Podstawy Fizyki Teoretycznej Stanisław Bednarek (semestr letni 2015)

Transkrypt

1 Podstaw Fk Teoretnej Stansław Bednarek (semestr letn 5) I. Wstęp. Mehanka klasna. Wprowadene. Wę. Współrędne uogólnone. Zasada najmnejsego dałana (element rahunku warajnego). II. Transformaja Galleusa, jednorodność otropowość prestren asu. Funkja Lagrange a ąstk swobodnej w nerjalnm układe odnesena. Funkja Lagrange a dla ąstk w polu potenjalnm. Funkja Lagrange a układu welu ąstek. Transformaja e współrędnh kartejańskh do współrędnh uogólnonh. Funkja Lagrange a dla ąstk swobodnej we współrędnh sfernh lndrnh. Prkładowe astosowane formalmu Lagrange a. Cąstka w polu entralnego potenjału. Wahadło matematne. Brła stwna III. Prawa ahowana, ałk ruhu. Energa. Pęd. Moment pędu. Zmenne klne a ałk ruhu. Równana kanonne Hamltona. Nawas Possona. () Mehanka relatwstna I. Zasada wględnoś Enstena Predał asoprestrenn. Transformaja Lorenta. Transformaja odwrotna. Kontrakja długoś dlataja asu. Transformaja prędkoś.. Relatwstna ałka dałana. Pęd energa ąstk swobodnej.

2 Relatwstna asada ahowana energ. Relatwstna funkja Hamltona. Transformaja energ pędu, terowektor. I. Geometra asoprestren, element rahunku tensorowego. Tensor kontrawarantne kowarantne. Tensor metrn. Tensorowe własnoś operatorów różnkowh. (3) Elektrodnamka II. Cąstka w ewnętrnm polu elektrnm magnetnm, teropotenjał pola elektromagnetnego. Interpretaja teropotenjału. Nemenność ehowana potenjałów elektromagnetnh. Transformaja Lorenta dla pól elektrnego magnetnego. III. Perwsa para równań Mawella. Cterowektor gęstoś prądu, równane ągłoś. Pole elektromagnetne wwołane adanm rokładem ładunków prądów. Dałane pola elektromagnetnego, druga para równań Mawella. Równana Mawella w posta różnkowej. Kowarantn (jawne relatwstn) aps równań Mawella. IX. Równana Mawella w różnkowej ałkowej posta. Refleksja nad sposobem wprowadena równań Mawella. Zastosowane równań Mawella w posta ałkowej. Prawo Coulomba. Potenjał skalarn ładunku punktowego. Układ klku ładunków punktowh. Cągł rokład gęstoś ładunku. Pole elektrne wokół jednorodne naładowanego wala. Smetra prostokątna- jednorodne naładowana płasna, kondensator. Zastosowana praw Mawella w posta ałkowej do magnetostatk. Pole magnetne wewnątr neskońene długego solenodu. X. Transformaja Lorenta w magnetostate. Zastosowana równań Mawella w posta różnkowej. Równane Possona Laplae a. Twerdene o jednonanoś rowąań równana Laplae a Possona. Prawo Bota-Savarta.

3 XI. Prewodnk warunk bregowe na h powerhnah. Ładunk ndukowane. Pole elektrostatne w obenoś prewodnków. Metoda obraów. Obra a ładunek ndukowan. Rownęe multpolowe XII. Pola elektrne magnetne w ośrodkah, ależnoś pomęd E D ora H B. Istota wektorów pól. Polaraja delektrka. Delektrk lnowe. Grane ośrodków delektrnh Metoda obraów dla delektrków XIII. Zmenne pole elektromagnetne. Równane fal elektromagnetnej w próżn. Fala płaska. Potenjał opóźnone. Energa pęd pola elektromagnetnego, wektor Pontnga. XI. Elektrodnamka klasna w nanostrukturah półprewodnkowh. 3

4 I. Wstęp. Fkę można podelć w ależnoś od problemów jakm sę ajmuje wróżnć różne jej dał, np. fka jądrowa, ała stałego, nskh temperatur, astrofka td. Neależne od podału tematnego stneje podał na fkę dośwadalną teoretną. Ta ostatna wróżna sę spefnm narędam pra. Są nm kartka paperu, ołówek komputer jako naręda materalne aparat matematn, któr możem określć jako nemateralne naręda pra teoretka. Celem nnejsego wkładu jest aponane słuha klkoma takm nemateralnm narędam pra użwanm w klku wbranh dałah fk. Wkład trwa tlko jeden semestr, w wąku m ne jest możlwa an kompleksowa an dogłębna anala problemów. Wbrałem problem, które według mojej oen są najważnejse lub najekawse. Podelć je można na następująe grup tematne: I. Mehanka klasna II. Mehanka relatwstna III. Elektrodnamka Łąć je będe asada najmnejsego dałana, pr pomo której uskane ostaną wsstke podstawowe prawa fk. Preśledm jednoeśne ewoluję funkj dałana. Zostane ona poątkowo aproponowana dla mehank klasnej następne uogólnona do mehank relatwstnej, a kolejna modfkaja powol na objęe ną elektrodnamk. Współesna fka teoretna ana sę od sformułowana pre Newtona praw dnamk, które umożlwł ops jawsk fnh pr pomo aparatu matematnego. Stało sę to na prełome XII XIII weku.w XIX w powstała Elektrodnamka. Najperw stanowła ona naukę emprną, f wderal nature kolejne tajemne formułowal kolejne emprne prawa fne. Ih połąenem w jednoltą teorę są uskane późnej prawa Mawella. Elektrodnamkę ujętą w prawa Mawella alm do Fk Teoretnej. Pod kone XIX weku (86- prawa Mawella) elektrodnamka bła w asade teorą już amknętą. Na poątku XX weku ked upadła mehanka klasna okaało sę, że prawa elektrodnamk nakome gadają sę nowo powstałą teorą relatwstną. W XX w powstał ałkem now dał fk teoretnej Mehanka Kwantowa. Mehane Kwantowej pośwęon będe osobn wkład w prsłm semestre. W beżąm wkłade prebegnę pre tr perwse wmenone dał fk teoretnej ale w nnej nż hstorna kolejnoś. Wstartujem od mehank klasnej, aham o agadnena, potrebne dla wkładu mehank kwantowej (formalm Hamltona), następne wgenerujem mehankę relatwstną, a dopero nej wdobędem prawa Mawella elektrodnamkę. Wsstke omawane agadnena łąć będe asada najmnejsego dałana, pr pomo której uskane ostaną wsstke podstawowe prawa fk. Preśledm jednoeśne ewoluję funkj dałana. Zostane ona poątkowo aproponowana dla mehank klasnej następne uogólnona do mehank relatwstnej, a kolejna modfkaja powol na objęe ną elektrodnamk. Prejdźm atem do perwsego dału fk teoretnej Mehank Teoretnej. 4

5 Klasna Mehanka Teoretna. Jest to dał Fk, któr opsuje ruh bardej lub mnej łożonh układów fnh. Na wstępe musm pogodć sę faktem, ż ne jesteśm w stane opsać ałego wsehśwata w ałej jego łożonoś. Jesteśm musen posłużć sę prblżenam ogranć sę do opsu jego newelkej ąstk. Prstępują do anal jakegokolwek jawska musm wpunktować wsstke prblżena ałożena whodąe do rahunku. Ih spełnene jest warunkem wargodnoś uskanh wnków. W elu unknęa neporoumeń jękowh ustalć musm na wstępe klka najważnejsh pojęć prblżeń. Układem nawać będem ęść wsehśwata, którą opsujem. Możem ałożć brak oddałwana układu restą wsehśwata, mówm wówas o układe olowanm (np. ąstka swobodna), lub uwględnam to oddałwane traktują je jako oddałwane ewnętrne (np. ało w polu sł ężkoś). Najprostsm układem (lub jego elementem) jest punkt materaln (ąstka), któr roumeć będem jako obekt fn, którego romar można anedbać pr opse jego ruhu (np. elektron w polu jądra, planeta na orbe). Prestreń, w której rogrwa sę mehanka punktu materalnego jest trójwmarowa. Położene punktu materalnego opsujem trójwmarowm wektorem wodąm. Do apsu wektora wodąego posługujem sę układem współrędnh. Najęśej stosować będem układ prostokątn kartejańsk, lub krwolnow: sfern, lndrn, paraboln. Równe ważną rolę jak prestreń, w której rogrwać sę będą jawska spełna as. Będem go roumel jako parametr numerują kolejność dareń. Pełną nformaję o ruhu pojednego punktu materalnego awera jego trajektora (tor) r(t) l położene w funkj asu stanow sukane rowąane problemu mehannego. Znają trajektorę możem wlć prędkość jako perwsą prspesene jako drugą pohodną wektora wodąego po ase, a nh możem wlć wsstke poostałe welkoś fne np. energę, pęd, sł. Uwaga: pohodne po ase onaać będem d d kropką: r(t) r(t), r(t) r(t ). dt dt Zwąk pomęd współrędnm, prędkośam prspesenam nawam równanam ruhu. Są to na ogół równana różnkowe rędu, w którh newadomą funkję stanow trajektora (np. równana Newtona). r(t) Pr nanh równanah ruhu warunkem jednonanoś rowąana jest podane warunków poątkowh. Mogą bć nm położene prędkość ąstk w wbranej hwl. Warunk te określają stan układu. W prpadku gd układ składa sę N punktów materalnh (ąstek), rowąanem problemu mehannego jest 3N-wmarowa trajektora l podane wektorów wodąh wsstkh ąstek whodąh w skład układu. Lbę neależnh współrędnh koneną do opsu układu nawam lbą stopn swobod onaam lterą f. Cąstka swobodna w prestren trójwmarowej ma 3, a układ N ąstek 3N stopn swobod. r 5

6 Wę. Lbę stopn swobod ogranć mogą tw. wę, l wąk pomęd współrędnm, które musą bć spełnone w dowolnej hwl asu. Mogą bć adane w posta równoś lub nerównoś: f (r,... rn,t), =...nw lub f(r,... rn,t), =...nw Perws tp węów nawam dwustronnm, drug jednostronnm. Jeżel równana węów ne awerają jawnej ależnoś asowej nosą nawę skleronomnh, w prewnm wpadku reonomnh. Wę naruone na współrędne nosą nawę węów holonomnh. Casem spotkam sę węam naruonm na prędkoś, są one neholonomne. Każde neależne równane węów dwustronnh ograna lbę stopn swobod układu o. Prkład węów:. Ruh ąstk w płasźne dwuwmarowej (,) możem uskać naruają funkję węów: f(r) Lba węów p=, lba stopn swobod f=.. Ruh po okręgu : f(r) f(r) R p=, f=. W obu prkładah podane ostał wę holonomne, skleronomne, dwustronne. 3. Ruh płk na bosku. (wę jednostronne). Współrędne uogólnone. Wstępowane węów powoduje, że w równanah ruhu uwględnać musm dodatkowe sł reakj węów. Wąże sę to e naną komplkają równań. Cęsto komplkaj udaje sę unknąć pre odpowedn wbór układu współrędnh. Np. w prkłade wstar prejść do współrędnh begunowh. Wówas wę ustalają odległość ąstk od poątku układu. Współrędną odpowadająą jednemu stopnow swobod jest kąt, któr ne jest ogranan pre wę. W ten sposób dohodm do korstnego punktu wdena ułatweń rahunkowh pojęa współrędnh uogólnonh. 6

7 Współrędnm uogólnonm układu o f stopnah swobod nawam dowoln bór f welkoś q,...qf wnaająh jednonane położena ał tworąh układ. q q,..., f Pohodne po ase współrędnh uogólnonh nawam prędkośam uogólnonm. q q,..., f np. w układe begunowm q r,,q r,. Naturalne współrędne prędkoś w układe kartejańskm q,,,q,, stanową równeż sególn prpadek współrędnh prędkoś uogólnonh, o le lba stopn swobod ne jest ogranona pre wę. Ze wględu na unwersalność współrędnh uogólnonh, wsstke ogólne roważana w dalsej ęś wkładu będą prowadone w th właśne współrędnh. Dopero w konkretnh astosowanah będem prehodl do najwgodnejsh (e wględu na smetrę układu) konkretnh układów współrędnh. Zasada najmnejsego dałana (element rahunku warajnego). Całą mehankę klasną można opreć (hstorne tak ona powstała) na równanah Newtona potraktować je jako elementarne, startowe ałożene teor służąej do opsu jawsk. Jednakże w welu prpadkah jest to newgodne, sególne w momene prejśa do neklasnej teor. Pre prawe dweśe lat po Newtone f posukwal uogólneń bardej unwersalnh podejść. Takm udanm uogólnenem teor prowadąm do praw ruhu w posta najbardej odpowadająej roważanemu układow jest asada najmnejsego dałana, lub naej asada warajna Hamltona. Ropatrm układ o f stopnah swobod, opswan współrędnm uogólnonm. Neh bór funkj: q q (t) gde... f opsuje ruh rewst układu stanow rowąane problemu. Zdefnujm nn bór funkj, menon w porównanu do ruhu rewstego o newelką wartość w każdej hwl asowej: q~ q(t) q (t) nawjm go ruhem porównawm. q (t) neskońene małe odhlene od ruhu rewstego nawam warają współrędnej uogólnonej. Jeżel pre F(q,q,t) onam dowolną funkję współrędnh prędkoś uogólnonh ora asu, możem wlć jej waraję jako różnę pomęd funkją od argumentów odpowadająh ruhow porównawemu rewstemu: F F(q ~, q~, t) F(q,q, t) F(q q,q q, t) F(q,q, t) F F q q q q gde q (t) q~ q stanow waraję prędkoś uogólnonej. Owśe e wględu na lnowość: d q(t) q (t) dt Możem równeż defnować waraję funkjonału. Roważm funkjonał w posta: q 7

8 t q,q dtf(q,q I Jego waraja I I t,t) t t q~,q ~ Iq,q dtf(q ~,q ~,t) F(q,q,t) t t dtf Możem tera sformułować asadę najmnejsego dałana. Roważam ruh rewst porównawe w pewnm określonm predale asu, pr ałożenu, że w hwlah odpowadająh poątkow końow predału współrędne uogólnone wsstkh ruhów prjmują jednakowe ustalone wartoś: q~ (t ) q (t ) oraq ~ (t ) q (t ) l q (t ) q (t ) t, t q q(t) q(t) q(t) ~ ( ) q t t t Postulat: Dla każdego układu mehannego można naleźć funkję współrędnh prędkoś uogólnonh ora asu L(q,q,t) taką, że funkjonał: S t q~,q ~ dtl(q ~,q ~ t,t) prjmuje najmnejsą wartość dla ruhu rewstego, tj. q~ (t) q(t). Funkja L nos nawę funkj Lagrange a, a funkjonał S nawam dałanem. Warunek najmnejsego dałana dla ruhu rewstego generuje równana ruhu we współrędnh uogólnonh. Narućm ten warunek, l ażądajm S. t t t L L S dtl(q,q,t) dtl(q,q,t) dt q q t t t q q t L L d dt q q q q t dt t L d L d d L dt q q q q dt q dt dt q t 8

