów liniowych stacjonarnych: Twierdzenie: Sterowanie ut = B T e AT t t 1 R 1 x przeprowadza uk lad liniowy stacjonarny ẋt = Axt + But ze stanu pocz atkowego xt = x do stanu końcowego xt 1 = x 1 w czasie t 1 t jeżeli macierz R określona jak nastȩpuje jest nieosobliwa St ad R = 1 t e At t BB T e AT t t dt Dowód: Powinna być spe lniona zależność xt 1 = = e At 1 t x + = x t t e At 1 t Butdt /e At 1 t e At t Butdt czyli 1 x = e At t Butdt t Podstawiaj ac sterowanie do ostatniej zależności uzyskuje siȩ x = 1 co oznacza że x = RR 1 x t e At t BB T e AT t t R 1 x dt 7
8 Przyk lad: sterowanie tarcz a obrotow a bez oddzia lywania si l sprȩżystości i tarcia a 1 = a 2 = t = t 1 = 1 x = 1 1 T x 1 = T 1 A = si A = s 1 s si A 1 = 1 s 1 = s 2 s 1/s 1/s 2 1/s e At 1 t = R = t 1 1 dt 1 1 t 1 St ad uzyskuje siȩ 1/3 1/2 R = R = 1/ ut = 1 t Tak wiȩc sterowanie docelowe ma postać ut = 18t 1 a trajektoria stanu procesu docelowego jest określona jak nastȩpuje 1 t 1 1 t t 1 θ xt = + 18θ 1 dθ czyli 1 + t 5t 2 + 3t 3 xt = = 1 1t + 9t 2 t=1 8
9 Rozwi azywanie liniowych niestacjonarnych równań stanu Wektorowo-macierzowe równanie stanu liniowego niestacjonarnego uk ladu sterowania ma postać ẋt = Atxt + Btut t [t xt = x Dla równania jednorodnego ẋt = Atxt t [t xt = x definiujemy macierz fundamentaln a macierz podstawow a uk ladu Φt t jako macierz stanowi ac a rozwi azanie macierzowego równania różniczkowego Φt t = AtΦt t t [t Φt t = I Rozwi azanie jednorodnego równania stanu przewidujemy w postaci xt = Φt t xt Weryfikacja rozwi azania jednorodnego równania stanu d dt Φt t xt = AtΦt t xt Φt t xt = AtΦt t xt AtΦt t xt = AtΦt t xt Weryfikacja warunku pocz atkowego Φt t xt = Ixt = xt Rozwi azanie niejednorodnego równania stanu przewidujemy w postaci xt = Φt t x + Φt θbθuθdθ Weryfikacja rozwi azania niejednorodnego równania stanu d t Φt t x + dt At Φt t x + Φt θbθuθdθ = Φt θbθuθdθ + Btut 9
10 Φt t x + AtΦt t x + At Φt θbθuθdθ + Φt tbtut = Φt θbθuθdθ + Btut AtΦt t x + AtΦt t x + At AtΦt θbθuθdθ + Φt tbtut = Φt θbθuθdθ + Btut Zastosowanie macierzy fundamentalnej do wyznaczania rozwi azań okresowych równań stanu- rozwi azywanie nieliniowych równań metod a Newtona Dane jest nieliniowe równanie skalarne fx = Dokonujemy linearyzacji równania w punkcie pocz atkowym x fx fx + f x x x x x = f x 1 fx Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania x 1 = x f x 1 fx Dokonujemy linearyzacji równania w punkcie kolejnym x 1 fx 1 + f x 1 x x 1 x x 1 = f x 1 1 fx 1 Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania x 2 = x 1 f x 1 1 fx 1 Wynika st ad iteracyjna metoda Newtona x κ+1 = x κ f x κ 1 fx κ κ = 1 2 Dla równań z argumentem wektorowym x R n pochodna f x κ oznacza macierz Jacobiego tj f x κ = f i x j x κ ij=1n 1
11 Aby wyznaczyć τ-okresowe rozwi azanie nieliniowego równania stanu wyróżniamy w charakterze argumentu równania stanu jego stan pocz atkowy i poszukujemy takiego stanu pocz atkowego który zapewni τ-okresowy przebieg zmiennych stanu Równanie zapisujemy w postaci x xτ x u = Rolȩ pochodnej f x κ pe lni w tym przypadku macierz I Φτ = I x i τ x j ij=1n zaś metoda Newtona przyjmuje postać x κ+1 = x κ I Φτ x κ 1 x κ xτ x κ u Uk lady z czasem dyskretnym Dyskretyzacja ci ag lych uk ladów sterowania: Niech T oznacza przedzia l dyskretyzacji czasu i niech sterowanie bȩdzie sta le w przedziale [kt k + 1T Ze wzoru na rozwi azanie liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania wynika że xk + 1T = e Ak+1T kt xkt + k+1t kt e Ak+1T t BukTdt Zamiana zmiennych ca lkowania T t = t t = kt t = T t = k + 1T t = dt = d t pozwala zapisać zależność czyli xk + 1T = e AT xkt xk + 1T = e AT xkt + T T e A t BukTd t e A t d tbukt = e AT xkt + A 1 e AT IBukT Podstawiaj ac k w miejsce kt uzyskuje siȩ nastȩpuj acy opis uk ladu dyskretnego xk + 1 = Axk + Buk 11
