Liniowy model decyzyjny Sytuacja decyzyjna: Firma produkuje dwa

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liniowy model decyzyjny Sytuacja decyzyjna: Firma produkuje dwa"

Amelia Urbańska
7 lat temu
Przeglądów:

1 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [] Liniw mdel deczjn Stuacja deczjna: Firma prdukuje dwa wrb A i B, które wmagają bróbki na dwóch masznach: i ( wąskie gardła prcesu prdukcjneg). Limit czasu prac maszn wnszą: maszna 00 gdz., maszna 50 gdz. Czas prac maszn ptrzebn d wtwrzenia jednej sztuki wrbu A wnsi minut, a wrbu B 3 minut. Analgiczne nrm dla maszn wnszą: minut wrób A raz minuta wrób B. Cen zbtu wrbów kształtują się następując: wrób A 4 $/szt. raz wrób B 5 $/szt. NaleŜ ustalić plan prdukcji wrbów A i B maksmalizując utarg ze sprzedaŝ wprdukwanch wrbów (zakładam, Ŝe cała prdukcja znajdzie zbt). Oznaczm: rzmiar prdukcji wrbu A [szt.] rzmiar prdukcji wrbu B [szt.] atematcznie prblem mŝna sfrmułwać następując: Znajdź wartść największą funkcji liniwej dwóch zmiennch ( ) z, 4 5 w zbirze dpuszczalnch wartści i kreślnm następującmi nierównściami: 3 000, 9000, 0 raz 0.

2 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [] Rzwiązwanie prblemu za pmcą metd GRAFICZNEJ Pstać wjściwa prblemu z ma

3 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [3] Prces rzwiązwania prblemu za pmcą metd SIPLEKS Pstać wjściwa prblemu Pstać kanniczna prblemu etda SIPLEKS B [ c i ] zmienne bazwe c j wartści zmiennch bazwch s B s [ i ] Ilraz wjścia Aktualne rzwiązanie z z z j j j s s s 000 s 9000 c j z0 s /3 / /3 0 / s 0 s 5000 cj -/3 0 5/ z / / /4 3/ s 0 s 0 cj 0 0 3/ / 500 z 500 Rzwiązanie najlepsze (ptmalne) prblemu: s s z ma

4 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [4] Liniw mdel deczjn Stuacja deczjna: Firma prdukuje trz wrb A, B i C, które wmagają bróbki na dwóch masznach i (wąskie gardła prcesu prdukcjneg). Limit czasu prac maszn wnszą: maszna - 00 gdz., maszna - 50 gdz. Czas prac maszn maszn ptrzebn d wtwrzenia jednej sztuki wrbu A wnsi minut, wrbu B - minut, a wrbu C - 3 minut. Analgiczne nrm dla maszn wnszą: minut - wrób A raz p minucie - wrb B i C. Cen zbtu wrbów kształtują się następując: wrób A - 4$, B - 3$ raz C - 5$. NaleŜ ustalić plan prdukcji maksmalizując utarg ze sprzedaŝ wprdukwanch wrbów (zakładam, Ŝe cała prdukcja znajdzie zbt). Lista zmiennch deczjnch rzmiar prducji wrbu A [szt.] rzmiar prducji wrbu B [szt.] 3 rzmiar prducji wrbu C [szt.] del deczjn: Znajdź wartść największą funkcji liniwej 3 zmiennch z, ( ) ma, 3 3 w zbirze dpuszczalnch wartści, i 3 kreślnm następującmi nierównściami: , 0, 0

5 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [5] etda SIPLEKS del deczjn (pstać kanniczna): z 4 0, 3 0, , s , s 0s s 0 0s s ma c j c i B zmienne bazwe 3 s s Wartści zmiennch bazwch Ilraz wjścia Aktualne rzwiązanie 0 s s s 000 s 9000 z j c j z0 5 3 /3 /3 / s 4/3 /3 0 / s 0 s 5000 z j c j /3 /3 0 5/ z / / / /4 0 /4 3/ s 0 s 0 z j c j 0 / 0 3/ / 500 z500

6 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [6] Plan prdukcji Rzwiązanie najlepsze (ptmalne) prblemu: 3750 (rzmiar prducji wrbu A [szt.]) 0 (rzmiar prducji wrbu B [szt.]) (rzmiar prducji wrbu C [szt.]) Wkrzstanie maszn s 0 s 0 (niewkrzstan czas prac maszn [minuta]) (niewkrzstan czas prac maszn [minuta]) Najlepsz utarg z ma 500 (maksmaln utarg [$])

7 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [7] Ogólne sfrmułwanie prblemu: Liniw mdel deczjn tzw. zadanie prgramwania liniweg (zadanie PL) DEFINICJA: wznacz wartść największą (najmniejszą) funkcji ( ) f,,..., n c c... cn n () prz warunkach: a a... a b n n... a a... a b k k kn n k... a a... a b m m mn n m () 0, 0,..., n 0 (3) Nazewnictw: () funkcja f (,,...,n ) - funkcja celu j - zmienne deczjne (j,,...,n) cj, aij, bi - parametr mdelu (zadania) (i,,...,m () - warunki, graniczenia (3) - warunki brzegwe j,,...,n) DEFINICJA: Układ liczb rzeczwistch { n },,..., spełniającch warunki () i (3) nazwam rzwiązaniem dpuszczalnm.

8 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [8] DEFINICJA: Zbiór wszstkich układów liczb rzeczwistch {,,..., n } spełniającch warunki () i (3) nazwam zbirem rzwiązań dpuszczalnch i znaczam X. DEFINICJA: rzeczwistch { n } Rzwiązaniem ptmalnm nazwam te układ liczb,,..., spełniającch warunki () i (3), tj. rzwiązania dpuszczalne, dla którch funkcja celu () siąga swją wartść najmniejszą (największą). TWIERDZENIE: Zbiór rzwiązań dpuszczalnch X zadania PL ()-(3) jest zbirem dmkniętm, wpukłm, skńcznej liczbie wierzchłków. Zbiór X nie zawsze jest zbirem granicznm. TWIERDZENIE (Weierstrassa): Funkcja liniwa kreślna na dmkniętm zbirze wpukłm skńcznej liczbie wierzchłków siąga swją wartść największą (najmniejszą) w wierzchłku teg zbiru. Rzwiązwanie zadań PL (znajdwanie rzwiązania ptmalneg) metda graficzna - dla dwóch zmiennch deczjnch metda (algrtm) simpleks - dla dwlnej liczb zmiennch deczjnch etda graficzna Wznacz graficznie w płaszczźnie 0 zbiór rzwiązań dpuszczalnch X. Wierzchłek ptmaln mŝna kreślić na dwa spsb:. Wznacz współrzędne wszstkich punktów wierzchłkwch zbiru X. Pdstaw je d funkcji celu (). Wierzchłkiem ptmalnm jest ten, dla któreg wartść funkcji celu () jest największa (najmniejsza).

9 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [9]. Nanieś na płaszcznę 0 gradient funkcji celu () zaczepin w punkcie (0,0). Narsuj prstą na której leŝ ten gradient. Narsuj prstą prstpadłą d prstej na której leŝ gradient tak, ab przechdziła na przez "śrdek" zbiru X. Przesuwaj taką prstą równlegle w kierunku wskazanm przez gradient (pszukiwanie wartści największej funkcji celu) lub w kierunku przeciwnm (pszukiwanie wartści najmniejszej). "Ostatni" wierzchłek zbiru X z jakim będzie miała kntakt przesuwana prsta jest wierzchłkiem ptmalnm.

10 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [0] Budwa liniweg mdelu deczjneg (budwa zadania PL) Przkład Firma prdukująca wrb metalwe negcjuje szbką dstawę pewnch ilści dwóch unikalnch wrbów: ALFA i BETA. D ich wtwarzania ptrzebnch jest 5 śrdków prdukcji. W danm mmencie firma dspnuje granicznmi ilściami tch śrdków. Firma jest zaintereswana siągnięciem maksmalneg zsku z takiej prdukcji. Dane dtczące limitów śrdków, jednstkwch zsków i nrm zuŝcia śrdków na pszczególne wrb pdaje tabela. Zbuduj dpwiedni mdel deczjn i wznacz prgram prdukcjn charakterzując się maksmalnm zskiem. Wrb stal [kg/szt] Nrm zuŝcia na jednstkę wrbu drewn [m/szt] twrzw sztuczne [kg/szt] praca [rg/szt] energia [kwh/szt] Zski jednstkwe [zł/szt] ALFA [szt] BETA [szt] 3 00 Limit śrdków [kg] [m] [kg] [rg] [kwh] prdukcji Zmienne deczjne: Funkcja celu: Ograniczenia: - liczba sztuk wrbu ALFA - liczba sztuk wrbu BETA f(, ) ma () stal () drewn (3) twrzwa sztuczne (4) praca (5) energia 0 (6) graniczenie brzegwe 0 (7) graniczenie brzegwe

11 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [] etda (algrtm) simpleks etda simpleks jest uprządkwanm przeglądem rzwiązań bazwch (wierzchłków zbiru X. ) etda simpleks wmaga, ab graniczenia () dane bł w pstaci równań. Jest t pstać kanniczna zadania PL. Będziem rzwaŝać następujące zadanie PL : wznacz wartść największą (najmniejszą) funkcji f() ct () prz warunkach: A b () 0 (3) gdzie mn m m n n L O L L A n c c c c n m b b b b θ θ θ Θ m Schemat pstępwania w metdzie SIPLEKS

12 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [] WSKAŹNIKI OPTYALNOŚCI i WARTOŚĆ FUNKCJI CELU m j z j c j c B i i ij c j (j,,...n) ( ) m n i f f (,,..., ) c θ B i i KRYTERIU OPTYALNOŚCI Dla kaŝdej zmiennej (deczjna, swbdna, sztuczna) musi zachdzić j j (,,..., ) (,,..., ) 0 j n gd pszukujem f ( ) ma 0 j n gd pszukujem f ( ) min KRYTERIU WEJŚCIA Wprwadzam zmienną numerze k-tm { j} { j} k: k min gd pszukujem f ( ) ma j< 0 k: k ma gd pszukujem f ( ) min j> 0 KRYTERIU WYJŚCIA Usuwam zmienną stjącą na miejscu l-tm θ l θ i l: min ik>0 lk ik

13 D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [3] Przkład c.d. (pstać kanniczna zadania PL) f(,...,s5 ) s 0s 0s3 0s4 0s5 ma s 800 s s3 00 s s5 00 0, 0, s 0, s 0, s3 0, s4 0, s5 0 Przkład c.d. (Rzwiązwanie zadania PL metdą simpleks) cb B Θ s s s3 s4 s5 θi/ik 0 s :800 0 s :300 0 s : s :500 0 s : s / / :3/333 / / 0 / :/600 0 s / 0 3/ :/600 0 s :400 0 s : s / / /4 0 0 /4 0 s /4 0 /4 0 s / 0 / / 0 0 /

Podobne dokumenty

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr