Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Transkrypt

1 Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

2 Spis treści 6 Pola magnetyczne w materii Magnetyzacja Pole namagnesowanego ciała Natężenie pola magnetycznego H Ośrodki liniowe i nieliniowe

3 6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

4 6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

5 6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

6 6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

7 6.1.2 Siły i momenty sił działających na dipole magnetyczne I Każdą pętlę z prądem można złożyć z infinitezymalnych prostokątów. Prądy od wewnętrznych boków znoszą się wzajemnie.

8 z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił

9 z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił F = IbB, wartość siły

10 z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił F = IbB, wartość siły N = Iab sin θ ˆx = mb sin θ ˆx

11 z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił F = IbB, wartość siły N = Iab sin θ ˆx = mb sin θ ˆx N = m B

12 F = I ( dl B) = I ( ) dl B = 0 W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z prądem znika

13 B I I pole niejednorodne

14 B I I B z B I F x I R θ F y pole ma składową radialną siła ma składową pionową F = 2πIRB cos θ pole niejednorodne

15 F = (m B) Siła dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym m umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B.

16 Modele momentu dipolowego N + m p m I S dipol magnetyczny (model Gilberta) dipol elektryczny dipol magnetyczny (model Ampère a)

17 6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe z v x R e y m T = 2πR v I = e T = ev 2πR ruch elektronu można potraktować jako prąd stały

18 6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe z v x R e y m T = 2πR v I = e T = ev 2πR ruch elektronu można potraktować jako prąd stały m = IπR 2 ẑ = 1 2 evr ẑ orbitalny moment dipolowy

19 6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe z v x R e y m T = 2πR v I = e T = ev 2πR ruch elektronu można potraktować jako prąd stały m = IπR 2 ẑ = 1 2 evr ẑ orbitalny moment dipolowy N = m B moment siły, mały efekt paramagnetyczny

20 1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych

21 1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych e(v B) dodatkowa siła w polu magnetycznym; elektron przyspiesza i zwalnia

22 1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych e(v B) dodatkowa siła w polu magnetycznym; elektron przyspiesza i zwalnia B B z B B zakładamy, że pole B jest v +e R e y prostopadłe do płaszczyzny orbity x

23 1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych e(v B) dodatkowa siła w polu magnetycznym; elektron przyspiesza i zwalnia B B z B B zakładamy, że pole B jest v +e R e y prostopadłe do płaszczyzny orbity x 1 e 2 4πɛ 0 R 2 + e vb = m e v 2 R nowa wartość prędkości v

24 e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R

25 e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R δv = erb 2m e elektron przyspiesza

26 e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R δv = erb 2m e elektron przyspiesza δm = 1 2 e(δv)r ẑ = e2 R 2 4m e B zmiana momentu dipolowego

27 e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R δv = erb 2m e elektron przyspiesza δm = 1 2 e(δv)r ẑ = e2 R 2 4m e B zmiana momentu dipolowego Zmiana momentu magnetycznego m ma przeciwny zwrot niż sama indukcja B diamagnetyzm

28 6.1.4 Magnetyzacja M magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości

29 6.1.4 Magnetyzacja M magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości M magnetyzacja, namagnetyzowanie, polaryzacja magnetyczna

30 6.2 Pole namagnesowanego ciała Prądy związane m dτ R P A(r) = µ 0 4π m ˆR R 2 potencjał wektorowy dipola m

31 6.2 Pole namagnesowanego ciała Prądy związane m dτ R P A(r) = µ 0 4π m ˆR R 2 potencjał wektorowy dipola m A(r) = µ 0 4π M(r ) ˆR R 2 dτ

32 1 R = ˆR R 2

33 1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R

34 1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R (fa) = f( A) A ( f) pochodne iloczynów

35 1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R (fa) = f( A) A ( f) pochodne iloczynów A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ [ M(r ) R ] dτ

36 1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R (fa) = f( A) A ( f) pochodne iloczynów A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ [ M(r ) R ] dτ ( A) dτ = A da twierdzenie V S

37 A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ + µ 0 4π 1 R [M(r ) da ]

38 A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ + µ 0 4π 1 R [M(r ) da ] J zw = M K zw = M ˆn

39 A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ + µ 0 4π 1 R [M(r ) da ] J zw = M K zw = M ˆn A(r) = µ 0 4π V J zw (r ) R dτ + µ 0 4π S K zw (r ) R da

40 Przykład: Znaleźć pole magnetyczne jednorodnie namagnesowanej kuli. z r θ x M φ y J zw = M = 0, K zw = M ˆn = M sin θ ˆφ

41 K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład

42 K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M.

43 K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M. B = 2 3 µ 0M wewnątrz sfery, pole jednorodne

44 K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M. B = 2 3 µ 0M wewnątrz sfery, pole jednorodne m = 4 3 πr3 M na zewnątrz sfery, pole dipola m

45 K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M. B = 2 3 µ 0M wewnątrz sfery, pole jednorodne m = 4 3 πr3 M na zewnątrz sfery, pole dipola m Podobieństwo do pola elektrycznego spolaryzowanej kuli, ale tu mamy 2 3 zamiast 1 3.

