Matematyczne modelowanie trój- i dwuwymiarowego pola termicznego w elektrycznym układzie bezpośredniego grzejnika podłogowego

Transkrypt

1 POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Sławomir Kwiećkowski Maemaczne modelowanie rój- i dwuwmiarowego pola ermicznego w elekrcznm układzie ezpośredniego grzejnika podłogowego Promoor: dr ha. inż. Jerz Gołęiowski profesor Poliechniki Białosockiej BIAŁYSTOK 000

2

3 Spis reści Wkaz oznaczeń...5. Wsęp Uzasadnienie emau rozpraw Cele ez i orginalne elemen prac Budowa elekrcznego grzejnika podłogowego pu ezpośredniego Graniczne zagadnienie pola ermicznego w grzejniku Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur w rójwmiarowm układzie ogrzewania elekrcznego Wprowadzenie Fizczn model układu i zagadnienie graniczne Smulacja analiczna Smulacja numerczna Rozwiązanie zagadnienia rzegowego Rozwiązanie analiczne rozwinięcie w szereg funkcji własnch Rozwiązanie numerczne meoda elemenów skończonch Przkład oliczeniowe Smerczne położenie odcinków kala Niesmerczne położenie odcinków kala Ogólne informacje o przedsawionch przkładach Porównanie sacjonarnch rozkładów rójwmiarowch i dwuwmiarowch Uwagi końcowe Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola ermicznego w grzejniku Smulacja wpłwu zagięć kala na rozkład sacjonarnej składowej pola emperaur w grzejniku podłogowm Wsęp Brzegowe zagadnienie pola generowanego zagięciami kala Analiczna smulacja źródeł ciepła Numerczna smulacja źródeł ciepła Rozwiązanie rzegowego zagadnienia pola generowanego zagięciami kala Rozwiązanie analiczne rozwinięcie w szereg funkcji własnch Rozwiązanie numerczne meoda elemenów skończonch Przkład oliczeniowe Uwagi końcowe Smulacja wpłwu cieplnch i maeriałowch nieliniowości na rozkład sacjonarnej składowej pola emperaur w grzejniku podłogowm Wsęp Algorm rozwiązania Różnica rozwiązania nieliniowego i liniowego

4 4 Spis reści Wnioski Oszacowanie wpłwu sraności izolacji cieplnej na sacjonarną składową pola emperaur w grzejniku podłogowm Wsęp Zagadnienie graniczne i jego rozwiązanie Przkład oliczeniow i wniki smulacji Doświadczalna werfikacja smulacji sacjonarnej składowej pola emperaur w grzejniku Wsęp Sanowisko adawcze Uwagi końcowe Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur w dwu- i rójwmiarowm układzie elekrcznego ogrzewania podłogowego Wsęp Smulacja skokowej odpowiedzi układu Wprowadzenie Rozwiązanie analiczne meoda superpozcji sanów Przliżone rozwiązanie analiczne krerium uśrednionej sałej czasowej Rozwiązanie numerczne meoda elemenów skończonch Przkład oliczeniowe Uwagi końcowe Smulacja układu serowanego regulaorem Wprowadzenie Bezpośrednie rozwiązanie analiczne Rozwiązanie numerczne Przliżone rozwiązanie analiczne krerium uśrednionej sałej czasowej Pośrednie rozwiązanie analiczne superpozcja odpowiedzi skokowch Przkład oliczeniowe Uwagi końcowe Porównanie rozkładów dwu- i rójwmiarowch w sanie nieusalonm Smulacja wpłwu cieplnch i maeriałowch nieliniowości na rozkład nieusalonego pola emperaur w układzie rójwmiarowm Wsęp Algorm rozwiązania zagadnienia nieliniowego Porównanie charakersk skokowch układu nieliniowego i liniowego Wnioski Zakończenie...56 Lieraura...60 Dodaek...D

5 Wkaz oznaczeń A - sała ezwmiarowa określona wzorem (.8a) (al) - wmiar pł podłogowej (rs..4.5) (a*l) - wmiar segmenu oliczeniowego (rs. 3.) B mni D mni - współcznniki szeregów (.7) i (3.6) F mn K mni - współcznniki szeregów (4.3) i (4.8) C 0 - echniczna sała promieniowania ciała doskonale czarnego [C] - macierz pojemności cieplnej c - ciepło właściwe eonu G(z) - funkcja ramki określająca położenie i długość kala grzewczego wzdłuż osi OZ (rs..4) G j () - ciąg ramek definiując położenie i długość krókich odcinków kala grzewczego wzdłuż osi OX (rs..4) dla j lu j {G} - wekor źródeł ciepła g() - wdajność przesrzennch źródeł ciepła w modelu dwuwmiarowm g(z) - wdajność przesrzennch źródeł ciepła w modelu rójwmiarowm g j (z) - wdajność przesrzennch źródeł ciepła układu z j-m zagięciu kala w modelu rójwmiarowm j lu g k () - wdajność przesrzennch źródeł ciepła układu z k-m odcinkiem kala w modelu dwuwmiarowm g k (z) - wdajność przesrzennch źródeł ciepła układu z k-m odcinkiem kala w modelu rójwmiarowm H() - ermiczna odpowiedź skokowa układu w modelu dwuwmiarowm H(z) - ermiczna odpowiedź skokowa układu w modelu rójwmiarowm () H N () H L cons cons - uśredniona charakerska skokowa modelu nieliniowego na płaszczźnie cons - uśredniona charakerska skokowa modelu liniowego na płaszczźnie cons. H p () - składowa przejściowa skokowej odpowiedzi układu w modelu dwuwmiarowm H p (z) - składowa przejściowa skokowej odpowiedzi układu w modelu rójwmiarowm H u () - składowa usalona skokowej odpowiedzi układu w modelu dwuwmiarowm H u (z) - składowa usalona skokowej odpowiedzi układu w modelu rójwmiarowm {H} - wekor odpowiedzi skokowej H - wekor pochodnej odpowiedzi skokowej k - indeks k-ego odcinka kala (k 3... K) K - licza odcinków kala 5

6 Wkaz oznaczeń N - iloczn kwadraów norm ciągów orogonalnch P - całkowia moc grzejnika P k - moc cznna k-ego odcinka kala Q 0 - uśrednion srumień ciepln przenikając przez izolowane ścian Q r (z) - srumień ciepln przenikając przez izolowane ścian (r 3 4 5) q - liniowa gęsość moc odcinka żł kala grzejnego q k - liniowa gęsość moc k-ego odcinka żł kala grzejnego R - promień kala i dewiacja współrzędnej k wokół żł kala r - promień żł kala i dewiacja współrzędnej k na części prosej ifiurkacji (nie należącej do ezpośredniego ooczenia żł) S - powierzchnia pięciu izolowanch ścian (8a+4l+al) T() - całkowie pole emperaur w płcie podłogowej w modelu dwuwmiarowm T(z) - całkowie pole emperaur w płcie podłogowej w modelu rójwmiarowm T ( ) - pole emperaur w drugim eapie prac układu w modelu dwuwmiarowm (pierwsze sgnięcie) T (z ) - pole emperaur w drugim eapie prac układu w modelu rójwmiarowm (pierwsze sgnięcie) T ( ) - pole emperaur w rzecim eapie prac układu w modelu dwuwmiarowm (powórne nagrzewanie) T (z ) - pole emperaur w rzecim eapie prac układu w modelu rójwmiarowm (powórne nagrzewanie) T p ( ) - składowa przejściowa pola emperaur w rzecim eapie prac układu w modelu dwuwmiarowm (powórne nagrzewanie) T p (z ) - składowa przejściowa pola emperaur w rzecim eapie prac układu w modelu rójwmiarowm (powórne nagrzewanie) T H - emperaura włączenia zasilania grzejnika T k (z) - składowa usalona pola emperaur pochodząca od k-ego odcinka kala (prz włączonch pozosałch) T L - emperaura włączenia zasilania grzejnika T L (z) - rozkład emperaur w sanie usalonm w modelu liniowm T N (z) - rozkład emperaur w sanie usalonm w modelu nieliniowm T 0 - emperaura ooczenia T u () - całkowia składowa usalona pola emperaur w płcie podłogowej w modelu dwuwmiarowm T u (z) - całkowia składowa usalona pola emperaur w płcie podłogowej w modelu rójwmiarowm T śr - emperaura średnia {T} - wekor emperaur węzłowch - czas - zmienione osie czasu - czas pierwszego nagrzewania podłogi (rozruch) - czas pierwszego sgnięcia podłogi - czas ponownego nagrzewania podłogi 3 6

7 Wkaz oznaczeń u k - ezwmiarow współcznnik wpełnienia k-m odcinkiem kala długości l (rs..4 u k <0>) () - współrzędne punku w płcie podłogowej w modelu dwuwmiarowm (z) - współrzędne punku w płcie podłogowej w modelu rójwmiarowm (**) - współrzędne punku położenia czujnika regulaora w płcie podłogowej w modelu dwuwmiarowm (**z*) - współrzędne punku położenia czujnika regulaora w płcie podłogowej w modelu rójwmiarowm ( k k ) - współrzędne położenia k-ego odcinka żł kala w modelu dwuwmiarowm ( k k z) - współrzędne położenia k-ego odcinka żł kala w modelu rójwmiarowm (dla z <u k l(-u k )l>) α - uśrednion współcznnik przejmowania ciepła (suma współcznników konwekcji i radiacji) α(t) - współcznnik przejmowania ciepła w modelu nieliniowm zależn od emperaur (suma nieliniowch współcznników konwekcji i radiacji) γ n - kolejne dodanie pierwiaski równania przesępnego (.8a) H ( z ) - średniokwadraowa różnica skokowch charakersk modelu nieliniowego i liniowego δ - gęsość eonu (esrichu cemenowego) δ H () - względna różnica uśrednionch charakersk skokowch modelu nieliniowego i liniowego δ(- k ) δ(- k ) - del Diraca przesunięe odpowiednio do k i k δ(- j ) δ(z-z j ) - del Diraca przesunięe odpowiednio do j i z j δ m0 δ (i)0 - smole Kroneckera δt - względna różnica emperaur ε - wskaźnik zieżności szeregów lu współcznnik emisjności eonu [λ] - macierz przewodności cieplnej [λ(h)] - uogólniona macierz przewodności cieplnej zależna od wznaczonej charakerski [λ(t)] - uogólniona macierz przewodności cieplnej zależna od emperaur λ - średnia przewodność cieplna eonu (esrichu cemenowego) λ(t) - przewodność cieplna eonu w modelu nieliniowm zależna od emperaur λ c - przewodność żł kala grzewczego τ() - lokalna sała czasowa układu w modelu dwuwmiarowm τ(z) - lokalna sała czasowa układu w modelu rójwmiarowm - gloalna sała czasowa układu w modelu dwuwmiarowm τ g τ 3g τ mn - gloalna sała czasowa układu w modelu rójwmiarowm - elemenarna sała czasowa układu o paramerach rozłożonch w modelu dwuwmiarowm 7

8 Wkaz oznaczeń τ mni - elemenarna sała czasowa układu o paramerach rozłożonch w modelu rójwmiarowm ν ( z) - przros pola emperaur od zagięć kala grzewczego ν ( ' ) - przros pola emperaur w drugim eapie prac układu w modelu dwuwmiarowm (pierwsze sgnięcie) ν ( z ) - przros pola emperaur w drugim eapie prac układu w modelu rójwmiarowm (pierwsze sgnięcie) ν z - składowa pola emperaur generowana jednm ciągiem zagięć kala ( ) j grzewczego j lu j () ν j ( z) - dwuwmiarowa składowa rozkładu ν j (z) określona wzorami (3.8) i (3.8e) odpowiednio dla j lu j ( ν ) j ( z) - rójwmiarowa składowa rozkładu ν j (z) określona wzorami (3.8c) i (3.8e) odpowiednio dla j lu j () ν k ( ) - dwuwmiarowa składowa rozkładu T k (z) i T k () określona odpowiednio wzorami (.) i (.9) ( ν ) k ( z) - rójwmiarowa składowa rozkładu T k (z) określona wzorem (.c) k ν - wraz szeregu (4.5) ( ) mn ( ) ( k ) ( z ) ν mni - wraz szeregu (4.7a) χ - dfuzjność (...) - funkcja skoku jednoskowego. 8

9 . Wsęp.. Uzasadnienie emau rozpraw Maemaczne modele pola emperaur w środowisku sanowiącm eon są przedmioem zaineresowania wielu ośrodków naukowch. Jes o szczególnie widoczne w adaniach nad elekrcznmi grzejnikami podłogowmi. Konieczność przeprowadzenia wspomnianch analiz wnika z poważnch zale i dużej arakcjności ch układów. Jednm z najisoniejszch kreriów ocen ssemu ogrzewania jes rozkład emperaur w płaszczźnie pionowej przechodzącej przez środek pomieszczenia. Na rs.. przedsawiono odpowiednie profile dla różnch rodzajów ogrzewania prz średnich emperaurach zewnęrznch [6] [53]. Rs... Pionow rozkład emperaur w pomieszczeniach dla różnch pów ogrzewania. Najliższ idealnemu jes właśnie rozkład emperaur w przpadku ogrzewania podłogowego. Realizuje on podsawową zasadę ogrzewania: nogi w cieple głowa w chłodzie. Do dalszch zale ego pu ogrzewania należ zaliczć: 9