12 gdzie A = e AT B = A 1 e AT IB Dla rozważanego przyk ladu zak ladaj ac parametry a 1 = 2 a 2 = 2 b = 1 i bior ac pod uwagȩ że uzyskuje siȩ e At = e t cost + sint e t sint 2e t sint e t cost sint A = 1 A = e AT e T cost + sint e T sint = 2e T sint e T cost sint B = A 1 e AT 51 e T cost + sint IB = e T sint Rozwi azywanie liniowych stacjonarnych równań stanu z czasem dyskretnym: Do stacjonarnego dyskretnego równania stanu xk + 1 = Axk + Buk k = k k + 1 k + 2 ; xk = x można zastosować metodȩ wzorów rekurencyjnych xk + 1 = Axk + Buk xk + 2 = Axk Buk + 1 = A 2 xk + ABuk + Buk + 1 xk +3 = Axk +2+Buk +2 = A 3 xk +A 2 Buk +ABuk 1 +Buk 2 a wiȩc xk = A k k xk + k 1 Jeśli k = to rozwi azanie przybiera postać j=k A k 1 j Buj k > k k 1 xk = A k x + A k 1 j Buj k > j= 12
13 Rolȩ macierzy fundamentalnej stacjonarnego dyskretnego równania stanu pe lni macierz A k któr a można wyznaczyć stosuj ac transformacjȩ Z{xk} = k= xkz k do jednorodnego dyskretnego równania stanu St ad xk + 1 = Axk k = x = x zxz zx = AXz Xz = zi A 1 zx Porównanie rozwi azań w dziedzinie czasowej i operatorowej daje w wyniku A k = Z 1 {zi A 1 z} Niech dyskretne równanie stanu bȩdzie postaci 1 1 xk + 1 = xk + uk x = k = W tym przypadku oraz a wiȩc A k = zi A = z 1 4 z + 5 zi A 1 z z z = z 2 + 5z z 1 k 4/3 4 k /3 1 k /3 4 k /3 1 k 4/3 + 4 k 4/3 1 k /3 + 4 k 4/3 Rozwi azanie jednorodnego dyskretnego równania stanu ma zatem postać 1 k 4/3 4 k /3 xk = 1 k 4/3 + 4 k 4/3 a rozwi azanie niejednorodnego równania dla uk = 1 ma postać 1 k 4/3 4 k /3 k 1 1 k j 1 /3 4 k j 1 /3 xk = + 1 k 4/3 + 4 k 4/3 1 k j 1 /3 + 4 k j 1 4/3 j= Rozwi azywanie liniowych niestacjonarnych równań stanu z czasem dyskretnym: Stosuj ac do niestacjonarnego dyskretnego równania stanu xk + 1 = Akxk + Bkuk k = k k + 1 k + 2 ; xk = x 13
14 metodȩ wzorów rekurencyjnych a wiȩc xk + 1 = Ak xk + Bk uk xk + 2 = Ak + 1xk Bk + 1uk + 1 = Ak + 1Ak xk + Ak + 1Bk uk + Bk + 1uk + 1 xk = Φk k xk + k 1 j=k Φk 1 + jbjuj k > k gdzie Φk k = Ak 1Ak 2Ak k > k Modelowanie uk ladów sterowania ilustrowane jest ćwiczeniami laboratoryjnymi ster1 i ster2 w systemie Mathematica 14
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Wprowadzenie do teorii sterowania
Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Stabilność liniowych uk ladów sterowania
Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.
Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/
Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych
Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty
ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Transmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Analityczne metody detekcji uszkodzeń
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Model procesu Rozważmy czasowo-dyskretny model liniowy gdzie: k dyskretny czas, x(k) R n wektor stanu, x(k + 1) = Ax(k)
Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM
Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi
Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Zadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Uogólnione modele uk ladów sterowania
Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach.
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
w = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Sterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)
Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Procedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory,
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Po zastosowaniu uproszczenia zgubiono więc ważną informację o układzie fizycznym, a zatem drugie rozwiązanie zadania jest niepoprawne.
- 3 - Schemat układu pokazano na rys.5.5. stan układu jest drugiego rzędu, a równaniami stanu są x i = X 2' X " "*6X * ox *T" U 2 2 Ze schematu analogowego nie wynika niebezpieczeństwo nieograniczonego
Modelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
2. Równania nieliniowe i ich uk lady
Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?
Systemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy
Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki
Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki
P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Normy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie