Aproksymacja. Plan wykładu. 1. Problem aproksymacji, normy, rodzaje aproksymacji. 2. Aproksymacja średniokwadratowa

Transkrypt

1 Aproksyacja Pla wykładu 1. Prole aproksyacji, ory, rodzaje aproksyacji. Aproksyacja średiokwadratowa a) w ) w c) w d) w azie azie azie azie jedoiaów wieloiaów ortogoalych fukcji trygooetryczych fukcji sklejaych 3. Przyliżeia Padego

2 Założeia f(x) fukcja którą aproksyujey f ; jest przestrzeią liiową Aproksyacja liiowa fukcji f(x) (aproksyowaej - przyliżaej) polega a wyzaczeiu współczyików a0,a1,a,...,a fukcji aproksyującej: F (x) a0 '0 (x) + a1 '1 (x) + : : : + a ' (x) gdzie: i(x) - są fukcjai azowyi (+1) wyiarowej podprzestrzei liiowej +1 (+1 ) Żąday ay fukcja F(x) spełiała waruek kf (x) F (x)k iiu Wyór podprzestrzei i azy zależy od rodzaju proleu: 1) podprzestrzeń fukcji trygooetryczych z azą 1, si(x), cos(x), si(x), cos(x),..., si(kx), cos(kx) ) podprzestrzeń wieloiaów stopia z azą 1, x, x,x3,..., x (lu wieloiay ortogoale) 3) podprzestrzeń fukcji, których o własościach ściśle związaych z własościai rozważaego proleu p. exp(-ax+x+c)

3 Przykłady or stosowaych w aproksyacji: Aproksyacja średiokwadratowa. a) ora Czeyszewa Dla fukcji ciągłej f(x) określoej w przedziale [a,] poszukujey iiu całki: kf (x) F (x)k sup jf (x) F (x)j [a;] ) ora L kf (x) F (x)k µz a c) ora L z wagą kf (x) F (x)k µz a kf (x) f (x)k 1 jf (x) F (x)j dx a w(x)[f (x) f (x)] dx 1 kf (x) f (x)k w(xi )[F (xi ) f (xi )] w(x)jf (x) F (x)j dx w(xi ) 0 w(xi ) [f (xi ) F (xi )] i 0; 1; ; : : : ; Aproksyacja jedostaja. Jeśli fukcja f(x) jest określoa a dyskrety ziorze puktów wówczas ora L z wagą przyjuje postać: kf (x) F (x)k lu suy gdy fukcja jest określoa a dyskrety ziorze +1 puktów (etoda ajiejszych kwdratów): gdzie: w(x) jest ieujeą ciągłą fukcją wagową µ Z 1 Dla fukcji f(x)określoej w przedziale [a,] poszukujey F(x) dającej ajiejsze aksiu różicy iędzy ii w cały przedziale: kf (x) f (x)k sup jf (x) f (x)j x[a;] 3

4 Tw. 1 (Weierstrassa) Jeżeli fukcja f(x) jest ciągła a skończoy przedziale [a,], to dla każdego " dodatiego oża dorać takie, że jest ożliwe utworzeie wieloiau P(x) stopia ((")), który spełia ierówość: kf (x) P (x)k " Metoda aproksyacji średiokwadratowej. Dyspoując układe fukcji azowych w podprzestrzei : 'i (x); szukay wieloiau F(x) ędącego ajlepszy przyliżeie średiokwadratowy fukcji f(x) a ziorze (xj): F (x) Z twierdzeia powyższego wyika, że zawsze oża zaleźć wieloia o dowolie ały odchyleiu od fukcji f(x). Tw. (Weierstrassa) Jeżeli fukcja f(x) jest fukcją ciągłą a R i okresową o okresie ¼ to dla każdego " dodatiego istieje wieloia trygooetryczy S (x) a0 + (ak cos(kx) + k si(kx)) k1 (") spełiający dla wszystkich x ierówość jf (x) S (x)j < " i 0; 1; : : : ; ai 'i (x) Dla F(x) liczyy orę L H(a0 ; a1 ; : : : ; a) " # w(xj ) f (xj ) ai 'i (xj ) j0 w(xj )Rj j0 gdzie: Rj jest odchyleie w pukcie xj 4

5 Szukay iiu fukcji H (wielu zieych) ze względu a współczyiki k 0; 1; : : : ; Waruek te geeruje +1 rówań liiowych z +1 k j0 w(xj ) f (xj ) 0; 1; ; : : : ; # ai 'i (xj ) 'k (xj ) 0 Uwaga: a) Macierz D oże ie yć kwadratowa p. w tzw. regresji liiowej aza jest dwueleetowa {1,x}, a węzłów oże yć dowola ilość ) DTD jest acierzą kwadratową i syetryczą o roziarach (+1)x(+1) Powyższy układ rówań zway jest układe oraly. Poieważ fukcje azowe są liiowo iezależe, istieje więc dokładie jedo rozwiązaie iializujące wartość H. Układ rówań oża zapisać w postaci acierzowej (zakładay (x)1): DT DA D T f '0 (x0 ) 6 '0 (x1 ) D6 4 '0 (x ) 3 a0 a1... ' (x0 ) 6 ' (x1 ) 7 7 A ' (x ) a f 6 4 f (x0 ) f (x1 )... f (x )

6 Aproksyacja średiokwadratowa w azie jedoiaów Jako azę przyjujey ciąg jedoiaów Waruek iiu przyjuje postać: j0 " f (xj ) c) Dla 6 acierz układu staje się źle uwarukowaa Najprostszy reediu jest zastosowaie siliejszej arytetyki # ai xij xkj 0 Aproksyacja średiokwadratowa w azie wieloiaów ortogoalych k 0; 1; ; : : : ; po ziaie kolejości suowaia f (xj )xkj j0 ai a) Jeżeli wówczas fukcja aproksyująca pokrywa się z wieloiae iterpolujący ) Stopień wieloiau aproksyującego powieie yć zaczie iejszy od liczy węzłów xk, ay wygładzić ewetuale łędy poiarowe 1; x; x ; : : : ; x Uwagi: µ xi+k j j0 Def. Fukcje f(x) i g(x) azyway ortogoalyi a dyskrety ziorze puktów x1,x,...,x, jeśli f (xi )g(xi ) 0 i wprowadzeiu ozaczeń gik j0 xi+k j ½k a fukcje f i g spełiają waruki f (xj )xkj j0 otrzyujey układ oraly: ai gik ½k ) GT a ½ [f (xi )] > 0 [g(xi )] > 0 6

7 W aproksyacji średiokwadratowej ciąg fukcyjy f' (x)g '0 (x); '1 (x); : : : ; ' (x) staowi azę ortogoalą dla węzłów aproksyacji x1,x,...,x, jeśli arzuciy dwa waruki: 'j (xi )'k (xi ) 0; j 6 k Oraz ie wszystkie węzły są zerai tych wieloiaów 'j (xi ) > 0 djj Zakładay, że węzły są rówoodległe xi x0 + i h; d 'j (xi ) i 0; 1; ; : : : ; i wykoujey przekształceie q x x0 ; h xi! qi Naszy zadaie jest zalezieie ciągu wieloiaów () Macierz układu oralego przy aproksyacji wieloiaai ortogoalyi jest acierzą diagoalą 3 0 d 0 Jak zaleźć wieloiay ortogoale? ffi d1 6 0 T D D6 4 0 Macierz układu jest dorze uwarukowaa i układ posiada jedo rozwiązaie. () () () (q)g F0 (q); F1 (q); : : : ; F (q) postaci () Fk (q) + a0 + a1 q + a q(q 1) : : : + ak q(q 1) (q k + 1) spełiające waruek ortogoalości () Fj () (i)fk (i) 0 () j 6 k 7

8 Korzystay z postaci wieloiau czyikowego q [k] q(q 1) : : : (q k + 1) () Fk (q) a0 + a1 q [1] + a q [] + : : : + ak q [k] i dodatkowo orujey wieloiay tz. ają oe postać () Fk (0) 1; k 0; 1; ; : : : ; () Fk (q) q [1] + q [] + : : : + k q [k] Szukae wieloiay ortogoale są wieloiaai Graa µ µ [s] k k k + s q () Fk (q) ( 1)s [] s s s0 Mając zdefiiowaą azę oża zaleźć fukcję aproksyującą F(x) F (x) ck () Fk (q) s k k0 µ ck () x x0 F ; sk k h k0 ai 'i (x) Ze współczyikai () sk [Fk (q)] ck q0 () yi Fk (xi ) Wieloiay ortogoale dla puktów rozieszczoych dowolie (ie rówoodległych) Koleje wieloiay ortogoale wyzaczay rekurecyjie tj. a podstawie zajości postaci wieloiaów iższych stopi: 'j+1 (x) j (x j+1 )'j (x) j 'j 1 (x) 0; 1; ; : : : z warukai '0 (x) 1 j+1 ' 1 (x) 0 P xi 'j (xi ) P 'j (xi ) P xi 'j 1 'j (xi ) P j 'j 1 (xi ) 8

9 Wieloiay Graa dla 11 węzłów (10),h0.5 F (x) k 'k (x) k0 k Ck Ck Sk yi 'k (xi ) i1 Sk 'k (xi ) 9

10 Aproksyacja średiokwadratowa w azie fukcji trygooetryczych Fukcje okresowe aproksyujey przy użyciu fukcji trygooetryczych, czyli w azie 1; si(x); cos(x); si(x); cos(x); : : : Wieloia trygooetryczy o okresie a postać: a0 Q (x) + (ak cos(kx) + k si(kx)) k1 Jeśli fukcja f(x) jest określoa a dyskrety ziorze rówoodległych puktów, a licza puktów jest parzysta i wyosi L: ¼i ; L i 0; 1; ; : : : ; L 1 8 L 1 6 k < 0; L; k 6 0 si(xi )si(kxi ) : 0; k0 8 L 1 6 k < 0; L; k 6 0 cos(xi )cos(kxi ) : L; k0 xi L 1 cos(xi )si(kxi ) 0; ; k dowole Szukay wieloiau w postaci: 1 F (x) a0 + (aj cos(jx) + j si(jx)) j1 <L Współczyiki aj oraz j wyzacza się z waruku iializacji wyrażeia: L 1 [f (xi ) F (xi )] i co prowadzi do zależości a współczyki L 1 1 aj f (xi )cos(jxi ) L L 1 1 ¼ij f (xi )cos L L L 1 1 j f (xi )si(jxi ) L L 1 1 ¼ij f (xi )si L L 10

11 Aproksyacja średokwadratowa w azie fukcji sklejaych Zakładay, że fukcję s(x) oża przedstawić w postaci koiacji liiowej fukcji azowych w postaci fukcji sklejaych trzeciego stopia (p. zdefiiowaych a wykładzie z iterpolacji): s(x) +1 ci 3i (x); i 1 a x Szukay iiu odchyleia kwadratowego: I Z a " f (x) +1 # ci 3i (x) i 1 dx +1 i 1 ci Z 3i (x) 3j (x)dx a Z f (x) 3j (x)dx a j 1; 0; 1; : : : ; + 1 Ze względu a liiową iezależość fukcji azy układ a jedozacze rozwiązaie dające iiu fukcji I. +1 i 1 aij 1 aij ci h 1 h Z Z f (x) 3j (x)dx a 3i (x) 3j (x)dx a licząc pochode cząstkowe względe Dostajey układ +3 rówań z +3 iewiadoyi. Macierz układu jest acierzą syetryczą i wstęgową (pięcioprzekątiową). Ac ½ 11

12 W przypadku aproksyacji a dyskrety ziorze puktów (xi), gdzie: i 0; 1; ; : : : ; 1 ; 1 > + 3 Często stosuje się poiższe upraszczające foruły aproksyacyje: szukay iiu wyrażeia: J 1 k0 " f (xk ) +1 ci 3i (xk ) i 1 # Postępując jak w przypadku fukcji ciągłych otrzyyjey układ rówań: +1 ij ci i 1 1 Nierzadko zależy a a dopasowaiu do daych poiarowych określoej zależości fukcyjej (p. wyikającej z zasady działaia daego urzadzeia ). y ax + c y eax y y ax + x + c ax ecx +x+c f (xk ) 3j (xk ) k0 j 1; 0; 1; : : : ; + 1 gdzie: ij 1 3i (xk ) 3j (xk ) k0 Rówież w ty przypadku acierz współczyików układu jest syetrycza i a postać wstegową: ij 0, ji jj 4 1

13 Aproksyacja Padego Rozwijay f(x) w szereg Maclauria f (x) Fukcję aproksyowaą przyliżay fukcją wyierą R;k (x) L (x) Mk (x) Liczyy łąd aproksyacji (w celu otrzyaia zależości współczyiki ai oraz i) L (x) Mk (x) ³P P P1 k i i i c x x i i ai x Pk i xi f (x) Zaletą powyższego przyliżeia (w proleie aproksyacji jedostajej) są iejsze łędy iż aproksyacja wieloiae stopia N (otrzyaych p. z rozwiięć Taylora czy Maclauria). Wykorzystujey waruki z ciągłością pochodych w x0 () f () (x)jx0 R;k (x)jx0 0 0; 1; ; : : : ; k + L (x) a0 + a1 x + a x + : : : + a x Mk (x) x + x + : : : + k xk tak ay w x00 fukcje: aproksyowaa i aproksyująca iały jak ajwięcej rówych pochodych. ci xi Gdzie: N+k Zadaie polega a zalezieiu N+1 współczyików LN oraz Mk 1 Powyższy waruek ędzie spełioy, gdy liczik zapiszey jako Ã1 c i xi dn +j xn +j 1 j1!ã k i xi! ai xi 13

14 Dla waruku: f (0) R;k 0 dostajey rówaie z którego wydoyway zależości a0 a1 0 c0 0 c1 + 1 c0 a 0 c + 1 c1 + c0 i ostateczie wzór ogóly ar r cr j j ; r 0; 1; ; : : : ; j0 Wykorzystujey też założeie o rówości pochodych (do rzędu +k+1) co daje dodatkową zależość k j0 c+k s j j 0; s 0; 1; ; : : : ; k 1 14

15 Sposó postępowaia: 1. Wyzaczay współczyiki szeregu McLauria. Nueryczie dokładie tylko przy użyciu licz dualych, ilorazy różicowe są iedokłade. W iektórych przypadkach ożliwe jest wykorzystaie wzoru aalityczego a pochode.. Tworzyy układ rówań, którego rozwiązaie to współczyiki i 3. Teraz ożey wyzaczyć kolejo współczyiki a j 15

16 Aproksyacja Pade fukcji Fukcja jest parzysta, więc wieloiay w licziku i w iaowiku R,k ędą iały iezerowe współczyiki tylko przy jedoiaach o wykładikach parzystych. 16

17 Aproksyacja Pade fukcji Fukcja aproksyowaa jest ieparzysta iezerowe współczyiki wieliau L to te stojące przy jedoiaach o wyładikach ieparzystych. 17