Całki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga

Transkrypt

1 Całki z funkcji trygonometrycznych Autorzy: Tomasz Drwięga 08

2 Całki z funkcji trygonometrycznych Autor: Tomasz Drwięga TWIERDZENIE Twierdzenie : o całkowaniu funkcji postaci R(sin x, cos x) Do obliczania całki R(sin x, cos x), gdzie R jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy, w zależności od warunków jakie spełnia funkcja R, następujące podstawienia. Oznaczmy u = sin x, v = cos x.. Jeśli funkcja R jest dowolna to stosujemy podstawienie uniwersalne (tzw. tangens połówkowy ) x t t t = tg, =, sin x =, cos x =. +t +t +t. Jeśli R(u, v) = R( u, v) (tzn. funkcje sin x i cos x są w parzystych potęgach), to stosujemy podstawienie tangensowe t = tg x, =, sin x = t, cos x =. +t +t +t. Jeżeli R(u, v) = R(u, v) (tzn. funkcja cos x jest w potędze nieparzystej), to t = sin x, =, cos x = t. t 4. Jeżeli R(u, v) = R( u, v) (tzn. funkcja sin x jest w potędze nieparzystej), to t = cos x, =, sin x = t. t Zauważmy, że głównym celem podstawień trygonometrycznych jest zamiana całki z funkcji trygonometrycznych na całkę z funkcji wymiernej. To, w jaki sposób należy korzystać z podstawień trygonometrycznych, przybliżą nam poniższe przykłady. PRZYKŁAD Przykład : Stosując podstawienie trygonometryczne, rozwiąż całkę. sin x+ cos x+5 Zauważmy, że występujące w całce funkcje sin x i cos x są w potęgach nieparzystych więc do jej rozwiązywania skorzystamy z podstawienia uniwersalnego t = tg x, tangens-połówkowe, i wówczas mamy t= tg x sin x + cos x + 5 = = +t sin x= = +t = t +t t t cos x= t +t +t +t = = t + t t t + t + 7 = = t 7 + t + (t + + ) 0 9 +t t+( t )+5(+ t ) +t = arctg + C = arctg ( ) + C t + t x x 5 tg tg + 5 = arctg ( ) + C = arctg ( ) + C

3 PRZYKŁAD Przykład : Korzystając z podstawienia trygonometrycznego oblicz całkę sin x+9 cos x. Zauważmy, że w powyższej całce funkcje sinus i cosinus występują w potęgach parzystych, a stąd najbardziej odpowiednim będzie skorzystanie z podstawienia t = tg x t= tg x = +t +t = = = sin x + 9 cos sin x= x t t +t + 9 cos x= +t +t +t t = = arctg + C t + tg x = arctg ( ) + C. t + 9 PRZYKŁAD Przykład : Stosując podstawienie trygonometryczne oblicz całkę cos x. Oczywiście do rozwiązania powyższej całki możemy użyć podstawienia uniwersalnego jednak o wiele łatwiejszą całkę będziemy mieć do rozwiązania, jeśli zastosujemy podstawienie t = sin x, tj. kiedy funkcja cosinus jest w potędze nieparzystej. cos x = t=sin x =cos x = ( t ) = t + C = sin x + + C. cos x= t t sin x

4 ZADANIE Zadanie : Treść zadania: Stosując podstawienie trygonometryczne oblicz całkę. sin x Rozwiązanie: Do rozwiązania powyższej całki można oczywiście skorzystać z podstawienia uniwersalnego ti. t = tg x my jednak wybierzemy podstawienie t = cos x I = sin x = sin x = t=cos x sin x = =. \n= sin x sin x= t t (t + )(t ) Korzystając z rozkładu na ułamki proste otrzymujemy Wracając do całki mamy (t+)(t ) t+ t = +. I = + = ln t + + ln t + C = ln t + C = ln cos x + C. t + t t + cos x + TWIERDZENIE sin(αx) cos(βx) sin(αx) sin(βx) Twierdzenie : o całkowaniu funkcji postaci,, cos(αx) cos(βx) Do obliczania całek sin(αx) cos(βx), sin(αx) sin(βx), cos(αx) cos(βx) stosujemy tożsamości trygonometryczne sin(αx) cos(βx) = [sin[(α + β)x] + sin[(α β)x]], sin(αx) sin(βx) = [cos[(α β)x] cos[(α + β)x]], cos(αx) cos(βx) = [cos[(α + β)x] + cos[(α β)x]].

5 PRZYKŁAD Przykład 4: Obliczmy całkę sin(6x) cos(x). Korzystając z tożsamości z twierdzenia o całkowaniu funkcji postaci sin(αx) cos(βx), sin(αx) sin(βx), cos(αx) cos(βx), otrzymujemy I = sin(6x) cos(x) = [sin(6x + x) + sin(6x x)] = sin(9x) + sin(x) Ostatecznie z wzoru sin(ax) = cos(ax) + C a 8 otrzymujemy 6 I = cos(9x) cos(x) + C. () () PRZYKŁAD Przykład 5: Obliczmy całkę sin(4x) sin(5x). Na podstawie wzoru z twierdzenia o całkowaniu funkcji postaci sin(αx) cos(βx), sin(αx) sin(βx), cos(αx) cos(βx) otrzymujemy I = sin(4x) sin(5x) = [cos(4x 5x) cos(4x + 5x)] = cos( x) cos(9x) Następnie korzystając z wzoru cos(ax) = sin(ax) + C a 8 mamy I = sin( x) sin(9x) + C = sin(x) sin(9x) + C. 8

6 ZADANIE Zadanie : Treść zadania: Oblicz całkę cos(x) cos(7x). Rozwiązanie: I = cos(x) cos(7x) = [cos(7x + x) + cos(7x x)] = cos(9x) + cos(5x) Stosując wzór cos(ax) = sin(ax) + C a otrzymujemy odpowiedź 8 0 I = sin(9x) + sin(5x) + C. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: ::5 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=a54040dfbc9e57c575ada68d Autor: Tomasz Drwięga