BADANIA STANU ODKSZTAŁCENIA ZA POMOCĄ METODY TENSOMETRII REZYSTANCYJNEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BADANIA STANU ODKSZTAŁCENIA ZA POMOCĄ METODY TENSOMETRII REZYSTANCYJNEJ"

Transkrypt

1 Jarosław FILIPIAK BADANIA STAN ODKSZTAŁCENIA ZA POMOCĄ METODY TENSOMETII EZYSTANCYJNEJ Metoda tensometrii rezstancjnej jest stosowana do pomiaru odkształceń zarówno obiektów badanch w warunkach laboratorjnch jak i urządzeń cz też maszn pracującch w naturalnm dla nich środowisku i poddanch obciążeniom eksploatacjnm. Technika tensometrii rezstancjnej jest wkorzstwana również do wtwarzania różnego tpu przetworników do pomiaru: sił, momentu zginającego, momentu skręcającego, kąta ugięcia, kąta obrotu, ciśnienia, przemieszczenia, przśpieszenia, temperatur, itp. Pomiar odkształceń w metodzie tensometrii rezstancjnej opart jest na wkorzstaniu zjawiska zmian rezstancji przewodnika, wskutek jego wdłużenia lub skrócenia. Odpowiednio ukształtowan przewodnik elektrczn w postaci siatki tensometru rezstancjnego łącz się trwale poprzez przklejenie z wbranm miejscem badanego obiektu. Pod wpłwem obciążeń badan obiekt odkształca się wraz z tensometrem, co wwołuje zmianę wmiarów tensometru i ściśle z tm związaną zmianę jego rezstancji. Międz rezstancją, jej zmianą i odkształceniem (wdłużeniem lub skróceniem) cienkiego drutu zachodzi następująca zależność: k, () gdzie k jest współcznnikiem czułości odkształceniowej tensometru lub też krótko - stałą tensometru. Zależność pomiędz zmianą rezstancji przewodnika i jego odkształceniem wrażona w postaci () jest podstawowm równaniem tensometrii rezstancjnej. Wielkość /, nazwana także sgnałem elektrcznm, jest przetwarzana w aparaturze pomiarowej na sgnał napięciow. Sgnał ten jest proporcjonaln do wartości odkształcenia jakiego doznaje tensometr. Wartość współcznnika proporcjonalności k dla stopów metali użwanch do wtwarzania tensometrów można uważać z bardzo małm błędem za stałą w granicach sprężstości []. Wartości stałej k dla różnch materiałów, z którch wkonwane są siatki pomiarowe współczesnch tensometrów przedstawiono w tabeli. BDOWA TENSOMET EZYSTANCYJNEGO Obecnie w praktce pomiarowej największe zastosowanie mają tensometr foliowe. Foliow tensometr rezstancjn składa się z następującch elementów (rs. ): siatki pomiarowej (), która w celu zwiększenia długości cznnej przewodnika ukształtowana jest w postaci wężkowatej. Siatka pomiarowa wkonana jest z odpowiedniego stopu (tabela ). Grubość siatki pomiarowej wnosi ok. 5m i jest nanoszona metodą fotochemiczną na podkładkę nośną. podkładki nośnej () wkonanej z tworzwa sztucznego. Jej grubość wnosi -m. Obecnie najczęściej stosowane materiał na podkładki to: żwica epoksdowo-fenolowa, żwica epoksdowo-fenolowa zbrojona włóknem szklanm i poliamid. Tensometr na podkładce z żwic epoksdowo-fenolowej stosowane są w pomiarach odkształceń nie przekraczającch 5 % i w temperaturze do o C. Tensometr na podkładce z żwic epoksdowo-fenolowej zbrojonej włóknem szklanm stosowane są w pomiarach odkształceń do % i w zakresie temperatur od 7 o C do 9 o C a krótkotrwale nawet do o C. Tensometr na podkładce poliamidowej stosowane są do pomiarów dużch odkształceń rzędu % w przedziale temperatur od 97 o C do 75 o C [6],

2 s.. Budowa tensometru rezstancjnego (opis w tekście) nakładka ochronna () przkrwa siatkę pomiarową i chroni ją przed uszkodzeniem. Wkonana jest z tego samego materiału co podkładka nośna, wprowadzenia zakończeń siatki pomiarowej (). Tabela. Wbrane parametr stopów na siatki pomiarowe tensometrów [6] Materiał siatki (nazwa handlowa) Skład chemiczn Wartość stałej k ezstwność [m -ó ] Konstantan nikiel 5%, 9 miedź 55% Nichrom V nikiel 8%, 8 chrom % Isoelastic żelazo 55,5%,5 nikiel 6% chrom 8% molibden,5% Karma nikiel 7%, chrom % aluminium % żelazo % Manganin miedź 8%,7 8 magnez % nikiel % Monel nikiel 67%,9 miedź % stop platn i irdu platna 95% ird 5% 5, Obok wspomnianch już parametrów opisującch każd tensometr, tj.: rezstancji i stałej k należ wmienić długość baz pomiarowej a (rs..). Oferowane przez producentów tensometr mogą posiadać bazę pomiarową o wielkości od dziesiątch części milimetra do kilkudziesięciu milimetrów. Przkładowo firma Hottinger Baldwin Messtechnik oferuje tensometr foliowe o bazie pomiarowej od,6 mm do 5 mm, a ich rezstancja może wnosić lub. Wkorzstując metodę tensometrii rezstancjnej do pomiaru odkształceń musim pamiętać o tm, że mierzone wartości dotczą nie jednego punktu a pewnego pola pokrwającego się z powierzchnią siatki pomiarowej tensometru. Ze względu na skończone rozmiar tensometru pomiar odkształcenia w punkcie jest niemożliw. Mówiąc o zmierzonm odkształceniu w punkcie rozumie się, że pomiar objął pole otaczające dan

3 a s.. Przkład tensometru liniowego o bazie pomiarowej a punkt. Dlatego też właściw dobór długości baz pomiarowej ma wpłw na dokładność prowadzonch pomiarów. Dotcz to szczególnie pomiarów w miejscach o dużm gradiencie zmian odkształceń oraz pomiarów odkształceń szbkozmiennch. Zagadnienia te ilustruje rs.. W takich przpadkach zastosowanie tensometrów o małch bazach pomiarowch, często poniżej mm pozwala na zmniejszenie błędu pomiaru. Wstępna, przbliżona ocena przebiegu naprężeń i stopnia ich zmienności znacznie ułatwia dokonanie wboru odpowiedniej długości baz pomiarowej tensometrów. [%] maksmalne odkształcenie odkształcenie mierzone przez tensometr przebieg zmian odkształcenia w miejscu naklejenia tensometru s.. Ilustracja wpłwu wielkości baz pomiarowej tensometru na wniki pomiaru w miejscu koncentracji odkształceń W tensometrii rezstancjnej niezwkle istotną kwestią jest preczjne zorientowanie osi naklejanego tensometru względem obranego kierunku pomiaru odkształcenia. Wnika to z faktu, że wszelkie odchlenia osi tensometru od tego kierunku generują błąd oszacowania rzeczwistej wartości odkształcenia w danm elemencie [5]. W przpadku pojednczego tensometru naklejonego na powierzchni elementu, w którm panuje jednoosiow stan odkształcenia (rs.) błąd oszacowania zależ od trzech parametrów (pomijając czułość poprzeczną tensometru): stosunku wartości maksmalnej do minimalnej odkształceń głównch ( / ), kąta pomiędz kierunkiem maksmalnego odkształcenia głównego i obranego kierunku pomiaru, kąta pomiędz kierunkiem osi tensometru po jego naklejeniu i obranm kierunkiem pomiaru.

4 + - (-) (+) s.. ozkład pola odkształceń odpowiadającego jednoosiowemu stanowi naprężenia Na rs.5 przedstawiono diagram ilustrując wpłw wartości kątów i na wielkość błędu oszacowania zmierzonego odkształcenia. Przpadek ten dotcz jednoosiowego stanu odkształcenia (osiowe rozciąganie) stalowej próbki, dla której = i 85Warto zauważć, że największa wartość błędu pomiaru wstępuje wówczas, gd kąt osiąga wartość 5 [5]. błąd zmierzonego odkształcenia [] kąt naklejenia tensometru wzgledem kierunku odkształceń głównch s.. Ilustracja zależności pomiędz wartością błędu oszacowania odkształcenia i kątami oraz ; przpadek jednoosiowego rozciągania, dla którego = i 85

5 Zagadnienia dotczące analiz niepewności oszacowania mierzonch odkształceń w przpadku rozet tensometrcznch został szeroko omówione w pracach [], [], [5]. EZYSTANCYJNY MOSTEK TENSOMETYCZNY Sprężste odkształcenia badanch obiektów, w szczególności wkonanch z tworzw metalicznch, są z reguł bardzo małe, tak więc zmian długości i z nimi związane zmian rezstancji tensometrów są również bardzo małe i mogą bć mierzone z nieznacznm błędem tlko odpowiednio czułmi i dokładnmi układami. Najczęściej stosuje się układ pomiarow mostka Wheatstone a, którego schemat wraz z sstemem pomiarowo - rejestrującm pokazuje rs. 6. Prz stałm napięciu źródła zasilania i prz dużej rezstancji wewnętrznej przrządu pomiarowego napięcie wjściowe wraża się zależnością []:, () którą można przedstawić w postaci: (). PC wzmacniacz pomiarow s. 6. Schemat połączenia mostka Wheatstone a z elementami układu pomiarowego Gd rezstancje we wszstkich czterech gałęziach są jednakowe = = =, przrząd pomiarow wkaże wartość =. Podczas pomiarów tensometrcznch w poszczególnch gałęziach (tensometrach) mostka mogą następować zmian rezstancji różniące się wartością i znakiem. ozważm kilka charakterstcznch przpadków zmian rezstancji tensometrów w poszczególnch gałęziach mostka Wheatstone a.. Załóżm, że wartości początkowe rezstancji tensometrów są jednakowe i równe, a tensometr uległ odkształceniu zmieniając rezstancję o wartość (rs.7). Wówczas z zależności () wnika, że prz wartość ilorazu napięcia wjściowego do napięcia zasilania wnosi, co oznacza, że jest równa względnej zmian rezstancji jednego tensometru cznnego.