10 Wsęp. rak zewnęrznch grzejników co zwiększa esekę i powierzchnię pomieszczenia. mniejsze ruch konwekcjne powierza co urudnia przemieszczanie się kurzu i m samm uławia urzmanie czsości 3. niską emperaurę grzejnika co eliminuje zjawisko przpiekania kurzu 4. nie wsuszone powierze w ogrzewanm pomieszczeniu 5. niskie nakład inwescjne co wnika z raku koła pomp zaworów rur rozprowadzającch wodę id. 6. niskie kosz eksploaacjne w krajach o rozudowanm ssemie elekrowni wodnch (np. w Norwegii Kanadzie) lu jądrowch (np. we Francji). W ssemie elekrcznego ogrzewania podłogowego można wróżnić dwa jego p: ogrzewanie akumulacjne i ogrzewanie ezpośrednie. Odwa p ogrzewania mają podoną konsrukcję grzejnika. Różnią się naomias czasem zasilania układu energią elekrczną. W ogrzewaniu akumulacjnm zasilanie odwa się w okresie zw. arf nocnej (gd kosz energii jes najniższ) zn. przez okres około 8-0 godzin (przede wszskim w noc). Przez pozosałą część do zgromadzona energia ogrzewa pomieszczenie. W związku z m gruość pł podłogowej jes duża (kilkanaście cenmerów). Pozwala o gromadzić energię cieplną lecz jes eż przczną dużej ezwładności urządzenia. W przpadku ogrzewania ezpośredniego układ zasilan jes w ciągu całej do (nie licząc włączeń spowodowanch pracą auomaki regulacjnej). Oprócz ego gruość grzejnika jes znacznie mniejsza (kilka cenmerów). Przewod grzejne ułożone są liżej powierzchni podłogi. Wszsko o sprawia że ezwładność cieplna ego pu ogrzewania jes niższa. W niniejszej prac zajmowano się włącznie układami ezpośrednimi. O ile ogrzewanie akumulacjne ło adane meodami eorii pola [3] [4] [5] [6] [7] o le układ ogrzewania ezpośredniego analizowano i projekowano w oparciu o warości średnie nomogram i wzor półempirczne [] [6] [37] [50] [5] [53]. Mimo ego że eoria układów akumulacjnch jes ardziej rozwinięa o nie wkroczła ona poza analizę układów dwuwmiarowch. Według najlepszej wiedz piszącego e słowa w układach elekrcznego ogrzewania podłogowego nie uwzględniano rzeciego wmiaru pola liczonego wzdłuż kala. Jes o jednak 0

11 Wsęp konieczne w dokładnch analizach prolemów ogrzewania pomieszczeń małej i średniej wielkości o proporcjonalnch kszałach. Niniejsza praca ma ć więc próą rozwiązania wzmiankowanch zagadnień na gruncie eorii pola w odniesieniu do grzejników ezpośrednich. W rozprawie sosowano równolegle meod analiczne numerczne i doświadczalne co umożliwia ich wzajemną werfikację i jes pomocne prz poszukiwaniu krószego rozwiązania... Cele ez i orginalne elemen prac Zasadniczm celem rozpraw jes opracowanie maemacznego modelu pola ermicznego w elekrcznm grzejniku podłogowm pu ezpośredniego. Model rozumian jes jako zesaw maemacznch relacji (ciągłch lu dskrench) kóre opisują zjawiska zachodzące w emperaurowm polu grzejnika. Opis en powinien ć dokonan jednoznacznie spójnie i sailnie. Bliższe określenie ch pojęć można znaleźć np. w [36]. Z uwagi na kompleność i pewność modelowania zachodzi konieczność osiągnięcia rzech celów cząskowch. Określono je nasępująco:. opracowanie algormów analiz rój- i dwuwmiarowego pola ermicznego w grzejniku w sanie usalonm i nieusalonm. wzajemne zwerfikowanie wników przez zasosowanie różnch meod fizki maemacznej 3. doświadczalne zwerfikowanie eorecznch analiz prz największm ociążeniu ermicznm. Realizacja wmienionch celów pozwoliła sformułować nasępujące ez rozpraw: Teza Opis zjawisk k r a w ę d z i o w c h w grzejnikach podłogowch małej i średniej wielkości wmaga rójwmiarowej analiz pola emperaur w układzie.

12 Wsęp Teza W srefie c e n r a l n e j grzejnika analiz dwuwmiarowe są wsarczająco dokładne. Teza 3 W analizie prac ezpośredniego grzejnika podłogowego prz sałej moc układu można pominąć zaurzenie pola ermicznego generowane zagięciami kala. Teza 4 W analizie prac ezpośredniego grzejnika podłogowego prz prawidłowm doorze cieplnej przewodności eonu i współcznnika przejmowania ciepła można pominąć wpłw nieliniowch właściwości układu. Teza 5 Jednoczesne zasosowanie meod analicznch numercznch i doświadczalnch zapewnia wsoki sopień poprawności modelu grzejnika. Z powższmi celami i ezami są eż związane nasępujące e l e m e n prac kóre auor uważa za orginalne:. uwzględnienie r z e c i e g o wmiaru w analizie sacjonarnej i niesacjonarnej prac grzejnika. opracowanie a n a l i c z n c h procedur adania pola ermicznego w grzejniku i ich oprogramowanie. Auor od wielu miesięc zajmuje się realizacją zadania wnikającego z przedsawionego celu prac. W rezulacie ch adań opulikował szereg arkułów w Elecrical Engineering-Archiv für Elekroechnik Ssems Analsis-Modelling- Simulaion Archives of Elecrical Engineering oraz w maeriałach konferencjnch: Seminarium z Podsaw Elekroechniki i Teorii Owodów Zasosowania Kompuerów w Elekroechnice i w innch [0] [40] [4] [4] [9] [44] [] [43] [] [39]

13 Wsęp [38]. Wmienione pulikacje worzą ckl monoemacznch prac kóre przedsawiono w posaci niniejszej rozpraw..3. Budowa elekrcznego grzejnika podłogowego pu ezpośredniego Konsrukcja grzejnika podłogowego jes prawie zawsze jednakowa ez względu na jakim podłożu (na gruncie cz na sropie) zosała wkonana. Na rs.. przedsawiono przekrój poprzeczn konsrukcji powego układu kael grzewcz wlewka eonowa (esrich) 3 siaka monażowa kala 4 izolacja przeciwwilgociowa 5 izolacja cieplna 6 podkład eonow lu srop Rs... Przekrój poprzeczn grzejnika podłogowego. Podłoże powinno ć sailne wrównane i poziome. Izolacja cieplna jes wkonana z uwardzonego sropianu lu prasowanej wełn mineralnej o gruości zapewniającej odpowiedni opór ciepln. Izolacja ermiczna wmusza również właściwe ukierunkowanie srumienia cieplnego w grzejniku. Izolacja przeciw wilgoci zaezpiecza izolację cieplną przed zawilgoceniem i jes wkonana z folii poliureanowej o gruości 0. mm [6] [53]. Siaka monażowa urzmuje przewod grzewcze w odległości około -.5 cm [6] [53] nad izolacją. Zapewnia również sałe położenie kala podczas wlewania warsw eonu (esrichu cemenowego). Podłoga (czli właściwa część grzejnika) wkonana jes z esrichu cemenowego wzogaconego o plasfikaor. Zapewnia o dokładne zalanie kala grzewczego (ewenualne pęcherze powierza mogą powodować przegrzanie druu oporowego) i wzros wrzmałości mechanicznej oraz uławia samopoziomowanie mas. Gruość warsw podłogi powinna wnosić około cm [6] [53] nad płaszczzną kala. W zależności od wmagań użkownika grzejnik można przkrć wkładziną o cieplnm oporze nie przekraczającm 0.5 (m K)/W [53]. 3

14 Wsęp Źródłem ciepła w ssemie elekrcznego ogrzewania podłogowego jes kael oporow. Najczęściej sosuje się przewod dwusronnie zasilane o konsrukcji jak na rs..3 [6] [8] [53]. żła izolacja ekran osłona Rs..3. Konsrukcja przewodu grzejnego. Żła wkonana z druu oporowego o promieniu r zaopiona jes w ciepłoodpornej izolacji elekrcznej (np. w polwinicie). Całość jes ekranowana i osłonięa z zewnąrz drugą warswą izolacji. Kael jes najczęściej ułożon w meander (zgzak) co w uproszczon sposó przedsawiono na rs..4. Długie odcinki kala są równoległe do sieie i znajdują się w odległości nie mniejszej niż 5 cm [6] [53] (właściw rozsaw usala projekan). Zagięcia kala muszą owiem worzć łuk kórego minimaln promień wnosi sześć zewnęrznch średnic [6] [53] kala R. W en sposó eliminuje się nieezpieczeńswo przegrzania przewodu. Grzejnik wolno uruchomić po związaniu esrichu (po około czerech godniach). W celu zapewnienia ezpieczeńswa przeciwporażeniowego sosuje się podłączenie ekranu kala do przewodu ochronnego PE. Należ również wkorzsać włącznik różnicowoprądow o czułości 30 ma (może ć wspóln z innmi urządzeniami). Na rs..4a i.4 przedsawiono uproszczon schema omawianego grzejnika. Jes on prosopadłościanem o wmiarach (al). Osie długich odcinków kala (linie ciągłe) znajdują się w punkach o współrzędnch k k i mają długość (-u k )l. Końce ch odcinków połączone są odpowiednimi zagięciami (linie przerwane). Dla uproszczenia przedsawiono je jako odcinki (a nie wżej opisane łuki). Z uwagi na czelność rs..4 zamieszczono na nim lko pięć długich odcinków przewodu. W dalej przedsawionch analizach można jednak uwzględniać dowolną liczę odcinków. 4

15 Wsęp Y 0 X a a Z l k a X u k l (-u k )l l Z Rs..4. Trójwmiarow model elekrcznego grzejnika podłogowego: a) uproszczon schema ) przekrój na wsokości kala. 5

16 Wsęp.4. Graniczne zagadnienie pola ermicznego w grzejniku Biorąc pod uwagę skończone wmiar pł podłogowej (al) i jej proporcjonalne kszał należ założć rójwmiarow model pola emperaur w urządzeniu. W ogólnm przpadku cieplna przewodność eonu jes nieliniowo zależna od emperaur λ(t). Rozkład pola w urządzeniu opisuje zaem niejednorodne równanie dfuzji [0] [33] [55] ( z ) T div [ λ ( T ) gradt ( z ) ] cδ g( z ) (.) gdzie sosowano oznaczenia wjaśnione w wkazie zamieszczonm na począku rozpraw. W celu ujednoznacznienia rozwiązania równania (.) sformułowano warunki graniczne. Wszskie ścian grzejnika oprócz jego powierzchni są ołożone warswą izolacji ermicznej. Przenikając przez nią srumień ciepła jes niewielki (rzędu kilku procen moc układu). Prz znanm rozkładzie srumienia sra można posawić na omawianch ścianach warunek rzegow drugiego rodzaju T T T ( z ) Q ( 0 z ) λ( T ) T ( z ) Q ( a z ) λ( ) 0 a T ( z ) Q3 ( 0 z ) λ( ) T 0 ( z ) Q4 ( z 0 ) z λ( T ) ( z ) Q ( z l ) z λ( ) 5 z 0 z l T T. (.a ) (.c) (.d e) Górna powierzchnia podłogi emiuje energię przez konwekcję i promieniowanie jednocześnie. Emisję ę charakerzuje współcznnik przejmowania ciepła α(t) ędąc sumą współcznników konwekcji i promieniowania. W ogólnm przpadku jes on również zależn od emperaur. Zgodnie z prawem Newona [0] [34] 6

17 Wsęp ciepln srumień jes ilocznem α(t) oraz różnic emperaur powierzchni grzewczej i ooczenia ( z ) T λ ( T ) α( T )[ T ( z ) T0 ]. (.f) W chwili 0 układ znajduje się w sanie usalonm i wszskie jego punk mają emperaurę ooczenia T 0 ( z 0) T0 T. (.g) W niekórch przpadkach długość układu jes znacznie większa od wmiarów jego przekroju poprzecznego. Warunek en spełniają np. ssem ogrzewania korarz uneli ogrodniczch ciągów komunikacjnch ip. Pole emperaur można wówczas modelować jako płasko-równoległe co znacznie upraszcza analizę. Y k Rs..5. Dwuwmiarow model elekrcznego grzejnika podłogowego. a X Na rs..5 przedsawiono uproszczon dwuwmiarow model grzejnika. Zgodnie z wżej zamieszczonm opisem zagadnienie graniczne można sformułować nasępująco 7

18 ( ) Wsęp T div [ λ ( T ) gradt ( ) ] cδ g( ) (.3) T T ( ) Q ( 0 ) λ( T ) T ( ) Q ( a ) λ( ) 0 a T ( ) Q3 ( 0 ) λ( ) T 0 ( ) (.4a ) (.4c) T λ ( T ) α( T )[ T ( ) T0 ] (.4d) ( 0) T0 T. (.4e) Równanie (.) jes znane od wielu dziesięcioleci. Informacja o polu ermicznm jes jednak ardzo głęoko zakodowana w srukurze (.). Oprócz ego analizowane oiek i wjściowe założenia adań sają się coraz ardziej złożone. Powższe przczn sprawiają że równanie (.) jeszcze długo ędzie przedmioem adań maemaków fizków i inżnierów. 8

19 . Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur w rójwmiarowm układzie ogrzewania elekrcznego.. Wprowadzenie Celem niniejszego rozdziału jes zadanie sacjonarnej składowej pola emperaur w elekrcznm grzejniku podłogowm pu ezpośredniego. Założono prz m że wdajność źródeł ciepła nie zmienia się w czasie. Taki przpadek zachodzi:. w maemacznm modelowaniu przegrzania spowodowanego awarią układu regulacji auomacznej (czli w modelowaniu maksmalnch ociążeń ermicznch). w maemacznm modelowaniu pola w grzejniku z ręczną regulacją (np. przez załączanie kolejnch grup kali lu zmianę napięcia zasilającego za pomocą auoransformaora) 3. w maemacznm modelowaniu pola w warunkach silnego wchłodzenia ooczenia lu prz spadku moc zasilania (gd emperaura podłogi nie przekrocz górnej nasaw regulaora) 4. prz wznaczaniu skokowej charakerski grzejnika meodą superpozcji sanów (znając składową sacjonarną wsarcz wznaczć składową przejściową prz włączonch źródłach ciepła)... Fizczn model układu i zagadnienie graniczne Przez model fizczn rozumie się układ fikcjn kór odpowiada układowi rzeczwisemu pod względem jego cech isonch dla adanego zagadnienia ale jes prossz (widealizowan) i dlaego ławiej poddając się analizie [4]. Sosowane w prac uproszczenia polegają głównie na linearzacji środowiska i na pominięciu 9

20 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... małch wpłwów. Na przkład zagięcia kala (przerwane linie na rs..4) wdzielają małą moc w sosunku do całkowiej moc grzejnika. Można zaem pominąć wpłw ch krókich odcinków (zn. zagięć ). Pomimo ego w niniejszm paragrafie zwiększono cieplną wdajność długich odcinków równoległch (ciągłe linie na rs..4) o wdajność pominięch zagięć. Całkowia moc układu pozosała więc nie zmieniona. Tm sposoem zmniejszono i ak niewielki łąd spowodowan zaniedaniem zakrzwionch fragmenów kala. Układ jes niskoemperaurow. Kael oddziela od powierzchni warswa eonu o małej gruości (ogrzewanie pu ezpośredniego). Wnika sąd że różnica międz skrajnm emperaurami pł nie jes duża. Można więc przjąć sałą warość cieplnej przewodności eonu (uśredniając ją w niewielkim przedziale emperaur T(z) T( k z) ). Innmi słow założono liniowość środowiska (λcons). Masa kala jes pomijalna w sosunku do mas eonu. Podonie można zaniedać średnicę kala (R) względem wmiarów poprzecznego przekroju pł podłogowej (a). Z ch powodów nie zosanie uwzględniona srukura przewodu grzejnego i pole w jego wnęrzu. Oznacza o że ędzie oliczona emperaura powierzchni kala a nie jego żł. Ocena łędów wnoszonch przez wprowadzone uproszczenia zosanie przedsawiona w rozdziale rzecim.... Smulacja analiczna Smulacja jes rozumiana jako odworzenie właściwości układu za pomocą modelu maemacznego. W smulacji analicznej każd długi odcinek żł kala ędzie modelowan osiowm źródłem ciepła o liniowej gęsości wdzielanej moc q k [W/m]. Położenie ego odcinka określają współrzędne k k z <u k l(-u k )l> Dogodnie jes wprowadzić równoważną wdajność ojęościowch źródeł ciepła g k [W/m 3 ]. W podłodze z j e d n m fragmenem przewodu aka ekwiwalenna gęsość wdzielanej moc zeruje się we wszskich punkach poza odcinkiem żł 0

21 g k Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... ( z) 0 dla lu lu z u l ( u ) l. (.) k k k k Wiadomo eż że całka z wdajności g k (z) po całej ojęości podłogi równa się moc cznnej k ego odcinka l a ( z) g dddz. (.) k P k Warunki (.) i (.) określają funkcję wdajności równoważnch źródeł przesrzennch (parz właściwości pseudofunkcji Diraca [45]) g k ( z) q δ ( ) δ ( ) G( z) (.3) gdzie: q P [ l( u )] k G k k k k ( z) ( z u l) ( z l u l). k k + k Zakłada się że emperaurą powierzchni przewodu jes emperaura punków położonch w odległości R od dskuowanego odcinka (rs..a). W modelowaniu analicznm każd równoległ odcinek żł ędzie rakowan jako oson grzejnik wwarzając swoją składową pola. Należ więc rozparzć układ lko z jednm grzejnikiem prz włączeniu pozosałch. W związku z wcześniejszm założeniem liniowości eonu (λcons) całkowi rozkład emperaur wznacza się z zasad superpozcji. Dogodnie jes zaem analizować k-ą składową przrosu pola ermicznego v k df ( z) Tk ( z) T0. (.4) Przjęe założenia modfikują w sanie usalonm ( ) równanie (.) do nasępującej posaci [0] [] [34] względem przrosu (.4)

22 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Rs.. Model przekroju kala: a) w smulacji analicznej ) w smulacji numercznej (powiększenie rak proporcji pomiędz r i R). ( z) v ( z) v ( z) vk k k + + gk ( z) (.5) z λ gdzie g k (z) określa wzór (.3). Równanie (.5) uzupełniono o warunki rzegowe. Prz prawidłowo ułożonej izolacji sra ciepła są małe i nie przekraczają kilku procen moc układu. Można zaem przjąć że ermicznie izolowane ścian są adiaaczne. Z ego powodu we wzorach (.) przjęo Q r (z)0 dla r...5. Zaem zależności (.a-e) przjmują nasępującą posać v v v k k k ( z) v ( z) ( z) 0 0 a 0 0 k ( z) v ( z) z 0 z 0 z l k z 0 0. (.6a ) (.6c) (.6d e)

23 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Emisję energii przez górną powierzchnię podłogi charakerzuje współcznnik przejmowania ciepła α. Założono sałą warość α określoną na podsawie średniej emperaur powierzchni i emperaur ooczenia T 0. Zaem zależność (.f) po wprowadzeniu przrosu (.4) przjmuje posać ( z) vk α vk λ ( z). (.6f)... Smulacja numerczna W smulacji numercznej model odcinka żł kala wnika z kszału elemenów skończonch na jakie podzielono ojęość pł (rs..3). Źródłami ciepła są zaem ośmiokąne graniasosłup prawidłowe wpisane w walec żł kala. Ich poprzeczne przekroje są ośmiokąami foremnmi o ardzo małm polu powierzchni ( m ). K- graniasosłup wdziela moc P k aką samą jak w paragrafie... Prose prosopadłe poprowadzone ze środków ośmiokąów pokrwają się z osiami poszczególnch odcinków kala. Długość każdego odcinka wnosi l( u k ). Za emperaurę powierzchni przewodu przjmuje się emperaurę punków znajdującch się w odległości R od środka ośmiokąa (rs..). Z uwagi na inn model źródła w smulacji numercznej nie można sosować wzoru (.3). W modelowaniu cfrowm zrezgnowano również ze sosowania zasad superpozcji. Z ej przczn zagadnienie rzegowe uzskuje się usuwając indeks k we wzorach (.4) (.5) (.6). 3

24 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur Rozwiązanie zagadnienia rzegowego.3.. Rozwiązanie analiczne rozwinięcie w szereg funkcji własnch Rozwiązanie równania Poissona (.5) jes porójnm nieskończonm szeregiem funkcji własnch operaora Laplace a [3]. W prosokąnm układzie współrzędnch są nimi sinus i cosinus [33]. Z uwagi na warunki (.6a c d) należ jednak odrzucić sinus. Warości własne względem zmiennch z wnikają odpowiednio ze związków (.6 f e). Z powższego wnika zależność v k ( z) m 0 n i 0 B mni mπ γ n cos cos a iπ cos z (.7) l gdzie γ n są kolejnmi dodanimi pierwiaskami równania przesępnego γ n cg γ n A A α (.8a ) λ rozwiązwanego numercznie meodą Newona. W celu wznaczenia współcznnika B mni podsawiono (.7) do lewej sron równania (.5). Ciągi funkcji { [ mπ ( a) ]} { cos[ γ n ( ) ]} { cos( iπ z l) } cos są orogonalne [33] [54] odpowiednio w przedziałach <0a> <0> <0l>. B mni jes więc współcznnikiem uogólnionego szeregu Fouriera B mni mπ a γ n + λ N iπ + l l a g k mπ a γ iπ l n ( z) cos cos cos z dddz (.9a) gdzie g k (z) określono wzorem (.3) i 4

25 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... N l a mπ cos cos a γ n iπ cos z dddz. (.9) l Po oliczeniu B mni z (.9a) i (.9) przekszałceniu oraz podsawieniu do (.7) orzmano ν k ( z) qk aπλ m 0 n i 0 mπ γ k k k a sin( γ n ) mπ γ n iπ i γ n a l mπ γ n iπ cos cos cos z a l i n ( ) cos cos sin[ iπ ( u )] ( ) ( + δ m0 ) + δ ( i) 0 (.0) gdzie przez warość wrazu nieoznaczonego dla i0 rozumie się jego granicę prz i 0. Nasępnie zsumowano szereg indeksowan wskaźnikiem m. W m celu wkorzsano zależność [56] m ( mβ ) π cosh[ ( β π ) d ] + + d d d sinh( πd ) cos dla 0 β m π. (.) Prowadzi o do innej posaci wzoru (.0) dogodnej do numercznego opracowania. Mianowicie porójne sumowanie zasąpiono sumowaniem pojednczm i podwójnm: () ( ( z) ν ( ) ν ) ( z) ν + (.a) k k k gdzie: 5

26 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... 6 () ( ) ( ) ( ) + cosh cosh 0 cosh cosh sinh sin cos cos a dla a dla a a q u k n k n k n k n n n n n n n k n k k k γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ λ ν (.) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) cosh cosh 0 cosh cosh sinh sin cos sin cos cos 4 Γ Γ Γ Γ Γ + Γ a dla a a dla a a i l z i u i q a z k ni k ni k ni k ni n i ni n n ni k i n k n k k γ γ π π γ γ λ π ν (.c). 4 + Γ l a i a n ni π γ (.d) Zależności (.) (.c) są ciągłe w całm oszarze. Jednak pochodne z (.) i (.c) względem zmiennej zmieniają się skokowo na prosej ifurkacji k. Wmieniona osoliwość sprawia że prz oliczaniu () ( ) k k ν ( ) ( ) z k k ν należ nadać pewne odchlenie współrzędnej k. W ezpośrednim sąsiedzwie żł promień odchlenia może ć równ promieniowi kala R (chodzi owiem o wznaczenie emperaur powierzchni przewodu a nie jego żł). Na pozosałej części prosej ifurkacji dewiacja powinna ć mniejsza (np. r(r/6)).

27 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Prz oliczaniu (.) (.c) należ wprowadzić wskaźnik zieżności ε. Mianowicie sumowanie (.) (.c) może ć zakończone gd sosunek modułów sum osanich dziesięciu wrazów do modułu sum gloalnej jes mniejsz od ε. A powższe krerium (prz εcons) ło spełnione w miarę zliżania się do prosej ifurkacji k należ sumować coraz większą liczę wrazów szeregów (.) (.c) (parz aela. sr. 4). Z uwagi na przekraczanie w rakcie oliczeń dopuszczalnego zakresu argumenu funkcji sinh i cosh zasąpiono je funkcjami wkładniczmi i odpowiednio przekszałcono. Gd moduł wkładnika funkcji e - ł większ od 300 przjęo e - 0. Powższe uwagi wkorzsano prz numercznm opracowaniu zależności (.) i (.c). W celu salicowania poszczególnch składowch wzoru (.a) napisano oddzielne program w jęzku Forran. Na rs.. przedsawiono przkładow schema lokow programu oliczającego składową (.c). Wszskie inne program alicujące szeregi w niniejszej rozprawie mają podoną srukurę. Różnią się lko ilością nieskończonch szeregów (jeden dwa lu rz) oraz niekórmi funkcjami. W dodaku do rozpraw znajdują się wdruki wszskich programów opracowanch w ramach niniejszej prac. Całkowie pole olicza się zgodnie z zasadą superpozcji sumując składowe generowane przez poszczególne odcinki kala u K 0 k ( z) T + ( z). T ν (.3) k Rozwiązanie (.a) nawiązuje do ważnch fragmenów monografii [45]. W [45] zamieszczono owiem ciekawe przkład rozwiązań równania Poissona (.5) z funkcją źródła w posaci impulsów Diraca. W niniejszej prac przjęo odmienn punk wjścia (porójn szereg Fouriera zamias rozdzielenia zmiennch). Oprócz ego w funkcji źródła (.3) dodakowo uwzględniono sgnał ramki G(z) i wprowadzono odmienne niż w [45] warunki rzegowe (.6). Inne zasosowanie dwuwmiarowego impulsu Diraca do modelowania pola ermicznego za pomocą funkcji Greena przedsawiono w [3]. 7

28 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... START wczanie danch określenie ilości punków oliczeniowch - J i ich współrzędnch uwzględnienie dewiacji ak konrola położenia punku oliczeniowego k nie oliczanie warości wrazów szeregu indeksowanego po n oliczanie warości własnch γ n sprawdzenie krerium zieżności rozwiązania γ n nie ak oliczanie warości wrazów szeregu indeksowanego po i sprawdzenie krerium zieżności ε szeregu indeksowanego po i nie ak sprawdzenie krerium zieżności ε szeregu indeksowanego po n nie ak wór nasępnego punku oliczeniowego j<j ak nie zapisanie wników STOP Rs... Schema lokow programu kompuerowego do oliczania rójwmiarowej składowej usalonej emperaur ν k () (z) w grzejniku. 8

29 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur Rozwiązanie numerczne meoda elemenów skończonch W smulacji numercznej poszukiwan rozkład emperaur T u (z) wznaczono jednocześnie od wszskich długich odcinków kala (zn. nie superponowano oddzielnie składowch ν k (z)). Oliczenia wkonano meodą elemenów skończonch [] wkorzsując program NISA II/Hea Transfer [6] amerkańskiej firm EMRC. Oszar podłogi podzielono na graniasosłup rójkąne i czworokąne odpowiednio o sześciu i ośmiu węzłach. W srefie największego gradienu emperaur (zn. wokół źródeł) zwiększono liczę wżej wmienionch elemenów. Opisaną siakę generowano auomacznie [7] [33]. Zdskrezowan w en sposó fragmen pł podłogowej pokazano na rs..3. a Rs..3. Podział czwarej części segmenu powarzalnego na elemen skończone: a) dskrezacja oszaru oliczeniowego (perspekwa) ) powiększenie rsunku w ooczeniu kala (przekrój poprzeczn). Do algeraizacji zagadnienia rzegowego (.4) (.5) (.6) (ez indeksu k) program NISA wkorzsuje procedurę Galerkina [7]. W jej wniku orzmano układ równań algeraicznch opisując emperaurę w węzłach [6] [ ]{} T {} G λ. (.4) 9

