Liniowe uk lady sterowania.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liniowe uk lady sterowania."

Transkrypt

1 Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa θt Ωt Ut przek ladnia silnik rewersyjny zmienna steruj aca ut = Ut - napiȩcie obwodu steruj acego silnika zmienne stanu x 1 t = θt - po lożenie k atowe tarczy x 2 t = Ωt - prȩdkość k atowa tarczy zmienne wyjściowe y 1 t = c 1 θt - pomiar po lożenia k atowego za pomoc a uk ladu mostkowego y 2 t = c 2 Ωt - pomiar prȩdkości k atowej za pomoc a pr adnicy tachometrycznej Równania stanu obiektu ẋ 1 t = x 2 t x 1 t = x 1 ẋ 2 t = a 1 x 1 t a 2 x 2 t + but x 2 t = x 2 gdzie a 1 - wspó lczynnik si ly sprȩżystości prȩta a 1 = oznacza brak si ly skrȩcaj acej a 2 -wspó lczynnik tarcia uk ladu a 2 = oznacza brak si l tarcia b -wspó lczynnik proporcjonalności obwodu steruj acego silnika 1

2 Równania wyjścia Równanie sprzȩżenia zwrotnego y 1 t = c 1 x 1 t y 2 t = c 2 x 1 2 ut = k 1 y 1 t + k 2 y 2 t Wskaźniki jakości procesu sterowania docelowego tarcz a obrotow a: sterowanie minimalnoczasowe Q = 1 t dt = t 1 t sterowanie minimalnoenergetyczne Q = 1 t u 2 tdt Wektorowo-macierzowy opis ukladu sterowania: wektorowo-macierzowe równanie stanu ẋt = Axt + But xt = x gdzie wielkości x 1 t 1 xt = A = B = x 2 t a 1 a 2 b oznaczaj a wektor zmiennych stanu macierz stanu i macierz sterowania wektorowo-macierzowe równanie wyjścia gdzie wielkości yt = Cxt y 1 t c 1 yt = C = y 2 t c 2 oznaczaj a wektor zmiennych wyjściowych i macierz wyjścia gdzie wektorowo-macierzowe równanie sprzȩżenia zwrotnego oznacza macierz sprzȩżenia zwrotnego ut = Kyt K = k 1 k 2 wektorowo-macierzowe równanie uk ladu zamkniȩtego lub inaczej ẋt = A + BKCxt ẋt = Ãxt à = A + BKC 2

3 Rozwi azanie wektorowo-macierzowego równania stanu określone jest przez macierzow a funkcjȩ wyk ladnicz a eksponentȩ macierzow a zdefiniowan a za pomoc a szeregu macierzowego e At = I + At + A 2 t 2 + A3 t 3 + Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem skalarnej funkcji wyk ladniczej eksponenty skalarnej zdefiniowanej za pomoc a szeregu skalarnego e at = 1 + at + a 2 t 2 + a3 t 3 + Inaczej mówi ac eksponenta macierzowa jest sum a szeregu macierzowego e At = At κ κ! κ= Podstawowe w lasności eksponenty macierzowej przemienność macierzy e At i macierzy A e At A = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + A = A + A 2 t + A3 t 2 = AI + At + A2 t 2 + A3 t 3 + = Ae At przemienność macierzy e At i A 1 + A4 t 3 + Ae At = e At A e At = A 1 e At A e At A 1 = A 1 e At różniczkowanie eksponenty macierzowej określone jest przez różniczkowanie szeregu macierzowego wyraz po wyrazie d dt eat = d dt I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + = A + 2A2 t + 3A3 t 2 + = AI + At + A2 t 2 + = Ae At = e At A Podstawienie t t w miejsce t w powyższym wyprowadzeniu daje w wyniku wzór d dt eat t = Ae At t = e At t A a wielokrotne różniczkowanie szeregu macierzowego pozwala uzyskać wzory d k dt k eat = A k e At = e At A k 3

4 d k dt k eat t = A k e At t = e At t A k ca lkowanie eksponenty macierzowej określone jest przez ca lkowanie szeregu macierzowego wyraz po wyrazie It + At2 A 1 At + A2 t 2 e Aθ dθ = + A2 t 3 + A3 t 3 + A3 t 4 4! I + Aθ + A2 θ 2 + A4 t 4 4! + A3 θ 3 + = A 1 AIt + At2 + dθ = + A2 t 3 + = + = A 1 e At I = e At IA 1 Wzór ten obowi azuje jeśli macierz A jest nieosobliwa tj deta Ca lkȩ osobliwej macierzy oblicza siȩ ca lkuj ac wszystkie elementy macierzy aij θ ij=1n dθ = a ij θdθ ij=1n Rozwi azywanie jednorodnego liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt = Axt xt = x t [t + Rozwi azanie przewidywane jest w postaci xt = e At t x Weryfikacja przewidywanego rozwi azania d dt eat t xt = Ae At t x ẋt = Axt Weryfikacja warunku pocz atkowego xt = e At t x = e A x = Ix = x 4

