1 Całki funkcji wymiernych

Transkrypt

1 Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0 (.) Jak sobie poradzić z rozwiązaniem takiej całki? Sprawdzamy czy n m, czyli czy stopień wielomianu w liczniku jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku. Jeżeli tak jest to dzielimy licznik przez mianownik. Następnie przedstawiamy funkcję podcałkową jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, której stopień licznika jest już mniejszy od stopnia mianownika, tzn. n < m. Jeżeli n < m, to sprawdzamy czy licznik nie jest pochodną mianownika, jeśli tak jest to: f (x) = ln f(x) + C (.) f(x) Jeżeli n < m i licznik nie jest pochodną mianownika, to funkcję podcałkową rozkładamy na tzw. ułamki proste, tj. na wyrażenia postaci: A (ax + b) k oraz Bx + C (cx + + e) p (.) gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są stałe, przy czym d 4ec < 0 (delta mianownika jest ujemna dla drugiego przypadku), oraz k i p są liczbami naturalnymi.. Gdy mianownik jest stopnia drugiego.. Rozkładanie na ułamki proste. Jeżeli > 0. Przykład. x + x + 4 = 6 = 9 = i miejsca zerowe to (.4) x = + =, x = = 4 (.) czyli x + x + 4 = (x + )(x + 4) przedstawiamy nasz ułamek w postaci x + x + 4 = (x + )(x + 4) = A x + + B x + 4 (.6)

2 staramy się teraz znaleźć współczynniki A i B, dlatego mnożymy obie strony przez (x+)(x+4) co nam daje równość daje nam to układ równań = A(x + 4) + B(x + ) = x(a + B) + (4A + B) (.7) A + B = 0 (.8) 4A + B = (.9) więc A = B i A = czyli A = więc B =. Zależność ta jest spełniona dla każdego x. Stąd całki nasze przyjmują postać x + x + 4 = x + + x + 4 robiąc podstawienie t = (x + ) i t = x + 4 w kolejnych całkach otrzymamy rezultat natomiast druga całka Przykład. (.0) t = ln t + C = ln x + + C (.) t = ln t + C = ln x C (.) x x x + mianownika wynosi = 4 =, natomiast miejsca zerowe x = + 6 nasz wielomian można przedstawić w postaci =, x = 6 = x x x + = x (x )(x ) = A x + B x analogicznie mnożymy obie strony przez (x )(x ) czyli dostaniemy wyrażenie (.) (.4) (.) x = A(x ) + B(x ) = x(a + B) A B (.6) daje nam to układ równań A + B = (.7) A + B = (.8)

3 więc A = (odjęcie drugiego równania od pierwszego). Wstawienie takiego A daje nam, że B =. Czyli całka x x x + = x + (.9) x całkując prawą stronę i wykorzystując podstawienie typu t = x dla pierwszego członu i t = x dla drugiego otrzymujemy oraz Zadanie. Oblicz całki x = x = t = ln t + C = ln x + C (.0) t = ln t + C = ln x + C (.) x = (.) 4x = (.) x x 9 x = (.4) x 6x + x + x = (.) x x x = (.6) 4x + 9 = (.7) x + x 0 W całce (.) wystarczy dokonać podstawienia x = t, więc =, czyli x = t = ln t + C = ln x + C (.8) Łatwo zauważyć, że w tym przykładzie licznik jest pochodną mianownika, tzn. (x x 9) = 4x, więc jest to całka z funkcji typu f (x) = ln f(x) + C (.9) f(x) czyli 4x x x 9 = ln x x 9 + C (.0)

4 W następnym przypadku (.4) również liczymy pochodną mianownika, która wynosi (x 6x + ) = 6x 6, jeżeli podzielimy tę pochodną przez 6, to dostaniemy to samo co jest w liczniku, więc licznik można zapisać jako (6x 6). Stąd całka nasza wygląda: 6 x x 6x + = 6 6x 6 x 6x + = 6 ln x 6x + + C (.) W przykładzie (.) będziemy musieli rozłożyć nasze wyrażenie na ułamki proste. Pierwszym krokiem jest policzenie delty i miejsc zerowy dwumianu kwadratowego znajdującego się w mianowniku, czyli = =, stąd x = + 4 Nasz mianownik zapiszemy teraz =, x = 4 = (.) x + x + = (x )(x + ) = (x )(x + ) (.) teraz rozkładamy wyrażenie podcałkowe na ułamki proste x + x + = A x + B x + Mnożąc obie strony przez ( )(x + ) otrzymujemy układ równań (.4) A + B = 0 (.) A B = (.6) czyli B = i A =, więc mamy styczność z całkami, które już łatwo wyliczyć x = ln x + C (.7) gdzie zastosowaliśmy podstawienie x = t i =, natomiast druga całka wynosi ostatecznie wynik wynosi x + = ln x + + C (.8) x + x + = ln x ln x + + C = ln x x + + C (.9) Zadanie (.6) wykonujemy analogicznie z tą różnicą, że nasz układ równań się zmieni, tzn. x x + x + = 4 A x + B x + (.40)

5 więc A + B = (.4) A B = 0 (.4) więc A = i B =, stąd x = ln x + C (.4) 0 oraz x + = ln x + + C (.44) czyli całka x x + x + = 0 ln x + ln x + + C (.4) Zadanie (.7). Liczymy pochodną mianownika, która wynosi: (x + x 0) = x +, czyli naszą całkę przedstawimy jako 4x + 9 x + x 0 = 4x + 6 x + x 0 + (.46) x + x 0 pierwsza całka to dwukrotność pochodnej mianownika, więc 4x + 6 x + x 0 = x + x + x 0 = ln x + x 0 + C (.47) natomiast drugą całkę rozkładamy na ułamki proste. Licząc deltę otrzymamy: = 9+40 = 49, więc stąd x = + 7 =, x = 7 x + x 0 = (x )(x + ) = A x + B x + więc po wymnożeniu obu stron przez (x )(x + ) mamy czyli A = B i A =, dlatego całka wynosi x + x 0 = x = (.48) (.49) A + B = 0 (.0) A B = (.) x + = ln x ln x + + C (.) wynik końcowy to 4x + 9 x + x 0 = ln x + x 0 + ln x ln x + + C (.)

6 .. W mianowniku = 0 Przykład. Wyrażenie pod całką będzie postaci: 9x x + 4 Rzeczywiście można łatwo zauważyć, że mianownik da się zapisać w postaci (.4) 9x x + 4 = (x ) (.) więc w całce wykonujemy podstawienie t = x, czyli = (x ) = t = t + C = (x ) + C (.6) Przykład. Jeżeli w licznik będziemy mieli jakąś zależność od x. x 9x x + 4 = x (x ) = A (x ) + B x (.7) W powyższej linijce mamy już rozłożenie na ułamki proste. Mnożymy obie strony przez wyrażenie (x ) co nas doprowadzi do x = A + B(x ) = Bx + A B (.8) mamy układ równań, z którego wynika, że B =, więc A =. Licząc teraz całki (x ) + x (.9) pierwsza całka została już wcześniej policzona, natomiast w drugiej należy wykonać podstawienie t = x, co nas doprowadzi do jakiegoś logarytmu Zadanie. Oblicz całki (x ) + x = x + ln x + C (.60) 9x 6x + = (.6) x 4x + = (.6) x = (.6) (x 7) x 4 = (.64) (x ) 6

7 Pierwszą całkę można zapisać w postaci 9x 6x + = (x ) (.6) wykonując podstawienie za to co się znajduje w mianowniku, czyli x = t, to =, więc t = t + C = x + C (.66) W całce (.6) można policzyć deltę, lub zauważyć, że drugi wyraz (czyli współczynnik stojący przy x) da się zapisać jako 4 = 4 =, więc nasze wyrażenie da się przedstawić jako x 4x + = ( x ) = t = t + C = x + C (.67) Zadanie (.6) musimy rozłożyć na ułamki proste, czyli przedstawiamy wyrażenie podcałkowe jako x (x 7) = A (x 7) + B (.68) x 7 mnożąc obie strony przez (x 7) otrzymujemy równanie stąd wnioskujemy, że B = i A =, więc x (x 7) = x = A + Bx 7B (.69) (x 7) + x 7 = + ln x 7 + C (.70) x 7 Z następnym zadaniem można postąpić analogicznie, lecz bystre oko dostrzeże, że licznik jest pochodną mianownika, więc całka (.64).. W mianowniku < 0 Rozważmy najpierw całki typu x 4 (x ) = x = ln x + C (.7) (x ) (x + k) + b (.7) wykonujemy podstawienie x + k = bt czyli = b b b bt + b = b t + = arctan t + C = arctan x + k + C (.7) b b b 7

8 Do tego typu całek można doprowadzić każde wyrażenie, które w mianowniku ma ax + bx + c i delta jest ujemna. Jest to tzw. postać kanoniczna równania kwadratowego [ (x ax b ) ] + bx + c = a + + (.74) a 4a Przykład. Weźmy teraz przykład x + (.7) x + 6x + Delta mianownika wynosi: = 6 40 = 4 < 0. Obliczmy teraz pochodną mianownika (x + 6x + ) = 4x + 6 (.76) dzieląc licznik przez pochodną mianownika otrzymujemy x + = 4 (4x + 6) (.77) stąd nasza całka x + x + 6x + = 4 4x + 6 x + 6x + x + 6x + (.78) pierwsza całka to oczywiście 4x x + 6x + = 4 ln x + 6x + + C (.79) natomiast z drugą sprowadzamy do postaci kanonicznej, która wygląda (x+ ) + 4, wykonując podstawienie x + = t, czyli =, mamy 4 x + 6x + = t = arctan t + C = arctan(x + ) + C (.80) łącząc oba wyniki mamy x + x + 6x + = 4 ln x + 6x + arctan(x + ) + C (.8) Zadanie. Oblicz całki (x (.8) ) + 4 x + x + = (.8) x x + = (.84) x x + x + = (.8) 8

9 W pierwszym przykładzie (.8) stosujemy proste podstawienie x = 4t = t,więc =, dlatego (x ) + 4 = 4t + 4 = 4 t + = 4 arctan t + C = 4 arctan(x 4 ) + C (.86) W całce (.8) obliczamy deltę = 4 = 8 < 0. Ponieważ delta jest ujemna doprowadzamy nasze wyrażenie do postaci kanonicznej. Można podstawić do wzoru, lub obliczyć przy pomocy sposobu ax + bx + c = a ( (x p) + q ) (.87) wstawiając nasze wyrażenie i rozwijając wyrażenie (x p) mamy możemy się z tego równania pozbyć x, wtedy mamy x + x + = (x px + p + q) (.88) x + = 6px + p + q (.89) stąd wynika, że x = 6px, czyli p =, wstawiając do części nie zawierającej x, tzn. do = p + q, wyznaczymy wartość q = 9 + q q = q = 9 dlatego nasz mianownik można zapisać w postaci: x + x + = ( (x + ) + ) 9 (.90) (.9) stosujemy teraz podstawienie x + = t, czyli =, więc x + x + = 9 = 9 arctan t + C = 9 t + 9 arctan(x + ) + C (.9) Zadanie (.84) (.9) x x + postępujemy analogicznie. Liczymy deltę = = < 0. Przedstawiamy mianownik w postaci kanonicznej x x + = ( x px + p + q ) (.94) czyli px = x, więc p =, wstawiając do wyrażenie p + q = mamy q = czyli q = 4. Mianownik teraz przedstawimy w postaci: x x + = ( (x ) + 9 ) (.9)

10 robimy podstawienie x = t, czyli =. To całka sprowadza się do x x + = W przykładzie (.8) (x ) + = t + = 0 arctan t+c = 0 arctan( (x ))+C (.96) x (.97) x + x + należy najpierw policzyć pochodną mianownika: (x +x+) = x+, więc ułamek podcałkowy można przedstawić jako x + x + x + 4 (.98) x + x + pierwsza całka to x + x + x + = ln x + x + + C (.99) natomiast drugą sprowadzamy do postaci kanonicznej x + x + = x px + p + q, stąd wynika, że p = czyli q =. Dlatego postać kanoniczna to 4 x + x + = (x + ) + 4 (.00) dokonując podstawienia x + = t co nas prowadzi do = mamy x + x + = 4 = 8 arctan t + C = 8 4 t + 4 Łącząc oba wyrażenia otrzymujemy ostatecznie arctan ( (x + )) + C (.0) x x + x + = ln x + x arctan ( (x + )) + C (.0) 0