ELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. OBLICZENIA PROJEKTOWE WYBRANYCH ELEMENTÓW MASZYN

Transkrypt

1 Katedra InŜnierii i paratur Przemsłu SpoŜwczego ELEMENTY MECHNIKI TECHNICZNEJ, STTYKI I WYTRZYMŁOŚĆ MTERIŁÓW. OLICZENI PROJEKTOWE WYRNYCH ELEMENTÓW MSZYN Opracował: Maciej Kabziński SIŁY Siłą nazwa się wielkość fizczną charakterzującą oddziałwania międz ciałami. Siła jest wielkością wektorową, zatem do jej opisu, oprócz podania wartości, niezbędne jest określenie kierunku i zwrotu oddziałwania. Kierunek działania sił związan jest z połoŝeniem linii działania sił (stanowiącej przedłuŝenie wektora sił) względem osi układu współrzędnch (najczęściej: układ dwuwmiarow - oraz trójwmiarow --z). Z kolei zwrot sił jest zaleŝn od skierowania wierzchołka wektora sił względem poszczególnch osi układu współrzędnch. I tak, sił skierowane zgodnie ze zwrotem danej osi układu współrzędnch uznajem za dodatnie, zaś te skierowane niezgodnie za ujemne (rs. 1 i ). Rs. 1. Zwrot sił względem osi : 1 sił o zwrocie dodatnim, sił nie działające względem osi, 3 sił o zwrocie ujemnm. Rs.. Zwrot sił względem osi : 1 sił o zwrocie dodatnim, sił nie działające względem osi, 3 sił o zwrocie ujemnm.

2 Z przedstawionch na rsunkach 1 i danch wnika ponadto, Ŝe sił skierowane prostopadle do rozpatrwanej osi nie wkazują wobec niej działania. Sił mogą bć połoŝone pod pewnm kątem bądź nachleniem do rozpatrwanej osi (rs. 3). Rs. 3. Sił: połoŝone pod pewnm kątem (z lewej) i nachleniem (z prawej). Sił takie moŝna rozłoŝć na sił składowe (ilość składowch jest uzaleŝniona od ilości wmiarów ilości osi w rozpatrwanm układzie odniesienia). Rozkładanie sił (wznaczanie wartości sił składowch) połoŝonch pod pewnm kątem polega na mnoŝeniu wartości sił przez funkcje trgonometrczne tego kąta. I tak, w przpadku kątów przległch do rozpatrwanej osi wkorzstuje się cosinus kąta, natomiast dla kątów naprzeciwległch sinus. Przkład podano na rsunku 5. G G = cos = sin = sin G = cos G Rs. 5. Rozkładanie sił połoŝonch pod kątem do osi. Z kolei, rozłoŝenie sił połoŝonej względem rozpatrwanej osi z pod pewnm nachleniem polega na mnoŝeniu wartości tej sił przez iloraz wmiaru równoległego do rozpatrwanej osi do długości wektora sił (rs. 6). W tm przpadku długość wektora sił moŝna określić na podstawie twierdzenia Pitagorasa (rs. 6).

3 a a + b = c = c c = a + b b = c Rs. 6. Rozkładanie sił połoŝonej pod pewnm nachleniem do rozpatrwanej osi. Kolejnm zagadnieniem jest otrzmwanie sił wpadkowej prz znanch siłach składowch (składanie sił). W tm wpadku wgodnie jest posługiwać się metodą opartą na twierdzeniu Pitagorasa do wznaczenia wartości sił, natomiast kierunek i zwrot sił znajduje się za pomocą metod równoległoboku (rs. 7). Rs. 7. Składanie sił ( w - wartość sił wpadkowej). w = + Ze względu na charakter działania i pochodzenia rozróŝnia się następujące rodzaje sił: masowe (lub objętościowe) proporcjonalne do mas rozłoŝonej w objętości, działające na wszstkie punkt ciała, powierzchniowe powstające prz bezpośrednim zetknięciu się jednego ciała z drugim, zewnętrzne pochodzące od punktów lub ciał naleŝącch do rozpatrwanego układu mechanicznego,

4 wewnętrzne pochodzące od punktów lub ciał naleŝącch do rozpatrwanego układu mechanicznego, cznne (obciąŝenia zewnętrzne) mogące wwołać ruch, bierne reakcje powstające wskutek działania sił cznnch. Jednostką sił w układzie SI jest niuton [N], ponadto w wielu obszarach techniki korzsta się z jednostki kilogram-siła [kg] (inne oznaczenie: kgf), która bła jednostką podstawową cięŝarowego układu jednostek. ZaleŜności międz niutonem a kilogramem-siłą przedstawiają się następująco: kg m 1 N = 1,10197kG s 1 kg = 9,80665N MOMENT SIŁY Momentem sił nazwa się dąŝenie sił do wprawienia ciała w ruch obrotow względem punktu (rs. 8) bądź osi. Z praktcznego punktu widzenia moment sił jest ilocznem wektorowm sił i ramienia jej działania względem określonego punktu bądź osi: _ M = r Rs. 8. Moment sił. Moment tworzą sił lub ich składowe połoŝone prostopadle do promienia działania. Sił połoŝone równolegle do promienia nie tworzą momentów. Moment sił jest jednostką wektorową, zatem jak wiadomo naleŝ (oprócz podania wartości) określić jego kierunek i zwrot. I tak, moment dodatni to taki, którego działanie będzie powodowało obrót ciała w kierunku przeciwnm do ruchu wskazówek zegara (rs. Xa). Stąd teŝ moment powodując obrót ciała zgodnie z ruchem wskazówek zegara definiuje się jako ujemn (rs. 9a). MoŜliwe jest równieŝ przjęcie, Ŝe moment działając zgodnie z ruchem wskazówek zegara uznaje się za dodatki (rs. 9b), jednakŝe częściej stosowane jest uprzednio podane załoŝenie.