5 Rozwi azywanie niejednorodnego liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt = Axt + But xt = x t [t + Rozwi azanie przewidywane jest w postaci xt = e At t x + Weryfikacja przewidywanego rozwi azania Ae At t x + A e At θ Buθdθ d t e At t xt + e At θ Buθdθ = dt e At θ Buθdθ + e At t But ẋt = Axt + But Wyznaczanie eksponenty macierzowej za pomoc a metod rachunku operatorowego - porównanie rozwi azań w dziedzinie czasowej i operatorowej Zastosowanie przekszta lcenia Laplace a Xs = xte st dt do jednorodnego równania stanu ẋt = Axt x = x sxs x = AXs prowadzi do zależności si AXs = x tj Xs = si A 1 x Ponieważ xt = e At x wiȩc zachodzi równość e At = L 1 {si A 1 } Dla rozważanego przyk ladu uzyskuje siȩ przyjmuj ac a 1 = 2 a 2 = 2 1 s 1 A = si A = s + 2 si A 1 = 1 s s 2 + 2s s 5 = s+2 s s s s s

6 e At = e t cost + sint 2e t sint e t sint e t cost sint Korzystaj ac z eksponenty macierzowej można latwo wyznaczyć odpowiedzi liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania na podstawowe przebiegi sterowania t = : odpowiedź impulsowa tj odpowiedź na sterowanie ut = ūδt gdzie ū R m jest wektorem sta lym bierzemy pod uwagȩ w lasność filtruj ac a δ- funkcji x im t = e At x + e Aθ Būδθdθ = e At x + e A Bū = e At x + Bū odpowiedź skokowa tj odpowiedź na sterowania ut = ū1t stosujemy wzór na ca lkowanie eksponenty macierzowej x sk t = e At x + e Aθ Būdθ = e At x + e Aθ dθbū = e At x + A 1 e At IBū = e At x + A 1 e At IBū odpowiedź liniowa tj odpowiedź na sterowanie ut = ūt stosujemy wzór na ca lkowanie przez czȩści i wzór na ca lkowanie eksponenty macierzowej x li t = e At x + e Aθ Būθdθ = e At x + A 1 e At x A 1 e At Būt e Aθ Bū = d dθ e Aθ Būθdθ = e At x A 1 e At Būt A 1 e At IBū = e At x +A 2 e At I A 1 tbū Dla rozważanego przykladu uzyskuje siȩ x = 1 T b = 1 ū = 1 e At = e t cost + sint 2e t sint 6 e t sint e t cost sint

7 A = A 2 = 1 2e t x im t = 2e t cost sint x sk t = 5cost + sint + 5 e t sint x li t = e t cost + sint 5t 5e t cost 15sint 5 Algorytm sterowania docelowego dla uk ladów liniowych stacjonarnych: Twierdzenie: Sterowanie ut = B T e AT t t 1 R 1 x przeprowadza uk lad liniowy stacjonarny ẋt = Axt + But ze stanu pocz atkowego xt = x do stanu końcowego xt 1 = x 1 w czasie t 1 t jeżeli macierz R określona jak nastȩpuje jest nieosobliwa St ad R = 1 t e At t BB T e AT t t dt Dowód: Powinna być spe lniona zależność xt 1 = = e At 1 t x + = x t t e At 1 t Butdt /e At 1 t e At t Butdt czyli 1 x = e At t Butdt t Podstawiaj ac sterowanie do ostatniej zależności uzyskuje siȩ x = 1 co oznacza że x = RR 1 x t e At t BB T e AT t t R 1 x dt 7

8 Przyk lad: sterowanie tarcz a obrotow a bez oddzia lywania si l sprȩżystości i tarcia a 1 = a 2 = t = t 1 = 1 x = 1 1 T x 1 = T 1 A = si A = s 1 s si A 1 = 1 s 1 = s 2 s 1/s 1/s 2 1/s e At 1 t = R = t 1 1 dt 1 1 t 1 St ad uzyskuje siȩ 1/3 1/2 R = R = 1/ ut = 1 t Tak wiȩc sterowanie docelowe ma postać ut = 18t 1 a trajektoria stanu procesu docelowego jest określona jak nastȩpuje 1 t 1 1 t t 1 θ xt = + 18θ 1 dθ czyli 1 + t 5t 2 + 3t 3 xt = = 1 1t + 9t 2 t=1 8