46 6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

47 6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych M I I I t

48 6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t I ˆn

49 6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t ˆn M I I a t

50 6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t ˆn M I I a t m = Mat = Ia I = Mt K zw = I/t = M

51 6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t ˆn M I I a t m = Mat = Ia I = Mt K zw = I/t = M K zw = M ˆn

52 z M z (y) M z (y + dy) I dz dy y x magnetyzacja niejednorodna

53 dy z M z (y) M z (y + dy) z dz M y (z + dz) I dz M y (z) dy y y x magnetyzacja niejednorodna x I x = [M z (y + dy) M z (y)] dz = M z y dy dz

54 dy z M z (y) M z (y + dy) z dz M y (z + dz) I dz M y (z) dy y y x magnetyzacja niejednorodna x I x = [M z (y + dy) M z (y)] dz = M z y dy dz (J zw ) x = M z y podobnie (J zw ) x = M y z

55 (J zw ) x = M z y M y z

56 (J zw ) x = M z y M y z J zw = M ogólnie

57 (J zw ) x = M z y M y z J zw = M ogólnie J zw = ( M) = 0 równanie ciągłości

58 (J zw ) x = M z y M y z J zw = M ogólnie J zw = ( M) = 0 równanie ciągłości Pole magnetyczne w materii Mówiąc o polu magnetycznym w materii mamy na myśli pole makroskopowe (uśrednione po obszarze wytarczająco dużym by zawierał bardzo wiele atomów)

59 6.3 Natężenie pola magnetycznego H Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw

60 6.3 Natężenie pola magnetycznego H Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M)

61 6.3 Natężenie pola magnetycznego H Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M) ( ) 1 B M µ 0 = J sw

62 6.3 Natężenie pola magnetycznego H Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M) ( ) 1 B M µ 0 = J sw H 1 µ 0 B M

63 6.3 Natężenie pola magnetycznego H Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M) ( ) 1 B M µ 0 = J sw H 1 µ 0 B M H = J sw prawo Ampère a

64 H dl = I sw c prawo Ampère a w postaci całkowej

65 H dl = I sw c prawo Ampère a w postaci całkowej I sw c całkowite natężenie prądu swobodnego płynącego przez kontur Ampère a

66 6.3.2 Myląca analogia H = J sw

67 6.3.2 Myląca analogia H = J sw H = M 0 dywergencja różna od zera

68 6.3.2 Myląca analogia H = J sw H = M 0 dywergencja różna od zera Natężenie pola H nie musi być zerem, kiedy J sw = 0

69 6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod)

70 6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod) H nad H pod = K sw ˆn

71 6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod) H nad H pod = K sw ˆn B nad B pod = 0

72 6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod) H nad H pod = K sw ˆn B nad B pod = 0 B nad B pod = µ 0(K ˆn)

73 6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!)

74 6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe

75 6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe χ m podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10 5

76 6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe χ m podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10 5 B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ m )H

77 6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe χ m podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10 5 B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ m )H B = µh, µ µ 0 (1 + χ m ) przenikalność magnetyczna

78 Przykład: Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χ m. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.

79 Przykład: Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χ m. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu. ẑ φ

80 Przykład: Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χ m. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu. ẑ Nie możemy wprost obliczyć B, bo nie znamy prądów związanych, ale ze względu na symetrię możemy obliczyć H ze znajomości prądów swobodnych H = niẑ B = µ 0 (1 + χ m )niẑ K zw = M ˆn = χ m (H ˆn) = χ m ni ˆφ φ

81 powierzchnia Gaussa paramagnetyk M = 0 próżnia M M da 0 dla powierzchni Gaussa

82 powierzchnia Gaussa paramagnetyk M = 0 próżnia M M da 0 dla powierzchni Gaussa M nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa

83 powierzchnia Gaussa paramagnetyk M = 0 próżnia M M da 0 dla powierzchni Gaussa M nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa J zw = M = (χ m H) = χ m J sw Jeśli prąd swobodny nie płynie w objętości próbki, prąd związany płynie jedynie na powierzchni.

84 6.4.2 Ferromagnetyzm M (trwały magnes) c (nasycenie) b d a g I e (nasycenie) f (trwały magnes) Pętla histerezy