6 + + + = s.7. Schemat mostka Wheatstone a z jednm tensometrem cznnm s.8. Schemat mostka Wheatstone a z dwoma tensometrami cznnmi. Jeśli dwa tensometr zlokalizowane w sąsiednich gałęziach ( i ) doznają zmian rezstancji jednakowch co do wartości jak i znaku (rs.8), to względna zmiana napięcia w układzie pomiarowm wniesie.. W przpadku, gd wszstkie czter tensometr ulegną odkształceniom jednakowm, co do wartości, lecz różnm znaku w parach przeciwległch (rs.9), to sgnał, to znacz jest równ względnej zmianie rezstancji jednego z cznnch tensometrów s.9. Schemat mostka Wheatstone a z czterema tensometrami cznnmi s.. Schemat mostka Wheatstone a z dwoma tensometrami cznnmi. Jeśli w dwóch sąsiednich gałęziach tensometr doznają zmian rezstancji identcznej pod względem wartości, lecz o przeciwnch znakach (rs.) wówczas, wartość względna sgnału będzie równa

7 = s.. Schemat mostka Wheatstone a z czterema tensometrami cznnmi s.. Schemat mostka Wheatstone a z czterema tensometrami cznnmi 5. Taka sama wartość sgnału zostanie zarejestrowana wówczas, gd w tensometrach zlokalizowanch w dwóch przeciwległch gałęziach mostka nastąpi zmiana rezstancji równa co do wartości jak i znaku (rs.). 6. Jeżeli wszstkie czter tensometr doznają równocześnie jednakowch zmian (rs.), to wartość sgnału pomiarowego wnosi:. Przedstawione wżej własności mostka Wheatstone a są wkorzstwane w praktce pomiarowej. Dobierając odpowiednio konfigurację mostka można uzskać wzmocnienie lub osłabienie sgnału pomiarowego. I tak np. czterokrotne wzmocnienie uzskujem w stuacji przedstawionej w przpadku, a dwukrotne wówczas, gd mam do cznienia z przpadkami i 5. Najsłabsz sgnał pomiarow uzskujem w przpadku. Fakt wstępowania zerowego sgnału pomiarowego w układach przedstawionch w przpadkach i 6 wkorzstuje się do zabezpieczenia układu pomiarowego przed wpłwem cznników niepożądanch, np. zmian temperatur badanego obiektu w trakcie pomiaru, na wartość mierzonch wielkości. Przkładem takiego zastosowania może bć pomiar odkształceń elementu wspornikowego wnikającch z obciążenia siłą skupioną P (rs.). W celu weliminowania wpłwu zmian temperatur zewnętrznej o T zastosowano układ z dwoma tensometrami cznnmi zlokalizowanmi w sąsiednich gałęziach. Na skutek oddziałwania sił P tensometr i doznają przrostu wartości rezstancji o ale o przeciwnch znakach. Wówczas w mostku Wheatstone a zachodzi stuacja przedstawiona na rs.. Sgnał pomiarow będzie różn od zera. Gd nastąpi wzrost temperatur badanego obiektu o T wówczas oba tensometr doznają identcznch, co do wartości jak i znaku przrostów rezstancji o T (stuacja przedstawiona na rs. 8). W efekcie zmiana rezstancji wnikająca ze zmian temperatur wwoła zerową zmianę sgnału pomiarowego = w układzie mostka Wheatstone a. Zastosowan układ pomiarow pozwala więc na wznaczenie odkształceń badanego elementu wnikającch włącznie z działania sił P.

8 T P s.. Ilustracja kompensacji wpłwu zmian temperatur podczas pomiaru odkształceń belki wspornikowej obciążonej siłą skupioną Własności mostka Wheatstone a wkorzstwane są w budowie różnego tpu przetworników tensometrcznch przeznaczonch do pomiaru: sił, ciśnienia, momentu zginającego, momentu skręcającego, kąta ugięcia, kąta obrotu, przemieszczenia, odkształcenia, temperatur, itp. Pojedncz tensometr, np. foliow z siatką pomiarową wkonaną z konstantanu, naklejon bezpośrednio na powierzchni badanego obiektu pozwala na pomiar w temperaturze pokojowej odkształceń rzędu %-5%. W przpadku tensometrów o bazie pomiarowej mniejszej od mm wdłużenie względne nie powinno przekraczać dolnej granic podanego zakresu, tj. %. Do pomiaru odkształceń rzędu % stosowane są specjalne tensometr, którch siatka pomiarowa wkonana jest z wżarzanego konstantanu, a podkładka nośna z poliamidu o dużej podatności. W celu zmierzenia odkształceń na poziomie %-5% konieczne jest zastosowanie przetworników tensometrcznch. Na rs. przedstawiono przkład przetwornika przeznaczonego do pomiaru dużch odkształceń, w tm przpadku nawet dziesięciokrotnie wższch od tch mierzonch tensometrem naklejonm bezpośrednio na powierzchni badanego obiektu. W omawianm przkładzie tensometr tworzące mostek Wheatstone a naklejone są na ukształtowan w formie liter element pośrednicząc wkonan ze stali o podwższonej wtrzmałości. kład pełnego mostka, tak jak na rs. 9, tworzą czter tensometr, prz czm dwa naklejone są na górnej powierzchni elementu i dwa od dołu, dokładnie po przeciwnej stronie. Przetwornik montowan jest na ściskanie po dwa tensometr naklejone od gór i od dołu rozciąganie s.. Przkład przetwornika tensometrcznego do pomiaru dużch odkształceń