9 t t L d L t L L d L dt q q q dt q t q dt q q t q dt q t Poneważ warunek ten mus bć spełnon dla dowolnego wboru waraj współrędnh uogólnonh, mus sę erować wrażene w nawase: L d L = q dt q Równana te nosą nawę równań Lagrange a (drugego rodaju). Stanową one układ równań ruhu (f równań różnkowh drugego rędu) na funkje, stanowąe trajektore ruhu rewstego we współrędnh uogólnonh. q (t) Zanm skonstruujem funkję Lagrange a dla najprostsego układu wróćm uwagę na pewne jej własnoś wnkająe jej defnj uskanh pr jej pomo równań ruhu.. Funkja Lagrange a apsana w różnh układah współrędnh uogólnonh może prowadć do różnh wąków pomęd nm (równań ruhu). Jeżel funkja Lagrange a apsana w jednh współrędnh prowad do poprawnh równań ruhu, wówas równana ruhu uskane tej samej funkj Lagrange a apsanej w nnh współrędnh są równeż poprawne (pretransformowane). Transformaja funkj Lagrange a ęsto jest łatwejsa nż transformaja gotowh równań ruhu. Funkja Lagrange a układu łożonego dwóh ne oddałwująh podukładów jest sumą funkj Lagrange a obu ęś. LB=L+LB Funkja Lagrange a ne jest defnowana jednonane. Pomnożene funkj Lagrange a pre dowolną stałą (różną od era) prowad do th samh równań ruhu. L al L Dodane do funkj Lagrange a pohodnej upełnej po ase dowolnej funkj współrędnh uogólnonh asu prowad do th samh równań ruhu. d L L f(q,t) L dt Własnoś powżse są dość owste, perwsa wnka lnowoś równań Lagrange a, druga daje to samo dałane, gdż po sałkowanu naruenu warunków poątkowh pohodna upełna dowolnej funkj daje ero. Zwróćm jednak uwagę na odróżnene pohodnej po ase ąstkowej od upełnej. Dowolna funkja współrędnh, prędkoś asu f(q,q, t) dla ruhu rewstego awera dodatkową ależność asową popre współrędne prędkoś. Jej różnka upełna ma postać: f f df(q,q, t) dq dq dt, q q a upełna pohodna po ase: d f dq f dq f f f f(q,q,t) q q dt q dt q dt t q q t 9

10 Podsumowane I.. We wprowadenu ustallśm m ajmować sę będem podas nnejsego wkładu.. Podane ostał podstawowe pojęa mehank klasnej: układ, punkt materaln, prestreń, as, trajektora, równane ruhu, stan układu, wę, stopne swobod. 3. Wę dwustronne ogranają lbę stopn swobod, awaj każde równane węów obnża lbę stopn swobod o. 4. Wprowadlśm pojęe współrędnh uogólnonh, które stanową bór welkoś, wnaająh jednonane położene ała. Ih lba jest równa lbe stopn swobod. 5. Wprowadlśm element rahunku warajnego defnują trajektore ruhu rewstego porównawh, różnąe sę o małą welkość, którą nawalśm warają współrędnej uogólnonej. 6. Wprowadlśm pojęe waraj funkj współrędnh prędkoś uogólnoonh ora waraj utworonego takh funkj funkjonału. 7. Zapostulowalśm asadę najmnejsego dałana, godne którą funkjonał: S t q~,q ~ dtl(q ~,q ~ t,t) osąga mnmum dla ruhu rewstego. 8. Żądane nkana waraj dałana prowad do równań Lagrange a, które pownn generować równana ruhu dla współrędnh uogólnonh: L d L q dt q 9. Funkj Lagrange a L jese ne umem konstruować, ale ponalśm już jej pewne własnoś wnkająe e sposobu jej wprowadena.

11 II. Transformaja Galleusa, jednorodność otropowość prestren asu. Konstrukja funkj Lagrange a bauje na podstawowh własnośah prestren asu, które musą bć uwględnone pr tworenu równań ruhu. Równana ruhu owśe ależą od wboru układu współrędnh neo serej roumanego układu odnesena. Podstawowm układam odnesena, w którh będem praować będą tw. układ nerjalne. Inerjalnm układem odnesena nawam układ odnesena, w którm ruh swobodn odbwa sę e stałą prędkośą (np. dla ąstk w polu sł ężkoś układ wąan powerhną em ne jest nerjaln, ale nerjaln jest układ wąan e swobodne spadająą wndą). Własność nerjalnoś jest równoważna jednorodnoś otropowoś prestren ora jednorodnoś asu. Onaa to, że w układe nerjalnm ne ma wróżnonh położeń, kerunków hwl. Sformułujm tera bardo ważne ałożene teor: Wsstke układ odnesena porusająe sę wględem pewnego nerjalnego układu odnesena e stałą prędkośą są równeż nerjalne. Założene to wmusa jednolt ops jawsk fnh we wsstkh układah odnesena porusająh sę wględem sebe e stałm prędkośam a jednoeśne powala na h swobodn wbór. Zwąek pomęd położenam prędkośam pr prejśu pomęd dwoma nerjalnm układam odnesena (słusn w mehane klasnej) nos nawę Transformaj Galleusa. Jeżel mam dwa układ odnesena (,,) (,, ), pr m układ prmowan porusa sę wględem ne prmowanego pewną stałą prędkośą, a wę położene poątku układu prmowanego dane jest w układe ne prmowanm wąkem: R( t) R() t wówas punkt o współrędnh ma w układe ne prmowanm współrędne r R( t) r R() t r Pomęd prędkośam mam wąek: v v Zwąek pomęd prędkośam wnka ałożena asu bewględnego, l jednakowego we wsstkh nerjalnh układah odnesena (w mehane r r R t relatwstnej ne dokonuje sę tego ałożena).

12 Funkja Lagrange a ąstk swobodnej w nerjalnm układe odnesena. Załóżm, że układ, któr opsujem składa sę pojednej ne oddałwująej otoenem ąstk. Układ posada tr stopne swobod, położene ąstk opsuje wektor wodą r, a prędkość jego pohodna po ase. Ih składowe potraktujm jako współrędne prędkoś uogólnone. Będą wę one stanowć argument funkj Lagrange a L( q, q, t) L( r, v, t) Ze wględu na jednorodność prestren (brak wróżnonego punktu) funkja Lagrange a ne pownna ależeć od położena a e wględu na jednorodność asu ne pownna równeż od nego ależeć. Jednm argumentem, od którego może funkja Lagrange a ależeć jest prędkość. le prestreń jest otropowa. Brak wróżnonego kerunku w prestren poostawa jedne ależność od bewględnej wartoś prędkoś. Najprostsą taką funkją jest :. Prjęe funkj Lagrange a w tej posta apewna jednoeśne nemenność równań ruhu pr prejśu pomęd różnm układam nerjalnm. Zauważm, że d L(v) v v v v v (r t) dt L(v ) v Założene nnej, np. nelnowej ależnoś funkj Lagrange a od kwadratu prędkoś jest dopusalne e wględu na jednorodność otropowość prestren asu, ne daje jednak nemennoś równań ruhu pr prejśah pomęd nerjalnm układam odnesena. W uskanm wrażenu stała ne jest wnaona jednonane może bć prjęta L v dowolne. Jeżel prjmem m, uskam: v r L mv T gde pre T onaam energę knetną układu. Wkorstajm uskaną postać funkj L wstawm ją do równań Lagrange a: L d L = q dt q Otrmujem: m d m d ( r ) ( r ) mr mr r dt r dt l mr jest to nane nam równane Newtona dla ruhu ąstk swobodnej w nerjalnm układe odnesena. Zauważm, że upełne ogólnh roważań uskalśm prejne wnaoną ( dokładnośą do będąh jej ogólną własnośą nejednonanoś) funkję Lagrange a dla ąstk swobodnej a uskane równań Lagrange a równane ruhu jest poprawne. Postulat spełnena asad najmnejsego dałana jest wę dla ąstk swobodnej słusn. Uskan wnk możem nathmast uogólnć na układ N ne oddałwująh otoenem pomęd sobą ąstek: L N n L n N n T n T Funkję Lagrange a takego układu stanow jego ałkowta energa knetna.

13 Funkja Lagrange a dla ąstk w polu potenjalnm. Powróćm do układu łożonego jednej ąstk, tm raem oddałwująej otoenem. Funkję Lagrange a musm uupełnć o wra odpowedaln a oddałwane. Wra ten pownen ależeć od współrędnh jest dan pewną funkją mennh prestrennh U r : L(r, r, t) T(r U ) ( r ) Wstawws ją do równań Lagrange a uskujem: d L L U( r) mr dt r r r lub mr U( r) Roponajem tu równane Newtona w polu sł danh potenjałem U r. Uskalśm wę nterpretaję składnka funkj Lagrange a odpowedalnego a oddałwane polem ewnętrnm. Jest nm energa potenjalna prjęta e nakem prewnm. ( ) Funkja Lagrange a układu welu ąstek. Uogólnene uskanego wnku na układ welu ąstek preprowadam podobne jak dla układu ąstek ne oddałwująh, uwględnają w energ potenjalnej oddałwane ąstek polem ewnętrnm ora pomęd sobą: L T U T stanow ałkowtą energę knetną ąstek tworąh układ, a U- sumę energ potenjalnh ąstek: N N ma L Ta U(r,..., rn ) r a U(r,..., rn ) a a Transformaja e współrędnh kartejańskh do współrędnh uogólnonh. Energę knetną układu ąstek najłatwej apsać we współrędnh kartejańskh: N 3 m T a a. a Jednakże potenjał posada ęsto smetrę preferująą nn układ współrędnh. Dlatego ęsto musm dokonać transformaj energ knetnej. Dla ułatwena dskusj meńm onaena mennh:,,..., 3N a 3N m T. Współrędne układu kartejańskego wrażam pre współrędne uogólnone f ( q,... q f ) f f q q wstawam to do wrażena na energę knetną 3N m f f T q q f f 3N m f f q q gde ( ) q q t q q f, 3

14 t 3N m f q f q t q. Wrażone powżsm woram formalne prejśe do nnego układu mennh wgląda dość skomplkowane. Ne awse jednak konen będe tak sposób postępowana. Natomast wróćm uwagę na uskaną ogólną własność: energa knetna jest formą kwadratową prędkoś uogólnonh o współnnkah będąh funkjam współrędnh uogólnonh. Funkja Lagrange a dla ąstk swobodnej we współrędnh sfernh lndrnh. Dokonajm dla lustraj prejśa układu kartejańskego do dwóh najęśej stosowanh krwolnowh układów współrędnh lndrnego sfernego.. Współrędne lndrne r os rsn Energa knetna napsana we współrędnh kartejańskh ma postać: T m ( ) Wstępująe w nej prędkoś preprowadam do współrędnh lndrnh os r rsn sn r ros T m r os rr sn os r sn r sn rr sn os r os m r r ( ) Poneważ energa potenjalna dla ąstk swobodnej jest równa, funkja Lagrange a awera włąne energę knetną: m L(r,,,, r t r,, ) ( r ). Współrędne sferne ros sn rsn sn r os Możem podobne jak popredno dokonać podstawena. Wmaga to trohę dłużsego rahunku nż pr prejśu do współrędnh lndrnh. Posłużm sę atem nną metodą, dęk której wrażene na kwadrat prędkoś można uskać be żadnh rahunków. Wektor prędkoś w każdm punke prestren rokładam na tr ortogonalne le ne kartejańske składowe: r r, r, rsn. Otrmujem: r sn r r rsn 4

15 m T r r sn r Prkładowe astosowane formalmu Lagrange a. Cąstka w polu entralnego potenjału. O wbore współrędnh krwolnowh ęsto deduje smetra potenjału, któr odejmujem od energ knetnej pr tworenu Lagranganu. W seregu problemów spotkam sę potenjałem o smetr sfernej ależnm włąne od odległoś od wróżnonego punktu w prestren, tw. potenjałem entralnm (np. planeta w obenoś potenjału grawtajnego gwad) (r) ( r) (r). Praujem wówas we współrędnh sfernh. Lagrangan ma postać: L m r r sn r ( r), Z równań Lagrange a: d L L dt q q Pownnśm otrmać układ równań ruhu. Lm odpowedne pohodne ąstkowe: L L mr m r L mr, sn, r L L L m ( rsn r ),, m r os sn r r Po wstawenu h do równań Lagrange a otrmujem układ równań: mr m( rsn r ) r mr sn mr sn r mr os sn mr mr r mr os sn Uskalśm układ treh równań różnkowh drugego stopna wględem asu na sukaną trajektorę ( r( t), ( t), ( t) ). naltne rowąane tego układu równań jest nestet skomplkowane. Znane łatwej wkonać to rowąują problem numerne. Wahadło matematne. Żeb naprawdę doenć alet stosowana formalmu Lagrange a roważm prost prkład, w którm wstępująe wę utrudnają wdobe równań ruhu asad dnamk Newtona. Roważm układ jak stanow płaske wahadło matematn, l punkt materaln o mase M aweson na neroąglwej n o długoś R. Układ tak ma tlko jeden stopeń swobod, któr we współrędnh begunowh stanow kąt odhlena wahadła od ponu. W th współrędnh energa knetna układu ma postać: T M R Energa potenjalna lona wględem punktu awesena wahadła dana jest wrażenem: U MgR os Zatem funkja Lagrange a: L T U M R MgR os Równane Lagrange a generuje równane ruhu: h=ros l R M 5

16 MR MgR sn, które po uprosenu prjmuje postać: R gsn. Owśe to samo równane ruhu pownnśm uskać bepośredno równana Newtona. Prjrjm sę takemu roumowanu. Pr ałożenu płaskego ruhu położene wahadła opswane jest dwuwmarowm wektorem wodąm. Równane ruhu Mr F Mg F r awera słę ężkoś słę reakj węów. Wartość tej ostatnej sł ne jest nana, ale warunku prenosena tej sł pre elastną nć nam kerunek jej dałana wem, że będe równoważć równoległą do n składową sł ężkoś. r t R M F Mg W reultae wpadkowa sła dałająa na ało jest prostopadła do n a jej wartość: F Mgsn. Dwuwmarowe równane Newtona ropsujem na składowe kartejańske: M Mgsn os M Mgsn Prehodm tera do współrędnh begunowh Rsn Ros R os R os R R sn sn R sn R os Uskane pohodne wstawam do obu równań ruhu MR os R sn Mgsn os M R sn R os Mgsn 6

17 os dolne pre sn dodajem stronam. Wnk po Górne równane mnożm pre redukj nektórh elementów prjmuje postać: R gsn Uskalśm to samo równane ruhu, ale porównane długoś rahunków wpada na korść formalmu Lagrange a. Prkład astosowana formalmu Lagrange a do opsu ruhu brł stwnej. Poneważ agadnena mehank klasnej ne ogranają sę do układów punktów materalnh, rowążm adane, w którm dskutować będem problem nepunktowego ała. Posukajm równań ruhu dla jednorodnej kulk o mase m promenu r, toąej sę be poślgu po wewnętrnej strone pobon wala o promenu R, umesonego w polu sł ężkoś tak, że jego oś nahlona jest pod kątem do poomu. Dla utrudnena ałóżm, że promeń kulk r ne jest anedbwalne mał w porównanu promenem lndra R. W tm prpadku wbór układu współrędnh podktowan będe warunkam węów. r R-r R Układ ma dwa stopne swobod. We współrędnh lndrnh są nm U m g(d r os). W energ knetnej musm uwględnć energę ruhu postępowego obrotowego kulk I mv T gde I jest momentem bewładnoś kul: I mr 5 L T (q,q,t) U(q,qB(t)) Prędkość ruh postępowego rodelam na składową wdłuż os wala prostopadłą do nej: (R r). Z warunku toena be poślgu wnaam wąek pomęd prędkośą kątową ruhu obrotowego kul prędkośą ruhu postępowego. Prędkość ruhu obrotowego musm równeż rołożć na dwe składowe: r, r R Po podstawenu uskanh wrażeń na składowe prędkoś do woru na energę knetną uskujem: m( R ) m( (R r) ) 7m R R r T m 5 5 7

18 Energa potenjalna pola sł ężkoś wąana jest wsokośą ponad ałożon poom odnesena, któr umeśm tak, b wrażene na energę bło najprostse. Jako punkt odnesena prjmem najnżs punkt os wala. (, ) mg(sn (R r)sn os) Łąą energę knetną potenjalną uskujem funkję Lagrange a: 7m R R r L T m mg(sn (R r)sn os) 5 L 7m L R, m R r 5 5 L L mgsn, mg(r r)osos I równana ruhu: 7m mgsn 5 R m R r mg(r r)osos 5 W roważanm prkłade równana na współrędne odpowadająe obu stopnom swobod są neależne. Mówm o separaj mennh. W kerunku równoległm do os wala mam toene kulk po równ pohłej a w kerunku prostopadłm, toene kulk po wnętru okręgu. Tej separaj moglśm oekwać oba ruh potraktować neależne. Możlwość separaj ruhu pojawa sę awse ked arówno energa knetna jak potenjalna dadą sę predstawć w posta sum składnków, którh każd awera tlko jedną menną. Podsumowane II. Wprowadlśm pojęe układu nerjalnego, ałożlśm równoważność praw mehank we wsstkh układah nerjalnh. Wprowadlśm pojęe transformaj Galleusa opsująej prejśa pomęd układam nerjalnm w mehane klasnej. Korstają jednorodnoś otropowoś prestren ora jednorodnoś asu uskalśm wrażene na funkję Lagrange a dla ąstk swobodnej. Sprawdlśm, że równana Lagrange a są równoważne równanom Newtona. Uogólnlśm funkję Lagrange a na prpadek ąstk w polu ewnętrnego potenjału ora układu welu ąstek oddałwująh polem ewnętrnm pomęd sobą. Pokaalśm, że pr prejśu do dowolnh współrędnh uogólnonh energa knetna ąstk jest blnową formą prędkoś uogólnonh. Napsalśm funkje Lagrange a we współrędnh lndrnh sfernh. Znaleźlśm równana ruhu we współrędnh sfernh dla problemu ąstk w polu sł entralnh. Na prkłade wahadła matematnego porównalśm sposób poskwana równań ruhu formalmu Lagrange a asad dnamk Newtona. Zastosowalśm formalm Lagrange a do opsu ruhu brł stwnej. 8

19 III. Prawa ahowana, ałk ruhu. Spośród wsstkh welkoś fnh, które można obserwować w układe sególne naene mają te welkoś, które są stałe w ase. Mówm o h ahowanu. W różnh układah, l w ależnoś od harakteru potenjałów (sł) ewnętrnh mogą bć ahowane różne welkoś. Wedą jake prawa ahowana słusne są w ropatrwanm układe możem wkorstać je w elu ułatwena rowąana problemu. Welkoś ahowane w ase służą nam równeż do klasfkaj (określena) stanu układu. Zanjm od upełne ogólnh roważań, które powolą nam określć lbę neależnh welkoś fnh, dla którh można sformułować prawa ahowana. Welkoś te nawam ałkam ruhu. Układ o f stopnah swobod jest podas ruhu opswan pre f welkoś będąh funkjam asu - współrędnh prędkoś uogólnonh. Sukam ne menająh sę w ase funkj th welkoś f( q, q ) onst ( t). Zauważm, że trajektore, l ależnoś asowe współrędnh uogólnonh wlam rowąują układ f równań ruhu. Poneważ równana ruhu są równanam różnkowm drugego rędu, do rowąań sególnh wprowadam f warunków poątkowh. Rowąana musą atem awerać f stałh: q q ( t,,..., f ) q q ( t,,..., f ) Traktują powżse wąk jako układ równań możem go rowkłać wględem stałh uskać f welkoś, które newątplwe od asu ne ależą, a stanową funkje współrędnh prędkoś uogólnonh. Jedną th stałh usuwam ustalają hwlę poątkową, np.: f t. Poostaje f- welkoś. Możem wę sformułować ogólną regułę: Dla układu awerająego f stopn swobod można określć f- ałek ruhu. Całk ruhu jako welkoś stałe w ase można wkorstać pr rowąwanu równań ruhu, można równeż posługwać sę nm do określana stanu układu. Nektóre nh mają bardej unwersaln harakter. Sególne naene mają ałk ruhu bepośredno wąane własnośam asu prestren jednorodnośą otropowośą. Mają one sególną własność - są addtwne. Ih wartość dla układu, któr można podelć na dwa ne oddałwująe podukład jest sumą h odpowednh wartoś dla podukładów. Energa. Zanjm od ałk ruhu wąanej jednorodnośą asu. Jeżel roważan układ jest olowan, warunku jednorodnoś asu wnka, że funkja Lagrange a ne awera jawnej ależnoś asowej: L t. Zatem jej upełna pohodna po ase wnka włąne ależnoś asowej współrędnh prędkoś uogólnonh: dl L L q q. dt q q Korstają równań Lagrange a prekstałam ją do: 9

20 dl d L L d L d L q q q q dt dt q q dt q dt q Odejmują od sebe obe stron równana uskujem: d L dt q q L, skąd wnka: L q q L E onst ( t ) Welkość E ma wmar energ jest ałką ruh dla każdego układu olowanego. Poneważ jej neależność asową uskalśm pr ałożenu L t, wnk ten możem nathmast uogólnć na układ najdująe sę w polu sł ewnętrnh neależnh od asu. Take układ nawam ahowawm. Poneważ upredno pokaalśm, że energa knetna układu ąstek jest formą kwadratową prędkoś uogólnonh możem auważć, że: L T q q T q, q l: E T( q, q) L. Poneważ funkja Lagrange a jest różną energ knetnej potenjalnej L T( q, q) U( q), otrmujem: E T( q, q) U( q). Całka ruhu E jest sumą energ knetnej potenjalnej, stanow wę energę ałkowtą układu. Pęd. Wdobądźm tera ałk ruhu wąane jednorodnośą prestren. Ropatrm olowan układ klku ąstek. Załóżm, że ne wstępują w nm potenjał ewnętrne. W takm prpadku prestreń możem traktować jako jednorodną, o onaa, że żaden punkt w prestren ne jest wróżnon. Ropatrujem neskońene małe presunęe równoległe ałego układu żądam nemennoś funkj Lagrange a wględem takego presunęa. Jest ona wnkem jednorodnoś prestren. ra ra, ra ra L L L a ra a ra Poneważ są dowolne, otrmujem warunek: L a r a Korstają równań Lagrange a otrmujem: L d L d L a ra a dt r a dt a r a Wrażene, którego pohodna sę eruje stanow następną ałkę ruhu:

21 L P onst ( t). a ra Poneważ we współrędnh kartejańskh m L r U ( r ), a a dla nowej ałk ruhu otrmujem: P m r a a a lub P m r a a a Uskana ałka ruhu stanow pęd ałkowt układu. Z drugej stron ten sam warunek L U F a ra a ra a onaa erowane sę sum sł w układe (prawo akj reakj). Możem tera defnować nową welkość, którą nawam pędem odpowadająm określonej współrędnej układu. We współrędnh kartejańskh L p mr r (Uwaga. Pęd pojednej ąstk ne jest ałką ruhu. Całką ruhu jest pęd ałkowt.) Podobną welkość możem defnować we współrędnh uogólnonh: L p q Nawam ją pędem uogólnonm sprężonm e współrędna uogólnoną q. Dla układu ąstek we współrędnh kartejańskh pęd uogólnon odpowadają położenu ąstk pokrwa sę e nanm fk ogólnej wrażenem p mr. W prpadku współrędnh krwolnowh, pęd uogólnone ne musą meć nawet wmaru pędu, jednakże awse są lnowm funkjam prędkoś uogólnonh. Podobne możem defnować słę uogólnoną L F q napsać wnkają równań Lagrange a wąek p F. Moment pędu. Znajdźm tera ałkę ruhu wnkająą otropowoś prestren. W tm elu apsm wektor wodąe ąstek we współrędnh sfernh dokonajm obrotu o jednakow dla wsstkh ąstek neskońene mał kąt. Pr takm obroe bewględna wartość man wektora wodąego dana jest wrażenem: r rsn Poneważ ponadto kerunek r jest prostopadł do r : r r a jego pohodna po ase:

22 r r Załóżm, że funkja Lagrange a ne ależ w sposób jawn od asu (układ olowan) ażądajm jej nemennoś pr obroe. L L L ra r a a ra r a Korstam defnj pędu jego asowej pohodnej: d L L, p dt r r uskujem: p r p r, p a L r a po wstawenu wrażeń uskanh na, otrmujem: p ( r ) p ( a a a r a ) a r lub w apse wektorowm: p ( r ) p ( a a a ra ) a Po mane kolejnoś nnków w lone mesanm możem wągnąć pred nawas : d ra p a ra pa ra pa a dt a Korstają dowolnoś otrmujem: d ra pa dt a l uskalśm ałk ruhu J ra pa onst ( t) a Jest to wektor ałkowtego momentu pędu układu. Możem go potraktować jako sumę momentów pędu ąstek tworąh układ: J ja gde ja ra pa a Całkowt moment pędu jest ahowan w prpadku układu olowanego. Jest ahowan równeż wted gd w prestren ne jest wróżnon żaden kerunek, a wę na prkład dla ąstk w polu sł entralnh, tn. gd potenjał ależ włąne od odległoś od poątku układu, a ne ależ od kątów. Zmenne klne a ałk ruhu. Wraają do równań Lagrange a możem auważć nn sposób posukwana ałek ruhu. L d L = q dt q Jeżel funkja Lagrange a ne ależ od pewnej współrędnej uogólnonej np. q, współrędną taką nawam menną klną. Zauważm, że wówas: L d L d p q dt q dt r a a r a a

23 o onaa, że pęd uogólnon sprężon e menną klną jest ałką ruhu. Zlustrujm tę możlwość posukwana ałek ruhu prostm prkładem. Napsm we współrędnh sfernh funkję Lagrange a dla ąstk w polu sł entralnh: m L r r sn r U(r) Zauważm, że funkja ta ne ależ od kąta. Zatem jest menną klną. Całką ruhu pownen bć pęd sprężon do tej mennej. L p m r sn Łatwo sprawdć, że pęd ten stanow ponaną już ałkę ruhu, manowe etową składową momentu pędu. J r p Równana kanonne Hamltona. W ponanm pre nas formalme Lagrange a układ mehann opswan bł pr użu współrędnh prędkoś uogólnonh. W pewnh astosowanah, wgodnej jest opsać układ pr pomo nnh welkoś fnh. W mehane kwantowej ne operuje sę pojęem prędkoś ąstk, gdż ona jest naogół neokreślona, ale pędem mająm nane lepsą nterpretaję fną. Prejdźm wę do formalmu, w którm układ ostane opsan pr użu współrędnh pędów uogólnonh. Nos on nawę formalmu Hamltona. Różnkę funkj Lagrange a L dl q dq L q dq korstają defnj pędu uogólnonego ora równań Lagrange a L p q d L L p dt q q możem prekstałć do posta: dl p dq pdq p dq pdq q dp q dp dpq p dq q dp o można apsać jako: d ( p q L) p dq q dp Lewą stronę potraktujm jako różnkę upełną nowej funkj, którą nawem funkją Hamltona: L H (p q L) ( q L) E q Zauważm, że funkja Hamltona odpowada defnowanej popredno energ ałkowtej układu. Różnka upełna funkj Hamltona dana jest wrażenem dh q dp p dq 3

24 Możem auważć bardo stotną w tm momene własność funkj Hamltona. Zgodne defnją różnk upełnej, różnk po prawej strone określają neależne argument funkj. Są nm współrędne pęd uogólnone. Funkja Hamltona jest funkją współrędnh pędów (pamętam, że funkja Lagrange a bła funkją współrędnh prędkoś). Poneważ H H dh dp dq dp dq porównują to wrażene poprednm uskujem równana: H H q ora p dp dq Nosą one nawę równań Hamltona. Jest to układ f równań różnkowh perwsego rędu. Zauważm, że jeżel równana Hamltona są spełnone, wówas: dh H H H H H q p p q q p dt q p t t t W prpadku braku jawnej ależnoś hamltonanu od asu otrmujem prawo ahowana energ. Podsumujm uskan wnk. Funkja Hamltona odpowada wrażenu na energę ałkowtą będąą sumą energ knetnej potenjalnej: H T U, w którm ależność od prędkoś ostała astąpona ależnośą od pędów: H H( q, p, t) Równana Hamltona: H H q ora p dp dq podobne jak równana Lagrange a prowadą do równań ruhu. Nawas Possona. W formalme hamltonowskm welkoś fne wrażam funkjam położeń sprężonh nm pędów uogólnonh. Dot to arówno hamltonanu określająego energę ałkowtą układu jak nnh welkoś fnh. Roważm pewną welkość fną, której ależność od współrędnh, pędów asu dana jest pewną funkją f(q,p,t). Zupełną pohodną asową tej funkj df f dt f t q q f p p możem prekstałć korstają równań Hamltona: H H q ora p p q do posta: df f f H H f f (f,h) dt t q p q p t Wstępuje tutaj wrażene budowane pohodnh ąstkowh po pęde położenu wjśowej funkj f, ora hamltonanu. Wrażene to nos nawę nawasu Possona funkj f funkj H. Poneważ nawas Possona welkoś fnej f hamltonanu określa jej upełną pohodną asową może bć pomon w posukwanu ałek ruhu. Jeżel funkja f 4

25 ne ależ jawne od asu, o onaa erowane sę jej pohodnej ąstkowej, to warunkem b bła ałką ruhu jest nkane jej nawasu Possona hamltonanem: ( H, f). Nawas Possona można defnować dla dowolnej par welkoś fnh apsanh w formalme Hamltona (atem będąm funkjam położeń pędów). Dowolnej pare (q,p) B(q,p) prporądkujem funkję nosąą nawę nawasów Possona, defnowaną jako: n B B,B q p q p W dalsm ągu wkładu ne będem wkorstwać nawasów Possona, prejdem bowem do nnh agadneń, jednakże musm m pośwęć neo uwag e wględu na h rolę w prejśu od mehank klasnej do kwantowej. Na m ona polega dowem sę w prsłm semestre, dsaj ogranm sę do ponana klku h własnoś, do którh odwołam sę w prsłm semestre podas wkładu mehank kwantowej.. (, B) ( B, ),. (,)= 3. ( B, C) (, C) ( B, C), 4. ( B, C) ( B, C) (, C) B, 5.((,B),C) +((C,),B) +((B,C),) =, 6. (, W), ( W, B) W(, B) dla stałej (neależnej od położeń pędów) W: 7. ( q, q j), ( p, p j), ( q, p j) j 8.(, q ) p 9. (, p ) q j, j j. Perwsa własność (antsmetra) jest wdona na perws rut oka be wkonwana żadnh rahunków: (, B) ( B, ) Z nej kole wnka bepośredno: (, ). Ze wględu na lnowość nawasów Possona wględem obu welkoś fnh równeż be trudu uskujem h rodelność wględem sumowana: ( B, C) (, C) ( B, C). Własność rodelnoś dla lonu welkoś fnh musm polć: n B C C B ( B, C) q p q p n B C B C B C C q p q p q p q B p n B C B C n B C C B q p q p q p q p ( B, C) B(, C) Podobne lm własność 5. Własność 6 wnka bepośredno defnj nawasów Possona: 5