30 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Program rozwiązuje układ (.4) meodą Newona Raphsona [60] [6]. W en sposó orzmano poszukiwan wekor {T} co kończ procedurę..4. Przkład oliczeniowe Wzór (.3) i zależność odwrona względem (.4) sanowią ogólne rozwiązanie posawionego zadania. W przpadku smercznego ułożenia kala można jednak znacznie zawęzić oszar oliczeń. Z ego powodu dalej przedsawione przkład uwzględniają dwie odmienne konfiguracje źródeł ciepła..4.. Smerczne położenie odcinków kala W prakce odcinki kala są niemal zawsze położone smercznie. Oznacza o że odcięe grzejników wrażają się zależnością ( k 0.5) K k 3 K k a.... (.5) W ej suacji minima emperaur znajdują się w połowie odległości pomiędz równoległmi odcinkami kala T ( z) ( 3 ) 0 T ( z) ( ) 0.5 k k k + k+ 0. (.6) Związki (.6) określają położenie płaszczzn adiaacznch. W omawianm przpadku nie ma więc przepłwu ciepła w kierunku osi 0X. Wsarcz zaem oliczć rozkład emperaur w zw. segmencie powarzalnm zn. w przedziale <0.5(3 k k+ )0.5( k + k+ )>. W pozosałch oszarach układu smercznego wznaczon rozkład powórz się K raz. Szerokość segmenu powarzalnego zależ oczwiście od a i K (parz wkaz oznaczeń). 30

31 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... K Temperaura [ C] Z [m] a X [m] K Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs..4. Rozkład emperaur na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m) w segmencie powarzalnm układu smercznego (K5): a) w smulacji analicznej ) w smulacji numercznej. 3

32 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur K5 k 0.05 m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn 34 a X [m] 4 40 K5 k 0.05 m z.0 m Temperaura [ C] analiczn numerczn X [m] 3 K5 k 0.05 m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn c X [m] Rs..5. Porównanie rozkładów wznaczonch analicznie i numercznie na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m) w prawej połowie segmenu powarzalnego (K5): a) dla z.5 m ) dla z.0 m c) dla z.5 m. 3

33 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... K5 T śr 8.3 C Temperaura [ C] Z [m] a X [m] K5 T śr 8. C Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs..6. Rozkład emperaur na powierzchni podłogi (0.06 m) w segmencie powarzalnm układu smercznego (K5): a) w smulacji analicznej ) w smulacji numercznej. 33

34 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur K m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn 99 a X [m] Temperaura [ C] K m z.0 m analiczn numerczn X [m] 55 K m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn c X [m] Rs..7. Porównanie rozkładów wznaczonch analicznie i numercznie na powierzchni podłogi (0.06 m) w prawej połowie segmenu powarzalnego (K5): a) dla z.5 m ) dla z.0 m c) dla z.5 m. 34

35 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... K5 Temperaura [ C] Z [m] a X [m] K Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs..8. Rozkład emperaur na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m) w segmencie powarzalnm układu smercznego (K5): a) w smulacji analicznej ) w smulacji numercznej. 35

36 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur K5 k 0.05 m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn 0 a X [m] K5 k 0.05 m z.0 m Temperaura [ C] analiczn numerczn X [m] 8 7 K5 k 0.05 m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn c X [m] Rs..9. Porównanie rozkładów wznaczonch analicznie i numercznie na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m) w prawej połowie segmenu powarzalnego (K5): a) dla z.5 m ) dla z.0 m c) dla z.5 m. 36

37 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... K5 T śr.80 C Temperaura [ C] Z [m] a X [m] K5 T śr.77 C Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs..0. Rozkład emperaur na powierzchni podłogi (0.06 m) w segmencie powarzalnm układu smercznego (K5): a) w smulacji analicznej ) w smulacji numercznej. 37

38 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur K m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn a X [m] 7 6 K m z.0 m Temperaura [ C] analiczn numerczn X [m] 4 K m z.5 m Temperaura [ C] 3 analiczn numerczn c X [m] Rs... Porównanie rozkładów wznaczonch analicznie i numercznie na powierzchni podłogi (0.06 m) w prawej połowie segmenu powarzalnego (K5): a) dla z.5 m ) dla z.0 m c) dla z.5 m. 38

39 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Przjęo nasępując zesaw danch: a3 m 0.06 m l.5 m T 0 0 C λ c 63 W/(m K) r5 0-4 m R3 0-3 m k 0.05 m u k 0. q k 5 W/m α W/(m K) K5 lu K5 (.7) λ.0 W/(m K) ε0-7 g k W/m 3. W całej prac oliczenia wkonano za pomocą kompuera Penium 00MMX. Wniki niniejszego rozdziału przedsawiono na rs Z uwagi na smerię pola emperaur względem środkowch płaszczzn segmenu powarzalnego ograniczono się do czwarej części zakresu. Jak widać większa jes emperaura punków położonch na płaszczźnie zawierającej przewód (np. rs..4) niż emperaura punków położonch na powierzchni podłogi (np. rs..6). Wzros licz odcinków kala powoduje większą równomierność rozkładu i wzros emperaur średniej (np. rs..6.0). Temperaura zwiększa się eż w kierunku środka pł (np. rs..7). Porównanie wników smulacji analicznej i numercznej przedsawiono na rs Jak widać pewne różnice wsępują dla k (zn. w ooczeniu odcięch położenia przewodu grzejnego). Wnika o z odmiennch modeli żł kala w oliczeniach analicznch i numercznch..4.. Niesmerczne położenie odcinków kala Przpadek en ma włącznie eoreczne znaczenie. Jes jednak ciekaw z poznawczego punku widzenia i prezenuje w pełni możliwości przedsawionej meod. W celu uwzględnienia różnej moc i długości grzejników oraz ich położenia na odmiennch poziomach zmieniono niekóre paramer zesawu danch (.5) (.7) 0.5 m 0.0 m u 0. q 30 W/m K m 0.05 m u 0. q 50 W/m (.8) g W/m 3 g W/m 3 39

40 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... K Temperaura [ C] T śr.65 C Z [m] a X [m] K 55 T śr.53 C Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs... Rozkład emperaur na powierzchni podłogi (0.06 m) w układzie niesmercznm (K): a) w smulacji analicznej ) w smulacji numercznej. 40

41 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Temperaura [ C] K 0.06 m z.5 m analiczn numerczn a X [m] Temperaura [ C] K 0.06 m z.0 m analiczn numerczn X [m] 7 6 K 0.06 m z.5 m Temperaura [ C] analiczn numerczn c X [m] Rs..3. Porównanie rozkładów wznaczonch analicznie i numercznie na powierzchni podłogi (0.06 m) w układzie niesmercznm (K): a) dla z.5 m ) dla z.0 m c) dla z.5 m. 4

42 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... Orzmane wniki przedsawiono na rs...3. Jes na nich wraźnie widoczn wpłw moc głęokości położenia i długości poszczególnch odcinków kala na rozkład emperaur Ogólne informacje o przedsawionch przkładach 4 O liczie uwzględnionch wrazów w szeregach (.) (.c) wprowadzonch elemenów skończonch i węzłów informuje aela.. Informacja Taela.. Wrane informacje o rozwiązaniu analicznm i numercznm. Minimalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (.) Maksmalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (.) Minimalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (.c) Maksmalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (.c) Ilość elemenów skończonch Ilość węzłów układ smerczn K5 układ smerczn K5 układ niesmerczn K w segmencie powarzalnm 6000 w segmencie powarzalnm 77 w segmencie powarzalnm 6800 w segmencie powarzalnm 88 w całej ojęości pł 568 w całej ojęości pł 705 Podsawowm paramerem układu jes średnia emperaura powierzchni podłogi. Jej warości podano na rs Jak widać prawidłow doór moc realizuje K5 odcinków kala (rs..6 T śr 8. 0 C dopuszczalna warość maksmalna według polskiej norm PN-85/N-0803 wnosi 9 C). Generowan srumień ciepln wnosi więc [(-u k )q k K/(a)]00 W/m. W dalszej części prac ograniczono się do prakcznego przpadku układu smercznego z dwudziesoma pięcioma odcinkami kala. Realizuje on owiem właściw doór moc grzejnej. Dla a3 m i K5 szerokość segmenu powarzalnego wnosi a*0. m.

43 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur Porównanie sacjonarnch rozkładów rójwmiarowch i dwuwmiarowch Rozkład emperaur w układzie rójwmiarowm opisują zależności (.) i (.3). Jeżeli odcinki kala ułożone są na całej długości l układu o należ przjąć u k 0 (rs..4). W akim przpadku nasępuje nieznaczne uproszczenie składowej (.) oraz wzerowanie (.c). Prowadzi o do dwuwmiarowego rozkładu emperaur w grzejniku pokazanm na rs..5. Osaecznie orzmano nasępujące zależności () ( ) ( ) + cosh cosh 0 cosh cosh sinh sin cos cos a dla a dla a a q k n k n k n k n n n n n n n k n k k γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ λ ν (.9) ( ) () ( ). 0 + K k k u T T ν (.0) Jes o wnik zgodn z rezulaami prac [4]. Należ więc swierdzić że [4] sanowi szczególn przpadek ogólnch rozważań zamieszczonch w niniejszm rozdziale. Na rs..4 i.5 przedsawiono porównanie rozkładu pola emperaur w modelu rójwmiarowm i dwuwmiarowm dla wranch przekrojów na wsokości kala grzewczego i powierzchni układu. W przpadku dwuwmiarowm (płasko-równoległm) rozkład emperaur nie zależ od współrzędnej Z. Zaem na rs..4 i.5 (kolor czerwon) przjęo sałą jej warość wzdłuż całej długości układu l. Z rs..4 i.5 wnika że rozkład emperaur rozparwanch modeli różnią się znacząco lko w srefie krawędziowej.

44 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur Temperaura [ C] model dwuwmiarow model rójwmiarow 0 a Z [m] Temperaura [ C] model dwuwmiarow model rójwmiarow Z [m] 34 3 Temperaura [ C] model dwuwmiarow model rójwmiarow 0 c Z [m] Rs..4. Porównanie rozkładu emperaur w modelu dwuwmiarowm i rójwmiarowm na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m): a) m ) 0.09 m c) 0. m. 44

45 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur... 3 Temperaura [ C] model dwuwmiarow model rójwmiarow 0 a Z [m] 3 30 Temperaura [ C] model dwuwmiarow model rójwmiarow Z [m] Temperaura [ C] model dwuwmiarow 3 model rójwmiarow c Z [m] Rs..5. Porównanie rozkładu emperaur w modelu dwuwmiarowm i rójwmiarowm na powierzchni podłogi (0.06 m): a) m ) 0.09 m c) 0. m. 45

46 Analiczne i numerczne modelowanie sacjonarnej składowej pola emperaur Uwagi końcowe Z przeprowadzonch adań wnika że w sanie usalonm wór modelu żł kala (rs..) w niewielkim sopniu wpłwa na rozkład emperaur w eonie (rs ). Uwaga a nie odnosi się do małego oszaru przekrojów kala. Termiczne pole wmienionch przekrojów nie ma jednak znaczenia w analizie przedsawionego zadania. Niniejsz rozdział jes przkładem werfikacji meod elemenów skończonch [64] za pomocą porójnego szeregu Fouriera (.7). Oczwiście zależności (.) (.3) (.9) (.0) mogą eż służć do esowania innch meod numercznch (omówionch np. w [45]). Orzmanie ego samego wniku (rs ) za pomocą całkowicie odmiennch meod powierdza poprawność rozwiązania elipcznego zagadnienia granicznego (.5) (.6). U d o w a d n i a o częściowo ezę nr 5 (sr. ). Z porównania modelu dwuwmiarowego i rójwmiarowego (rs..4 i.5) wnika że analiz dwuwmiarowe są wsarczająco dokładne w cenralnej srefie układu dla z <0.5.0 m>. W przpadku sref krawędziowej z < m> <.0.5 m> należ ezwzględnie sosować model rójwmiarow. Udowadnia o odpowiednio ezę nr i nr (sr. i ) w odniesieniu do usalonego sanu grzejnika. 46

47 3. Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola ermicznego w grzejniku W rozdziale przedsawiono sacjonarn model grzejnika z założeniami upraszczającmi kóre międz innmi polegał na: pominięciu zagięch części kala grzewczego założeniu sałch warości α i λ przjęciu idealnej izolacji cieplnej. W niniejszm paragrafie przedsawiono werfikację ch założeń oraz wniki ekspermenu wkonanego na rzeczwism modelu podłogi. Powższe analiz przeprowadzono dla sacjonarnej składowej pola ermicznego. Ponieważ w sanie usalonm układ pracuje prz największm ociążeniu ermicznm emperaura poszczególnch punków grzejnika jes wówczas najwższa. Należ zaem przpuszczać że różnice powsałe z porównania modeli z przjęmi założeniami upraszczającmi i ez nich ędą wówczas również największe. Wnika sąd możliwość majorzacji przliżeń dnamicznch przez sacjonarne. 3.. Smulacja wpłwu zagięć kala na rozkład sacjonarnej składowej pola emperaur w grzejniku podłogowm 3... Wsęp Uproszczon schema elekrcznego grzejnika podłogowego przedsawiono na rs..4. W rozdziale modelowano rozkład pola emperaur pochodząc od długich odcinków kala grzewczego (linie ciągłe rs..4). Przjęo prz m określone założenia upraszczające. Jednm z nich ło pominięcie wpłwu zagięch części kala kóre wdzielają małą moc w porównaniu do moc urządzenia. Należ jednak podkreślić że całkowia moc układu pozosawała niezmieniona. W paragrafie moc długich odcinków powiększono owiem o moc pomijanch zagięć. Celem paragrafu 3. jes: 47

48 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... - sprawdzenie prawidłowości powższego posępowania - wznaczenie dodakowej składowej pola ermicznego pochodzącej od zagięć kala. Kael w grzejniku jes ułożon w zgzak. W niniejszm rozdziale jego zagięcia ędą modelowane krókimi odcinkami przewodu (linie przerwane rs..4). Chociaż rs..4 ilusruje lko kilka zagięć analiza przedsawiona w prac docz dowolnej ich ilości Brzegowe zagadnienie pola generowanego zagięciami kala Zgodnie z wcześniej założoną liniowością środowiska (eonu rozdział.) całkowie pole ermiczne może ć oliczone na podsawie zasad superpozcji. Z uwagi na wniki rozdziału w oecnm paragrafie wsarcz wznaczć lko składową ν(z) generowaną zagięciami prz zerowej emperaurze ooczenia Analiczna smulacja źródeł ciepła Każde zagięcie kala łącz dwa długie odcinki przewodu oporowego (rs..4). Położenie ch zagięć określają: prosokąne współrzędne k z u l lu z (-u )l (w zależności od rozparwanego końca) oraz ciąg ramek definiującch położenie krókich odcinków kala wzdłuż osi OX G M k z k k ( ) ( ) ( ) dla z + (3.a) gdzie: M K K dla dla K K parzsch nieparzsch i G 48 M k+ z k k ( ) ( ) ( ) dla z + (3.)

49 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... gdzie: M K dla K dla K K parzsch. nieparzsch Z powższch zależności wnika że isnieją dwie konfiguracje źródeł ciepła o wdajnościach (rozdział..) g j ( z) q ( ) δ ( z z ) G ( ) dla j lu j δ. (3.) j j W związku z założoną liniowością eonu poszukiwaną składową ν(z) wznacza się jako sumę przrosów pola ν (z) ν (z) (pochodzącch od ciągów zagięć kala położonch odpowiednio na prosch zz i zz ) ( z) ν ( z) ν. (3.3) j j W sanie usalonm (rozdział..) wspomniane przros są opisane równaniem Poissona [0] [] [34] ν j ( z) ν ( z) ν ( z) j j + + g j j z λ ( z) dla j lu. (3.4) gdzie: g j (z) określono zależnością (3.). W celu jednoznacznego rozwiązania (3.4) posawiono warunki rzegowe szczegółowo omówione w rozdziale. Odnosząc (.6) do rozkładu ν j (z) orzmano ν ν ( z) ν ( z) j j 0; 0 a j ( z) (3.5a ) (3.5c) 49

50 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... ν ν j ( z) ν ( z) z j ( z) 0; z 0 z l α ν j λ j z ( z) 0 (3.5d e) (3.5f) 3... Numerczna smulacja źródeł ciepła W smulacji numercznej źródła ciepła są aproksmowane podonie jak w rozdziale... Należ jednak zmienić ich lokalizację przesrzenną (rs. 3. s. 53). Takie wirualne źródła oraz krókie odcinki żł kala (linie przerwane na rs..4) mają jednakową długość moc i położenie. Waro podkreślić że w m modelu nie jes prawdziw wzór (3.). Ponado w smulacji numercznej nie sosowano zależności (3.3) (czli zrezgnowano z superponowania przrosów). Z ej przczn zagadnienie rzegowe uzskuje się usuwając indeks j we wzorach (3.4) (3.5) Rozwiązanie rzegowego zagadnienia pola generowanego zagięciami kala Rozwiązanie analiczne rozwinięcie w szereg funkcji własnch Zagadnienie rzegowe (3.4) (3.5) należ rozwiązwać dwukronie dla j oraz dla j. Ponieważ w ou przpadkach algorm oliczeń jes wspóln i podon do przedsawionego w rozdziale.3. w dalszej części prac ograniczono się do indeksu j. Jak wkazano w rozdziale.3. rozwiązanie równania (3.4) ma posać porójnego szeregu Fouriera. Z warunków (3.5a c d) wnika jednak że w rozwinięciu rgonomercznm należ pominąć sinus. Na podsawie (3.5 f e) określono warości własne zagadnienia. Przewiduje się więc nasępującą posać poszukiwanego przrosu 50

51 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... 5 ( ) 0 0 cos cos cos m n i n mni l z i a m D z π γ π ν (3.6) gdzie γ n określono wzorami (.8a ). W celu wznaczenia współcznnika D mni podsawiono (3.6) do lewej sron równania (3.4) (dla j). Ciągi funkcji {cos[mπ/(a)]} {cos[γ n /()]} {cos[iπz/l]} są orogonalne [33] odpowiednio w przedziałach <0a> <0> <0l>. D mni jes więc współcznnikiem uogólnionego szeregu Fouriera ( ) + + l n a n mni dz d d l z i a m z g N l i a m D cos cos cos π γ π λ π γ π (3.7) gdzie N określono wzorem (.9) zaś g (z) zależnością (3.) dla j. D mni oliczono z (3.7) i podsawiono do (3.6). Nasępnie zgodne z zależnością (.) zsumowano szereg indeksowan wskaźnikiem i. W en sposó po dalszch przekszałceniach wznaczono przros pola ermicznego pochodząc od jednego ciągu zagięć kala (położonch na prosej zz ) ( ) () ( ) ( ) ( ) z z z ν ν ν + (3.8a) gdzie: () ( ) ( ) ( ) + cosh cosh 0 cosh cosh sinh sin cos cos l z z dla l z z z z dla z l z l a q z n n n n M k n n n n n n n k k γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ λ ν (3.8)

52 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Γ Γ Γ Γ + Γ cosh cosh 0 cosh cosh sinh sin cos cos cos sin l z z dla l l z l z z z dla l z l l z m a m a m ql z mn mn mn mn M k m n mn n n mn n n k k γ γ γ γ π π λπ ν (3.8c) + Γ l a l m n mn γ π. (3.8d) Oecnie należ określić rozkład drugiego przrosu pola pochodzącego od ciągu zagięć położonch na prosej zz. W m celu wsarcz dokonać nasępującch podsawień we wzorach (3.8a c) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + k k z z z z z z z z ν ν ν ν ν ν (3.8e) gdzie smol g h oznacza położenie h w miejsce g. Z uwagi na osoliwość odcinków źródłowch położonch na prosch zz i zz (zn. zawierającch zagięcia) prz numercznm alicowaniu zależności (3.8 c e) skorzsano z uwag zamieszczonch w rozdziale.3. (za wzorem (.d)). Dla każdej składowej pola emperaur generowanej danm ciągiem zagięć napisano oddzielne program w jęzku Forran. Ich wdruki znajdują się w załączniku Rozwiązanie numerczne meoda elemenów skończonch W smulacji numercznej poszukiwaną składową ν(z) wznaczono jednocześnie od wszskich zagięć kala razem wzięch (zn. nie superponowano oddzielnch przrosów ν j (z)). Do rozwiązana (3.4) (3.5) (ez indeksu j)

53 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... a Rs. 3.. Dskrezacja wranego fragmenu podłogi: a) podział na elemen skończone ) aproksmacja żł kala i jej ooczenia. zasosowano program NISA II/Hea Transfer [6]. Sposó podziału układu na elemen skończone (rs. 3.) oraz meodę dskrezacji zagadnienia (3.4) (3.5) podano w rozdziale.3.. W jej wniku orzmano układ równań algeraicznch [ ]{} ν { G} λ. (3.9) Poszukiwan wekor {ν} wznaczono meodą Newona-Raphsona [6] co kończ procedurę. Należ przpomnieć że w niniejszm paragrafie przjęo odmienne niż w.3. lokalizację kala. Jes o wraźnie widoczne prz porównaniu rs..3 i rs Przkład oliczeniowe. Zależność odwrona względem (3.9) oraz szeregi (3.8a e) są rozwiązaniami adanego prolemu orzmanmi odmiennmi meodami. Wraz z wnikami 53

54 54 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... rozdziału umożliwiają one wznaczenie rozkładu emperaur w dowolnej ojęości połogi ogrzewanej kalem z zagięciami. Do prezenacji wników wrano fragmen układu kór nie zawiera przewodów skrajnch (zn. długich odcinków najliższch prosm 0 a parz rs..4). Fragmen en pokazano na rs. 3.. Za wjąkiem górnej powierzchni jes on ograniczon płaszczznami adiaacznmi. Wnika o z smerii położenia wewnęrznch odcinków kala i z warunków rzegowch (3.5). Należ zauważć że w przeciwieńswie do rozdziału.4. wran segmen nie jes powarzaln (przeciwnie niż w.4.). a* k 0 Zesaw danch (.7) zmodfikowano nasępująco: q4.83 W/m z 0.5m z.5m a*0.m k 0.06m k 0.05m g W/m 3. (3.0) W celu salicowania rozwiązania analicznego w programie Ecel [3] sumowano nasępujące komponen pola: A. składową generowaną zagięciami kala oliczoną według wzorów (3.3) (3.8a e) i przedsawioną na rs. 3.3a i 3.4a B. składową generowaną długim odcinkiem kala oliczoną według zależności (.) (.3) i przedsawioną na rs. 3.5a i 3.6a C. emperaurę ooczenia T 0 mierzoną daleko od powierzchni podłogi (T C). Superponując pozcje A B C orzmano wpadkow rozkład pola w układzie z zagięciami kala (np. rs. 3.7ars. 3.3a+rs. 3.5a+T 0 ). Oczwiście rozkład A i B muszą ć dodawane w ch samch punkach przesrzeni. Z ej przczn w każdm eapie superpozcji należało odpowiednio uwzględnić dewiacje współrzędnch (koniec rozdziału 3..3.) wokół wszskich płaszczzn osoliwch (zn. k zz zz ). Fak en urudnił przgoowanie programów oliczającch poszczególne składowe pola. X z z Rs. 3.. Fragmen podłogi wran do prezenacji wników smulacji (przekrój na wsokości kala). l Z

55 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q4.83 W/m 0- a Przros emperaur [ C] ±0.03 X[m] ± ± Z [m] T 0 0 C q4.83 W/m Przros emperaur [ C] ±0.03 X[m] ± ± Z [m] Rs Składowa pola emperaur generowana zagięciami kala na jego wsokości (0.05 m) we fragmencie podłogi (T 0 0 C q4.83 W/m): a) smulacja analiczna ) smulacja numerczna. 55

56 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q4.83 W/m T śr 0.47 C Przros emperaur [ C] ± Z [m] ±0.005 a ±0.005 X[m] T 0 0 C q4.83 W/m T śr C ±0.005 X[m] Rs Składowa pola emperaur generowana zagięciami kala na powierzchni podłogi (0.06 m) we fragmencie grzejnika (T 0 0 C q4.83 W/m): a) smulacja analiczna ) smulacja numerczna. 56 Przros emperaur [ C] ± ± Z [m]

57 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q4.83 W/m Przros emperaur [ C] ± ± Z [m] a ±0.03 X [m] T 0 0 C q4.83 W/m Przros emperaur [ C] ±0.03 X [m] 5 ±0.03 Rs Składowa pola emperaur generowana długim odcinkiem kala na jego wsokości (0.05 m) we fragmencie podłogi (T 0 0 C q4.83 W/m): a) smulacja analiczna ) smulacja numerczna ± Z [m]

58 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q4.83 W/m T śr 7.70 C Przros emperaur [ C] ± ± Z [m] a ±0.005 X [m] T 0 0 C q4.83 W/m T śr 7.70 C Rs Składowa pola emperaur generowana długim odcinkiem kala na powierzchni podłogi (0.06 m) we fragmencie grzejnika (T 0 0 C q4.83 W/m): a) smulacja analiczna ) smulacja numerczna. 58 Przros emperaur [ C] ±0.005 X [m] ± ± Z [m]

59 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q4.83 W/m Temperaura [ C] ± ± Z [m] a ±0.03 X [m] T 0 0 C q4.83 W/m Temperaura [ C] ± ± Z [m] ±0.03 X [m] Rs Wpadkowe pole emperaur na wsokości kala grzewczego (0.05 m) we fragmencie podłogi (T 0 0 C q4.83 W/m): a) smulacja analiczna ) smulacja numerczna. 59

60 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q4.83 W/m T śr 8.7 C Temperaura [ C] ± ± Z [m] a ±0.005 X [m] T 0 0 C q4.83 W/m T śr 8.6 C Temperaura [ C] ± ± Z [m] ±0.005 X [m] Rs Wpadkowe pole emperaur na powierzchni podłogi (0.06 m) we fragmencie grzejnika (T 0 0 C; q4.83 W/m): a) smulacja analiczna ) smulacja numerczna. 60

61 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola m 0.05 m Przros emperaur [ C] model analiczn model numerczn a ±0.03 Z [m] Przros emperaur [ C] Przros emperaur [ C] c m 0.05 m model analiczn model numerczn ±0.03 Z [m] m 0.05 m model analiczn model numerczn ±0.03 Z [m] Rs Porównanie analicznch i numercznch oliczeń składowej pola generowanej zagięciami kala na jego wsokości (0.05 m) we fragmencie podłogi (T 0 0 C q4.83 W/m ooczenie zagięcia z 0.5 m): a) 0.0 m ) m c) 0. m. 6

62 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola m 0.06 m Przros emperaur [ C] model analiczn model numerczn a ±0.005 Z [m] m 0.06 Przros emperaur [ C] model analiczn model numerczn ±0.005 Z [m] 4 0. m 0.06 m Przros emperaur [ C] 3 model analiczn model numerczn c ±0.005 Z [m] Rs Porównanie analicznch i numercznch oliczeń składowej pola generowanej zagięciami kala na powierzchni podłogi (0.06 m) we fragmencie grzejnika (T 0 0 C q4.83 W/m ooczenie zagięcia z 0.5 m): a) 0.0 m ) m c) 0. m. 6

63 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... T 0 0 C q5 W/m T śr 8.3 C Przros emperaur [ C] ±0.005 X [m] ± Z [m] ± Rs. 3.. Pole emperaur generowane na powierzchni podłogi (0.06 m) długim odcinkiem kala o zwiększonej liniowej gęsości moc (q5 W/m T 0 0 C). 63

