Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)

Transkrypt

1 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 1 / 12 prob

2 Dwie próby: porównanie dwóch proporcji SRS 1 p 1 ˆp 1 W zagadnieniu dwóch prób chcemy porówna dwie populacje, na przykªad reakcj na terapi w dwóch populacjach, na podstawie dwóch niezale»nie pobranych prób: SRS 1 : p 1, n 1, ˆp 1 ; SRS 2 : p 2, n 2, ˆp 2, p 2 ˆp 2 SRS 2 gdzie b dziemy testowa hipotez : { H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 p 2 (<, >). Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 2 / 12 prob

3 Przykªad: Organizacja ERF (Educational Research Foundation) postanowiªa zbada dªugofalowe skutki ucz szczania dzieci do przedszkola. Obserwowano w dªugim okresie 2 grupy dzieci, pocz wszy od wczesnego dzieci«stwa. Pierwsza, kontrolna, grupa skªadaªa si z n 1 61 dzieci, wybranych losowo. Druga grupa, o liczno±ci n 2 62 skªadaªa si z dzieci wybranych losowo z tego samego ±rodowiska, ale spo±ród dzieci ucz szczaj cych do przedszkola w wieku 34 lat. Zmienn badan byªo zapotrzebowanie badanych dzieci na pomoc spoªeczn (Social Services) w ich pó¹niejszym, dorosªym»yciu (zmienna SS). Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 3 / 12 prob

4 Przykªad: Organizacja ERF (Educational Research Foundation) postanowiªa zbada dªugofalowe skutki ucz szczania dzieci do przedszkola. Obserwowano w dªugim okresie 2 grupy dzieci, pocz wszy od wczesnego dzieci«stwa. Pierwsza, kontrolna, grupa skªadaªa si z n 1 61 dzieci, wybranych losowo. Druga grupa, o liczno±ci n 2 62 skªadaªa si z dzieci wybranych losowo z tego samego ±rodowiska, ale spo±ród dzieci ucz szczaj cych do przedszkola w wieku 34 lat. Zmienn badan byªo zapotrzebowanie badanych dzieci na pomoc spoªeczn (Social Services) w ich pó¹niejszym, dorosªym»yciu (zmienna SS). Okazaªo si,»e w ci gu ostatnich 10 lat w grupie osób ucz szczaj cych w dzieci«stwie do przedszkola 38 wymagaªo pomocy spoªecznej, a w grupie kontrolnej 49. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 3 / 12 prob

5 Przykªad: Organizacja ERF (Educational Research Foundation) postanowiªa zbada dªugofalowe skutki ucz szczania dzieci do przedszkola. Obserwowano w dªugim okresie 2 grupy dzieci, pocz wszy od wczesnego dzieci«stwa. Pierwsza, kontrolna, grupa skªadaªa si z n 1 61 dzieci, wybranych losowo. Druga grupa, o liczno±ci n 2 62 skªadaªa si z dzieci wybranych losowo z tego samego ±rodowiska, ale spo±ród dzieci ucz szczaj cych do przedszkola w wieku 34 lat. Zmienn badan byªo zapotrzebowanie badanych dzieci na pomoc spoªeczn (Social Services) w ich pó¹niejszym, dorosªym»yciu (zmienna SS). Okazaªo si,»e w ci gu ostatnich 10 lat w grupie osób ucz szczaj cych w dzieci«stwie do przedszkola 38 wymagaªo pomocy spoªecznej, a w grupie kontrolnej 49. Grupa n SS ˆp Kontrolna ,803 Przedszkolna ,613 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 3 / 12 prob

6 ˆp , grupa kontrolna ˆp , grupa przedszkolna Na podstawie danych wykonamy 2 badania statystyczne: Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 4 / 12 prob

7 ˆp , grupa kontrolna ˆp , grupa przedszkolna Na podstawie danych wykonamy 2 badania statystyczne: 1. Aby oszacowa jak du»y wpªyw ma wychowanie przedszkolne na pó¹niejsze problemy utworzymy przedziaª ufno±ci dla zmiennej p 1 p 2 b d cej ró»nic proporcji w dwóch badanych populacjach Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 4 / 12 prob