5 Rs. 9. Zwrot działania momentu sił w zaleŝności od przjętego załoŝenia. Jednostką momentu jest niutonometr [Nm]. RÓWNOWG SIŁ W UKŁDCH ZIEśNYCH Układami zbieŝnmi nazwa się takie ciała lub zbior ciał, w którch sił działające lub ich linie oddziałwania zbiegają się w jednm punkcie (rs. 10). Układ sił zbieŝnch pozostaje w równowadze, jeŝeli suma wszstkich sił i wszstkich momentów sił (względem obranego punktu) jest równa zero, zgodnie z zasadą bezwładności: jeŝeli na ciało nie działa Ŝadna siła, lub działające na ciało sił wzajemnie się równowaŝą, to ciało pozostaje w spocznku lub porusza się ruchem jednostajnm prostoliniowm, co moŝna zapisać: = M Równowagę sił opisuje równanie równowagi układu (na rsunku 10. przedstawiono M = P cos + S cos = P sin + S sin Q Rs. 10. Równowaga sił przkładowego układu zbieŝnego. (suma momentów wnosi 0, gdŝ odległość linii działania sił P, S i Q od punktu wnosi równieŝ 0)

6 NLIZ UKŁDÓW ELKOWYCH PŁSKICH Układ sił, którch sił leŝą w jednej płaszczźnie nazwa się układem płaskim. Do jednch z najbardziej rozpowszechnionch płaskich układów sił naleŝą układ belkowe. Układ takie składają się z belki oraz podpór (rs. 11). Rs. 11. Schemat układu belkowego (punkt i są punktami podparcia belki). Podparcia belek (podpor) mogą mieć róŝną konstrukcję najczęściej spotka się 3 rodzaje podpór: utwierdzenia całkowite (rs. 1a), podpor przegubowe stałe (rs. 1b), podpor przegubowe ruchome (rs. 1c). Rs. 1. Rodzaje podpór. W zaleŝności od rodzaju podpor wstępują odmienne ich reakcje (reakcją podpor nazwa się siłę lub sił wwołane przez obciąŝenie podpor belką, na zasadzie akcja-reakcja). Reakcje w podporach pojawiają się wted, gd dane rozwiązanie konstrukcjne blokuje określon rodzaj ruchu belki. I tak, zastosowanie podpor ruchomej oraz podpor stałej na długości belki wwołuje pojednczą reakcję, prostopadłą po powierzchni, na której umiejscowiona jest podpora. Z kolei umieszczenie podpor stałej na końcu belki wwołuje reakcję, zapiswaną najczęściej w postaci sił składowch (w przpadku podpor ruchomej reakcja działająca względem osi nie wstępuje, ze względu na kompensację obciąŝenia przez ruch podpor). Natomiast w przpadku utwierdzeń całkowitch wstępuje reakcja prostopadła do podłoŝa, na którm umieszczono podporę, ponadto w belce powstaje moment. Podpor oraz ich reakcje przedstawiono na rs. 13. Rs. 13. Reakcje podpór b) podpora na skraju belki, c) podpora umieszczona na długości belki (w punkcie b. reakcję najczęściej zapisuje się w postaci sił składowch). naliza układów belkowch pod kątem zginania składa się wznaczenia równań równowagi sił (względem poszczególnch osi) i momentów działającch na belkę oraz wznaczenia wartości sił tnącch i momentów gnącch działającch w poszczególnch

7 przedziałach (przedziałami belki są jej fragment oddzielone punktami charakterstcznmi, np. miejsca zainstalowania podpór, przegubów, działania sił, momentów itp.). Siłami tnącmi (T) nazwa się sił lub ich składowe działające prostopadle do przekroju poprzecznego belki (tj. prostopadle względem długości belki). Siłę tnącą w danm przedziale belki stanowi suma rzutów sił po jednej stronie granic przedziału. Momentem gnącm (M g ) nazwa się iloczn sił lub jej składowej i odległości od danego punktu odniesienia dąŝącch do wgięcia belki. W danm przedziale belki jest sumą momentów tworzonch przez poszczególne sił działające w tm przedziale. Wielkość tą moŝna przedstawić równaniem: = P ( a) M g gdzie: P siła działająca na belkę w danm punkcie a odległość sił od punktu jej działania punkt charakterstczn przedziału (zmienn) naliza zginania belki wmaga, ab moment gnąc rozpatrwać względem punktu 0, któr moŝna sobie wobrazić jako punkt leŝąc w nieskończenie małej odległości od wbranego końca belki (rs. 14). Rs. 14. PołoŜenie punktu 0 względem belki. UWG! Moment gnąc nie jest toŝsam sumą momentów dla belki. Oprócz sił jednostkowch na belkę mogą równieŝ działać obciąŝenia ciągłe (q). ObciąŜenia ciągłe moŝna zdefiniować jako siłę rozłoŝoną na pewnej długości (q a) (rs. 15) Rs. 15. elka z obciąŝeniem ciągłm (pominięto reakcje podpór).

8 Dla układu przedstawionego na powŝszm rsunku równania równowagi przedstawiają się następująco: M = q a = q a (a) Podana powŝej w nawiasie wartość stanowi połoŝenie środka geometrcznego obciąŝenia (w przpadku obciąŝenia o zarsie prostokątnm środek ten wnosi połowę długości boku przległego do belki). Z kolei wraŝenia na siłę tnącą i moment gnąc podano poniŝej: T = q( a) 1 (a jest odległością początku obciąŝenia od punktu odniesienia) M g = q( a) Wartości tch dwóch wielkości moŝna przedstawić na wkresie T(), M g (): Ze względu na fakt wstępowania obciąŝenia ciągłego wkres momentu gnącego nie jest linią prostą, zatem dokonując analiz naleŝ wznaczć jego wartość maksmalną oraz odległość tej wartości od punktu odniesienia. Na powŝszm wkresie dobrze widoczne jest, Ŝe wartość ta znajduje się w tej samej odległości od punktu odniesienia co wartość zerowa sił tnącej. Zatem ab znaleźć odległość M g ma od punktu odniesienia naleŝ do w równaniu na siłę tnącą podstawić w miejsce T wartość zero. W przpadku obciąŝenia belki momentem (np. pochodzącm od utwierdzenia całkowitego), jego wielkość zapisuje się w sumie momentów (równania równowagi) podając dodatkowo jego zwrot (dodatni bądź ujemn). W celu zrozumienia poszczególnch elementów wchodzącch w skład analiz zginania belki zostaną rozwiązane przkład 1, i 3.

9 <P r z k ł a d 1.> Podaj równania równowagi oraz wznacz wartości reakcji podpor dla układu przedstawionego na rsunku (rs. 16): Rs. 16. Dane do Przkładu 1. (a miara długości, np. a=1m, a=5dm, a=30mm itd.) Równania równowagi: P = R + cos P P M = R = P P 1 1 a + P + sin P sin a 3a Wznaczenie reakcji podpor (z dowolnego z równań równowagi): (dla równania dla osi ) R P1 + sin P Zatem: R = P 1 sin P <P r z k ł a d.> Podaj równania równowagi, wartości reakcji belek, sił tnącch oraz momentów gnącch dla układu belkowego przedstawionego na rsunku (rs. 17): Równania równowagi: P P M = P = R a Rs. 17. Dane do Przkładu. P a P 3a (Ŝadna z danch sił nie działa względem osi ) Wznaczanie reakcji podpór (z równań równowagi): R = P (z równania równowagi sił dla osi ) R

10 R a = R a + P 3a (z sum momentów) Podstawiam R do równania na R i otrzmujem: R a = P R a + P 3a / a ( ) R = P R + 3P Uporządkowujem równanie stronami i otrzmujem: R = P Stąd: R = P R = P P = P Zatem moŝem zapisać: R = R P = Następnie przstępujem do określenia przedziałów belki, wznaczenia wartości sił tnącej oraz momentu gnącego. Działania te zostaną zapisane w poniŝszej tabeli. Nr Granice przedziału Siła tnąca T Moment gnąc M g 1 0 a P P 3 1 a a a 3 3a P + P ( a) = Pa R P = P P ( a) = = P 3Pa ( a) + Obliczenia (wartości dla poszczególnch punktów przedziałów) i T M g 1 =0 -P 0 1 =a -P -Pa =a 0 -Pa =a 0 -Pa 3 =a P -Pa 3 =3a P 0 Po wkonaniu obliczeń w tabeli na jej podstawie sporządza się wkres T() i M g ():

11 <Przkład 3.> Podaj równania równowagi, wartości sił tnącch oraz momentów gnącch dla układu belkowego przedstawionego na rsunku (rs. 18), R =R =qa : Równania równowagi: = R q 3a M = q 3a 3a 3a Rs. 18. Dane do Przkładu 3. Wartości sił tnącch i momentów gnącch podano w tabeli: Granice Siła tnąca Obliczenia Nr Moment gnąc M przedziału T g i T M g 1 =0 3qa a R -q (-a) R q qa 1 =3a 0 Następnie, na podstawie obliczeń z tabeli, rsujem wkres: ZauwaŜm, Ŝe nie musim wznaczać połoŝenia na osi M gma, gdŝ w punkcie 1 =3a otrzmaliśm wartość T=0.