9 Rozwi azywanie liniowych niestacjonarnych równań stanu Wektorowo-macierzowe równanie stanu liniowego niestacjonarnego uk ladu sterowania ma postać ẋt = Atxt + Btut t [t xt = x Dla równania jednorodnego ẋt = Atxt t [t xt = x definiujemy macierz fundamentaln a macierz podstawow a uk ladu Φt t jako macierz stanowi ac a rozwi azanie macierzowego równania różniczkowego Φt t = AtΦt t t [t Φt t = I Rozwi azanie jednorodnego równania stanu przewidujemy w postaci xt = Φt t xt Weryfikacja rozwi azania jednorodnego równania stanu d dt Φt t xt = AtΦt t xt Φt t xt = AtΦt t xt AtΦt t xt = AtΦt t xt Weryfikacja warunku pocz atkowego Φt t xt = Ixt = xt Rozwi azanie niejednorodnego równania stanu przewidujemy w postaci xt = Φt t x + Φt θbθuθdθ Weryfikacja rozwi azania niejednorodnego równania stanu d t Φt t x + dt At Φt t x + Φt θbθuθdθ = Φt θbθuθdθ + Btut 9

10 Φt t x + AtΦt t x + At Φt θbθuθdθ + Φt tbtut = Φt θbθuθdθ + Btut AtΦt t x + AtΦt t x + At AtΦt θbθuθdθ + Φt tbtut = Φt θbθuθdθ + Btut Zastosowanie macierzy fundamentalnej do wyznaczania rozwi azań okresowych równań stanu- rozwi azywanie nieliniowych równań metod a Newtona Dane jest nieliniowe równanie skalarne fx = Dokonujemy linearyzacji równania w punkcie pocz atkowym x fx fx + f x x x x x = f x 1 fx Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania x 1 = x f x 1 fx Dokonujemy linearyzacji równania w punkcie kolejnym x 1 fx 1 + f x 1 x x 1 x x 1 = f x 1 1 fx 1 Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania x 2 = x 1 f x 1 1 fx 1 Wynika st ad iteracyjna metoda Newtona x κ+1 = x κ f x κ 1 fx κ κ = 1 2 Dla równań z argumentem wektorowym x R n pochodna f x κ oznacza macierz Jacobiego tj f x κ = f i x j x κ ij=1n 1

11 Aby wyznaczyć τ-okresowe rozwi azanie nieliniowego równania stanu wyróżniamy w charakterze argumentu równania stanu jego stan pocz atkowy i poszukujemy takiego stanu pocz atkowego który zapewni τ-okresowy przebieg zmiennych stanu Równanie zapisujemy w postaci x xτ x u = Rolȩ pochodnej f x κ pe lni w tym przypadku macierz I Φτ = I x i τ x j ij=1n zaś metoda Newtona przyjmuje postać x κ+1 = x κ I Φτ x κ 1 x κ xτ x κ u Uk lady z czasem dyskretnym Dyskretyzacja ci ag lych uk ladów sterowania: Niech T oznacza przedzia l dyskretyzacji czasu i niech sterowanie bȩdzie sta le w przedziale [kt k + 1T Ze wzoru na rozwi azanie liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania wynika że xk + 1T = e Ak+1T kt xkt + k+1t kt e Ak+1T t BukTdt Zamiana zmiennych ca lkowania T t = t t = kt t = T t = k + 1T t = dt = d t pozwala zapisać zależność czyli xk + 1T = e AT xkt xk + 1T = e AT xkt + T T e A t BukTd t e A t d tbukt = e AT xkt + A 1 e AT IBukT Podstawiaj ac k w miejsce kt uzyskuje siȩ nastȩpuj acy opis uk ladu dyskretnego xk + 1 = Axk + Buk 11