8 ˆp , grupa kontrolna ˆp , grupa przedszkolna Na podstawie danych wykonamy 2 badania statystyczne: 1. Aby oszacowa jak du»y wpªyw ma wychowanie przedszkolne na pó¹niejsze problemy utworzymy przedziaª ufno±ci dla zmiennej p 1 p 2 b d cej ró»nic proporcji w dwóch badanych populacjach 2. Aby sprawdzi, czy dane dostarczaj istotnego dowodu na to,»e ucz szczanie do przedszkola w dzieci«stwie zmniejsza w przyszªo±ci zapotrzebowanie na pomoc spoªeczn b dziemy testowali hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 > p 2. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 4 / 12 prob

9 W obu przypadkach zaczynamy od ˆp 1 ˆp 2 0, 190. Przypomnijmy,»e pojedyncze próbki X 1, X 2 w obu grupach maj rozkªad bliski rozkªadowi dwumianowemu z E(X i ) p i, Var(X i ) p i (1 p i ). Poniewa» zmienne s niezale»ne, wi c mamy nast puj ce statystyczne parametry próby: E(ˆp 1 ˆp 2 ) p 1 p 2, Var(ˆp 1 ˆp 2 ) p 1(1 p1) n1 Z -statystyka: + p 2(1 p2), n2 z (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ). p1(1 p1) n1 + p 2(1 p2) n2 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 5 / 12 prob

10 W obu przypadkach zaczynamy od ˆp 1 ˆp 2 0, 190. Przypomnijmy,»e pojedyncze próbki X 1, X 2 w obu grupach maj rozkªad bliski rozkªadowi dwumianowemu z E(X i ) p i, Var(X i ) p i (1 p i ). Poniewa» zmienne s niezale»ne, wi c mamy nast puj ce statystyczne parametry próby: E(ˆp 1 ˆp 2 ) p 1 p 2, Var(ˆp 1 ˆp 2 ) p 1(1 p1) n1 Z -statystyka: Gªówne zaªo»enia: + p 2(1 p2), n2 z (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ). p1(1 p1) n1 1. Dwie badane populacje s niezale»ne, + p 2(1 p2) n2 2. n i ˆp i, n i (1 ˆp i ) 10. To uzasadnia u»ycie CLT, i mo»emy przyj,»e ˆp i maj rozkªad normalny. W takim razie ró»nica ˆp 1 ˆp 2 te» ma rozkªad normalny, a wi c Z -statystyka jest w przybli»eniu normaln, standardow zmienn losow N(0, 1). Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 5 / 12 prob

11 Przedziaª ufno±ci: (ˆp 1 ˆp 2 ) ± z SE, gdzie SE ( ˆp1 (1 ˆp 1 ) n 1 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) n 2 ) 1/2 Nieznane parametry p i zast pili±my przez parametry próby ˆp i. Wybierzmy poziom ufno±ci C 95% (1) n 1ˆp 1 49, n 1 (1 ˆp 1 ) 12; n 2ˆp 2 38, n 2 (1 ˆp 2 ) 14, (2) SE (0, 803 0, 197/61 + 0, 613 0, 387/62) 1/2 0, 0801, (3) Przedziaª ufno±ci: (0, 803 0, 613) ± 1, 960 0, , 190 ± 0, 157: 0, 033 < p 1 p 2 < 0, 347. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 6 / 12 prob

12 Testowanie hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 > p 2. (1) Zaªó»my H 0, mamy z ˆp 1 ˆp 2 SE 0, 190 0,803 0, ,613 0, , 190 2, , 0801 Ponownie, nieznane parametry p i ˆp i. zast pili±my przez parametry próby Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 7 / 12 prob

13 Testowanie hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 > p 2. (1) Zaªó»my H 0, mamy z ˆp 1 ˆp 2 SE 0, 190 0,803 0, ,613 0, , 190 2, , 0801 Ponownie, nieznane parametry p i zast pili±my przez parametry próby ˆp i. (2) p-warto± P(z > 2, 372) 0, , 009 0, 9% < α. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 7 / 12 prob

14 Testowanie hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 > p 2. (1) Zaªó»my H 0, mamy z ˆp 1 ˆp 2 SE 0, 190 0,803 0, ,613 0, , 190 2, , 0801 Ponownie, nieznane parametry p i zast pili±my przez parametry próby ˆp i. (2) p-warto± P(z > 2, 372) 0, , 009 0, 9% < α. (3) Widzimy,»e przy jakimkolwiek poziomie istotno±ci α 0, 01 nale»y odrzuci H 0 na rzecz H a, p 1 > p 2, czyli dane potwierdzaj,»e uczestnictwo w programie przedszkolnym w dzieci«stwie zmniejsza pó¹niejsze zapotrzebowanie na pomoc spoªeczn. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 7 / 12 prob

15 Test dla próby poª czonej: Cz sto przy testowaniu hipotezy p 1 p 2 stosuje si metod próby poª czonej. Skoro testujemy przy zaªo»eniu takiej samej proporcji w obu populacjach p p 1 p 2, to mo»emy to wykorzysta w obliczaniu przybli»enia: Z -statystyka przyjmuje posta : ˆp m 1 + m 2 n 1 + n 2. z (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ( ). ˆp(1 ˆp) n1 n2 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 8 / 12 prob

16 Test dla próby poª czonej: Cz sto przy testowaniu hipotezy p 1 p 2 stosuje si metod próby poª czonej. Skoro testujemy przy zaªo»eniu takiej samej proporcji w obu populacjach p p 1 p 2, to mo»emy to wykorzysta w obliczaniu przybli»enia: Z -statystyka przyjmuje posta : W naszym przypadku: ˆp , 707, z 0,190 0,707 0,293 ( ˆp m 1 + m 2 n 1 + n 2. z (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ( ). ˆp(1 ˆp) n1 n ) 2, 31 (porównajmy to z poprzednio otrzyman warto±ci 2, 372. Warto± 2,31 jest dokªadniejsza. p 0, Przy poziomie istotno±ci, powiedzmy α 0, 05 odrzucamy hipotez H 0 na rzecz H a : p 1 > p 2. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 8 / 12 prob

17 Przykªad: Niektóre badania sugeruj,»e aspiryna mo»e redukowa ryzyko zawaªów i udarów. W du»ym badaniu utworzono dwie grupy obserwowanych przypadków. Pacjentom jednej grupy podawano regularnie aspiryn, a pacjentom drugiej grupy placebo. Otrzymano nast puj ce dane: Grupa terapeutyczna Aspiryna Placebo Zawaªy Udary Liczno± grup Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 9 / 12 prob

18 Przykªad: Niektóre badania sugeruj,»e aspiryna mo»e redukowa ryzyko zawaªów i udarów. W du»ym badaniu utworzono dwie grupy obserwowanych przypadków. Pacjentom jednej grupy podawano regularnie aspiryn, a pacjentom drugiej grupy placebo. Otrzymano nast puj ce dane: Grupa terapeutyczna Aspiryna Placebo Zawaªy Udary Liczno± grup Czy te dane dostarczaj statystycznie istotnego dowodu na sugesti,»e za»ywanie aspiryny redukuje ryzyko zawaªu lub udaru? Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 9 / 12 prob

19 Przykªad: Niektóre badania sugeruj,»e aspiryna mo»e redukowa ryzyko zawaªów i udarów. W du»ym badaniu utworzono dwie grupy obserwowanych przypadków. Pacjentom jednej grupy podawano regularnie aspiryn, a pacjentom drugiej grupy placebo. Otrzymano nast puj ce dane: Grupa terapeutyczna Aspiryna Placebo Zawaªy Udary Liczno± grup Czy te dane dostarczaj statystycznie istotnego dowodu na sugesti,»e za»ywanie aspiryny redukuje ryzyko zawaªu lub udaru? 1) Zawaªy: mamy: n , n , ˆp 1 129/ , 01169, n 1ˆp 1 129, n 1 (1 ˆp 1 ) 10908, ˆp 2 213/ , 01930, n 2ˆp 2 213, n 2 (1 ˆp 2 ) Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch25 proporcji maja 2016 (Two-sample 9 / 12 prob

20 Wszystkie liczby n i ˆp i, n i (1 ˆp i ) s wi ksze ni» 10, wi c mo»emy zastosowa Z -test. (a) Hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 p 2. (b) Proporcja w próbie poª czonej: ˆp n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n , Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch 25proporcji maja 2016 (Two-sample 10 / 12 prob

21 Wszystkie liczby n i ˆp i, n i (1 ˆp i ) s wi ksze ni» 10, wi c mo»emy zastosowa Z -test. (a) Hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 p 2. (b) Proporcja w próbie poª czonej: (c) Z -test: ˆp n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n , z ˆp 1 ˆp 2 ( ) ˆp(1 ˆp) n1 n2 0, , ) 0, 0155(1 0, 0155)( (d) p-warto± : mniej ni» 0,00001 (!). Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch 25proporcji maja 2016 (Two-sample 10 / 12 prob

22 Wszystkie liczby n i ˆp i, n i (1 ˆp i ) s wi ksze ni» 10, wi c mo»emy zastosowa Z -test. (a) Hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 p 2. (b) Proporcja w próbie poª czonej: (c) Z -test: ˆp n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n , z ˆp 1 ˆp 2 ( ) ˆp(1 ˆp) n1 n2 0, , ) 0, 0155(1 0, 0155)( (d) p-warto± : mniej ni» 0,00001 (!). (e) Wniosek: Dane dostarczaj bardzo mocnego dowodu (na poziomie istotno±ci α 10 5 )»e grupa leczona aspiryn i grupa leczona placebem (?) miaªy inne ryzyko zawaªu. (Grupa leczona aspiryn miaªa Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch 25proporcji maja 2016 (Two-sample 10 / 12 prob

23 2) Udary: podobnie jak dla zawaªów, obliczamy n , n , ˆp 1 119/ , 01078, n 1ˆp 1 119, n 1 (1 ˆp 1 ) 10918, ˆp 2 98/ , 00888, n 2ˆp 2 98, n 2 (1 ˆp 2 ) Tak jak poprzednio, wszystkie liczby n i ˆp i, n i (1 ˆp i ) s wi ksze ni» 10, wi c mo»emy zastosowa Z -test. (a) Hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 p 2. (b) Proporcja w próbie poª czonej: ˆp n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n , Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch 25proporcji maja 2016 (Two-sample 11 / 12 prob

24 2) Udary: podobnie jak dla zawaªów, obliczamy n , n , ˆp 1 119/ , 01078, n 1ˆp 1 119, n 1 (1 ˆp 1 ) 10918, ˆp 2 98/ , 00888, n 2ˆp 2 98, n 2 (1 ˆp 2 ) Tak jak poprzednio, wszystkie liczby n i ˆp i, n i (1 ˆp i ) s wi ksze ni» 10, wi c mo»emy zastosowa Z -test. (a) Hipotezy: H 0 : p 1 p 2, H a : p 1 p 2. (b) Proporcja w próbie poª czonej: ˆp n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n , (c) Z -test: z ˆp 1 ˆp 2 ( ) 0, , ( 1 ˆp(1 ˆp) n n 2 0, , ) 1, 43. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch 25proporcji maja 2016 (Two-sample 11 / 12 prob

25 (4) p-warto± : p 2P(z > 1, 43) 0, (5) Wniosek: Dane nie dostarczaj dowodu»e grupa leczona aspiryn i grupa leczona placebem (?) miaªy inne ryzyko udaru. Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch 25proporcji maja 2016 (Two-sample 12 / 12 prob