64 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola m 0.06 m Temperaura [ C] d 5 z 4 0 a ±0.005 ±0.005 Z [m] m 0.06 m Temperaura [ C] d 5 z 4 Temperaura [ C] c ±0.005 ±0.005 Z [m] 0. m 0.06 m d 5 z ±0.005 ±0.005 Z [m] Rs. 3.. Porównanie analicznch rozkładów pola modelu z zagięciami (z4 q4.83 W/m) i ez zagięć (d5 q5 W/m) na powierzchni podłogi (0.06 m) we fragmencie grzejnika (T 0 0 C): a) m ) 0.09 m c) 0. m. 64

65 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... Zasadniczm celem rozdziału 3. ło wznaczenie składowej pola generowanej zagięciami kala (rs. 3.3a i 3.4a). Z ego powodu wspomnianą składową oliczono również numercznie (rozdział 3..3.). Wniki przedsawiono na rs. 3.3 i 3.4. Jak widać na rs. 3.3 i 3.4 wpłw zagięć kala na pole ermiczne ogranicza się do niewielkiego ooczenia źródeł ciepła. Wpłw en jes smerczn na środkowej płaszczźnie adanego fragmenu k i niesmerczn dla cons. k (względem powierzchni z.5 m). Asmeria a ojawia się najsilniej na zewnęrznch płaszczznach ograniczającch fragmen (0 a*). Powższe wnika z cieplnch warunków analizowanego segmenu (rs. 3.). Porównanie wników smulacji analicznej i numercznej przedsawiono na rs. 3.9 i 3.0. W s p i e r a j ą one ezę n r 5 ( s r. ). Dosrzegalne różnice wsępują owiem lko w ezpośrednim ooczeniu zagięć kala zz j (rs. 3.9 c). Wnika o z odmiennch modeli żł kala przjęch w oliczeniach (rozdział ). W oszarze ezźródłowm wspomniane różnice prawie zanikają (rs. 3.9a i 3.0). Średnie emperaur rozkładów z rs. 3.4a (T śr 0.47 C) i rs. 3.4 (T śr C) są niemal akie same na powierzchni analizowanego fragmenu. O liczie uwzględnianch wrazów szeregów (3.8a e) oraz o ilości elemenów skończonch i węzłów w wranm fragmencie podłogi informuje aela 3.. Taela 3.. Wrane informacje o rozwiązaniu analicznm i numercznm. Informacja Minimalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (3.8) (3.8e) Maksmalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (3.8) (3.8e) 3 Minimalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (3.8c) (3.8e) 50 Maksmalna licza uwzględnionch wrazów szeregu (3.8c) (3.8e) 3640 Ilość elemenów skończonch 884 Ilość węzłów Uwagi końcowe Z rs. 3.7a wnika że maksmalna emperaura układu z zagięciami nie przekracza 40 C. Dodakowe odcinki kala nie spowodują więc jego przegrzania (dopuszcza się 60 C). 65

66 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego modelu sacjonarnej składowej pola... Użkowe właściwości grzejnika najlepiej charakerzuje rozkład emperaur na jego płaszczźnie rooczej (0.06 m). Z ej przczn pełna analiza prolemu wmaga jeszcze porównania pola ermicznego na powierzchni podłogi w segmencie z zagięciami (rs. 3.) i ez nich. Wspomniane porównanie ma sens prz jednakowej moc ou układów. Z ego powodu zwiększono liniową gęsość moc długiego odcinka kala ez zagięć z 4.83 W/m do 5 W/m. Generowane akim źródłem pole prezenuje rs..6a. Ten sam rozkład przedsawiono na rs. 3. w konwencji przjęej w niniejszm rozdziale. Porównując ze soą rs. 3.8a i rs. 3. można zauważć niewielkie różnice międz nimi. Jak widać na płaszczznach zcons rozkład emperaur są niesmerczne na rs. 3.8a i smerczne na rs. 3. (względem płaszczzn 0.06 m). Na rs. 3. przedsawiono porównanie wników smulacji analicznch w modelu z zagięciami (z4) i ez zagięć (d5) (dla cons). Jak widać maksmalna emperaura układu z zagięciami (rs. 3.a) jes o 0.6 C niższa od eksremum rozkładu w modelu ez zagięć. Jednocześnie oserwuje się cieplejsze orzeża wranego fragmenu. Zaem zagięcia powodują pewien wzros równomierności pola. Pomimo ch dronch różnic podsawow paramer układu (zn. średnia emperaura powierzchni podłogi) jes prakcznie aki sam w ou przpadkach (T śr 8.7 C na rs. 3.8a T śr 8.3 C na rs. 3.). Z przedsawionch adań smulacjnch wnika więc że prz sałej moc grzejnika pominięcie zagięć kala jes dopuszczalne i w pełni uzasadnione pracochłonnością dodakowch analiz. W n i o s e k e n p o w i e r d z a e z ę n r 3 ( s r. ). Wspomniana eza ma prakczne znacznie pozwala isonie uprościć proces projekowania elekrcznego grzejnika podłogowego. 66

67 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Smulacja wpłwu cieplnch i maeriałowch nieliniowości na rozkład sacjonarnej składowej pola emperaur w grzejniku podłogowm 3... Wsęp Analizę układu w sanie usalonm przeprowadzono prz założeniach upraszczającch dokładnie opisanch w rozdziale.. Międz innmi przjęo am sałą warość cieplnej przewodności eonu λ i współcznnika przejmowania ciepła α. W dokładniejszm przliżeniu wielkości e nieliniowo zmieniają się z emperaurą według zależności [7] 3 6 ( T ) T ( z) T ( z) λ (3.) α 0.3 ( T ).9[ T ( z) T0 ] + T ( z) εc 0 T 4 ( z) T T 0 4. (3.) Związki (3.) i (3.) powodują że paramer λ i α zależą od wznaczonego pola. Celem niniejszego rozdziału jes więc sprawdzenie cz ło dopuszczalne zasąpienie zależności (3.) (3.) sałmi warościami λ i α w rozdziale. Wspomniane sprawdzenie ędzie polegać na wznaczeniu różnic międz rozwiązaniem nieliniowego i liniowego zagadnienia rzegowego. W sanie usalonm nieliniowe równanie przewodnicwa cieplnego (.) przjmuje nasępującą posać [0] [33] [34] [ ( T ) grad T ( z) ] g( z) div λ. (3.3) 67

68 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... W celu jednoznacznego rozwiązania równania (3.3) sformułowano warunki rzegowe. Po uwzględnieniu (.6) (3.) i (3.) przjmują one nasępującą posać T T T ( z) T ( z) ( z) 0 0 a 0 0 ( z) T ( z) z 0 z z 0 z l ( z) 0 (3.4a ) (3.4c) 0 (3.4d e) T λ ( T ) α( T )[ T ( z) T0 ]. (3.4f) Zależności (3.3) i (3.4) worzą nieliniowe zagadnienie rzegowe Algorm rozwiązania Zagadnienie rzegowe (3.3) (3.4) rozwiązano meodą elemenów skończonch [] [3] prz pomoc profesjonalnego programu NISA II/Hea Transfer kór do dskrezacji (3.3) (3.4) wkorzsuje procedurę Galerkina [3] [3]. W jej wniku uzskuje się nasępując układ nieliniowch równań algeraicznch względem emperaur w węzłach [ ( T )]{} T { G} λ. (3.5) Należ podkreślić że [λ(t)] zawiera składowe pochodzące od nieliniowego konwekcjnego warunku rzegowego (3.4f). Program do rozwiązania układu (3.5) wkorzsuje meodę Newona-Raphsona [60]. Oliczenia wkonano dla segmenu powarzalnego z siaką elemenów skończonch wkorzsaną w modelu liniowm (rozdział.3. rs.3). Zesaw danch (.7) zmieniono i uzupełniono nasępująco: 68

69 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... K5 C o 5.67 W/(m K 4 ) ε 0.95 [7] [49] (3.6) λ(t) i α(t) określają odpowiednio zależności (3.) i (3.). W przpadku modelu nieliniowego założoną zieżność (0-7 ) uzskano w dziesiąej ieracji. Czas oliczeń pola w segmencie wnosił ok. 3 minu i ł dwukronie dłuższ niż w przpadku liniowm. Orzmane wniki przedsawiono na rs Ilusrują one rozkład emperaur w przpadku nieliniowm na dwóch najważniejszch płaszczznach (wsokości kala i powierzchni grzejnika). Ze względu na smerię pola ograniczono się do czwarej części segmenu powarzalnego Różnica rozwiązania nieliniowego i liniowego W celu zadania zmian wnoszonch przez nieliniowości należ porównać orzmane wniki z rezulaami oliczeń modelu liniowego (paragraf.4. rs..4 i.6). Prz ezpośredniej oserwacji rsunków 3.3a oraz.4.6 różnice międz nimi są mało widoczne. Z ego powodu na rs. 3.4 przedsawiono dla wranch płaszczzn rozkład różnic emperaur w modelu nieliniowm i liniowm. Jak można zauważć waha się ona w zakresie od -0.6 C do 0.5 C i jes większa na płaszczźnie kala. Wpłw nieliniowości ojawia się więc najsilniej w ezpośrednim ooczeniu kala i w krawędziowej srefie układu (j. dla z (.5.5> m). Na rs. 3.5 przedsawiono również względną różnicę emperaur wznaczoną zgodnie z zależnością ( z) TL ( z) T ( z) TN δ T 00%. (3.7) N Jak widać maksmalna różnica względna jes niewielka i nieznacznie przekracza %. 69

70 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola a Temperaura [ C] X [m] Z [m] T śr 89 C Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs Rozkład emperaur w smulacji numercznej w segmencie powarzalnm: a) na wsokości kala grzewczego (0.05 m) ) na powierzchni podłogi (0.06 m). 70

71 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Różnica emperaur [ C] Z [m] a X [m] Różnica emperaur [ C] Z [m] X [m] Rs Rozkład różnic emperaur pomiędz modelem nieliniowm i liniowm w smulacji numercznej w segmencie powarzalnm: a) na wsokości kala grzewczego (0.05 m) ) na powierzchni podłogi (0.06 m). 7

72 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... 5 Względna różnica emperaur [%] Z [m] a X [m] Względna różnica emperaur [%] Z [m] X [m] Rs Rozkład względnej różnic emperaur pomiędz modelem nieliniowm i liniowm w smulacji numercznej w segmencie powarzalnm: a) na wsokości kala grzewczego (0.05 m) ) na powierzchni podłogi (0.06 m). 7

73 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Wnioski Przczną różnic powsałch w srefie krawędziowej jes fak iż emperaura w ej części układu wnosi 0-5 C (rs. 3.3). Współcznnik przejmowania ciepła (3.) jes więc mniejsz (α(t5 C)0.38 W/(K m )) na orzeżach układu nieliniowego niż liniowego (gdzie przjęo α W/(K m )). Powoduje o słasze oddawanie ciepła i m samm wższą emperaurę krawędziowego oszaru układu nieliniowego. Naomias w ezpośrednim ooczeniu kala emperaura układu jes najwższa. Warość przewodności cieplnej λ (3.) jes więc am największa co powoduje lepsz przepłw ciepła. W ślad za m emperaura ooczenia kala jes niższa w układzie nieliniowm (λ.08 W/(m K)) niż liniowm (λ W/(m K)) o około 0.6 C. Rsunki 3.4 mają więc dorą inerpreację fizczną. Najważniejszm paramerem układu jes średnia emperaura powierzchni podłogi odnoowana na rs. 3.3 (model nieliniow) i rs..6 (model liniow). Różnica ch warości wnosi zaledwie 0.07 C. Warość maksmalnej różnic względnej nieznacznie przekracza % (rs. 3.5). Należ zaem przjąć wniosek że założenie modelu liniowego nie wpłwa w ison sposó na wznaczon rozkład emperaur. Sformułowan wniosek jes słuszn pod warunkiem właściwego dooru cieplnej przewodności i współcznnika przejmowania ciepła w modelu liniowm. Udowadnia o ezę nr 4 (sr. ) w odniesieniu do sanu usalonego. Możliwość założenia sałch warości α i λ wnika z niewielkiej różnic międz skrajnmi emperaurami grzejnika (zn. na powierzchni kala i na orzeżach powierzchni podłogi ok. 0 C). W przpadku układów nie spełniającch ego warunku [49] należ oczekiwać znacznie większego wpłwu nieliniowości. 73

74 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Oszacowanie wpłwu sraności izolacji cieplnej na sacjonarną składową pola emperaur w grzejniku podłogowm Wsęp W rozdziale przeprowadzono analizę układu prz założeniu że podłoga nie wmienia ciepła na ermicznie izolowanch ścianach. W rzeczwisości wsępują jednak niewielkie sra ciepła. Prz prawidłowo ułożonej izolacji są one rzędu kilku procen całkowiej moc urządzenia [6] [7] [53]. W związku z powższm celem niniejszego paragrafu jes oszacowanie wpłwu dskuowanch sra na średnią warość sacjonarnego rozkładu emperaur w najważniejszch płaszczznach układu. Górna powierzchnia grzejnika podłogowego jes płaszczzną rooczą. W przeprowadzonej smulacji sra ciepła rozłożono równomiernie na pięciu pozosałch (zn. izolowanch) ścianach. Założenie o jes również pewnm przliżeniem. Modeluje jednak ono lepiej przeieg zjawiska niż posula adiaaczności izolacji Zagadnienie graniczne i jego rozwiązanie W dochczasowch analizach oszar oliczeń zawężano do zw. segmenu powarzalnego. Na akie posępowanie pozwalała smeria układu (m. in. ułożenie kala). W oecnie adanm przpadku lokalne eksrema emperaur przesunięe są przez srumień sra i oliczenia należ przeprowadzić dla większego fragmenu urządzenia. Na rs..4 można zauważć dwie płaszczzn smerii warunków cieplnch (dla a i zl/). W ch miejscach wsępują więc maksima rozkładu emperaur. Z warunku koniecznego isnienia eksremum oraz z prawa Fouriera wnika że wmienione płaszczzn są adiaaczne. W związku z powższm analizę grzejnika można ograniczć lko do ćwiarki urządzenia. W m celu wrano oszar { a a 0 z l / l }. 74

75 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... Rozkład emperaur T(z) opisan jes równaniem przewodnicwa cieplnego (.) kóre w sanie sacjonarnm przjmuje nasępującą posać [0] [] [34] T ( z) T ( z) T ( z) + + g( z). (3.8) z λ Górna powierzchnia podłogi emiuje energię zgodnie z prawem Newona. Pozosałe warunki rzegowe są drugiego rodzaju [33]. W rezulacie korzsając z (.) i uwag przedsawionch powżej równanie (3.8) można uzupełnić nasępująco: T T T T ( z) T ( z) Q0 0 λ a a ( z) Q 0 λ 0 ( z) T( z) z 0 0 ( z) l z α λ z z l Q λ [ T ( z) T ] 0 (3.9a ) (3.9c) (3.9d e). (3.9f) Hipoeczn srumień Q 0 wznaczono prz założeniu siedmioprocenowch sra ciepła P Q (3.0) S Do rozwiązania zagadnienia rzegowego (3.8) (3.9) użo programu NISA II/Hea Transfer [6] oparego na meodzie elemenów skończonch. Fragmen siaki modelu opisano i przedsawiono w rozdziale.3. rs..3. W celu zdskrezowania czwarej części oszaru urządzenia należ wielokronie powórzć wspomnian fragmen siaki. Nasępnie na odpowiednich ścianach grzejnika zadano warunki 75

76 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... rzegowe (3.9). Procedura algeraizacji zagadnienia rzegowego (3.8) (3.9) oraz jego rozwiązanie są analogiczne do przedsawionch w rozdziale Przkład oliczeniow i wniki smulacji Przjęo zesaw danch (.5) (.7) dla K5. Z powższch paramerów wnika że cznna moc grzejnika wnosi P(-u)lq k K750 W. Zaem zgodnie ze wzorem (3.0) srumień ciepln przenikając przez izolację ma warość Q W/m. Czwarą część podłogi podzielono na elemenów o 443 węzłach. Oliczenia rwał ok. minu. Wniki smulacji przedsawiono na rs. 3.6 i 3.7. Rs. 3.6 ilusruje rozkład emperaur w analizowanm fragmencie układu ze sraną izolacją. Rozparzono pole na wsokości kala grzewczego i na powierzchni podłogi (T śr 7.68 C). Są o poziom kóre najardziej ineresują użkownika z uwagi na maksmalną emperaurę układu (nieezpieczeńswo przegrzania) i na emperaurę powierzchni rooczej grzejnika (komfor ciepln). Pole na powierzchni podłogi (rs. 3.6) jes znacznie ardziej równomierne niż na wsokości kala (rs. 3.6a). Wnika o z łumiącego działania warsw eonu (zn. z akumulacji ciepła w płcie o gruości - k m oraz w mniejszm sopniu z warunków wmian ciepła na powierzchni podłogi). Wniki dla układu z idealną izolacją orzmano meodami podanmi w rozdziałach Na rs. 3.7 przedsawiono różnicę emperaur układu sranego i idealnego. Jes ona największa w narożnikach gdzie ma miejsce najinenswniejsza ucieczka ciepła (przez rz ścian). Dskuowana różnica zmniejsza się w cenralnej części grzejnika i osiąga minimum na powierzchniach adiaacznch w najcieplejszm oszarze podłogi. Średnia różnica emperaur jes ardzo mała i wnosi 0.89 C na wsokości kala i 0.58 C na powierzchni układu. Przeprowadzone oszacowanie wkazało więc że siedmioprocenowa sraa moc nieznacznie wpłwa na zasadnicz paramer układu (zn. na średnią emperaurę ważnch powierzchni). Dowodzi o słuszności założenia przjęego w rozdziale.. 76

77 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Temperaura [ C] Z [m] a X [m] T śr 768 C 3 Temperaura [ C] Z [m] X [m] Rs Rozkład emperaur w układzie ze sraną izolacją: a) na wsokości kala ( k 0.05 m) ) na powierzchni podłogi (0.06 m). 77

78 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... Temperaura [ C] T śr -089 C Z [m] a X [m] Temperaura [ C] T śr -058 C Z [m] X [m] Rs Rozkład różnic emperaur układu ze sraną izolacją i idealnego: a) na wsokości kala ( k 0.05 m) ) na powierzchni podłogi (0.06 m). 78

79 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Doświadczalna werfikacja smulacji sacjonarnej składowej pola emperaur w grzejniku Wsęp Dochczas w rozprawie analizowano składową usaloną pola emperaur w elekrcznm układzie ezpośredniego ogrzewania podłogowego. W oliczeniach zasosowano zarówno meodę analiczną (funkcji własnch) jak i numerczną (elemenów skończonch). Orzmano zgodne wniki (np. rozdział 3.). Celem niniejszego rozdziału jes doświadczalne sprawdzenie dochczas orzmanch rezulaów oliczeniowch. Należ jednak zdecdowanie podkreślić że zamierzeniem auora nie ła konrola dokładności meod sosowanch w prac. Chodziło raczej o eliminację ewenualnch gruch łędów przpadkowch i o werfikację kierunków zmian pola emperaur. Ponieważ różnice warości zmierzonch i oliczonch mogą wnikać z ardzo wielu przczn z gór akcepowano jednie szacunkową zgodność wników smulacji i ekspermenu Sanowisko adawcze Realizując przedsawion (we wsępie) cel zudowano nieco zmniejszon i uproszczon model grzejnika podłogowego. Rozpoczęo od przgoowania jego form o wmiarach m. Formę wkonano ze sropianu gruości 0. m (rs. 3.8). Nasępnie wlano pierwszą warswę podłogi gruości 0.0 m co zapewniło założon poziom położenia osi kala 0.05 m. Do wkonania układu wkorzsano zaprawę samopoziomującą Sam 00 firm Alas (odnosi się o również do drugiej warsw podłogi). Według przedsawiciela firm Alas przewodność cieplna (λ) zapraw wnosi ok..5 W/(m K). W dalszej kolejności ułożono siakę i przmocowano do niej przewód grzewcz firm Elekra (rs. 3.9). Z uwagi na eoreczn model źródła ciepła (rozdział 3..) kalowi nadano kszał 79

80 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... zliżon do pokazanego na rs..4. Długie odcinki przewodu ułożono na odcięch k a(k-0.5)/k gdzie K5 a.8 m. Do siaki przwierdzono również ermoelemen (rs. 3.0). W końcowm eapie wkonano drugą warswę podłogi gruości 0.05 m (całkowia wsokość grzejnika wnosi więc 0.06 m rs. 3.). Po czerech godniach podłoga uzskała odpowiednie właściwości mechaniczne. Nasępnie włączono zasilanie w celu wgrzania urządzenia. Do regulacji moc grzejnika użo auoransformaora zaś zasilanie układu nasąpiło poprzez sailizaor napięcia. Po dwóch miesiącach od zudowania sanowiska przsąpiono do pomiarów sacjonarnego rozkładu emperaur. Wór punków pomiarowch wnikał z wcześniejszch rozdziałów niniejszej rozpraw. Prz smercznm położeniu kala rezula zawsze przedsawiano w zw. segmencie grzejnika i na dwóch płaszczznach szczególnego znaczenia: na wsokości kala oporowego i na powierzchni podłogi. Z ego powodu wniki ekspermenu ędą również prezenowane w ej konfiguracji. W m celu wrano środkow segmen podłogi przedsawion na rs. 3.. Kropki wskazują położenie czujników do pomiaru emperaur. Ponieważ pole jes ansmerczne (rozdział 3..4) wsarcz umieścić czujniki lko po jednej sronie kala oporowego. Rozkład emperaur w pozosałm oszarze adanego fragmenu uzskuje się odpowiednio przesawiając współrzędne punków pomiarowch. Na wsokości kala grzewczego pomiaru dokonano za pomocą ermoelemenów (NiCr-Ni). Mierzą one emperaurę w wżej określonch punkach. Podłączono je do przeworników APTu kóre zamieniają sgnał pomiarow na użeczn sgnał prądow o zakresie 4-0 ma. Przekazwan on jes nasępnie do ssemu pomiarowo-akwizcjnego DAQ BOOK 00 z karami pomiarowmi DBK 5. Z kolei do pomiarów emperaur na powierzchni podłogi użo piromeru MI firm Raek (z możliwością usawienia współcznnika emisjności ε). Jes o piromer radiacjn. Przrząd mierz zaem całkowie promieniowanie emperaurowe. Pomiar odwa się w sposó ezskow (w odległości ok. 3 mm). Isniejące pole emperaur nie ulega więc zakłóceniu. Sgnałem wjściowm jes prąd w zakresie 0-0 ma. Wniki rejesrowano również 80

81 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... Rs Sropianowa forma podłogi grzewczej. Rs Siaka monażowa z przmocowanm kalem grzewczm. 8

82 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... 8

83 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... a Rs Rozmieszczenie ermoelemenów na wsokości kala grzewczego: a) widok ogóln ) zliżenie. 83

84 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... 84

85 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... Rs. 3.. Sanowisko doświadczalne do adań podłogi grzewczej. a* X k 0 z z Z Rs. 3.. Segmen podłogi z zaznaczonmi punkami pomiarowmi (przekrój na wsokości kala). za pomocą ssemu DAQ BOOK. Temperaurę wszskich wranch punków mierzono jednm piromerem. Czas rwania pełnej serii pomiarów wnosił ok. 300 s. Jednak z uwagi na dużą masę grzejnika (czli dużą ezwładność cieplną układu τ 3g 3503 s rs. 4.6) a niejednoczesność pomiarów nie miała wpłwu na uzskan rozkład pola emperaur. Pomiar powarzano w ciągu kilku dni prz różnej emperaurze ooczenia. Z ej przczn prz opracowaniu wników posłużono się przrosami emperaur względem emperaur ooczenia. Za wnik 85

86 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... 86

87 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... końcow pomiaru przjęo średnią armeczną oliczoną ze wszskich pomiarów w danm punkcie oszaru Uwagi końcowe Wniki orzmane na drodze ekspermenu porównano z rezulaami smulacji numercznej kórą wrano ze względu na liższ rzeczwisości model źródła ciepła (rozdział i 3.). Meodę numerczną opisano dokładnie w rozdziale W oliczeniach wkorzsano zesaw danch (.7) i (3.0) gdzie zmieniono warość przewodności cieplnej przjmując λ.5 W/(m K). Rs. 3.3 i 3.4 przedsawiają rozkład emperaur w wranch przekrojach (zcons) odpowiednio na wsokości kala grzewczego i powierzchni podłogi. Jak widać przros oliczone są zawsze większe od zmierzonch. W smulacji kompuerowej założono owiem adiaaczność izolacji ermicznej kóra w rzeczwisości nie jes idealna. Podsawową przczną różnic międz wnikami smulacji i pomiarów jes jednak lko przliżona znajomość współcznnika przewodności (λ) i wmian ciepła (α). Daleko mniejsze znaczenie ma fak że w zudowanm układzie krókie i długie odcinki kala nie są do sieie dokładnie prosopadłe (jak na rs..4). Na rs. 3.3 i 3.4 oserwuje się jednakow kierunek zmian czarnch i czerwonch linii. W środkowm fragmencie podłogi (z < m>) zwiększa się przros emperaur prz zliżaniu się do osi kala wzdłuż osi X. Jes o również widoczne prz przemieszczaniu się wzdłuż osi Z w kierunku środka układu. W płaszczźnie zagięcia przewodu (z0.5 m rs. 3.4a) emperaura narasa prz zliżaniu się do krawędzi segmenu. W en sposó ojawia się wpłw lokalnej składowej pola generowanej zagięciem kala (rozdział 3.). Z kolei rs. 3.3a nie odzwierciedla wraźnie wżej opisanego zjawiska. Na wsokości kala ma owiem miejsce silna dominacja pola wworzonego długim odcinkiem kala nad rozkładem pochodzącm od zagięcia. Porównując parami rs. ( ) (3.3c 3.4c) (3.3d 3.4d) swierdzono spadek emperaur i większą 87

88 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... 4 Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen a X [m] k 0.05 m z0.5 m 6 4 Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen X [m] k 0.05 m z0.75 m Rs Przros emperaur na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m) w wranch przekrojach: a) z0.5 m ) z0.75 m. 88

89 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen c X [m] k 0.05 m z.5 m 6 4 Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen d X [m] k 0.05 m z.75 m Rs Przros emperaur na wsokości kala grzewczego ( k 0.05 m) w wranch przekrojach: c) z.5 m d) z.75 m. 89

90 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen a X [m] 0.06 m z0.5 m 0 Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen X [m] 0.06 m z0.75 m Rs Przros emperaur na powierzchni podłogi (0.06 m) w wranch przekrojach: a) z0.5 m ) z0.75 m. 90

91 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... 0 Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen c X [m] 0.06 m z.5 m 0 Przros emperaur [ C] model numerczn ekspermen d X [m] 0.06 m z.75 m Rs Przros emperaur na powierzchni podłogi (0.06 m) w wranch przekrojach: c) z.5 m d) z.75 m. 9

92 Teoreczna i doświadczalna werfikacja rójwmiarowego rozkładu sacjonarnej składowej pola... równomierność pola na powierzchni podłogi. Jes o rezulaem emisji ciepła przez płaszczznę rooczą oraz jego akumulacji w płcie układu. Wniki smulacji i pomiarów mają więc wspólną inerpreację fizczną. Z rs. 3.3 i 3.4 wnika również że w ou przpadkach orzmane warości przrosów emperaur są ego samego rzędu. Można zaem uznać że ekspermen powierdził rezula kompuerowch oliczeń. Udowadnia o częściowo ezę n r 5 ( s r. ). Kosz i pracochłonność doświadczenia przemawiają jednak wraźnie za numerczną smulacją. Auor składa podziękowanie firmie Elekra S.A. w Warszawie za nieodpłane przekazanie kala grzewczego wkorzsanego w układzie doświadczalnm. 9

93 4. ANALITYCZNE I NUMERYCZNE MODELOWANIE NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY W DWU- I TRÓJWYMIAROWYM UKŁADZIE ELEKTRYCZNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO 4.. Wsęp W rozdziale wznaczono sacjonarną składową pola emperaur w grzejniku podłogowm pu ezpośredniego. Umożliwia o rozwiązanie zagadnień wmienionch w paragrafie.. Wśród nich szczególnie ważne miejsce zajmuje modelowanie maksmalnch ociążeń ermicznch. W normalnch sanach rooczch układu zasilanie jes jednak na przemian włączone i włączone. Wdajność przesrzennch źródeł ciepła zmienia się zaem w czasie. Z ego powodu celem niniejszego rozdziału jes modelowanie dnamicznch właściwości grzejnika oraz nieusalonch (zn. przesrzenno-czasowch) rozkładów pola ermicznego. Z uwagi na przczn przedsawione w rozdziale.4 zdecdowano się na równoległą analizę dwu- i rójwmiarowej dnamiki pola. Fragmen doczące włącznie układów dwuwmiarowch (rs..5) ędą poprzedzone lierą A zaś rójwmiarowch (rs..4) lierą B. Części nie oznaczone powższmi lierami są wspólne dla odwu przpadków. W dalszch rozważaniach przjęo e same założenia upraszczające co w rozdziale. Zdaniem auora nie zachodzi porzea konroli ich poprawności. Temperaur w sanie nieusalonm są owiem mniejsze od emperaur w sanie sacjonarnm (sr. 47 ezpośrednio przed rozdziałem 3.). Z pewnmi wjąkami wniki rozdziału 3 pozosają więc akualne. 93

94 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur Odpowiedź układu na wmuszenie skokowe 4... Wprowadzenie Z nasępującch przczn skokowa odpowiedź zajmuje szczególne miejsce [] [58] w analizie dnamiki układów: a) sanowi dogodne połączenie pomiędz adaniami sanów usalonch i przejściowch (np. pomiędz rozdziałem a niniejszm paragrafem) ) umożliwia ezpośrednie (np. rozdział 4.3.5) lu pośrednie (np. za pomocą wierdzenia Duhamela [3]) wznaczenie odpowiedzi na dowolne wmuszenie c) jes podsawą określenia uśrednionej sałej czasowej [46] [47] oieków o paramerach rozłożonch i ich ransmiancji. W analizowanm przpadku charakerską skokową jes ermiczna odpowiedź A. H() B. H(z) układu na włączenie zasilania w zerowej chwili czasu (0). Dla >0 nasąpi proces dfuzji ciepła. Po uwzględnieniu założeń upraszczającch (rozdział ) i zależności A. (.3) (.4) B. (.) (.) zagadnienie graniczne można sformułować nasępująco A. H ( ) H ( ) H ( ) + χ ( ) H ( ) H ( ) H 0 0 a 0 0 g λ ( ) (4.a) 0 (4. c) (4.d) 94

95 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur ( ) ( ) [ ] 0 T H H λ α (4.e) ( ) 0 0 T H (4.f) dla 0 a 0 B. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z g z H z z H z H z H λ χ + + (4.a) ( ) ( ) a z H z H (4. c) ( ) 0 0 z H (4.d) ( ) ( ) l z z z z H z z H (4.e f) ( ) ( ) [ ] 0 T z H z H λ α (4.g) ( ) 0 0 T z H (4.h) dla 0 a 0 0 z l. W m rozdziale wznaczono charakerskę skokową za pomocą rzech meod: a) superpozcji sanów ) uśrednionej sałej czasowej c) elemenów skończonch. Po przedsawieniu kolejnch rozwiązań w rozdziale 4..5 zosaną podane przkład oliczeniowe.

96 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur Rozwiązanie analiczne meoda superpozcji sanów W meodzie superpozcji sanów [9] [33] rozwiązanie zagadnienia granicznego A. (4.) B. (4.) przewiduje się w posaci A. H ( ) H ( ) + H ( ). (4.3) u p B. H ( z ) H ( z) + H ( z ) (4.4) u p Wsępujące w powższch wzorach składowe usalone zosał określone na podsawie rozdziału. A. Z uwagi płasko-równoległą konfigurację pola w (.0) należ usunąć szereg związan z rzecim wmiarem (zn. ze współrzędną z i z indeksem i ). W połączeniu z (.3) prowadzi o do poszukiwanego wrażenia H u K 0 mn k m 0 n ( k ( ) T + ) ( ) ν (4.5) gdzie: k k cos mπ cos γ n cos mπ cos γ n ( k ) qk ( ) a a ν mn (4.6) aλ sin ( ) ( γ ) m n π γ n δ m + γ n a gdzie γ n określono wzorami (.8a ). B. W przpadku rójwmiarowm składowa usalona wnika ezpośrednio z (.3) i (.0) 96

97 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur ( ) ( ) ( ) + K k m n i k mni u z T z H ν (4.7a) gdzie: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ). cos cos cos sin sin cos cos l i a m l z i a m i u i a m a q z n n n n i m k n k i k k mni π γ π π γ π γ γ δ δ π γ π πλ ν (4.7) Z wzorów (4.5) i (4.7) wnika że w niniejszm rozdziale wsarcz wznaczć lko składowe przejściowe. A. Korzsając z (4.) (4.3) (4.5) sformułowano zagadnienie graniczne względem H p () ( ) ( ) ( ) 0 + H H H p p p χ (4.8a) dla 0 a 0 >0 ( ) ( ) a p p H H (4.8 c) ( ) 0 0 p H (4.8d) ( ) ( ) H H p p λ α (4.8e)

98 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur ( ) ( ) ( ) K k m n k mn p H 0 0 ν. (4.8f) B. Korzsając z (4.) (4.4) (4.7) sformułowano zagadnienie graniczne względem H p (z) ( ) ( ) ( ) ( ) z H z z H z H z H p p p p χ (4.9a) dla 0 a 0 0 z l >0 ( ) ( ) a p p z H z H (4.9 c) ( ) 0 0 p z H (4.9d) ( ) ( ) l z p z p z z H z z H (4.9e f) ( ) ( ) z H z H p p λ α (4.9g) ( ) ( ) ( ) K k m n i k mni p z z H ν. (4.9h) A. Zagadnienie graniczne (4.8) rozwiązano meodą rozdzielenia zmiennch [33] [60]. Poszukiwana funkcja ma zaem nasępującą posać ( ) ( ) 0 0 m n mn p H H (4.0a)

99 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur... gdzie H ( ) X ( ) Y ( ) T ( ). (4.0) mn m n mn Po oliczeniu odpowiednich pochodnch cząskowch z (4.0) podsawieniu ich do (4.8a) i rozdzieleniu zmiennch orzmano układ równań różniczkowch względem funkcji własnch X Yn T m ( ) + M m X m ( ) ( ) + N Y ( ) mn n n 0 0 () + χ( M + N ) T () m n mn 0. (4.) Całkami ogólnmi powższch równań są funkcje X Y T n ( ) ( ) m mn A C n ( ) E m cos M + B sin M cos Nn + Dn sin Nn ep[ χ ]. mn m ( M + N ) m m n m (4.) Sinus nie spełniają warunków (4.8 d) co powoduje B m D n 0. Warości własne zagadnienia wznaczono z (4.8c e). Osaecznie po podsawieniu ak doranch funkcji własnch do (4.0a) orzmano H p ( ) m o n F mn cos mπ a cos γ n mπ ep χ a γ n +. (4.3) gdzie γ n określono wzorami (.8a ). Z kolei z warunku począkowego (4.8f) wnika nieznan współcznnik F mn szeregu (4.3). Nasępnie podsawiając (4.5) i (4.3) do (4.3) określono poszukiwaną charakerskę skokową układu dla modelu dwuwmiarowego 99

100 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur ( ) ( ) ( ) + K k m n mn k mn T H 0 0 ep τ ν (4.4a) gdzie + χ γ π τ a m n mn (4.4) ( ) ( ) k mn ν parz (4.6). B. Zgodnie z meodą rozdzielenia zmiennch rozwiązania zagadnienia granicznego (4.9) poszukiwano w nasępującej posaci ( ) ( ) m n i mni p z H z H (4.5a) gdzie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T z Z Y X z H mni i n m mni. (4.5) Posępując analogicznie jak na dwóch sronach poprzednich orzmano układ równań różniczkowch ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () T I N M T z Z I z Z Y N Y X M X mni i n m mni i i i n n n m m m χ (4.6) Z kórego wnikają funkcje własne ( ) ( ) ( ) ( ) ep[ ]. ) ( sin cos sin cos sin cos I N M G T z I F z I E Z N D N C Y M B M A X i n m mni mni i i i i i n n n n n m m m m m χ (4.7)

101 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur... 0 Na podsawie warunków rzegowch (4.9 d e) odrzucono sinus zaś z (4.9c f g) wznaczono warości własne zagadnienia. Po podsawieniu ak wranch funkcji własnch do (4.5a) orzmano ( ). ep cos cos cos l i a m l z i a m K z H n n o m n i mni p π γ π χ π γ π (4.8) gdzie γ n określono wzorami (.8a ). Z kolei z warunku począkowego (4.9h) wnika nieznan współcznnik K mni szeregu (4.8). Nasępnie podsawiając (4.7) i (4.8) do (4.4) określono poszukiwaną charakerskę skokową układu dla modelu rójwmiarowego ( ) ( ) ( ) + K k m n i mni k mni z T z H ep τ ν (4.9a) gdzie + + χ π γ π τ l i a m n mni (4.9) ( ) ( ) z k mni ν parz (4.7). Zgodnie z końcowmi fragmenami paragrafu 4. w powższch modelach analicznch założono liniowe źródła ciepła (W/m) (rozdział..). Z ej przczn źródłowe punk pola są osoliwe we współrzędnch dla A. k k B. k k z < ul(-u)l> gdzie k określa wzór (.5). Prz numercznm opracowaniu zależności (4.4a) i (4.9a) skorzsano z uwag zamieszczone w rozdziale.3. (za wzorem (.d)).

102 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur Przliżone rozwiązanie analiczne krerium uśrednionej sałej czasowej Charakerska (4.4a) jes porójną sumą (nieskończoną względem indeksów m n oraz skończoną względem k) zaś charakerska (4.9a) jes poczwórną sumą (nieskończoną względem indeksów m n i oraz skończoną względem k). Ocena czasu rwania sanu nieusalonego za pomocą (4.4a) w układzie dwuwmiarowm i (4.9a) w układzie rójwmiarowm jes więc ardzo rudna. Taką ocenę umożliwia jednak znane krerium uśrednionej sałej czasowej [46] [47] [48] Przliżone rozwiązanie analiczne krerium uśrednionej sałej czasowej A. ( ) H ( ) Hu ( ) ( 0) H ( ) τ d. (4.0) H 0 u B. ( z) H ( z ) H u ( z) ( z 0) H ( z) τ d. (4.) H 0 u A. Podsawiając (4.f) (4.5) (4.4a) do (4.0) orzmano uśrednioną sałą czasową w punkcie () K k m 0 n ( k ) ( ) ν mn τ mn k m 0 n τ ( ). (4.) K ν ( k ) ( ) mn B. Podsawiając (4.h) (4.7a) (4.9a) do (4.) orzmano uśrednioną sałą czasową w punkcie (z) K k m 0 n i 0 ( k ) ( z) ν mni τ mni k m 0 n i 0 τ ( z). (4.3) K ν ( k ) ( z) mni 0

103 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur... Zależność (4.) i (4.3) są ławe do kompuerowego salicowania (po wkorzsaniu odpowiednio wzorów (4.6) i (4.7) oraz (4.4) i (4.9)). Zasępczą sałą czasową całego układu (zn. gloalną) wznaczono uśredniając sałą lokalną w N punkach τ (4.4) N g r N r A. τ ( ) N 3 g r r N r B. τ ( z ) r τ. (4.5) r Czas rwania ermicznego zaurzenia można więc z pewnm łędem oszacować jako równ 4τ g. A. Wprowadzenie τ() upraszcza eż wzór (4.4a) (wrażenie w nawiasach kwadraowch można wed przesunąć przed smol sum) H ν ( ) K T0 + ep ( ) mn τ k m 0 n ( k ) ( ). (4.6a) Podsawiając w powższej zależności τ g w miejsce τ() ( ) τ g τ (4.6) orzmuje się mniej dokładne przliżenie charakerski (4.4a). B. Wprowadzenie τ(z) upraszcza eż wzór (4.9a) (wrażenie w nawiasach kwadraowch można wed przesunąć przed smol sum) H ν ( z ) K T + ep ( ) 0 mni τ z k m 0 n i 0 ( k ) ( z). (4.7a) Podsawiając w powższej zależności τ 3g w miejsce τ(z) 03

104 Analiczne i numerczne modelowanie nieusalonego pola emperaur... ( z) τ 3g τ (4.7) orzmuje się mniej dokładne przliżenie charakerski (4.9a). Z wzorów (4.6) i (4.7) wnika że w danm punkcie oszaru aproksmowano dnamikę układu elemenem pierwszego rzędu. Meod dokładniejszej aproksmacji podano np. w [5] Rozwiązanie numerczne meoda elemenów skończonch Zagadnienia graniczne (4.) i (4.) rozwiązano akże meodą elemenów skończonch [57] [64] wkorzsując profesjonaln program NISA II/Hea Transfer amerkańskiej firm EMRC [6]. A. Źródła ciepła aproksmowano ośmiokąami foremnmi (rs. 4.) wpisanmi w poprzeczn przekrój żł kala o promieniu r (rs..). Wspomniane ośmioką uworzono z równoramiennch elemenów rójkąnch kórch wierzchołki są ułożone na osi kala. W ch warunkach funkcja wsępująca po prawej sronie (4.a) przierze nasępującą posać g w wewnęrznch ośmiokąach (rs. 4.) ( ) 0 cons g (4.8) 0 w pozosalm oszarze. a Rs. 4.. Fragmen siaki elemenów skończonch: a) dskrezacja segmenu powarzalnego ) dskrezacja ooczenia kala. 04