12 gdzie A = e AT B = A 1 e AT IB Dla rozważanego przyk ladu zak ladaj ac parametry a 1 = 2 a 2 = 2 b = 1 i bior ac pod uwagȩ że uzyskuje siȩ e At = e t cost + sint e t sint 2e t sint e t cost sint A = 1 A = e AT e T cost + sint e T sint = 2e T sint e T cost sint B = A 1 e AT 51 e T cost + sint IB = e T sint Rozwi azywanie liniowych stacjonarnych równań stanu z czasem dyskretnym: Do stacjonarnego dyskretnego równania stanu xk + 1 = Axk + Buk k = k k + 1 k + 2 ; xk = x można zastosować metodȩ wzorów rekurencyjnych xk + 1 = Axk + Buk xk + 2 = Axk Buk + 1 = A 2 xk + ABuk + Buk + 1 xk +3 = Axk +2+Buk +2 = A 3 xk +A 2 Buk +ABuk 1 +Buk 2 a wiȩc xk = A k k xk + k 1 Jeśli k = to rozwi azanie przybiera postać j=k A k 1 j Buj k > k k 1 xk = A k x + A k 1 j Buj k > j= 12

13 Rolȩ macierzy fundamentalnej stacjonarnego dyskretnego równania stanu pe lni macierz A k któr a można wyznaczyć stosuj ac transformacjȩ Z{xk} = k= xkz k do jednorodnego dyskretnego równania stanu St ad xk + 1 = Axk k = x = x zxz zx = AXz Xz = zi A 1 zx Porównanie rozwi azań w dziedzinie czasowej i operatorowej daje w wyniku A k = Z 1 {zi A 1 z} Niech dyskretne równanie stanu bȩdzie postaci 1 1 xk + 1 = xk + uk x = k = W tym przypadku oraz a wiȩc A k = zi A = z 1 4 z + 5 zi A 1 z z z = z 2 + 5z z 1 k 4/3 4 k /3 1 k /3 4 k /3 1 k 4/3 + 4 k 4/3 1 k /3 + 4 k 4/3 Rozwi azanie jednorodnego dyskretnego równania stanu ma zatem postać 1 k 4/3 4 k /3 xk = 1 k 4/3 + 4 k 4/3 a rozwi azanie niejednorodnego równania dla uk = 1 ma postać 1 k 4/3 4 k /3 k 1 1 k j 1 /3 4 k j 1 /3 xk = + 1 k 4/3 + 4 k 4/3 1 k j 1 /3 + 4 k j 1 4/3 j= Rozwi azywanie liniowych niestacjonarnych równań stanu z czasem dyskretnym: Stosuj ac do niestacjonarnego dyskretnego równania stanu xk + 1 = Akxk + Bkuk k = k k + 1 k + 2 ; xk = x 13

14 metodȩ wzorów rekurencyjnych a wiȩc xk + 1 = Ak xk + Bk uk xk + 2 = Ak + 1xk Bk + 1uk + 1 = Ak + 1Ak xk + Ak + 1Bk uk + Bk + 1uk + 1 xk = Φk k xk + k 1 j=k Φk 1 + jbjuj k > k gdzie Φk k = Ak 1Ak 2Ak k > k Modelowanie uk ladów sterowania ilustrowane jest ćwiczeniami laboratoryjnymi ster1 i ster2 w systemie Mathematica 14

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

liniowych uk ladów sterowania

liniowych uk ladów sterowania Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila

Bardziej szczegółowo

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia.   mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,

Bardziej szczegółowo

Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego

Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty

Bardziej szczegółowo

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y

Bardziej szczegółowo

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE. 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,

Bardziej szczegółowo

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE

Bardziej szczegółowo

Transmitancje układów ciągłych

Transmitancje układów ciągłych Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego

Bardziej szczegółowo

Analityczne metody detekcji uszkodzeń

Analityczne metody detekcji uszkodzeń Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Model procesu Rozważmy czasowo-dyskretny model liniowy gdzie: k dyskretny czas, x(k) R n wektor stanu, x(k + 1) = Ax(k)

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi

Bardziej szczegółowo

Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:

Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej: ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Uogólnione modele uk ladów sterowania

Uogólnione modele uk ladów sterowania Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach.

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

w = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :

w = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 : S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne

Sterowanie optymalne Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ

Bardziej szczegółowo

Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)

Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Procedura modelowania matematycznego

Procedura modelowania matematycznego Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory,

Bardziej szczegółowo

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Po zastosowaniu uproszczenia zgubiono więc ważną informację o układzie fizycznym, a zatem drugie rozwiązanie zadania jest niepoprawne.

Po zastosowaniu uproszczenia zgubiono więc ważną informację o układzie fizycznym, a zatem drugie rozwiązanie zadania jest niepoprawne. - 3 - Schemat układu pokazano na rys.5.5. stan układu jest drugiego rzędu, a równaniami stanu są x i = X 2' X " "*6X * ox *T" U 2 2 Ze schematu analogowego nie wynika niebezpieczeństwo nieograniczonego

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów dynamicznych

Modelowanie układów dynamicznych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania

Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki

Bardziej szczegółowo

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2) Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo