TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH ŁUKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Transkrypt

1 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI Oga Kacz, Adam Łdygwski, Wjciech Pawłwski, ichał Płtkwiak, Krzysztf Tymer Knsutacje naukwe: rf. dr hab. JEZY AKOWSKI Pznań /3 ECHANIKA BUDOWLI 7 TWIEDZENIA O WZAJENOŚCIACH Głównym wdem da któreg łuki statycznie niewyznaczane wyróżnine są ddzienym wykładem, jest wływ (w gónści) wszystkich ich sił wewnętrznych (mmentów ae także sił nrmanych i tnących) na rzemieszczenia, skutkiem czeg nie mżna ich minąć rzy iczeniu wsółczynników w metdzie sił. Nastęnym wdem da któreg święciiśmy im ddatkwą uwagę, są trudnści związane właśnie z iczeniem tych sił wewnętrznych. easumując w niższym wykładzie mówimy góne załżenia, tk stęwania raz ssby iczenia łuków statycznie niewyznaczanych. Słwa kuczwe: łuk statycznie niewyznaczany, metdy całkwania krzywych;. DEFINICJA I PODZIAŁ ŁUKÓW Łuk t ręt zakrzywiny w ewnej łaszczyźnie, racujący zarówn na zginanie, ścinanie jak i ściskanie. Jeg szczegóne części składwe nazwane są nastęując: Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

2 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ys... Części składwe łuku Ze wzgędu na krzywiznę łuki mżna dzieić m. in. na: - kłwe - arabiczne - sinusidane Ze wzgędu na knstrukcję dór mżna je dzieić nastęując: - jednrzegubwe - dwurzegubwe - trójrzegubwe - bezrzegubwe (utwierdzne) Ze wzgędu na rzekrój: - stałym rzekrju - zmiennym rzekrju ( knstrukcji tymanej) Ze wzgędu na materiał: - drewniane - stawe - żebetwe gą być również łuki knstrukcji mieszanej: - ze ściągiem - z zakratwaniem Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

3 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 3. ZASADA PACY ŁUKU W racy łuku decydującą rę najczęściej dgrywają siły nrmane. Z teg też wdu w wieu rzyadkach nie wn minąć ich wływu na rzemieszczenia układu. Wływ sił nrmanych na układ jest tym większy im mniejszą łuk ma wyskść (anagia d kratwnicy isesa). Da łuków łaskich, wyskim rzekrju ub krótkich, nie wn minąć również wływu siły tnącej (anagia d beki Timshenk). Pniższa tabea rzedstawia góne warunki, na dstawie których mijamy bądź uwzgędniamy wływ dwiednich sił wewnętrznych na rzemieszczenia. Tab... Wływ dwiednich sił wewnętrznych na rzemieszczenia w zaeżnści d wymiarów łuku gdzie: h wyskść rzekrju, rziętść łuku, f strzałka łuku Łuk łaski h,n,t > f < h,n 5 < 3 h 3 Łuk wynisły h < f 5 Na zakńczenie wart zauważyć, że rzy sełnieniu wyższych warunków (tab...), minięcie sił nrmanych dczas biczania rzemieszczeń ma duż większy wływ na stateczny wynik niż w innych układach rętwych. (Błąd mże nawet rzekrczyć %.) Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

4 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 4 3. OPIS ATEATYCZNY ŁUKÓW 3.. Łuki arabiczne ys.3... Parametry trzebne d isu łuku arabiczneg ównanie si łuku jest staci nastęującej: y 4 f x ( x) (3..) Stąd kąt nachyenia stycznej d krzywej w danym unkcie jest równy: ' 4 f y tgϕ ( x) 4 f ϕ arctg ( x) (3..) Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

5 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer Łuki kłwe ys.3... Parametry trzebne d isu łuku kłweg ównanie si łuku jest staci nastęującej: + x f y (3..) Stąd kąt nachyenia stycznej d krzywej w danym unkcie jest równy: ' x x tg y ϕ x x arctg ϕ (3..) Prmień znajdujemy krzystając z twierdzenia Pitagrasa: ( ) + f f f 8 + (3..3)

6 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 6 4. SPOSOBY CAŁKOWANIA FUNKCJI SIŁ WEWNĘTZNYCH Generanie rzecz birąc całkując wykresy w ceu wyiczenia rzemieszczeń, nie mżemy skrzystać z twierdzenia hra- Wiereszczagina, z faktu nierstiniwści tych wykresów ( bydwa są krzywiniwe). Naeży więc dknać teg całkwania w ssób tradycyjny ub skrzystać z innych ssbów ułatwiających t całkwanie. Pniżej znajdują się różne ssby radzenia sbie z tym rbemem. ys.4... Zaeżnści między różniczką łuku a różniczką długści 4.. etda matematyczna W gónym rzyadku, w rstkątnym układzie wsółrzędnych naeży dknać zamiany całki krzywiniwej na iniwą, stsując nastęujące matematyczną zaeżnść: ds 4.. etdy numeryczne + ' ( y ) dx (4..) etdy numeryczne są szczegónie tam rzydatne gdzie mamy d czynienia z dść skmikwanymi krzywymi raz rzy stałym rzekrju łuku. W takim rzyadku musimy najierw dknać nastęująceg rzekształcenia: dx dx csϕ ds ds csϕ (4..) a dstawieniu tej zaeżnści d wzru na wsółczynniki równania kanniczneg (wszystkie rzekształca się tak sam) trzymujemy: Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

7 i S csϕ W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ds + K dx + K dx + K csϕ q( x) dx + K Ω + K 7 (4..) gdzie Ω jest t e wykresu d krzywą q(x) w granicach d d L.(ys.4..) ys.4... Interretacja graficzna całkwania numeryczneg W zaeżnści d ssbu biczania a Ω mżemy zastswać nastęujące arksymacyjne metdy: - metda rstkątów e d krzywą dzieimy na rstkąty, a nastęnie dknujemy zsumwania ich ó (jedna z dkładniejszych metd) Ω n i Ω i a q + q + K + q n + q n (4..3) ys Interretacja graficzna metdy rstkątów Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

8 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 8 - metda traezów - e d krzywą dzieimy na traezy, a nastęnie dknujemy zsumwania ich ó (jedna z mniej dkładnych metd) n n qi + qi+ Ω Ωi a i i (4..4) - metda arab (Simsna) - e d krzywą dzieimy na rstkąty i arabe a nastęnie dknujemy zsumwania ich ó (najdkładniejsza metda). Wart zaznaczyć, że arabe budujemy na trzech kejnych unktach stąd dział dcinka musi być arzysty. n a Ω Ωi ( q + 4q + q + 4q3 + K + qn + 4qn + qn ) 3 (4..5) i Wart zaznaczyć, że we wszystkich wyższych metdach całkwania numeryczneg, czym gęstszy dział dcinka tym uzyskane wyniki są dkładniejsze (szczegónie gęsty dział zaecany jest gdy mamy d czynienia z łukami strmymi) etda akademicka etda ta ega na załżeniu, że łuk ma zmienny rzekrój. dx dx csϕ ds ds csϕ Przy załżeniu, że: J J ( x) csϕ( x) (4.3.) gdzie J t tzw. mment równawczy który znajduje się w kuczu łuku (b da φ, csφ stąd: J(x) J ) czyi J(x) zmienia się csinusidanie. P wrwadzeniu tej sztucznej zaeżnści całki w wieu rzyadkach mżna w rsty ssób biczyć anaitycznie: Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

9 i S W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ds + K dx + K dx + K J csϕ E csϕ 9 (4.3.) 4.4. etda egająca na zamianie wsółrzędnych rstkątnych na biegunwe (dtyczy wyłącznie łuków kłwych). ys Przyjęcie układu biegunweg x sinϕ x sinϕ y csϕ y r csϕ ( csϕ) ds dϕ ds d ϕ (4.4.) P dstawieniu tych zaeżnści d wzru na wsółczynniki równania kanniczneg trzymujemy rste całki z funkcji trygnmetrycznych: δ i ϕ S ds + K dϕ + K ϕ ϕ E J dϕ + K (4.4.) Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

10 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI Wart zauważyć, że granice w całce ustane zstały d φ d φ, nieważ między tymi skrajnymi wiekściami eży kąt φ (w szczegónych rzyadkach n. gdy mamy d czynienia z łówką ub ćwiartką kła kąt φ zmieniać się będzie dwiedni d d π i d d π ). ys Przyjęcie dwiednich granic rzy zamianie wsółrzędnych Wartść kąta φ biczamy z nastęującej zaeżnści: sinϕ ϕ arc sin( ) (4.4.3) ys Wyznaczenie wartści kąta φ Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

11 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 5. PZYKŁAD Obiczyć i wyknać wykresy sił wewnętrznych d zadaneg bciążenia, da łuku arabiczneg, dwurzegubweg, statycznie niewyznaczaneg, stałym rzekrju, rzedstawineg na ys.5..a: ys.5.. Dany układ a) rzeczywisty z bciążeniem zewnętrznym; b) układ dstawwy z niewiadmą X raz układem równań kannicznych 4 Pnieważ mamy d czynienia z łukiem wynisłym 6 >, w 5 równaniach kannicznych metdy sił mijamy wływ sił nrmanych i tnących. Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

12 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ys.5.. Wykresy sił wewnętrznych w układzie dstawwym chdzące kejn d: a) siły jedynkwej rzyłżnej w miejsce niewiadmej X ; b) bciążenia rzeczywisteg Cięciwę łuku dzien na 5 części (4/5,6), nastęnie w każdym w ten ssób uzyskanym unkcie biczn wartści i (Tab...) raz je zsumwan. Tab.5.. Zestawienie wyników i Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

13 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 3 Nr x y tg ϕ csϕ csϕ csϕ,44,6,493,8667,333 -,493 65,89,95-37,848 3,,773,7333,4 -,773 33,78 9,5379-4, 3 4,8 3,84,6,66-3,84 497,66 7,96-8,65 4 6,4 4,693,4667,35-4, ,55 4, ,69 5 8, 5,333,3333,54-5,333 89,44 9, , ,6 5,76,,98-5,76 995,33 33, ,67 7, 5,973,667, -5,973 3,5 35, ,89 8,8 5,973,667, -5,973 4, 35,76-79,99 9 4,4 5,76,,98-5,76 6,5 33, ,877 6, 5,333,3333,54-5,333 67,36 9, ,696 7,6 4,693,4667,35-4,693 56,77 4, ,47 9, 3,84,6,66-3,84 884,74 7,96-396,999 3,8,773,7333,4 -,773 65,6 9, ,783 4,4,493,8667,333 -, ,35,95-74, ,44 Σ 37,4-5778,56 Na dstawie tab... wyiczn wsółczynniki δ i (wykrzystując metdę rstkątów): δ Pitechnika Pznańska n a qi,6 37,4 49, 4 i n m 3 a qi,6 5778, , 7 kn m i (5..) Stąd: ( 9333,7) X 87,89kN (5..) δ 49,4 P trzymaniu wyższej wiekści, biczn szukiwane siły wewnętrzne krzystając z nastęujących wzrów: ( n) + X N T ( n) ( n) T + X T T csϕ X sinϕ N + X N T sinϕ X csϕ a wyniki zestawin w tab.5... Tab.5.. Zestawienie wyników kńcwych Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer 3 (5..3)

14 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 4 ( Nr x (n) csϕ n) sin ϕ cs ϕ T (n) T (n) N,77,77 3,68-59,55-6,7,6-4,69 6,65,6549,7557 3,68-44,7-9,89 3, -89,3 65,47,594,864 3,68-7,5 -,88 3 4,8-3,83,37,545,8575 3,68-7,76-4, ,4-8,8 3,5,49,96 3,68 4,5-4,8 5 8, -7,64 97,55,36,9487 3,68 38,94 -,35 6 9,6-86,9 5,565,96,986 3,68 64,8-4,575 7, 8,7-48,889,665, ,8 5,64-9,86 8,8 8,89-49,68 -,665,9978 6,88 39,3-85, ,4 34,7-788,686 -,96,986 -,5 5,55-86,5 6, 65,8-99,76 -,36, ,9,6-94,34 7,6 74,94-96,43 -,49,96-88,3 -,58-7,6 9, 63,4-73,9 -,545,8575-6,7 -,99-6,3 3,8 3,8-447,74 -,594,864-65, -,4-49,6 4,4 75,77-49,73 -,6549,7557-3,5-3,74-75, ,77,77-4,9-38, -33,9 Σ,79 Kntra kinematyczna: ( n) n n δ cs B dx a ϕ cs i ϕ,6,79,86 δ B i (5..) Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer

15 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI 5 ys.5..3 Zestawienie wyników: a) wykres rzeczywistych sił nrmanych N (n) ; c) wykres rzeczywistych sił tnących T (n) ; c) wykres mmentów rzeczywistych (n) Pitechnika Pznańska Kacz, Łdygwski, Pawłwski, Płtkwiak, Tymer