26 (, W), ( W, B) W(, B), a własnoś 7-9 równeż sprawdam w pamę. Podsumowane III. Wprowadlśm pojęe ałk ruhu jako welkoś fnej nemennej w ase. Z ogólnh roważań wnka, że układ o f stopnah swobod może meć f- neależnh ałek ruhu. Klka najważnejsh ałek ruhu wnka podstawowh własnoś prestren asu. Dęk jednorodnoś asu ałką ruhu jest energa, dęk jednorodnoś prestren pęd ałkowt a ałką ruhu wnkająą otropowoś prestren jest ałkowt moment pędu. Następne wprowadlśm pojęe mennej klnej pokaalśm, że pęd uogólnon sprężon do mennej klnej jest równeż ałką ruhu. Korstają wprowadonej upredno defnj pędu uogólnonego preslśm do nowego formalmu, w którm jako menne neależne traktowane są ne współrędne prędkoś ale współrędne pęd. Nos on nawę formalmu Hamltona. W formalme tm rolę funkj Lagrange a prejmuje funkja Hamltona, mająa sens energ ałkowtej układu wrażonej popre położena pęd. Równana ruhu generowane są pre tw. równana kanonne Hamltona. Dla f stopn swobod stanową one układ f równań różnkowh perwsego rędu wględem asu (równana Lagrange a stanowła układ f równań drugego rędu). W formalme Hamltona defnujem tw. Nawas Possona, które w mehane klasnej są pomone pr posukwanu ałek ruhu a najważnejsm h astosowanem jest prejśe od mehank klasnej do kwantowej. Podsumowane mehank klasnej.. Mehankę teoretną budowalśm postulują na wstępe asadę najmnejsego dałana: Dla każdego układu mehannego można naleźć funkję współrędnh prędkoś uogólnonh ora asu L(q, q, t)taką, że funkjonał: t S ~ q, ~ q dt L( ~ q, ~ q, t) t prjmuje najmnejsą wartość dla ruhu rewstego, tj. ~ q( t) q( t). Funkja L nos nawę funkj Lagrange a, a funkjonał S nawam dałanem.. W ogólnoś funkja Lagrange a jest różną energ knetnej potenjalnej: L(r, r, t) T(r U ) ( r ) 3. Znają funkję Lagrange a możem uskać równana ruhu wkorstują równana Lagrange a II rodaju: L d L q dt q 4. Wprowadlśm pojęe ałk ruhu. Możem naleźć f- neależnh ałek ruhu. Nektóre nh wąane są podstawowm własnośam prestren asu: E,P, J. Ponadto ałkam ruhu są pęd kanonne sprężone do mennh klnh ora welkoś fne, którh nawas Possona hamltonanem nka. 6

27 5. Pr pomo funkj Lagrange a możem defnować pęd uogólnone: L p q 6. Traktują jako menne neależne współrędne uogólnone pęd uogólnone możem prejść do alternatwnego formalmu Hamltona, w którm równana ruhu uskujem równań Hamltona H H q ora p dp dq gde funkja Hamltona stanow wrażene na energę ałkowtą układu wrażoną jako funkję położeń pędów. H( q, p, t) T U 7. W formalme Hamltona każdej pare welkoś fnh można prpsać nawas Possona: n B B, B q p q p posadają ał sereg ekawh własnoś. Th ostatnh prpomnać ne będę, poneważ omówlśm je pred hwlą. 7

28 () Mehanka relatwstna I. Zasada wględnoś Enstena Mehanka klasna opsuje poprawne sereg jawsk fnh pod kone XIX w wdawało sę, że pr jej pomo można nterpretować wsstke jawska wstępująe w prrode. Jednakże w marę udoskonalana metod pomarowh roserana kerunków badań ekspermentalnh aobserwowano jawska, którh mehanka klasna ne bła w stane poprawne opsać. Perwsm faktem dośwadalnm wkraająm poa obsar stosowalnoś mehank klasnej a pre to apreają jej poprawnoś bł eksperment Mhelsona Morlea, któr (w 88r) pokaal, że prędkość śwatła ne ależ od prędkoś układu odnesena w którm dokonujem pomaru. l Tmasem godne mehanką klasną, jeżel układ porusa sę prędkośą wdłuż długoś l, to as potrebn na jej pokonane pre śwatło błb: l l l l t v v. v v v v Natomast jeżel układ obróm, tak b układ porusał sę prostopadle do l, potrebn jest as: l t. Zauważm, że t>t o ne jest godne wnkem ekspermentu. Stałość prędkoś śwatła w układah porusająh sę wględem sebe jest sprena wnkem transformaj Galleusa, której prawdwość stanow jedno podstawowh ałożeń mehank klasnej (pamętam, że korstalśm nej konstruują perwsą funkję Lagrange a). Błędna jest atem ała teora klasna. Równeż ałożene neskońonej sbkoś rohodena sę oddałwań jest błędne. Okauje sę manowe, że stneje maksmalna prędkość presłana nformaj, tą maksmalną prędkośą rohod sę śwatło dlatego nawano ją prędkośą śwatła. Naturalne problem pojawają sę dopero pr bardo dużh prędkośah ąstek tworąh układ, dla którh prędkość rohodena sę oddałwań jest ne do anedbana. Teora uwględnająa now fakt ekspermentaln ostała sformułowana w 95r. pre Enstena. Bauje ona na dwóh podstawowh ałożenah, które nosą nawę asad wględnoś Enstena. Wsstke jawska fne prebegają jednakowo we wsstkh nerjalnh układah odnesena. Maksmalna prędkość rohodena sę oddałwana (nformaj) jest w każdm nerjalnm układe odnesena jednakowa wnos =.998* 8 m/s. 8

29 Teora baująa na tej asade nos nawę mehank relatwstnej. W grannm prpadku małh prędkoś prehod ona w mehankę klasną. O le perwsa asada ne odbega treśą od postulowanej w mehane klasnej, o tle asada druga powoduje określone konsekwenje. Prede wsstkm musa do regnaj bewględnoś asu. Wobraźm sobe dwa układ odnesena porusająe sę wględem sebe pewną prędkośą. Neh układ prmowan porusa sę wględem neprmowanego prędkośą w kerunku os. Z punktu wąanego układem prmowanm wsłane ostają sgnał w kerunku równoodległh punktów B C wąanh tm samm układem. Sgnał obserwowane tegoż układu osągną oba punkt jednoeśne. Jednakże, jeżel sgnał będą obserwowan układu ne prmowanego, pr ałożenu że równeż w tm układe porusają sę w obu B C kerunkah jednakowm prędkośam, wówas punkt B ostane osągnęt weśnej nż punkt C, poneważ w ase użtm pre sgnał punkt B premesa sę w kerunku prewnm do kerunku begu sgnału, a punkt C odwrotne. Zjawsko (wsłane sgnału śwetlnego jego dotare do punktów B C ) ahod w realnej prestren. Układ odnesena służą jedne do opsu jawska. Tak wę pojęe równoesnoś a atem równeż kolejnoś dareń strało bewględn sens stało sę ależne od układu odnesena. Onaa to równeż, że as jako parametr numerują kolejność dareń mus ależeć od układu odnesena. Neależność prędkoś śwatła od prędkoś układu odnesena bur pojęe równoesnoś. Nowa teora baująa na asade wględnoś Enstena jest mnej ntujna od mehank klasnej, gdż bepośredno na o deń obserwowane jawska, do którh jesteśm prwajen ne są relatwstne prwalśm sę do bewględnoś asu. Wnk roważań relatwtnh są ęsto tak bardo neowste, że należ teorę bardo śśle sformułować staranne prowadć rahunk, żeb unknąć błędu. Wnkom rahunków, nawet tm askakująm można aufać, ale pod warunkem, że mam pewność ż ostał poprawne preprowadone. Konstruowane nowej teor anem od dookreślena pewnh nowh pojęć, którm będem sę posługwać. Zdarene określać będem pre podane mejsa w trójwmarowej prestren asu. Zbór wsstkh możlwh dareń wnaa asoprestreń. Predał asoprestrenn. Ropatrm dwa nerjalne układ odnesena U U, akładają geometrę taką samą jak na poprednm rsunku. Roważm dwa darena. Perwse polega na wsłanu sgnału punktu (,,) w hwl t, druge na odbore sgnału w punke (,,) w hwl t. 9

30 (,,,t ) (,,,t ) Sgnał rohod sę prędkośą, atem (t-t)=[(-) +(-) +(-) ] / lub (-) +(-) +(-) - (t-t) = Poneważ prędkość śwatła jest jednakowa w dowolnm nerjalnm układe odnesena, te same dwa darena obserwowane w układe U dają wąek: ( - ) +( - ) +( - ) - (t -t ) = Zdefnowaną powżej welkość, która sę eruje dla th dwóh dareń neależne od układu odnesena nawam predałem asoprestrennm. Podobne nterwał (predał) asoprestrenn możem defnować dla dwóh dareń dowolnej natur: s = (t-t) -(-) -(-) -(-) Jeżel oba darena są neskońene blske w prestren ase nterwał asoprestrenn apsujem w posta wąku pomęd różnkam: ds = dt -d -d -d W wnku prjętej defnj wem, że jeżel w jednm nerjalnm układe odnesena predał asoprestrenn ds sę eruje, to ds w każdm nnm nerjalnm układe odnesena równeż sę eruje. Baują na jednorodnoś otropowoś prestren ora jednorodnoś asu można ałożć, że welkość fntemalnego nterwału asoprestrennego jest jednakowa we wsstkh nerjalnh układah odnesena: ds=ds a stąd wnka równość predałów skońonh s=s. Własność ta ne wnka defnj predału asoprestrennego stanow ałożene teor prowadąej do wbranego sposobu opsu jawsk. Założene to będe nesprene asadam wględnoś Enstena, a jednoeśne powol na wprowadene wąków pomęd współrędnm asem w różnh nerjalnh układah odnesena. Transformaja Lorenta. Baują na pononh ałożenah spróbujm prjreć sę ależnoś parametrów opsująh darene ( położene as) w różnh nerjalnh układah odnesena. Roważm ponowne dwa układ nerjalne U U. Ustawm je tak b h odpowedne ose bł równoległe do sebe, a oś równoległe do kerunku h wajemnej prędkoś. Neh poątek układu U porusa sę w układe U prędkośą. Chwle poątkowe dla asów w obu układah wberm tak, b odpowadał darenu w którm położena poątków obu układów sę pokrwają (wted darene określająe poątk układów w hwl poątkowej mają te same parametr (,,,) w obu układah). Jeżel najdem reguł prejśa pomęd tm układam, będą one wstarająe do opsu prejśa pomęd dowolnm układam, poneważ wbór kerunków os hwl poątkowh jest awse dowoln. W mehane klasnej prejśe pomęd różnm nerjalnm układam odnesena opswała transformaja Galleusa. Jeżel w układe U pewnemu darenu odpowadają współrędne,,,t to w układe U t =t = +t = 3

31 = W mehane relatwstnej transformaja neo sę komplkuje e wględu na brak bewględnoś asu (t ne jest równe t). Okauje sę na sęśe, że do wprowadena wąków pomęd współrędnm darena w różnh nerjalnh układah odnesena ałkowe wstara wkorstane własnoś nemennoś predału asoprestrennego (dlatego wprowadlśm to pojęe sprawdlśm wąek pomęd jego nemennośą stałośą prędkoś śwatła w różnh nerjalnh układah odnesena). s = t określa predał asoprestrenn pomęd darenem (t,,,), a darenem określająm poątek układu (,,,). Poneważ układ U U wbralśm tak, b h poątk sę pokrwał, odpowedn predał w układe U dan jest wrażenem s = t Żądane równoś s s pownno dać nam reguł transformajne. Poorne ne jest to proste, ale ułatwm sobe sprawę, jeżel amast asu wprowadm nową menną: t wówas w układe U s ono ma bć równe s Zauważm, że -s onaa kwadrat długoś wektora wodąego w prestren terowmarowej (,,,). Wem, że długoś wektorów wodąh punktów ne menają sę pr obrotah układu odnesena, atem prejśa pomęd układam nerjalnm są obrotam w terowmarowej prestren (,,,). Chem opsać transformaję pomęd wbranm pre nas układam U U. Poneważ ałożlśm, że oba układ porusają sę wględem sebe w kerunku ( ). Zatem współrędne ne ulegają mane: = = Onaa to obrót w płasźne (,), o nane ułatwa dalse roważana. Jeżel dokonujem obrotu o kąt, możem wnk transformaj napsać w posta: sn os ossn Łatwo sprawdć, że Naturalne kąt obrotu ależeć może włąne od prędkoś wględnej układu. Żeb go wnać najdźm położene poątku układu U w układe U. Położene poątku układu U ma w nm współrędną = Zwąk transformajne dają jego położene w układe U : 3

32 os sn na rae jest dowolne (warunk pownn bć spełnone dla dowolnej hwl), ale możem je welmnować delą równana stronam sn tg os Poneważ poątek układu U porusa sę w układe U prędkośą - l możem napsać wąek =-t lub t lub t Porównują oba wąk otrmujem tg Możem tera naleźć snus osnus kąta tg sn tg os tg ( ) Po wstawenu uskujem następująe wąk: a po podstawenu t : t t t 3

33 = = Zauważm, że w prpadku grannm >> wor te prehodą we wor transformaj Galleusa mehank klasnej. Stanow to naturalne warunek h poprawnoś. Dla skróena apsu stosuje sę wkle umowne podstawena: wted transformaja ma postać t (t ) ( t) Transformaja ta powala naleźć wąk pomęd współrędnm asem w dowolnh nerjalnh układah odnesena. Możem nathmast auważć, że nemożlwa jest transformaja do układów porusająh sę prędkośą węksą od prędkoś śwatła urojone gdż welkoś fne określająe położene as musą bć rewste. Uwaga! W predstawonm rahunku astąplśm t pre analog obrotem w prestren trójwmarowej. Można tego ne robć, ahować menną asową. Wted we worah transformaj obrotu w płasźne (,t) należ astąpć funkje trgonometrne hperbolnm. t w elu uskana pełnej Transformaja odwrotna. Łatwo można sprawdć, że transformaja odwrotna odpowada obrotow o kąt jest wąkam: t t t Można ją także uskać rowkłują transformaję prostą wględem mennh prmowanh. Konsekwenją transformaj Lorenta są nespotkane w prpadku klasnm efekt. Prjrjm sę najekawsm. dana 33

34 Kontrakja długoś dlataja asu. Załóżm, że w układe U spowa pręt o długoś l. W wbranej hwl t jednakowej (w układe U) dla obu dareń dokonujem pomaru położeń jego końów. Jego długość będąa wnkem th pomarów wnos l=-. t l t W układe U, porusająm sę wględem U prędkośą dokonujem podobnego pomaru wnaają położena w hwl t jednakowej dla obu dareń w układe U. Zmerona długość jest równa l = -. Zauważm jednak, że to o bło jednoesne w układe U ne bło jednoesne w układe U. Oba darena (sharakterowane pre położene as) ne mogł bć tożsame w obu układah odnesena. Skonentrujm sę na pomare długoś pręta w układe U. Zdarenom odpowada ten sam as t =t =t. Owśe jeżel t =t to t t, bo t t t t a ne jest równe (akładam neerową długość pręta). Zbadajm skutk tego faktu. Położena końów pręta w układe U wrażam pre współrędne darena w układe U: ( t) ( t) Długość pręta w układe U l t t Poneważ hwle t t ne są w układe U tożsame, wrażam je ponowne pre parametr dareń w układe U : l t t Tera korstam jednoesnoś pomarów w układe U uskujem : l l l Prekstałam to równane wdobwają nego l : l l l l l l l l 34

35 l l l l długość pręta jest najwęksa w układe, w którm spowa. Nawam go układem własnm pręta (ała). Długość ała merona w każdm nnm układe odnesena jest mnejsa. Jeżel mane ulega długość odnka w prestren, astanówm sę jak ahowuje sę długość odnka asu. Neh tera w poątku układu U spowa egar. Porównujem jego wskaana e wskaanam egarów porusająego sę wględem nego układu U. Poneważ jego współrędna prestrenna w układe U jest równa ero (=): t t t odnek asu meron w porusająm sę układe jest dłużs. Najkróts odnek asu pokaują egar w układe w którm spowają. Ten as nawam asem własnm układu. Podsumowane I. Ekspermentaln fakt stałej prędkoś śwatła w nerjalnh układah odnesena musł nas do rewj ałej mehank klasnej podjęa dskusj ałkem od nowa. Stralśm unwersalne pojęe jednoesnoś. Cas uależnlśm od układu odnesena. Podstawą nowej teor jest asada wględnoś Enstena, w której =onst jest dodatkowm ałożenem. Wprowadlśm pojęe predału asoprestrennego s t. Zerowane sę s w jednm układe nerjalnm mplkuje erowane sę w drugm s s. Założlśm nemenność nfntemalnh predałów asoprestrennh ds ds. Uogólnlśm ją na predał skońone s s. Z nemennoś s uskalśm transformaję Lorenta (sególną). t (t ) ( t) = = gde:, 35