9 powierzchni badanego obiektu. Tego tpu przetworniki mogą bć wkorzstwane do pomiaru odkształceń obiektów wkonanch z materiałów o charakterstce zbliżonej do gum, a także badań biomechanicznch tkanek miękkich, tj. mięśni, więzadeł, skór, naczń krwionośnch, itp. POMIA DWOSIOWEGO STAN ODKSZTAŁCENIA W praktce laboratorjnch pomiarów odkształceń i w badaniach eksploatacjnch różnch obiektów zazwczaj ogranicza się do pomiaru wdłużeń i zmian kątów ma powierzchni obiektu. Dwuosiow stan odkształcenia jest określon przez trz wdłużenia względne, w trzech różnch kierunkach, ale zawsze w jednej płaszczźnie. Jak wnika z koła odkształceń istnieją związki matematczne pomiędz składowmi odkształceń głównch i wzdłuż kierunków głównch i a składowmi odkształceń liniowch i oraz odkształceniem postaciowm określonm katem []. Zależności te mają następującą postać: ma, () min, prz czm kąt (rs.5) pomiędz kierunkami odkształceń i spełnia zależność: tg. (5) Związki te wkorzstwane są w tensometrii do wznaczania wartości odkształceń w kierunkach głównch i ich kierunków, gd znane są składowe,,. s.5. Orientacja kierunków głównch i względem przjętego układu współrzędnch i Jeżeli w badanm obszarze wstępują jednocześnie odkształcenia,,, to całkowite odkształcenie w tm obszarze wrazi się jako algebraiczna suma składowch wdłużeń, co można przedstawić za pomocą wzoru []: cos sin. (6) ównanie (6) wraża związek pomiędz odkształceniem w kierunku wznaczonm przez kąt, a składowmi,, dwuosiowego stanu odkształcenia. W przpadku, gd w analizowanm punkcie pomiarowm te składowe są nieznane, a znane są odkształcenia,

10 , (np. zmierzone przez poszczególne tensometr) w kierunkach określonch kątami,, względem wspólnej osi, związki pomiędz odkształceniami otrzmane ze wzoru dla tch trzech kierunków przedstawiają się następująco: cos sin, cos sin, (7) cos sin. ównania (7) tworzą układ trzech równań z trzema niewiadommi pozwalając na wznaczenie nieznanch składowch,,. Podstawiając wartości tch składowch do równań () i (5) można wznaczć wartości odkształceń wzdłuż kierunków głównch i oraz kąt pomiędz kierunkami odkształceń i. OZETY TENSOMETYCZNE Dwuosiow stan odkształcenia jest określon przez trz odkształcenia, w trzech różnch, dowolnch kierunkach zawartch w jednej płaszczźnie. ównoczesn pomiar trzech i więcej wdłużeń umożliwiają rozet tensometrczne składające się z kilku tensometrów odpowiednio względem siebie zorientowanch. W praktce pomiarowej znajduje zastosowanie kilka tpów rozet. Najprostsze z nich to rozet prostokątne utworzone z dwóch tensometrów o osiach wzajemnie prostopadłch (rs.8a). Takie rozet stosuje się w przpadku dwuosiowego stanu odkształcenia, gd znane są kierunki główne. Wówczas osie tensometrów powinn pokrwać się z kierunkami głównmi. zastosowanie kilka tpów rozet. Najprostsze z nich to rozet prostokątne utworzone z dwóch tensometrów o osiach wzajemnie prostopadłch (rs.8a). Takie rozet stosuje się w przpadku dwuosiowego stanu odkształcenia, gd znane są kierunki główne. Wówczas osie tensometrów powinn pokrwać się z kierunkami głównmi. a) b) c) s. 8. Przkład rozet tensometrcznch: a) rozeta prostokątna prosta, b) rozeta prostokątna złożona, c) rozeta tpu delta Najczęściej jednak mam do cznienia z stuacją, w której nie można wcześniej określić kierunków głównch. Wówczas konieczne jest stosowanie rozet składającch się z trzech, a czasami czterech tensometrów. Przkład takich rozet przedstawiono na rs.8b, 8c. Kąt nachlenia poszczególnch tensometrów wchodzącch w skład rozet dobierane są tak, ab zapewnić prostą postać wzorów i łatwość obliczeń (, 5, 6, 9, ). Do najczęściej stosowanch tpów złożonch rozet tensometrcznch można zaliczć rozet prostokątne i rozet tpu delta (rs.9). ozet te tworzą rodzin składające się z kilku wariantów konfiguracjnch różniącch się układem poszczególnch tensometrów, ale pod

11 względem funkcjonalnm i obliczeniowm sprowadzają się do tch samch schematów (rs.). a) = 5/ = / b) = / = / s. 9. Geometria rozet: a) prostokątnej, b) tpu delta a) b) s.. Schemat konfiguracji tensometrów w rozetach: a) prostokątnch, b) tpu delta ozeta prostokątna Pomiędz odkształceniami, /, / zmierzonmi za pomocą tensometrów a odkształceniami nieznanmi,, zachodzą związki, które na podstawie równań (7) sprowadzają się do postaci:,,

12 . Zatem poszukiwane odkształcenia,, wnoszą:,,. Po wprowadzeniu tch wartości do równań () otrzmujem wzor na odkształcenia główne:,, oraz odkształcenie kątowe ma. Wartość kąta zawartego międz kierunkiem głównm i osią wznacza się z równania (5) po uprzednim uwzględnieniu zależności na ma : tg. Jeżeli znane są wartości modułu Young a i ułamka Poissona dla materiału, z którego zbudowan jest badan obiekt wówczas wkorzstując wartości wliczonch odkształceń głównch można wznaczć również wartości naprężeń głównch: E, E, a maksmalne naprężenia stczne wrażają się zależnością: ma ma E. Warto w tm miejscu zwrócić uwagę na niebezpieczeństwo uzskania mlącch wartości naprężeń w przpadku, gd mam do cznienia z obiektem zbudowanm z materiału, dla którego wartości współcznników E i nie są jednoznacznie określone. Dotcz to międz innmi obiektów biologicznch (tkanek żwch tpu: tkanka kostna, mięśnie, itp.) w przpadku, którch bardzo często, na poziomie aktualnego stanu wiedz trudno jest określić w sposób preczjn wartości tch stałch [].

13 ozeta tpu delta W przpadku rozet tpu delta (rs.7b) pomiędz odkształceniami, /, / zmierzonmi za pomocą tensometrów a odkształceniami nieznanmi,, zachodzą związki, które na podstawie równań (7) sprowadzają się do postaci:,,. Ze związków tch wnikają następujące wartości odkształceń,, :,,. Po wprowadzeniu tch wartości do równań () otrzmujem wzor na odkształcenia główne:,, a wartość kąta zawartego międz kierunkiem głównm i osią wznacza się z równania (5): tg. WADY I ZALETY METODY TENSOMETII EZYSTANCYJNEJ Tensometr rezstancjne są elementami jednokrotnego użtku, co w zasadzie stanowi ich największą wadę. Do wad można również zaliczć wsoki koszt aparatur pomiarowej oraz dużą pracochłonność przgotowania toru pomiarowego. Główne zalet metod tensometrcznej to []: tensometr charakterzują się dużą czułością i dokładnością pomiaru; współczesna aparatura tensometrczna pozwala na pomiar odkształceń rzędu m/m co w przpadku stali odpowiada naprężeniu =, MPa, natomiast duża dokładność wnika ze stałej wartości k utrzmwanej dla zwkłch tensometrów w granicach do co najmniej =5, czli do MPa dla stali. mała histereza wskazań (zjawisko histerez obecne na początku prac świeżo naklejonego tensometru zanika po kilku wstępnch obciążeniach), aparatura tensometrczna pozwala na bezpośredni odczt wielkości mierzonej odpowiedniej do stosowanch przetworników, a w połączeniu z oprogramowaniem

14 komputerowm tworz sstem umożliwiając sterowanie pomiarami, akwizcję danch i ich dalszą obróbkę, np. statstczną, tensometr mają małe wmiar i niskie mas; małe rozmiar tensometrów rzędu dziesiątch części milimetra pozwalają na pomiar w miejscach silnch spiętrzeń odkształceń, a także umożliwiają znaczna miniaturzację przetworników. Niewielka masa tensometrów rezstancjnch, znacznie poniżej jednego grama pozwala na redukcję do minimum wpłwu sił bezwładności, wkorzstując tensometr rezstancjne można budować całą gamę przetworników służącch do pomiaru różnch wielkości fizcznch, duża przeciążalność przetworników, nawet do kilkudziesięciu procent w stosunku do ich nominalnego zakresu pomiarowego, możliwość prowadzenia pomiarów statcznch i dnamicznch w różnch warunkach, często w trudno dostępnch miejscach, niebezpiecznch dla zdrowia i żcia ludzi. LITEATA: []. Będziński. Biomechanika Inżnierska. Zagadnienia Wbrane. Oficna Wdawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 997 []. Burczński T.: Wtrzmałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. WNT, []. Dudek D., Dudek K.: Metod tensometrczne w oszacowaniach stanów statcznch konstrukcji nośnch. Mat. IV Konferencji Naukowej Metod doświadczalne w budowie i eksploatacji maszn, Wrocław Szklarska Poręba 999, str. - []. oliński Z.: Tensometria Oporowa. Podstaw Teoretczne i Przkład Zastosowań. WNT, Warszawa 98 [5]. VISHAY Measurements Group. Materiał techniczne, Errors Due to Misalignment of Strain Gages, TN-5, 99 [6]. VISHAY Measurements Group. Materiał techniczne, Strain Gage osettes-selection, Application and Data eduction, TN-55, 99

Ć w i c z e n i e K 1

Ć w i c z e n i e K 1 kademia Górniczo Hutnicza Wdział nżnierii echanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia ateriałów i Konstrukcji azwisko i mię: azwisko i mię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena: Podpis:

Bardziej szczegółowo

Badania zginanych belek

Badania zginanych belek Mechanika i wtrzmałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratorjneo: Badania zinanch belek oprac. dr inż. Ludomir J. JNKOWSKI, dr inż. nna NIKODM. Wprowadzenie W wtrzmałości materiałów stan obciążenia

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 2 b

Ć w i c z e n i e K 2 b Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:

Bardziej szczegółowo

BADANIE TENSOMETRÓW REZYSTANCYJNYCH

BADANIE TENSOMETRÓW REZYSTANCYJNYCH . Ce ćwiczenia BADANIE TENSOMETÓW EZYSTANCYJNYCH Ceem ćwiczenia jest wznaczenie charakterstki statcznej tensometru rezstancjnego, jego podstawowch parametrów oraz błędów nieiniowości i błędów temperaturowch

Bardziej szczegółowo

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego

19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego 19. Wbrane układ regulacji Przkład 19.1 19.1. Korekcja nieliniowa układów w K s 2 Rs. 19.1. Schemat blokow układu orginalnego 1 Zbadać możliwość stabilizacji układu za pomocą nieliniowego prędkościowego

Bardziej szczegółowo

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

6.1. Wstęp Cel ćwiczenia

6.1. Wstęp Cel ćwiczenia Temat 4 ( godziny): Tensometria elektrooporowa 6.. Wstęp W dziedzinie konstrukcji maszyn szczególnej doniosłości i praktycznego znaczenia nabrała w ostatnich latach doświadczalna analiza naprężeń. Bardzo

Bardziej szczegółowo

3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci

3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci .. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW Kopozt RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW Równania fizczne dla ateriałów anizotropowch Równania fizczne liniowej teorii sprężstości ożna zapisać w ogólnej postaci ij ijkl kl lub po odwróceniu ij ijkl kl gdzie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 4.Wstęp - DOBÓR NASTAW REGULATORÓW opr. dr inż Krzsztof Kula Dobór nastaw regulatorów uwzględnia dnamikę obiektu jak i wmagania stawiane zamkniętemu

Bardziej szczegółowo

Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8

Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8 Na rs. 8.1 przedstawiono belkę obciążoną momentami zinającmi w płaszczźnie x. oment nąceo dla tak obciążonej

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ BELKI ZGINANEJ METODĄ TENSOMETRII OPOROWEJ

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ BELKI ZGINANEJ METODĄ TENSOMETRII OPOROWEJ Katedra Wtrzmałości Materiałów INSTRUKCJA NR 7 BADANI ODKSZTAŁCŃ BLKI ZGINANJ MTODĄ TNSOMTRII OPOROWJ. WPROWADZNI.. Ogólne wiadomości o pomiarach tensometrcznch. Tensometria zajmuje się metodami odkształceń

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

Realizacja funkcji przełączających

Realizacja funkcji przełączających Realizacja funkcji przełączającch. Wprowadzenie teoretczne.. Podstawowe funkcje logiczne Funkcja logiczna NOT AND OR Zapis = x x = = x NAND NOR.2. Metoda minimalizacji funkcji metodą tablic Karnaugha Metoda

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych - Mechanika Stosowana. y P 1. Śr 1 (x 1,y 1 ) P 2

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych - Mechanika Stosowana. y P 1. Śr 1 (x 1,y 1 ) P 2 POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Sstemów Technicznch Płaska geometria mas c c 3c Dla zadanego pola przekroju wznaczć: - połoŝenie środka cięŝkości S( s, s ) - moment

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Insttut Fizki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html Dr hab.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Katedra Optki i Fotoniki Wdział Podstawowch Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html RUCH DRGJĄCY Drganie (ruch drgając)

Bardziej szczegółowo

1.11. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ

1.11. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ .. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ od płem obciążenia prostolinioa oś podłużna belki staje się krzolinioa. Zakrzioną oś belki nazam linią ugięcia (osią ugiętą), przemieszczenie pionoe ( x) tej osi nazam

Bardziej szczegółowo

Przenoszenie niepewności

Przenoszenie niepewności Przenoszenie niepewności Uwaga wstępna: pojęcia niepewność pomiarowa i błąd pomiarow są stosowane wmiennie. Załóżm, że wielkość jest funkcją wielkości,,, dla którch niepewności (,, ) są znane (wnikają

Bardziej szczegółowo

MES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH

MES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH MES W ANAIZIE SPRĘŻYSEJ KŁADÓW PRĘOWYCH Przkład obliczeń Kratownice płaskie idia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice r. - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych

Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacjnego z zakresu przedmiotów matematczno-przrodniczch Z a d a n i a z a m k n i ę t e Numer zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP

ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP. Podstawowe związki (równania równowagi, liniowe i nieliniowe związki geometrczne, związki fizczne, warunki brzegowe) w zapisie wskaźnikowm

Bardziej szczegółowo

UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część III UKŁADY NIELINIOWE

UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część III UKŁADY NIELINIOWE UKŁADY JEDNOWYMIAROWE Część III UKŁADY NIELINIOWE 1 15. Wprowadzenie do części III Układ nieliniowe wkazją czter właściwości znacznie różniące je od kładów liniowch: 1) nie spełniają zasad sperpozcji,

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1 STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA METALI - UPROSZCZONA. 1. Protokół próby rozciągania Rodzaj badanego materiału. 1.2.

ĆWICZENIE 1 STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA METALI - UPROSZCZONA. 1. Protokół próby rozciągania Rodzaj badanego materiału. 1.2. Ocena Laboratorium Dydaktyczne Zakład Wytrzymałości Materiałów, W2/Z7 Dzień i godzina ćw. Imię i Nazwisko ĆWICZENIE 1 STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA METALI - UPROSZCZONA 1. Protokół próby rozciągania 1.1.

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

ELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW D o u ż t k u w e w n ę t r z n e g o Katedra Inżnierii i Aparatur Przemsłu Spożwczego LMNTY MCHANIKI TCHNICZNJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATRIAŁÓW Ćwiczenia projektowe Opracowanie: Maciej Kabziński Kraków,

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. OBLICZENIA PROJEKTOWE WYBRANYCH ELEMENTÓW MASZYN

ELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. OBLICZENIA PROJEKTOWE WYBRANYCH ELEMENTÓW MASZYN Katedra InŜnierii i paratur Przemsłu SpoŜwczego ELEMENTY MECHNIKI TECHNICZNEJ, STTYKI I WYTRZYMŁOŚĆ MTERIŁÓW. OLICZENI PROJEKTOWE WYRNYCH ELEMENTÓW MSZYN Opracował: Maciej Kabziński SIŁY Siłą nazwa się

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet

Bardziej szczegółowo

Cykl III ćwiczenie 3. Temat: Badanie układów logicznych

Cykl III ćwiczenie 3. Temat: Badanie układów logicznych Ckl III ćwiczenie Temat: Badanie układów logicznch Ćwiczenie składa się z dwóch podtematów: Poziom TTL układów logicznch oraz Snteza układów kombinacjnch Podtemat: Poziom TTL układów logicznch. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)

Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2) euler-przkl_.xmcd Metod Eulera i Eulera-Cauch'ego rozwiązwania równań różniczkowch zwczajnch ' ( x, ) : x () + Rozwiązanie dokładne równania () ( x, C) : + C exp( atan( x) ) () Sprawdzenie: d dx ( x, C)

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów. Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów Katedra Wytrzymałości Materiałów Instytut Mechaniki Budowli Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Laboratorium Wytrzymałości Materiałów Praca zbiorowa pod redakcją S. Piechnika Skrypt dla studentów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7

Rozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7 ozwiązwanie ram płaskich wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 7 Obciążenie ram płaskiej, podobnie jak w przpadku beek rozdział 6, mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE

Bardziej szczegółowo

Imperfekcje globalne i lokalne

Imperfekcje globalne i lokalne Imperfekcje globalne i lokalne Prz obliczaniu nośności i stateczności konstrukcji stalowch szczególnego znaczenia nabiera konieczność uwzględniania warunków wkonania, transportu i montażu elementów konstrukcjnch.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PROMIENIOWANIE W MEDYCYNIE

LABORATORIUM PROMIENIOWANIE W MEDYCYNIE LABORATORIUM PROMIENIOWANIE W MEDYCYNIE Ćw. nr 4 OSŁANIAJACE WŁAŚCIWOŚCI WARSTWY PODWÓJNEJ Nazwisko i Imię:... data:... ocena (teoria)... Grupa... Zespół... ocena końcowa... 1 Cel ćwiczenia Promieniowanie

Bardziej szczegółowo

P R O J E K T N R 1 WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Zawiera: Wyznaczenie wymiarów przekroju poprzecznego belki zginanej poprzecznie

P R O J E K T N R 1 WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Zawiera: Wyznaczenie wymiarów przekroju poprzecznego belki zginanej poprzecznie atedra Wtrzmałości Materiałów Rok akad. 005/06 Wdział Inżnierii Lądowej emestr zimow Politechniki rakowskiej P R O J E T N R 1 Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Zawiera: Wznaczenie wmiarów przekroju poprzecznego

Bardziej szczegółowo

wiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe

wiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe Ćwiczenie 15 ZGNANE UKOŚNE 15.1. Wprowadzenie Belką nazywamy element nośny konstrukcji, którego: - jeden wymiar (długość belki) jest znacznie większy od wymiarów przekroju poprzecznego - obciążenie prostopadłe

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE METALOWE II

KONSTRUKCJE METALOWE II 1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wdział Budownictwa, Architektur i Inżnierii Środowiska Insttut Konstrukcji Budowlanch dr inż. Jacek Tasarek KONSTRUKCJE METALOWE II POZNAŃ, 004 1.ELEMENTY ZGINANE - BELKI 1.1.Wiadomości

Bardziej szczegółowo

Określenie i podział więzów

Określenie i podział więzów 3.2.1. Określenie i podział więzów Ciałem swobodnm nazwam ciało, które ma nieograniczoną swobodę ruchu. Jednak zwkle ciało materialne nie może zajmować dowolnego miejsca w przestrzeni lub poruszać się

Bardziej szczegółowo

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Warsztat pracy matematyka

Warsztat pracy matematyka Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MOŻLIWOŚCI NORMALIZACJI WARTOŚCI SKŁADOWYCH TRÓJCHROMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM PRZEKSZTAŁCENIA NIELINIOWEGO

ANALIZA MOŻLIWOŚCI NORMALIZACJI WARTOŚCI SKŁADOWYCH TRÓJCHROMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM PRZEKSZTAŁCENIA NIELINIOWEGO Wojciech MOĆKO Wojciech ŻAGAN ANALIZA MOŻLIWOŚCI NORMALIZACJI WARTOŚCI SKŁADOWYCH TRÓJCHROMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM PRZEKSZTAŁCENIA NIELINIOWEGO STRESZCZENIE W referacie przedstawiono koncepcję zastosowania

Bardziej szczegółowo

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A) Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne w technologii materiałów Krzysztof Szyszkiewicz

Metody matematyczne w technologii materiałów Krzysztof Szyszkiewicz Kinetka formalna jest działem kinetki chemicznej zajmującm się opisem przebiegu reakcji chemicznch za pomocą równao różniczkowch. W przpadku reakcji homogenicznch (w objętości), g skład jest jednorodn

Bardziej szczegółowo

Ruch po równi pochyłej

Ruch po równi pochyłej Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych Laboratorium Metrologii I. Grupa. Nr ćwicz.

Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych Laboratorium Metrologii I. Grupa. Nr ćwicz. Laboratorium Metrologii I Politechnika zeszowska akład Metrologii i Systemów Pomiarowych Laboratorium Metrologii I Mostki niezrównoważone prądu stałego I Grupa Nr ćwicz. 12 1... kierownik 2... 3... 4...

Bardziej szczegółowo

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami? MES- 07 Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1-1. Przykładowy zbiór klasyczny (nierozmyty) oraz jego funkcja przynale żności.

Rysunek 1-1. Przykładowy zbiór klasyczny (nierozmyty) oraz jego funkcja przynale żności. Podstaw logiki rozmtej i regulatorów rozmtch. Zbiór rozmt Pojęcie zbioru rozmtego zostało wprowadzone przez L. A. Zadeha w 965. Celem wprowadzenia tego pojęcia bła chęć modelowania procesów złożonch, w

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

Optyka Fourierowska. Wykład 7 Filtracja przestrzenna

Optyka Fourierowska. Wykład 7 Filtracja przestrzenna Optka Fourierowska Wkład 7 Filtracja przestrzenna Optczna obróbka inormacji Układ liniowe są bardzo użteczne w analizie układów obrazującch Koncepcja ta pozwala na analizę pól optcznch w dziedzinie częstości

Bardziej szczegółowo

SENSORYKA. 1. Wstęp, wprowadzenie do czujników do czujników. systemów pomiarowych

SENSORYKA. 1. Wstęp, wprowadzenie do czujników do czujników. systemów pomiarowych Prof. Krzsztof Jemielniak k.jemielniak@wip.pw.edu.pl http://www.cim.pw.edu.pl/kjemiel ST 107, tel. 234 8656 1 Wstęp, wprowadzenie do czujników i sstemów pomiarowch SENSORYKA 1. Wprowadzenie do czujników

Bardziej szczegółowo

REDUKCJA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

REDUKCJA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ olitechnika rocławska dział Budownictwa lądowego i odnego Katedra echaniki Budowli i Inżnierii iejskiej EDUKCJA ŁASKIEG UKŁADU SIŁ ZIĄZANIE ANALITYCZNE I GAFICZNE Zadanie nr. Dokonać redukcji układu sił

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

WAT - WYDZIAŁ ELEKTRONIKI INSTYTUT SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH. Przedmiot: CZUJNIKI I PRZETWORNIKI Ćwiczenie nr 1 PROTOKÓŁ / SPRAWOZDANIE

WAT - WYDZIAŁ ELEKTRONIKI INSTYTUT SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH. Przedmiot: CZUJNIKI I PRZETWORNIKI Ćwiczenie nr 1 PROTOKÓŁ / SPRAWOZDANIE Grupa: WAT - WYDZIAŁ ELEKTRONIKI INSTYTT SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH Przedmiot: CZJNIKI I PRZETWORNIKI Ćwiczenie nr 1 PROTOKÓŁ / SPRAWOZDANIE Temat: Przetworniki tensometryczne /POMIARY SIŁ I CIŚNIEŃ PRZY

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie koncentracji naprężeń w elemencie rurowym z otworem

Wyznaczanie koncentracji naprężeń w elemencie rurowym z otworem POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszyn Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN II Temat ćwiczenia: Wyznaczanie koncentracji

Bardziej szczegółowo

Badanie zależności cech

Badanie zależności cech PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i element kombinatorki. Zmienne losowe i ich rozkład 3. Populacje i prób danch, estmacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Test parametrczne (na przkładzie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 8 i 9. Zginanie poprzeczne z wykładową częścią

ĆWICZENIE 8 i 9. Zginanie poprzeczne z wykładową częścią ĆWICZENIE 8 i 9 Zginanie poprzeczne z wkładową częścią z z QzS J b z Dskusja wzoru na naprężenia stczne. Uśrednione naprężenie stczne, J bz Qz x S z jest funkcją dwóch zmiennch: x- położenia przekroju

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład 5 Turbulentna warstwa przyścienna

J. Szantyr Wykład 5 Turbulentna warstwa przyścienna J. Szantr Wkład 5 Turbulentna warstwa przścienna Warstwa przścienna jest to część obszaru przepłwu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opłwanego ciała. W warstwie przściennej znaczącą rolę odgrwają

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka pojazdów szynowych - laboratorium -

Diagnostyka pojazdów szynowych - laboratorium - Diagnostyka pojazdów szynowych - laboratorium - Tensometria elektrooporowa Katowice 2009 r KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKA ŚLĄSKA W KATOWICACH Dr inż. Mańka Adam Przebieg zajęć:

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE TWORZYW SZTUCZNYCH OZNACZENIE WŁASNOŚCI MECHANICZNYCH PRZY STATYCZNYM ROZCIĄGANIU

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry i analizy matematycznej II

Elementy algebry i analizy matematycznej II Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 4

Ć w i c z e n i e K 4 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo